خواص لگاریتم ها و مثال هایی از حل آنها. راهنمای جامع (2019). خواص اصلی لگاریتم ها 8 لگاریتم خواص آنها

همانطور که جامعه توسعه یافت و تولید پیچیده تر شد، ریاضیات نیز توسعه یافت. حرکت از ساده به پیچیده. از حسابداری معمولی با استفاده از روش جمع و تفریق با تکرار مکرر آنها به مفهوم ضرب و تقسیم رسیدیم. کاهش عملیات مکرر ضرب به مفهوم توان تبدیل شد. اولین جداول وابستگی اعداد به پایه و تعداد توان در قرن هشتم توسط ریاضیدان هندی Varasena گردآوری شد. از روی آنها می توانید زمان وقوع لگاریتم را بشمارید.

طرح تاریخی

احیای اروپا در قرن شانزدهم نیز توسعه مکانیک را تحریک کرد. تی نیاز به محاسبات زیادی داشتمربوط به ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی است. میزهای باستانی خدمات بسیار خوبی داشتند. آنها جایگزینی عملیات پیچیده با عملیات ساده تر - جمع و تفریق را ممکن کردند. یک قدم بزرگ رو به جلو کار ریاضیدان مایکل استیفل بود که در سال 1544 منتشر شد و در آن او ایده بسیاری از ریاضیدانان را محقق کرد. این امکان استفاده از جداول را نه تنها برای توان ها به شکل اعداد اول، بلکه برای اعداد دلخواه نیز فراهم کرد.

در سال 1614، جان ناپیر اسکاتلندی، با توسعه این ایده ها، برای اولین بار اصطلاح جدید "لگاریتم یک عدد" را معرفی کرد. جداول پیچیده جدیدی برای محاسبه لگاریتم سینوس ها و کسینوس ها و همچنین مماس ها تهیه شد. این کار اخترشناسان را بسیار کاهش داد.

جداول جدیدی ظاهر شد که برای سه قرن توسط دانشمندان با موفقیت مورد استفاده قرار گرفت. زمان زیادی گذشت تا عملیات جدید در جبر شکل نهایی خود را به دست آورد. تعریف لگاریتم ارائه شد و خواص آن مورد مطالعه قرار گرفت.

تنها در قرن بیستم، با ظهور ماشین حساب و کامپیوتر، بشریت جداول باستانی را که در طول قرن سیزدهم با موفقیت کار می کردند، کنار گذاشت.

امروز لگاریتم b را برای مبنای a عدد x می نامیم که توان a برای ساختن b است. این به عنوان یک فرمول نوشته می شود: x = log a(b).

به عنوان مثال، log 3(9) برابر با 2 خواهد بود. اگر از تعریف پیروی کنید این واضح است. اگر 3 را به توان 2 برسانیم، 9 می شود.

بنابراین، تعریف فرمول بندی شده تنها یک محدودیت را تعیین می کند: اعداد a و b باید واقعی باشند.

انواع لگاریتم

تعریف کلاسیک لگاریتم واقعی نامیده می شود و در واقع حل معادله a x = b است. گزینه a = 1 مرزی است و مورد توجه نیست. توجه: 1 به هر توانی برابر با 1 است.

ارزش واقعی لگاریتمتنها زمانی تعریف می شود که مبنا و آرگومان بزرگتر از 0 باشند و پایه نباید برابر با 1 باشد.

جایگاه ویژه در رشته ریاضیبازی لگاریتمی که بسته به اندازه پایه آنها نامگذاری می شود:

قوانین و محدودیت ها

ویژگی اساسی لگاریتم ها این قانون است: لگاریتم یک محصول برابر با مجموع لگاریتمی است. log abp = log a(b) + log a(p).

به عنوان یک نوع از این عبارت وجود خواهد داشت: log c(b/p) = log c(b) - log c(p)، تابع ضریب برابر با تفاوت توابع است.

از دو قانون قبلی به راحتی می توان دریافت که: log a(b p) = p * log a(b).

