یک تحقیق کامل در مورد ویژگی های راه حل آنلاین انجام دهید. کاوش توابع و ترسیم یک تابع با استفاده از مشتقات

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

امروز از شما دعوت می کنیم که با ما نمودار یک تابع را کاوش و بسازید. پس از مطالعه دقیق این مقاله، برای انجام این نوع کارها نیازی به عرق کردن طولانی نخواهید داشت. مطالعه و ساخت یک نمودار از یک تابع آسان نیست. برای سهولت درک مطلب، همان تابع را گام به گام مطالعه می کنیم و تمام اعمال و محاسبات خود را توضیح می دهیم. به دنیای شگفت انگیز و جذاب ریاضیات خوش آمدید! برو!

دامنه

برای کاوش و ترسیم یک تابع، باید چندین تعاریف را بدانید. تابع یکی از مفاهیم اصلی (پایه) در ریاضیات است. وابستگی بین چندین متغیر (دو، سه یا بیشتر) را در طول تغییرات منعکس می کند. تابع همچنین وابستگی مجموعه ها را نشان می دهد.

تصور کنید که ما دو متغیر داریم که محدوده تغییر خاصی دارند. بنابراین، y تابعی از x است، مشروط بر اینکه هر مقدار متغیر دوم با یک مقدار از متغیر دوم مطابقت داشته باشد. در این حالت متغیر y وابسته است و تابع نامیده می شود. مرسوم است که می گویند متغیرهای x و y در هستند برای وضوح بیشتر این وابستگی، نموداری از تابع ساخته می شود. نمودار یک تابع چیست؟ این مجموعه ای از نقاط در صفحه مختصات است که هر مقدار x با یک مقدار y مطابقت دارد. نمودارها می توانند متفاوت باشند - خط مستقیم، هذلولی، سهمی، موج سینوسی و غیره.

ترسیم یک تابع بدون تحقیق غیرممکن است. امروز یاد خواهیم گرفت که چگونه تحقیق کنیم و نمودار یک تابع بسازیم. یادداشت برداری در طول مطالعه بسیار مهم است. این کار را بسیار آسان تر می کند. راحت ترین طرح تحقیق:

1. دامنه.
2. تداوم.
3. زوج یا فرد.
4. دوره ای.
5. مجانب.
6. صفرها
7. ثبات را علامت بزنید.
8. در حال افزایش و کاهش.
9. افراط.
10. تحدب و تقعر.

بیایید با اولین نکته شروع کنیم. بیایید دامنه تعریف را پیدا کنیم، یعنی در چه بازه هایی تابع ما وجود دارد: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). در مورد ما، تابع برای هر مقدار x وجود دارد، یعنی دامنه تعریف برابر با R است. این را می توان به صورت xÎR نوشت.

تداوم

اکنون تابع ناپیوستگی را بررسی می کنیم. در ریاضیات، اصطلاح "تداوم" در نتیجه مطالعه قوانین حرکت ظاهر شد. بی نهایت چیست؟ مکان، زمان، برخی وابستگی ها (به عنوان مثال وابستگی متغیرهای S و t در مسائل حرکتی)، دمای یک جسم گرم شده (آب، ماهیتابه، دماسنج و غیره)، یک خط پیوسته (یعنی یکی که را می توان بدون برداشتن آن از روی مداد ورق کشید).

گراف اگر در نقطه ای شکست نخورد پیوسته در نظر گرفته می شود. یکی از بارزترین نمونه های چنین نموداری یک سینوسی است که در تصویر این قسمت مشاهده می کنید. یک تابع در نقطه ای از x0 پیوسته است اگر تعدادی از شرایط وجود داشته باشد:

• یک تابع در یک نقطه مشخص تعریف شده است.
• حد راست و چپ در یک نقطه برابر است.
• حد برابر با مقدار تابع در نقطه x0 است.

اگر حداقل یک شرط برآورده نشود، عملکرد ناموفق گفته می شود. و نقاطی که تابع در آنها شکسته می شود معمولاً نقاط شکست نامیده می شوند. نمونه ای از تابعی که در صورت نمایش گرافیکی "شکن" می شود: y=(x+4)/(x-3). علاوه بر این، y در نقطه x = 3 وجود ندارد (زیرا تقسیم بر صفر غیرممکن است).

