دستورالعمل ها

به شما سه امتیاز داده می شود. اجازه دهید آنها را به صورت (x1، y1)، (x2، y2)، (x3، y3) نشان دهیم. فرض بر این است که این نقاط رئوس برخی هستند مثلث. وظیفه ایجاد معادلات اضلاع آن است - به طور دقیق تر، معادلات آن خطوطی که این اضلاع روی آنها قرار دارند. این معادلات باید به شکل زیر باشند:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3 * x + b3 بنابراین، شما باید مقادیر زاویه ای k1، k2، k3 و جابجایی های b1، b2، b3 را پیدا کنید.

خطی را بیابید که از نقاط (x1، y1)، (x2، y2) می گذرد. اگر x1 = x2، خط مورد نظر عمودی و معادله آن x = x1 است. اگر y1 = y2، آنگاه خط افقی است و معادله آن y = y1 است. به طور کلی، این مختصات با یکدیگر مطابقت نخواهند داشت.

با جایگزین کردن مختصات (x1، y1)، (x2، y2) در معادله کلی خط مستقیم، سیستمی از دو معادله خطی دریافت می کنید: k1*x1 + b1 = y1.
k1*x2 + b1 = y2 یک معادله را از دیگری کم کنید و معادله حاصل را برای k1 حل کنید: k1*(x2 - x1) = y2 - y1، بنابراین k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

با جایگزینی آنچه پیدا کردید در هر یک از معادلات اصلی، عبارت b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1 را پیدا کنید.
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))* از آنجایی که می دانیم x2 ≠ x1، می توانیم با ضرب y1 در (x2 - x1)/(x2 - x1) عبارت را ساده کنیم. سپس برای b1 عبارت زیر را دریافت خواهید کرد: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

بررسی کنید که آیا سومین نقطه داده شده روی خط پیدا شده است یا خیر. برای انجام این کار، (x3, y3) را در معادله به دست آمده جایگزین کنید و ببینید آیا تساوی برقرار است یا خیر. بنابراین، اگر مشاهده شود، هر سه نقطه روی یک خط قرار می گیرند و مثلث به یک قطعه تبدیل می شود.

به همان روشی که در بالا توضیح داده شد، معادلات خطوطی را که از نقاط (x2، y2)، (x3، y3) و (x1، y1)، (x3، y3) عبور می کنند، استخراج کنید.

شکل نهایی معادلات اضلاع مثلث داده شده با مختصات رئوس به این صورت است: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 )
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

برای پیدا کردن معادلات مهمانی مثلثاول از همه، باید سعی کنیم این سوال را حل کنیم که اگر بردار جهت آن s(m, n) و نقطه ای M0(x0, y0) متعلق به خط مشخص باشد چگونه معادله یک خط را در یک صفحه پیدا کنیم.

دستورالعمل ها

یک نقطه دلخواه (متغیر، شناور) М(x, y) را انتخاب کنید و یک بردار М0M =(x-x0, y-y0) بسازید (همچنین М0M(x-x0, y-y0) بنویسید) که بدیهی است خطی خواهد بود. (موازی) توسط k s. سپس، می‌توان نتیجه گرفت که مختصات این بردارها متناسب هستند، بنابراین می‌توانیم یک خط مستقیم متعارف ایجاد کنیم: (x-x0)/m = (y-y0)/n. این نسبت است که در حل مشکل استفاده خواهد شد.

تمام اقدامات بعدی بر اساس روش تعیین می شود روش 1. یک مثلث با مختصات سه رأس آن به دست می آید که در هندسه مدرسه با مشخص کردن طول سه رأس آن به دست می آید. مهمانی(شکل 1 را ببینید). یعنی شرط شامل نقاط M1(x1، y1)، M2(x2، y2)، M3(x3، y3) است. آنها با بردارهای شعاع آنها مطابقت دارند) OM1، 0M2 و OM3 با مختصات مشابه نقاط. برای گرفتن معادلات مهمانی s M1M2 به بردار جهت M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) و هر یک از نقاط M1 یا M2 نیاز دارد (در اینجا نقطه با شاخص پایین‌تر گرفته می‌شود).