سایر خواص عبارتند از:

اظهار نظر. نیازی به اشتباه رایج نیست - لگاریتم یک مجموع با مجموع لگاریتم ها برابر نیست.

برای قرن‌های متمادی، یافتن لگاریتم یک کار نسبتاً زمان‌بر بود. ریاضیدانان از فرمول معروف نظریه لگاریتمی انبساط چند جمله ای استفاده کردند:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)، که در آن n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است که دقت محاسبه را تعیین می کند.

لگاریتم با پایه های دیگر با استفاده از قضیه انتقال از یک پایه به پایه دیگر و ویژگی لگاریتم حاصلضرب محاسبه شد.

از آنجایی که این روش بسیار کار بر است و هنگام حل مسائل عملیپیاده سازی دشوار است، ما از جداول لگاریتمی از پیش کامپایل شده استفاده کردیم که به طور قابل توجهی سرعت تمام کار را افزایش داد.

در برخی موارد، از نمودارهای لگاریتمی طراحی شده ویژه استفاده شد که دقت کمتری داشت، اما سرعت جستجوی مقدار مورد نظر را به میزان قابل توجهی افزایش داد. منحنی تابع y = log a(x) که بر روی چندین نقطه ساخته شده است، به شما امکان می دهد از یک خط کش معمولی برای یافتن مقدار تابع در هر نقطه دیگر استفاده کنید. برای مدت طولانی، مهندسان برای این اهداف از کاغذ گراف استفاده می کردند.

در قرن هفدهم، اولین شرایط کمکی محاسبات آنالوگ ظاهر شد که در قرن نوزدهم شکل کاملی به دست آورد. موفق ترین دستگاه قانون اسلاید نام داشت. علیرغم سادگی دستگاه، ظاهر آن به طور قابل توجهی روند تمام محاسبات مهندسی را تسریع می کند، و این امر دشوار است که بیش از حد برآورد شود. در حال حاضر افراد کمی با این دستگاه آشنایی دارند.

ظهور ماشین حساب ها و کامپیوترها استفاده از هر وسیله دیگری را بی معنی کرد.

معادلات و نابرابری ها

برای حل معادلات و نابرابری های مختلف با استفاده از لگاریتم از فرمول های زیر استفاده می شود:

• حرکت از یک پایه به پایه دیگر: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• در نتیجه گزینه قبلی: log a(b) = 1 / log b(a).

برای حل نابرابری ها مفید است بدانید:

• مقدار لگاریتم تنها در صورتی مثبت خواهد بود که مبنا و آرگومان هر دو بزرگتر یا کوچکتر از یک باشند. اگر حداقل یک شرط نقض شود، مقدار لگاریتم منفی خواهد بود.
• اگر تابع لگاریتم به سمت راست و چپ نابرابری اعمال شود و پایه لگاریتم بزرگتر از یک باشد، علامت نابرابری حفظ می شود. در غیر این صورت تغییر می کند.

نمونه مشکلات

بیایید چندین گزینه برای استفاده از لگاریتم و خواص آنها در نظر بگیریم. مثال هایی با حل معادلات:

گزینه قرار دادن لگاریتم در توان را در نظر بگیرید:

• مسئله 3. 25^log 5(3) را محاسبه کنید. راه حل: در شرایط مشکل، ورودی مشابه زیر است (5^2)^log5(3) یا 5^(2 * log 5(3)). بیایید آن را متفاوت بنویسیم: 5^log 5(3*2)، یا مربع یک عدد به عنوان آرگومان تابع را می توان به عنوان مربع خود تابع نوشت (5^log 5(3))^2. با استفاده از خواص لگاریتم، این عبارت برابر با 3^2 است. پاسخ: در نتیجه محاسبه 9 به دست می آید.

استفاده عملی

به عنوان یک ابزار کاملاً ریاضی، به نظر می رسد دور از زندگی واقعی است که لگاریتم به طور ناگهانی اهمیت زیادی برای توصیف اشیاء در دنیای واقعی پیدا کرد. یافتن علمی در جایی که از آن استفاده نمی شود دشوار است. این به طور کامل نه تنها در زمینه های دانش طبیعی، بلکه در زمینه های بشردوستانه نیز صدق می کند.