در تابعی که ما در حال مطالعه آن هستیم (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) همه چیز ساده است، زیرا نمودار پیوسته خواهد بود.

زوج فرد

حالا تابع را برای برابری بررسی کنید. اول، کمی تئوری. تابع زوج تابعی است که شرط f(-x)=f(x) را برای هر مقدار متغیر x (از محدوده مقادیر) برآورده کند. مثالها عبارتند از:

• ماژول x (گراف شبیه یک دم، نیمساز ربع اول و دوم نمودار است).
• x مربع (پارابولا)؛
• کسینوس x (کسینوس).

توجه داشته باشید که همه این نمودارها وقتی با توجه به محور y (یعنی محور y) مشاهده شوند متقارن هستند.

پس چه تابع فرد نامیده می شود؟ اینها توابعی هستند که شرط را برآورده می کنند: f(-x)=-f(x) برای هر مقدار از متغیر x. مثال ها:

• هذلولی؛
• سهمی مکعبی؛
• سینوسی؛
• مماس و غیره

لطفاً توجه داشته باشید که این توابع در مورد نقطه (0:0) یعنی مبدا متقارن هستند. بر اساس آنچه در این بخش از مقاله گفته شد، یک تابع زوج و فرد باید دارای ویژگی باشد: x متعلق به مجموعه تعریف است و -x نیز.

بیایید تابع برابری را بررسی کنیم. می بینیم که او با هیچ یک از توصیفات مطابقت ندارد. بنابراین، تابع ما نه زوج است و نه فرد.

مجانب

بیایید با یک تعریف شروع کنیم. مجانبی منحنی است که تا حد امکان به نمودار نزدیک است، یعنی فاصله از یک نقطه معین به صفر میل می کند. در مجموع سه نوع مجانب وجود دارد:

• عمودی، یعنی موازی با محور y.
• افقی، یعنی موازی با محور x.
• شیب دار.

در مورد نوع اول، این خطوط را باید در برخی موارد جستجو کرد:

• شکاف؛
• انتهای حوزه تعریف

در مورد ما، تابع پیوسته است، و دامنه تعریف برابر با R است. بنابراین، هیچ مجانبی عمودی وجود ندارد.

نمودار یک تابع دارای مجانبی افقی است که شرط زیر را برآورده می کند: اگر x به بی نهایت یا منهای بی نهایت تمایل داشته باشد و حد برابر با یک عدد معین باشد (مثلا a). در این حالت y=a مجانب افقی است. در تابعی که مطالعه می کنیم هیچ مجانب افقی وجود ندارد.

مجانب مایل تنها در صورتی وجود دارد که دو شرط وجود داشته باشد:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

سپس می توان آن را با استفاده از فرمول پیدا کرد: y=kx+b. باز هم، در مورد ما هیچ مجانب مایل وجود ندارد.

تابع صفرها

مرحله بعدی بررسی نمودار تابع برای صفر است. همچنین توجه به این نکته بسیار مهم است که کار مرتبط با یافتن صفرهای یک تابع نه تنها هنگام مطالعه و ساختن نمودار یک تابع، بلکه به عنوان یک کار مستقل و به عنوان راهی برای حل نامساوی ها رخ می دهد. ممکن است از شما خواسته شود که صفرهای یک تابع را در نمودار پیدا کنید یا از نمادهای ریاضی استفاده کنید.

یافتن این مقادیر به شما کمک می کند تا عملکرد را با دقت بیشتری ترسیم کنید. به زبان ساده، صفر یک تابع مقدار متغیر x است که در آن y = 0 است. اگر به دنبال صفرهای یک تابع در یک نمودار هستید، باید به نقاطی که نمودار با محور x تقاطع می کند توجه کنید.