بنابراین برای مهمانی y M1M2 معادله متعارف خط (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). با عمل صرفاً استقرایی، می توانیم بنویسیم معادلاتبقیه مهمانی.برای مهمانی s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). برای مهمانی s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

روش دوم مثلث با دو نقطه (همانند قبل از M1(x1, y1) و M2(x2, y2)) و همچنین بردارهای واحد جهت دو نقطه دیگر تعریف می شود. مهمانی. برای مهمانی s М2М3: p^0 (m1، n1). برای M1M3: q^0 (m2، n2). بنابراین برای مهمانی s M1M2 مانند روش اول خواهد بود: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

برای مهمانی s М2М3 به عنوان یک نقطه (x0، y0) از متعارف معادلات(x1، y1)، و بردار جهت p^0 (m1، n1) است. برای مهمانی s M1M3، (x2، y2) به عنوان نقطه (x0، y0) گرفته می شود، بردار جهت q^0 (m2، n2) است. بنابراین، برای M2M3: معادله (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 برای M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

ویدیو در مورد موضوع

نکته 3: چگونه می توان ارتفاع مثلث را در صورتی که مختصات نقاط داده شده باشد، پیدا کرد

ارتفاع قطعه خط مستقیمی است که بالای شکل را به طرف مقابل متصل می کند. این پاره باید عمود بر ضلع باشد، بنابراین از هر رأس فقط یک قطعه می توان رسم کرد ارتفاع. از آنجایی که در این شکل سه رأس وجود دارد، تعداد ارتفاعات یکسان است. اگر مثلثی با مختصات رئوس آن داده شود، می توان طول هر یک از ارتفاعات را مثلاً با استفاده از فرمول مساحت و محاسبه طول اضلاع محاسبه کرد.

دستورالعمل ها

با محاسبه طول اضلاع شروع کنید مثلث. تعیین کنید مختصاتارقام مانند این: A(X1،Y1،Z1)، B(X2،Y2،Z2) و C(X3،Y3،Z3). سپس می توانید طول ضلع AB را با استفاده از فرمول AB = √((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1-Z2)² محاسبه کنید. برای دو طرف دیگر به این صورت خواهد بود: BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) و AC = √(((X1-X3)² + (Y1) -Y3)² + (Z1-Z3)²). به عنوان مثال، برای مثلثبا مختصات A(3،5،7)، B(16،14،19) و C(1،2،13) طول ضلع AB √((3-16)² + (5-14) خواهد بود. )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19.85. طول اضلاع BC و AC که به همین ترتیب محاسبه می شود، √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20.12 و √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7 خواهد بود.

دانستن طول سه ضلع به دست آمده در مرحله قبل برای محاسبه مساحت کافی است مثلث(S) طبق فرمول هرون: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). به عنوان مثال، جایگزین کردن مقادیر به دست آمده از مختصات در این فرمول مثلث-نمونه از مرحله قبل، این مقدار را به دست می دهد: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ≈ ¼*√75768.55 ≈ ¼*275.26 = 68.815 .

بر اساس مساحت مثلث، در مرحله قبل محاسبه شده و طول اضلاع به دست آمده در مرحله دوم، ارتفاع هر یک از اضلاع را محاسبه کنید. از آنجایی که مساحت برابر با نصف حاصلضرب ارتفاع و طول ضلعی است که به آن کشیده شده است، برای یافتن ارتفاع، ناحیه دو برابر شده را بر طول ضلع مورد نظر تقسیم کنید: H = 2*S/a. برای مثال استفاده شده در بالا، ارتفاع پایین‌آمده به سمت AB 2*68.815/16.09 ≈ 8.55، ارتفاع به سمت BC طولی معادل 2*68.815/20.12 ≈ 6.84 خواهد داشت و برای سمت AC این مقدار برابر است با 2 *68.815/7 ≈ 19.66.

منابع:

• نقاط داده شده مساحت مثلث را پیدا کنید

نکته 4: نحوه استفاده از مختصات رئوس مثلث برای یافتن معادلات اضلاع آن

در هندسه تحلیلی، یک مثلث روی صفحه را می توان در سیستم مختصات دکارتی تعریف کرد. با دانستن مختصات رئوس می توانید معادلاتی برای اضلاع مثلث ایجاد کنید. اینها معادلات سه خط مستقیم خواهند بود که در صورت قطع شدن، یک شکل را تشکیل می دهند.