وابستگی های لگاریتمی

در اینجا چند نمونه از وابستگی های عددی آورده شده است:

مکانیک و فیزیک

از نظر تاریخی، مکانیک و فیزیک همیشه با استفاده از روش های تحقیق ریاضی توسعه یافته اند و در عین حال به عنوان انگیزه ای برای توسعه ریاضیات از جمله لگاریتم عمل کرده اند. تئوری اکثر قوانین فیزیک به زبان ریاضی نوشته شده است. اجازه دهید تنها دو مثال از توصیف قوانین فیزیکی با استفاده از لگاریتم بیاوریم.

مشکل محاسبه چنین کمیت پیچیده ای مانند سرعت یک موشک را می توان با استفاده از فرمول Tsiolkovsky که پایه و اساس تئوری اکتشاف فضایی را ایجاد کرد، حل کرد:

V = I * ln (M1/M2)، که در آن

• V سرعت نهایی هواپیما است.
• I - ضربه خاص موتور.
• M 1 - جرم اولیه موشک.
• M 2 - جرم نهایی.

مثال مهم دیگر- این در فرمول دانشمند بزرگ دیگر ماکس پلانک استفاده می شود که برای ارزیابی حالت تعادل در ترمودینامیک استفاده می شود.

S = k * ln (Ω)، که در آن

• S – خاصیت ترمودینامیکی
• k – ثابت بولتزمن.
• Ω وزن آماری حالت های مختلف است.

علم شیمی

استفاده از فرمول های حاوی نسبت لگاریتم ها در شیمی کمتر آشکار است. بیایید فقط دو مثال بزنیم:

• معادله نرنست، شرایط پتانسیل ردوکس محیط نسبت به فعالیت مواد و ثابت تعادل.
• محاسبه ثابت هایی مانند شاخص اتولیز و اسیدیته محلول نیز بدون عملکرد ما انجام نمی شود.

روانشناسی و زیست شناسی

و اصلاً مشخص نیست که روانشناسی چه ربطی به آن دارد. معلوم می شود که قدرت حس به خوبی توسط این تابع به عنوان نسبت معکوس مقدار شدت محرک به مقدار شدت کمتر توصیف می شود.

پس از مثال های بالا، دیگر جای تعجب نیست که مبحث لگاریتم ها به طور گسترده در زیست شناسی مورد استفاده قرار می گیرد. مجلدات کامل را می توان در مورد اشکال بیولوژیکی متناظر با مارپیچ های لگاریتمی نوشت.

مناطق دیگر

به نظر می رسد وجود جهان بدون ارتباط با این کارکرد ناممکن است و بر همه قوانین حاکم است. به خصوص زمانی که قوانین طبیعت با پیشرفت هندسی همراه باشد. ارزش مراجعه به وب سایت MatProfi را دارد و نمونه های زیادی از این قبیل در زمینه های فعالیت زیر وجود دارد:

لیست می تواند بی پایان باشد. با تسلط بر اصول اولیه این عملکرد، می توانید در دنیای خرد بی نهایت غوطه ور شوید.

بیا شروع کنیم با خواص لگاریتم یک. فرمول آن به صورت زیر است: لگاریتم وحدت برابر با صفر است، یعنی 1=0 را ثبت کنیدبرای هر a>0، a≠1. اثبات کار دشواری نیست: از آنجایی که 0 = 1 برای هر a که شرایط فوق را ارضا می کند a>0 و a≠1، پس ثبت تساوی a 1=0 که باید ثابت شود بلافاصله از تعریف لگاریتم تبعیت می کند.

اجازه دهید مثال هایی از کاربرد خاصیت در نظر گرفته شده ارائه دهیم: log 3 1=0، log1=0 و .

بیایید به ملک بعدی برویم: لگاریتم یک عدد مساوی با پایه برابر با یک است، به این معنا که، ورود a=1برای a>0، a≠1. در واقع، از آنجایی که a 1 =a برای هر a، پس طبق تعریف لگاریتم log a=1 است.