برای یافتن صفرهای تابع، باید معادله زیر را حل کنید: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. پس از انجام محاسبات لازم به پاسخ زیر می رسیم:

ثبات را علامت بزنید

مرحله بعدی تحقیق و ساخت یک تابع (گراف) یافتن فواصل علامت ثابت است. این بدان معناست که باید مشخص کنیم که در چه بازه هایی تابع مقدار مثبت و در چه بازه هایی مقدار منفی می گیرد. توابع صفر موجود در بخش آخر به ما در انجام این کار کمک می کنند. بنابراین، باید یک خط مستقیم بسازیم (جدا از نمودار) و صفرهای تابع را در امتداد آن به ترتیب صحیح از کوچکترین به بزرگتر توزیع کنیم. اکنون باید تعیین کنید که کدام یک از فواصل حاصل علامت "+" و کدام یک "-" دارد.

در مورد ما، تابع در فواصل زمانی یک مقدار مثبت می گیرد:

• از 1 تا 4؛
• از 9 تا بی نهایت

معنی منفی:

• از منهای بی نهایت تا 1؛
• از 4 تا 9

تعیین این کاملاً آسان است. هر عددی از بازه را به تابع جایگزین کنید و ببینید که پاسخ چه علامتی دارد (منهای یا مثبت).

افزایش و کاهش توابع

برای کاوش و ساخت یک تابع، باید بدانیم که نمودار کجا افزایش می‌یابد (در امتداد محور Oy بالا می‌رود) و کجا سقوط می‌کند (در امتداد محور y به پایین خزیدن).

یک تابع تنها زمانی افزایش می‌یابد که مقدار بزرگ‌تری از متغیر x با مقدار بزرگ‌تری از y مطابقت داشته باشد. یعنی x2 بزرگتر از x1 است و f(x2) بزرگتر از f(x1). و یک پدیده کاملاً مخالف را با تابع کاهشی مشاهده می کنیم (هر چه x بیشتر، y کمتر). برای تعیین فواصل افزایش و کاهش، باید موارد زیر را پیدا کنید:

• دامنه تعریف (ما قبلاً داریم)؛
• مشتق (در مورد ما: 1/3 (3x^2-28x+49)؛
• معادله 1/3 (3x^2-28x+49)=0 را حل کنید.

پس از محاسبات به نتیجه می رسیم:

دریافت می کنیم: تابع در بازه های منهای بی نهایت به 7/3 و از 7 تا بی نهایت افزایش می یابد و در بازه 7/3 به 7 کاهش می یابد.

افراط

تابع مورد مطالعه y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) پیوسته است و برای هر مقدار از متغیر x وجود دارد. نقطه افراطی حداکثر و حداقل یک تابع معین را نشان می دهد. در مورد ما هیچ کدام وجود ندارد، که کار ساخت و ساز را بسیار ساده می کند. در غیر این صورت، آنها را می توان با استفاده از تابع مشتق نیز یافت. پس از یافتن، فراموش نکنید که آنها را در نمودار علامت گذاری کنید.

تحدب و تقعر

ما به بررسی بیشتر تابع y(x) ادامه می دهیم. حال باید آن را از نظر تحدب و تقعر بررسی کنیم. درک تعاریف این مفاهیم بسیار دشوار است. برای آزمون: یک تابع محدب است اگر یک تابع غیر نزولی باشد. موافقم، این غیر قابل درک است!

باید مشتق تابع مرتبه دوم را پیدا کنیم. دریافت می کنیم: y=1/3 (6x-28). حالا بیایید سمت راست را با صفر برابر کنیم و معادله را حل کنیم. پاسخ: x=14/3. ما نقطه عطف را پیدا کردیم، یعنی جایی که نمودار از تحدب به تقعر یا برعکس تغییر می کند. در بازه منهای بی نهایت تا 14/3 تابع محدب است و از 14/3 تا بعلاوه بی نهایت مقعر است. همچنین بسیار مهم است که توجه داشته باشید که نقطه عطف در نمودار باید صاف و نرم باشد، نباید گوشه های تیز وجود داشته باشد.