چگونه حل مسائل هندسه تحلیلی را یاد بگیریم؟
مشکل معمولی مثلث در هواپیما

این درس در مورد رویکرد به استوا بین هندسه صفحه و هندسه فضا ایجاد شده است. در حال حاضر، نیاز به سیستماتیک کردن اطلاعات انباشته شده و پاسخ به یک سوال بسیار مهم وجود دارد: چگونه حل مسائل هندسه تحلیلی را یاد بگیریم؟مشکل این است که شما می توانید با تعداد بی نهایت مسئله در هندسه روبرو شوید و هیچ کتاب درسی شامل نمونه های متعدد و متنوع نخواهد بود. نیست مشتق یک تابعبا پنج قانون تمایز، یک جدول و چندین تکنیک….

راه حلی وجود دارد! من با صدای بلند در مورد این واقعیت صحبت نمی کنم که نوعی تکنیک بزرگ را توسعه داده ام، با این حال، به نظر من، یک رویکرد موثر برای مشکل در نظر گرفته شده وجود دارد، که اجازه می دهد حتی یک ساختگی کامل به نتایج خوب و عالی برسد. حداقل، الگوریتم کلی برای حل مسائل هندسی به وضوح در ذهن من شکل گرفت.

آنچه شما باید بدانید و بتوانید انجام دهید
برای حل موفقیت آمیز مسائل هندسه؟

هیچ فراری از این وجود ندارد - برای اینکه به طور تصادفی دکمه ها را با بینی خود فشار ندهید، باید بر اصول هندسه تحلیلی تسلط داشته باشید. بنابراین، اگر به تازگی مطالعه هندسه را شروع کرده اید یا آن را به طور کامل فراموش کرده اید، لطفا از درس شروع کنید. وکتور برای آدمک. علاوه بر بردارها و اقدامات با آنها، شما باید مفاهیم اساسی هندسه صفحه را بدانید، به ویژه، معادله یک خط در یک صفحهو . هندسه فضا در مقالات ارائه شده است معادله صفحه, معادلات یک خط در فضا، مسائل اساسی در خط مستقیم و صفحه و چند درس دیگر. خطوط منحنی و سطوح فضایی مرتبه دوم تا حدودی از هم جدا هستند و مشکلات خاصی در آنها وجود ندارد.

فرض کنید دانش آموز در حل ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی دانش و مهارت های اولیه را دارد. اما اینطوری می شود: بیان مسئله را می خوانی و... می خواهی کل ماجرا را ببندی، به گوشه ای دور بیندازی و فراموشش کنی، مثل یک رویای بد. علاوه بر این، این اساساً به سطح صلاحیت شما بستگی ندارد. در چنین مواقعی چه باید کرد؟ نیازی نیست از کاری که نمی فهمی بترسی!

اولا، باید نصب شود - آیا این یک مشکل "مسطح" یا فضایی است؟برای مثال، اگر شرط شامل بردارهایی با دو مختصات باشد، البته این هندسه یک صفحه است. و اگر معلم شنونده سپاسگزار را با یک هرم بارگذاری کند، هندسه فضا به وضوح وجود دارد. نتایج مرحله اول در حال حاضر بسیار خوب است، زیرا ما موفق شدیم حجم عظیمی از اطلاعات غیر ضروری را برای این کار قطع کنیم!

دومین. این وضعیت معمولاً شما را با برخی از اشکال هندسی نگران می کند. در واقع، در راهروهای دانشگاه بومی خود قدم بزنید، چهره های نگران زیادی خواهید دید.

در مسائل مسطح، بدون ذکر نقاط و خطوط واضح، محبوب ترین شکل یک مثلث است. ما آن را با جزئیات زیاد تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. بعد متوازی الاضلاع می آید و مستطیل، مربع، لوزی، دایره و اشکال دیگر بسیار کمتر رایج هستند.

در مسائل فضایی، همان شکل های مسطح + خود هواپیماها و اهرام مثلثی معمولی با موازی پا می توانند پرواز کنند.

سوال دوم - آیا همه چیز را در مورد این چهره می دانید؟فرض کنید شرط در مورد مثلث متساوی الساقین صحبت می کند، و شما به طور مبهم به یاد می آورید که این مثلث چه نوع مثلثی است. کتاب درسی مدرسه را باز می کنیم و در مورد مثلث متساوی الساقین می خوانیم. چیکار کنم... دکتر گفت لوزی یعنی لوزی. هندسه تحلیلی هندسه تحلیلی است، اما مشکل با ویژگی های هندسی خود شکل ها حل خواهد شد، از برنامه درسی مدرسه برای ما شناخته شده است. اگر ندانید مجموع زوایای یک مثلث چقدر است، ممکن است برای مدت طولانی رنج بکشید.