نمونه هایی از استفاده از این ویژگی لگاریتم برابری های log 5 5=1، log 5.6 5.6 و lne=1 هستند.

به عنوان مثال، log 2 2 7 =7، log10 -4 =-4 و .

لگاریتم حاصل ضرب دو عدد مثبت x و y برابر است با حاصل ضرب لگاریتم این اعداد: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . بیایید خاصیت لگاریتم یک محصول را ثابت کنیم. با توجه به خواص درجه a log a x+log a y =a log a x ·a log a yو از آنجایی که با هویت لگاریتمی اصلی یک log a x =x و یک log a y =y است، سپس یک log a x ·a log a y =x·y. بنابراین، یک log a x+log a y =x·y، که با تعریف لگاریتم، برابری در حال اثبات از آن به دست می‌آید.

بیایید مثال هایی از استفاده از ویژگی لگاریتم یک محصول را نشان دهیم: log 5 (2 3) = log 5 2 + log 5 3 و .

خاصیت لگاریتم یک محصول را می توان به حاصل ضرب عدد محدود n از اعداد مثبت x 1 , x 2 , …, x n تعمیم داد. log a (x 1 · x 2 ·… · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . این برابری بدون مشکل قابل اثبات است.

به عنوان مثال، لگاریتم طبیعی حاصلضرب را می توان با مجموع سه لگاریتم طبیعی اعداد 4، e و.

لگاریتم ضریب دو عدد مثبت x و y برابر است با اختلاف لگاریتم این اعداد. خاصیت لگاریتم یک ضریب منطبق بر فرمولی از فرم است که در آن a>0، a≠1، x و y برخی اعداد مثبت هستند. اعتبار این فرمول و همچنین فرمول لگاریتم یک محصول ثابت شده است: از آنجا که ، سپس با تعریف لگاریتم.

در اینجا مثالی از استفاده از این ویژگی لگاریتم آورده شده است: .

بیایید به ادامه مطلب برویم ویژگی لگاریتم توان. لگاریتم یک درجه برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم مدول پایه این درجه. اجازه دهید این ویژگی لگاریتم یک توان را به صورت فرمول بنویسیم: log a b p =p·log a |b|، که در آن a>0، a≠1، b و p اعدادی هستند به طوری که درجه b p معنی دارد و b p > 0.

ابتدا این خاصیت را برای مثبت b ثابت می کنیم. هویت لگاریتمی پایه به ما این امکان را می دهد که عدد b را به صورت log a b، سپس b p =(a log a b) p نمایش دهیم و عبارت حاصل، به دلیل خاصیت توان، برابر با p·log a b است. بنابراین به برابری b p = a p·log a b می رسیم که از آن با تعریف لگاریتم نتیجه می گیریم که log a b p = p·log a b.

باقی می ماند که این خاصیت برای منفی b ثابت شود. در اینجا توجه می کنیم که عبارت log a b p برای منفی b فقط برای توان های زوج p معنی دارد (زیرا مقدار درجه b p باید بزرگتر از صفر باشد، در غیر این صورت لگاریتم معنی نخواهد داشت) و در این مورد b p =|b| پ. سپس b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|، از آنجا log a b p =p·log a |b| .

مثلا، و ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

از ملک قبلی بر می آید ویژگی لگاریتم از ریشه: لگاریتم ریشه n برابر است با حاصل ضرب کسری 1/n توسط لگاریتم عبارت رادیکال، یعنی ، که در آن a>0، a≠1، n یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است، b>0.

اثبات بر اساس برابری (نگاه کنید به) است که برای هر b مثبت معتبر است، و خاصیت لگاریتم توان: .

در اینجا مثالی از استفاده از این ویژگی آورده شده است: .