تعریف نکات اضافی

وظیفه ما بررسی و ساخت نموداری از تابع است. ما مطالعه را تکمیل کرده ایم، ساختن یک نمودار از تابع در حال حاضر دشوار نیست. برای بازتولید دقیق تر و دقیق تر یک منحنی یا خط مستقیم در صفحه مختصات، می توانید چندین نقطه کمکی را پیدا کنید. محاسبه آنها بسیار آسان است. برای مثال x=3 را می گیریم، معادله حاصل را حل می کنیم و y=4 را پیدا می کنیم. یا x=5 و y=-5 و غیره. شما می توانید هر تعداد امتیاز اضافی را که برای ساخت و ساز نیاز دارید بگیرید. حداقل 3-5 از آنها یافت می شود.

ترسیم نمودار

ما باید تابع (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y را بررسی کنیم. تمام علائم لازم در طول محاسبات در صفحه مختصات انجام شد. تنها کاری که باید انجام شود این است که یک نمودار بسازید، یعنی تمام نقاط را به هم وصل کنید. اتصال نقاط باید صاف و دقیق باشد، این یک مهارت است - کمی تمرین کنید و برنامه شما عالی خواهد بود.

بیایید تابع \(y= \frac(x^3)(1-x) \) را مطالعه کنیم و نمودار آن را بسازیم.

1. محدوده تعریف.
دامنه تعریف یک تابع گویا (کسری) خواهد بود: مخرج برابر با صفر نیست، یعنی. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). دامنه $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. نقاط شکست تابع و طبقه بندی آنها.
تابع دارای یک نقطه شکست x = 1 است
اجازه دهید نقطه x= 1 را بررسی کنیم. اجازه دهید حد تابع را در سمت راست و چپ نقطه ناپیوستگی، در سمت راست $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1) پیدا کنیم. -x)) = -\infty $$ و در سمت چپ نقطه $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ این یک نقطه ناپیوستگی از نوع دوم است زیرا محدودیت های یک طرفه برابر با \(\infty\) است.

خط مستقیم \(x = 1\) مجانبی عمودی است.

3. برابری تابع.
ما برای برابری \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) بررسی می کنیم که تابع نه زوج است و نه فرد.

4. صفرهای تابع (نقاط تقاطع با محور Ox). فواصل علامت ثابت یک تابع.
تابع صفر (نقطه تقاطع با محور Ox): \(y=0\) را معادل می کنیم، \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \) بدست می آوریم. منحنی یک نقطه تقاطع با محور Ox با مختصات \((0;0)\) دارد.

فواصل علامت ثابت یک تابع.
در فواصل در نظر گرفته شده \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) منحنی یک نقطه تقاطع با محور Ox دارد، بنابراین دامنه تعریف را در سه بازه در نظر خواهیم گرفت.

اجازه دهید علامت تابع را در فواصل دامنه تعریف تعیین کنیم:
فاصله \((-\infty; 0) \) مقدار تابع را در هر نقطه پیدا کنید \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
فاصله \((0; 1) \) مقدار تابع را در هر نقطه پیدا می کنیم \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \)، در این بازه تابع است مثبت \(f(x) > 0 \)، یعنی. بالای محور Ox قرار دارد.
فاصله \((1;+\infty) \) مقدار تابع را در هر نقطه پیدا کنید \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. نقاط تقاطع با محور Oy: \(x=0\) را معادل می کنیم، \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\) را بدست می آوریم. مختصات نقطه تقاطع با محور Oy \((0; 0)\)

6. فواصل یکنواختی. افراطی یک تابع.
بیایید نقاط بحرانی (ایستا) را پیدا کنیم، برای این، اولین مشتق را پیدا کرده و آن را برابر با صفر $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) می کنیم. -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ برابر با 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ بیایید مقدار تابع را در این نقطه پیدا کنیم \( f(0) = 0\) و \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). ما دو نقطه بحرانی با مختصات \((0;0)\) و \((1.5;-6.75)\) گرفتیم.