سوم. همیشه سعی کنید نقاشی را دنبال کنید(در یک نسخه پیش نویس/پایان کپی/ذهنی)، حتی اگر این شرط مورد نیاز نباشد. در مسائل "مسطح"، اقلیدس خود دستور داد که یک خط کش و یک مداد بردارید - و نه تنها برای درک شرایط، بلکه برای هدف خودآزمایی. در این مورد، راحت ترین مقیاس 1 واحد = 1 سانتی متر (2 سلول نوت بوک) است. بیایید در مورد دانش آموزان و ریاضیدانان بی دقت که در قبر خود می چرخند صحبت نکنیم - اشتباه کردن در چنین مسائلی تقریبا غیرممکن است. برای کارهای فضایی، ما یک نقشه شماتیک انجام می دهیم که به تجزیه و تحلیل شرایط نیز کمک می کند.

یک طراحی یا نقشه شماتیک اغلب به شما امکان می دهد فوراً راه حل یک مشکل را ببینید. البته برای این کار باید پایه هندسه را بدانید و خواص اشکال هندسی را بدانید (به پاراگراف قبلی مراجعه کنید).

چهارم. توسعه یک الگوریتم حل. بسیاری از مسائل هندسی چند مرحله ای هستند، بنابراین راه حل و طراحی آن برای تجزیه به نقاط بسیار راحت است. اغلب پس از خواندن شرط یا تکمیل نقشه، الگوریتم بلافاصله به ذهن خطور می کند. در صورت مشکل، با QUESTION کار شروع می کنیم. به عنوان مثال، با توجه به شرط "شما نیاز به ساخت یک خط مستقیم ...". در اینجا منطقی ترین سؤال این است: "چه چیزی برای ساختن این خط مستقیم کافی است؟" فرض کنید، "ما نقطه را می دانیم، باید بردار جهت را بدانیم." ما این سوال را مطرح می کنیم: "چگونه این بردار جهت را پیدا کنیم؟ جایی که؟" و غیره.

گاهی اوقات یک "اشکال" وجود دارد - مشکل حل نمی شود و تمام. دلایل توقف ممکن است موارد زیر باشد:

- شکاف جدی در دانش پایه به عبارت دیگر، شما چیز بسیار ساده ای را نمی دانید و/یا نمی بینید.

– ناآگاهی از خصوصیات اشکال هندسی.

- کار سخت بود. بله، این اتفاق می افتد. ساعت ها بخار دادن و اشک جمع کردن در دستمال فایده ای ندارد. از معلم، دانش‌آموزان خود راهنمایی بخواهید یا در انجمن سؤال بپرسید. علاوه بر این، بهتر است بیانیه آن را ملموس کنید - در مورد آن قسمت از راه حل که نمی فهمید. فریادی به شکل "چگونه مشکل را حل کنیم؟" خیلی خوب به نظر نمی رسد... و مهمتر از همه، برای شهرت خودتان.

مرحله پنجم. ما تصمیم می گیریم، بررسی می کنیم، تصمیم می گیریم، بررسی می کنیم، تصمیم می گیریم، بررسی می کنیم، پاسخ می دهیم. بررسی هر نقطه از کار مفید است بلافاصله پس از تکمیل آن. این به شما کمک می کند تا بلافاصله خطا را تشخیص دهید. به طور طبیعی، هیچ کس حل سریع کل مشکل را منع نمی کند، اما خطر بازنویسی مجدد همه چیز (اغلب چندین صفحه) وجود دارد.

اینها، شاید، همه ملاحظات اصلی هستند که باید در هنگام حل مشکلات رعایت شوند.

بخش عملی درس در هندسه صفحه ارائه شده است. فقط دو مثال وجود خواهد داشت، اما کافی به نظر نمی رسد =)

بیایید از طریق رشته الگوریتمی که من در کار علمی کوچک خود به آن نگاه کردم، بپردازیم:

مثال 1

سه رأس متوازی الاضلاع آورده شده است. بالا را پیدا کنید.

بیایید شروع به درک کنیم:

گام یک: واضح است که ما در مورد یک مشکل "تخت" صحبت می کنیم.