حالا بیایید ثابت کنیم فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدیدنوع . برای این کار کافی است صحت log برابری c b=log a b·log c a را اثبات کنیم. هویت لگاریتمی پایه به ما این امکان را می دهد که عدد b را به صورت log a b نمایش دهیم، سپس log c b=log c a log a b را نشان دهیم. باقی مانده است که از ویژگی لگاریتم درجه استفاده کنیم: log c a log a b =log a b log c a. این log برابری c b=log a b·log c a را ثابت می کند، به این معنی که فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم نیز ثابت شده است.

بیایید چند مثال از استفاده از این خاصیت لگاریتم را نشان دهیم: and .

فرمول انتقال به یک پایه جدید به شما امکان می دهد تا به کار با لگاریتم هایی بروید که پایه "مناسب" دارند. برای مثال می توان از آن برای رفتن به لگاریتم های طبیعی یا اعشاری استفاده کرد تا بتوانید مقدار لگاریتم را از جدول لگاریتم محاسبه کنید. فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید همچنین در برخی موارد امکان یافتن مقدار لگاریتم معین را هنگامی که مقادیر برخی از لگاریتم ها با پایه های دیگر مشخص است، می دهد.

یک مورد خاص از فرمول برای انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید برای c=b فرم اغلب استفاده می شود . این نشان می دهد که log a b و log b a – . به عنوان مثال، .

فرمول نیز اغلب استفاده می شود ، که برای یافتن مقادیر لگاریتمی مناسب است. برای تأیید کلمات خود، نشان خواهیم داد که چگونه می توان از آن برای محاسبه مقدار لگاریتم فرم استفاده کرد. ما داریم . برای اثبات فرمول کافی است از فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم a استفاده کنید: .

باقی مانده است که خواص مقایسه لگاریتم ها را اثبات کنیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر عدد مثبت b 1 و b 2، b 1 log a b 2 و برای a>1 - نابرابری log a b 1

در نهایت، باید آخرین ویژگی لگاریتم ها را ثابت کرد. اجازه دهید خود را به اثبات قسمت اول آن محدود کنیم، یعنی ثابت کنیم که اگر 1 >1، 2 >1 و a 1 1 درست است log a 1 b>log a 2 b . گزاره های باقی مانده از این خاصیت لگاریتم بر اساس اصل مشابهی ثابت می شوند.

از روش مخالف استفاده کنیم. فرض کنید که برای 1 > 1، 2 > 1 و 1 1 درست است log a 1 b≤log a 2 b . بر اساس ویژگی های لگاریتم، این نابرابری ها را می توان به صورت بازنویسی کرد و به ترتیب، و از آنها چنین است که به ترتیب log b a 1 ≤log b a 2 و log b a 1 ≥log b a 2. سپس، با توجه به ویژگی‌های توان‌های دارای پایه‌های یکسان، برابری‌های b log b a 1 ≥b log b a 2 و b log b a 1 ≥b log b a 2 باید برقرار باشند، یعنی a 1 ≥a 2 . بنابراین به تناقض با شرط a 1 رسیدیم

کتابشناسی - فهرست کتب.

• کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه دهم تا یازدهم موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

لگاریتم یک عدد ن بر اساس آ توان نامیده می شود ایکس ، که باید به آن بسازید آ برای دریافت شماره ن

به شرطی که
,
,

از تعریف لگاریتم چنین بر می آید که
، یعنی
- این برابری هویت لگاریتمی اساسی است.

لگاریتم های پایه 10 را لگاریتم اعشاری می نامند. بجای
نوشتن
.

لگاریتم به پایه ه طبیعی نامیده می شوند و تعیین می شوند
.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم یک برای هر پایه برابر با صفر است.

لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم عوامل.

3) لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها

عامل
مدول انتقال از لگاریتم به پایه نامیده می شود آ به لگاریتم در پایه ب .

با استفاده از ویژگی های 2-5، اغلب می توان لگاریتم یک عبارت پیچیده را به نتیجه عملیات ساده حسابی روی لگاریتم کاهش داد.

مثلا،

به چنین تبدیل های لگاریتمی لگاریتم می گویند. تبدیل معکوس به لگاریتم را تقویت می گویند.

فصل 2. عناصر ریاضیات عالی.