فواصل یکنواختی.
تابع دارای دو نقطه بحرانی است (نقاط انتهایی ممکن)، بنابراین ما یکنواختی را در چهار بازه در نظر خواهیم گرفت:
بازه \((-\infty; 0) \) مقدار اولین مشتق را در هر نقطه از بازه \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x)) ((1-x) بیابید )^2) >
بازه \((0;1)\) مقدار اولین مشتق را در هر نقطه از بازه \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))((1-x)^ می یابیم 2) > 0\) ، تابع در این بازه افزایش می یابد.
فاصله \((1;1.5)\) مقدار اولین مشتق را در هر نقطه از بازه \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ می یابیم 2) > 0\) ، تابع در این بازه افزایش می یابد.
بازه \((1.5; +\infty)\) مقدار اولین مشتق را در هر نقطه از بازه \(f(4) = \frac(x^2(3-2x)) ( (1-x) بیابید. ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

افراطی یک تابع.

هنگام مطالعه تابع، دو نقطه بحرانی (ایستا) در بازه دامنه تعریف به دست آوردیم. بیایید تعیین کنیم که آیا آنها افراطی هستند یا خیر. اجازه دهید تغییر علامت مشتق را هنگام عبور از نقاط بحرانی در نظر بگیریم:

نقطه \(x = 0\) مشتق علامت را با \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) تغییر می‌دهد - نقطه افراطی نیست.
نقطه \(x = 1.5\) مشتق علامت را با \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) تغییر می‌دهد - نقطه حداکثر نقطه است.

7. فواصل تحدب و تقعر. نقاط عطف.

برای یافتن فواصل تحدب و تقعر، مشتق دوم تابع را پیدا می کنیم و آن را با صفر $$y برابر می کنیم" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$برابر صفر $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ تابع دارای یک نقطه بحرانی از نوع دوم با مختصات \((0;0)\) است. .
اجازه دهید تحدب را در فواصل دامنه تعریف، با در نظر گرفتن یک نقطه بحرانی از نوع دوم (نقطه عطف احتمالی) تعریف کنیم.

فاصله \((-\infty; 0)\) مقدار مشتق دوم را در هر نقطه پیدا کنید \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
بازه \((0; 1)\) مقدار مشتق دوم را در هر نقطه پیدا می کنیم \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \)، در این بازه مشتق دوم تابع مثبت است \(f""(x) > 0 \) تابع به سمت پایین محدب است (محدب).
فاصله \((1; \infty)\) مقدار مشتق دوم را در هر نقطه پیدا کنید \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

نقاط عطف.

اجازه دهید تغییر علامت مشتق دوم را هنگام عبور از نقطه بحرانی نوع دوم در نظر بگیریم:
در نقطه \(x =0\)، مشتق دوم علامت را با \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\ تغییر می‌دهد)، نمودار تابع تحدب را تغییر می‌دهد، یعنی. این نقطه عطف با مختصات \((0;0)\) است.

8. مجانب.

مجانب عمودی. نمودار تابع دارای یک مجانب عمودی \(x =1\) است (به پاراگراف 2 مراجعه کنید).
مجانب مایل.
برای اینکه نمودار تابع \(y= \frac(x^3)(1-x) \) در \(x \to \infty\) مجانبی اریب \(y = kx+b\) داشته باشد. ، لازم و کافی است ، به طوری که دو حد وجود دارد $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ آن را پیدا می کنیم $$ \lim_(x \to \infty) (\frac(x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ و محدودیت دوم $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $، زیرا \(k = \infty\) - هیچ مجانبی مورب وجود ندارد.

مجانب افقی:برای اینکه یک مجانب افقی وجود داشته باشد، لازم است که یک حد $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ وجود داشته باشد، بیایید آن را پیدا کنیم $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac(x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
هیچ مجانبی افقی وجود ندارد.

9. نمودار تابع.