1. محدودیت ها

محدودیت عملکرد
یک عدد محدود A است اگر، به عنوان xx 0 برای هر از پیش تعیین شده
، چنین عددی وجود دارد
که به محض
، آن
.

تابعی که حدی دارد به مقدار بی نهایت کوچک با آن تفاوت دارد:
، جایی که- b.m.v.، i.e.
.

مثال. تابع را در نظر بگیرید
.

هنگام تلاش
، تابع y به سمت صفر میل می کند:

1.1. قضایای اساسی در مورد حدود

حد یک مقدار ثابت برابر با این مقدار ثابت است

.

حد مجموع (تفاوت) تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع (تفاوت) حدود این توابع.

حد حاصلضرب تعداد محدودی از توابع برابر است با حاصلضرب حدود این توابع.

حد نصاب دو تابع برابر است با نصاب حدود این توابع اگر حد مخرج صفر نباشد.

محدودیت های شگفت انگیز

,
، جایی که

1.2. مثال های محاسبه حد

با این حال، همه محدودیت ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. اغلب، محاسبه حد به آشکار کردن عدم قطعیت از نوع ختم می شود: یا .

.

2. مشتق یک تابع

اجازه دهید یک تابع داشته باشیم
، پیوسته بر روی قطعه
.

بحث و جدل مقداری افزایش یافت
. سپس تابع یک افزایش دریافت می کند
.

مقدار استدلال با مقدار تابع مطابقت دارد
.

مقدار استدلال
با مقدار تابع مطابقت دارد.

از این رو، .

اجازه دهید حد این نسبت را در پیدا کنیم
. اگر این حد وجود داشته باشد، آن را مشتق تابع داده شده می نامند.

تعریف 3 مشتق یک تابع معین
با استدلال حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان، زمانی که افزایش آرگومان خودسرانه به صفر میل می کند، نامیده می شود.

مشتق از یک تابع
را می توان به صورت زیر تعیین کرد:

; ; ; .

تعریف 4عملیات یافتن مشتق تابع نامیده می شود تفکیک.

2.1. معنای مکانیکی مشتق.

بیایید حرکت مستقیم یک جسم صلب یا نقطه مادی را در نظر بگیریم.

اجازه دهید در یک نقطه از زمان نقطه متحرک
در فاصله ای بود از موقعیت شروع
.

بعد از مدتی
او فاصله ای را طی کرد
. نگرش =- سرعت متوسط ​​یک نقطه مادی
. اجازه دهید با در نظر گرفتن آن، حد این نسبت را پیدا کنیم
.

در نتیجه، تعیین سرعت لحظه ای حرکت یک نقطه مادی به یافتن مشتق مسیر با توجه به زمان کاهش می یابد.

2.2. ارزش هندسی مشتق

اجازه دهید یک تابع گرافیکی تعریف شده داشته باشیم
.

برنج. 1. معنای هندسی مشتق

اگر
، سپس اشاره کنید
، در امتداد منحنی حرکت می کند و به نقطه نزدیک می شود
.

از این رو
، یعنی مقدار مشتق برای مقدار معینی از آرگومان عددی برابر با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس در یک نقطه معین با جهت مثبت محور
.

2.3. جدول فرمول های تمایز پایه.

تابع توان

تابع نمایی

تابع لگاریتمی

تابع مثلثاتی

تابع مثلثاتی معکوس

2.4. قوانین تمایز.

مشتق از

مشتق مجموع (تفاوت) توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع

مشتق ضریب دو تابع

2.5. مشتق تابع مختلط

اجازه دهید تابع داده شود
به گونه ای که بتوان آن را در قالب نمایش داد

و
، جایی که متغیر پس یک استدلال میانی است

مشتق تابع مختلط با حاصلضرب مشتق تابع داده شده نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به x برابر است.

مثال 1.

مثال 2.

3. تابع دیفرانسیل.

بذار باشه
، در برخی فاصله ها قابل تمایز است
رهایش کن در این تابع یک مشتق دارد

,

سپس می توانیم بنویسیم

(1),

جایی که - یک کمیت بی نهایت کوچک،

از کی تا حالا

ضرب تمام شرایط برابری (1) در
ما داریم:

جایی که
- b.m.v. مرتبه بالاتر.