برای مطالعه کامل تابع و رسم نمودار آن، طرح زیر توصیه می شود:
الف) دامنه تعریف، نقاط شکست را پیدا کنید. رفتار یک تابع در نزدیکی نقاط ناپیوستگی را بررسی کنید (محدودیت تابع را در سمت چپ و راست در این نقاط پیدا کنید). مجانب عمودی را نشان دهید.
ب) زوج یا فرد بودن یک تابع را مشخص کنید و نتیجه بگیرید که تقارن وجود دارد. اگر، آنگاه تابع نسبت به محور OY زوج و متقارن است. هنگامی که تابع فرد است، متقارن در مورد مبدا. و اگر تابع شکل کلی است.
ج) نقاط تلاقی تابع را با محورهای مختصات OY و OX پیدا کنید (در صورت امکان)، فواصل علامت ثابت تابع را تعیین کنید. مرزهای فواصل علامت ثابت یک تابع با نقاطی که تابع برابر با صفر است (تابع صفر) یا وجود ندارد و مرزهای دامنه تعریف این تابع تعیین می شود. در فواصل زمانی که نمودار تابع در بالای محور OX قرار دارد و کجا - زیر این محور.
د) اولین مشتق تابع را پیدا کنید، صفرها و فواصل علامت ثابت آن را تعیین کنید. در فواصل زمانی که تابع افزایش می یابد و در جاهایی که کاهش می یابد. در مورد وجود اکسترم ها (نقاطی که تابع و مشتق وجود دارد و هنگام عبور از آن علامت تغییر می کند) نتیجه گیری کنید. اگر علامت از مثبت به منفی تغییر کند، در این مرحله تابع دارای حداکثر و اگر از منهای به مثبت است. ، سپس حداقل). مقادیر تابع را در نقاط انتهایی پیدا کنید.
د) مشتق دوم، صفرهای آن و فواصل علامت ثابت را بیابید. در فواصل زمانی که< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
ه) مجانب مایل (افقی) را پیدا کنید که معادلات آنها شکل دارند ; جایی که
.
در نمودار تابع دارای دو مجانب مایل است و هر مقدار x at و همچنین می تواند با دو مقدار b مطابقت داشته باشد.
ز) نکات اضافی را برای روشن کردن نمودار (در صورت لزوم) پیدا کنید و یک نمودار بسازید.

مثال 1 تابع را کاوش کرده و نمودار آن را بسازید. راه حل: الف) حوزه تعریف ; تابع در حوزه تعریف خود پیوسته است. - نقطه شکست، زیرا ;. سپس - مجانبی عمودی.
ب)
آن ها y(x) تابعی از فرم کلی است.
ج) نقاط تقاطع نمودار را با محور OY بیابید: مجموعه x=0; سپس y(0)=–1، یعنی. نمودار تابع محور را در نقطه (0;-1) قطع می کند. صفرهای تابع (نقاط تقاطع نمودار با محور OX): مجموعه y=0; سپس
.
ممیز یک معادله درجه دوم کمتر از صفر است، یعنی هیچ صفری وجود ندارد. سپس مرز فواصل علامت ثابت نقطه x=1 است که تابع وجود ندارد.
علامت تابع در هر یک از بازه ها با روش مقادیر جزئی تعیین می شود:

از نمودار مشخص است که در بازه نمودار تابع در زیر محور OX و در بازه بالاتر از محور OX قرار دارد.
د) به وجود نقاط بحرانی پی می بریم.
.
از برابری ها و .

دریافت می کنیم: x1=1، x2=0، x3=2. بیایید یک جدول کمکی ایجاد کنیم

میز 1

(خط اول شامل نقاط بحرانی و فواصلی است که این نقاط توسط محور OX به آنها تقسیم می شوند؛ خط دوم مقادیر مشتق را در نقاط بحرانی و علائم روی فواصل را نشان می دهد. علائم با مقدار جزئی تعیین می شوند. روش خط سوم مقادیر تابع y(x) را در نقاط بحرانی نشان می دهد - افزایش یا کاهش در فواصل مربوط به محور عددی نشان داد.
د) فواصل تحدب و تقعر تابع را بیابید.
; یک جدول مانند نقطه D بسازید)؛ فقط در خط دوم علائم را یادداشت می کنیم و در خط سوم نوع تحدب را نشان می دهیم. زیرا ; پس نقطه بحرانی x=1 است.
جدول 2

نقطه x=1 نقطه عطف است.
ه) مجانب مایل و افقی را بیابید

سپس y=x مجانبی مورب است.
ز) با استفاده از داده های به دست آمده، نموداری از تابع می سازیم

1). دامنه عملکرد.
بدیهی است که این تابع بر روی تمام خطوط عددی به جز نقاط "" و "" تعریف شده است زیرا در این نقاط مخرج برابر با صفر است و بنابراین تابع وجود ندارد و خطوط مستقیم و مجانب عمودی هستند.