اندازه
دیفرانسیل تابع نامیده می شود
و تعیین شده است

.

3.1. مقدار هندسی دیفرانسیل

اجازه دهید تابع داده شود
.

شکل 2. معنی هندسی دیفرانسیل

.

بدیهی است که دیفرانسیل تابع
برابر است با افزایش مختصات مماس در یک نقطه معین.

3.2. مشتقات و دیفرانسیل از سفارشات مختلف.

اگر آنجا
، سپس
مشتق اول نامیده می شود.

مشتق مشتق اول را مشتق مرتبه دوم می گویند و نوشته می شود
.

مشتق از مرتبه n تابع
مشتق مرتبه (n-1) ام نامیده می شود و نوشته می شود:

.

دیفرانسیل دیفرانسیل یک تابع را دیفرانسیل دوم یا دیفرانسیل مرتبه دوم می گویند.

.

.

3.3 حل مسائل بیولوژیکی با استفاده از تمایز.

وظیفه 1. مطالعات نشان داده است که رشد یک کلنی از میکروارگانیسم ها از قانون پیروی می کند
، جایی که ن - تعداد میکروارگانیسم ها (به هزار) تی - زمان (روزها).

ب) آیا جمعیت کلنی در این مدت افزایش می یابد یا کاهش می یابد؟

پاسخ. اندازه کلنی افزایش خواهد یافت.

وظیفه 2. آب دریاچه به طور دوره ای برای نظارت بر محتوای باکتری های بیماری زا آزمایش می شود. از طریق تی روز پس از آزمایش، غلظت باکتری ها با نسبت تعیین می شود

.

چه زمانی این دریاچه دارای حداقل غلظت باکتری خواهد بود و آیا می توان در آن شنا کرد؟

راه حل: یک تابع زمانی به max یا min می رسد که مشتق آن صفر باشد.

,

بیایید تعیین کنیم حداکثر یا حداقل در 6 روز خواهد بود. برای انجام این کار، بیایید مشتق دوم را در نظر بگیریم.

پاسخ: پس از 6 روز حداقل غلظت باکتری وجود خواهد داشت.

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: log آ ایکسو وارد شوید آ y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. ورود به سیستم آ ایکس+ ثبت نام آ y= ثبت نام آ (ایکس · y);
2. ورود به سیستم آ ایکس- ورود آ y= ثبت نام آ (ایکس : y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

Log 6 4 + Log 6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: آ > 0, آ ≠ 1, ایکس> 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

[کپشن عکس]

توجه داشته باشید که مخرج شامل لگاریتمی است که مبنا و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ما داریم:

[کپشن عکس]

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم را که در آنجا ایستاده بود به شکل توان ارائه دادیم و نماها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لاگ لگاریتمی داده شود آ ایکس. سپس برای هر عددی جبه طوری که ج> 0 و ج≠ 1، برابری درست است:

[کپشن عکس]

به ویژه اگر قرار دهیم ج = ایکس، ما گرفتیم:

[کپشن عکس]

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان با هم عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

[کپشن عکس]

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

[کپشن عکس]

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

[کپشن عکس]

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در مورد اول، شماره nنشانگر درجه ایستاده در استدلال می شود. عدد nمی تواند کاملاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. این همان چیزی است که به آن می گویند: هویت لگاریتمی اساسی.

در واقع، چه اتفاقی خواهد افتاد اگر تعداد ببه چنان قدرتی برسانید که عدد ببه این توان عدد را می دهد آ? درست است: شما همین عدد را دریافت می کنید آ. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

[کپشن عکس]

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

[کپشن عکس]

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون دولتی واحد بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. ورود به سیستم آ آ= 1 یک واحد لگاریتمی است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه آاز همین پایه برابر با یک است.
2. ورود به سیستم آ 1 = 0 صفر لگاریتمی است. پایه آمی تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا آ 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.