2). رفتار یک تابع به عنوان آرگومان به بی نهایت تمایل دارد، وجود نقاط ناپیوستگی و بررسی وجود مجانب مایل.
بیایید ابتدا بررسی کنیم که تابع با نزدیک شدن به بی نهایت به سمت چپ و راست چگونه رفتار می کند.

بنابراین، هنگامی که تابع به 1 تمایل دارد، یعنی. - مجانب افقی
در مجاورت نقاط ناپیوستگی، رفتار تابع به صورت زیر تعیین می شود:


آن ها هنگام نزدیک شدن به نقاط ناپیوستگی در سمت چپ، تابع بی نهایت کاهش می یابد و در سمت راست، بی نهایت افزایش می یابد.
وجود مجانب مایل را با در نظر گرفتن برابری تعیین می کنیم:

هیچ مجانب مایل وجود ندارد.

3). نقاط تقاطع با محورهای مختصات.
در اینجا لازم است دو حالت در نظر گرفته شود: نقطه تقاطع با محور Ox و محور Oy را پیدا کنید. علامت تقاطع با محور Ox مقدار صفر تابع است، یعنی. حل معادله ضروری است:

این معادله ریشه ندارد، بنابراین نمودار این تابع هیچ نقطه تقاطعی با محور Ox ندارد.
علامت تقاطع با محور Oy مقدار x = 0 است. در این حالت
,
آن ها – نقطه تقاطع نمودار تابع با محور Oy.

4).تعیین نقاط افراطی و فواصل افزایش و کاهش.
برای بررسی این موضوع، مشتق اول را تعریف می کنیم:
.
اجازه دهید مقدار مشتق اول را با صفر برابر کنیم.
.
کسری برابر با صفر است که صورت آن برابر با صفر باشد، یعنی. .
اجازه دهید فواصل افزایش و کاهش تابع را تعیین کنیم.

بنابراین، تابع یک نقطه منتهی دارد و در دو نقطه وجود ندارد.
بنابراین، تابع در فواصل افزایش می یابد و در بازه ها و کاهش می یابد.

5). نقاط عطف و مناطق تحدب و تقعر.
این ویژگی رفتار یک تابع با استفاده از مشتق دوم تعیین می شود. اجازه دهید ابتدا وجود نقاط عطف را تعیین کنیم. مشتق دوم تابع برابر است با

وقتی و تابع مقعر است.

کی و تابع محدب است.

6). نمودار کردن یک تابع
با استفاده از مقادیر یافت شده در نقاط، نموداری از تابع را به صورت شماتیک می سازیم:

راه حل
تابع داده شده یک تابع غیر تناوبی از فرم عمومی است. نمودار آن از مبدا مختصات عبور می کند، زیرا .
دامنه تعریف یک تابع معین، همه مقادیر متغیر است به جز و برای آنها که مخرج کسری صفر می شود.
در نتیجه، نقاط، نقاط ناپیوستگی تابع هستند.
زیرا ,

زیرا ,
، سپس نقطه یک نقطه ناپیوستگی از نوع دوم است.
خطوط مستقیم مجانب عمودی نمودار تابع هستند.
معادلات مجانب مایل، که در آن، .
در ,
.
بنابراین، برای و نمودار تابع دارای یک مجانب است.
بیایید فواصل افزایش و کاهش تابع و نقاط انتهایی را پیدا کنیم.
.
اولین مشتق تابع at و بنابراین تابع at و افزایش می یابد.
وقتی، بنابراین، وقتی، تابع کاهش می یابد.
وجود ندارد برای , .
بنابراین، چه زمانی نمودار تابع مقعر است.
در بنابراین، چه زمانی نمودار تابع محدب است.

هنگام عبور از نقاط، علامت تغییر می کند. وقتی تابع تعریف نشده باشد، بنابراین نمودار تابع یک نقطه عطف دارد.
بیایید یک نمودار از تابع بسازیم.