مرحله دو: مسئله با متوازی الاضلاع سروکار دارد. آیا همه این شکل متوازی الاضلاع را به خاطر دارند؟ نیازی به لبخند نیست، بسیاری از افراد در سنین 30-40-50 یا بیشتر تحصیلات خود را دریافت می کنند، بنابراین حتی حقایق ساده را می توان از حافظه پاک کرد. تعریف متوازی الاضلاع در مثال شماره 3 درس آمده است وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها.

مرحله سوم: بیایید یک نقاشی بکشیم که روی آن سه راس شناخته شده را مشخص کنیم. خنده دار است که ساختن سریع نقطه مورد نظر دشوار نیست:

البته ساخت آن خوب است، اما راه حل باید تحلیلی باشد.

مرحله چهارم: توسعه یک الگوریتم حل. اولین چیزی که به ذهن می رسد این است که یک نقطه را می توان به عنوان محل تلاقی خطوط پیدا کرد. ما معادلات آنها را نمی دانیم، بنابراین باید به این موضوع بپردازیم:

1) اضلاع مقابل موازی هستند. با امتیاز بیایید بردار جهت این اضلاع را پیدا کنیم. این ساده ترین مشکلی است که در کلاس مطرح شد. وکتور برای آدمک.

توجه داشته باشید: درست تر است که بگوییم «معادله یک خط حاوی یک ضلع»، اما در اینجا و بیشتر برای اختصار از عبارات «معادله یک ضلع»، «بردار جهت یک ضلع» و غیره استفاده خواهم کرد.

3) اضلاع مقابل موازی هستند. با استفاده از نقاط، بردار جهت این اضلاع را پیدا می کنیم.

4) با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت، معادله یک خط مستقیم ایجاد می کنیم

در پاراگراف های 1-2 و 3-4 در واقع یک مشکل را دو بار حل کردیم، اتفاقاً در مثال شماره 3 درس مطرح شد ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. می توان مسیر طولانی تری را طی کرد - ابتدا معادلات خطوط را پیدا کنید و تنها پس از آن بردارهای جهت را از آنها "بیرون بکشید".

5) اکنون معادلات خطوط مشخص است. تنها چیزی که باقی می ماند این است که سیستم معادلات خطی مربوطه را بسازید و حل کنید (به مثال های شماره 4 و 5 همان درس مراجعه کنید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما).

نکته پیدا شده است.

کار بسیار ساده است و راه حل آن واضح است، اما راه کوتاه تری وجود دارد!

راه حل دوم:

قطرهای متوازی الاضلاع با نقطه تقاطع آنها نصف می شوند. من نقطه را مشخص کردم، اما برای اینکه نقاشی به هم نریزد، خود مورب ها را نکشیدم.

بیایید معادله ضلع را نقطه به نقطه بسازیم :

برای بررسی، باید به صورت ذهنی یا روی پیش نویس مختصات هر نقطه را در معادله حاصل جایگزین کنید. حالا بیایید شیب را پیدا کنیم. برای انجام این کار، معادله کلی را به شکل یک معادله با ضریب شیب بازنویسی می کنیم:

بنابراین، شیب عبارت است از:

به همین ترتیب، معادلات اضلاع را پیدا می کنیم. من خیلی فایده ای در توصیف یک چیز نمی بینم، بنابراین بلافاصله نتیجه نهایی را ارائه می دهم:

2) طول ضلع را پیدا کنید. این ساده ترین مشکلی است که در کلاس مطرح می شود. وکتور برای آدمک. برای امتیاز ما از فرمول استفاده می کنیم:

با استفاده از همین فرمول، به راحتی می توان طول اضلاع دیگر را پیدا کرد. بررسی را می توان خیلی سریع با یک خط کش معمولی انجام داد.

ما از فرمول استفاده می کنیم .

بیایید بردارها را پیدا کنیم:

بدین ترتیب:

به هر حال، در طول مسیر ما طول اضلاع را پیدا کردیم.

در نتیجه:

خوب، به نظر می رسد درست است، شما می توانید یک نقاله را به گوشه وصل کنید.

توجه! زاویه مثلث را با زاویه بین خطوط مستقیم اشتباه نگیرید. زاویه یک مثلث می تواند مبهم باشد، اما زاویه بین خطوط مستقیم نمی تواند (به آخرین پاراگراف مقاله مراجعه کنید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما). با این حال، برای پیدا کردن زاویه یک مثلث، می توانید از فرمول های درس بالا نیز استفاده کنید، اما ناهمواری این است که آن فرمول ها همیشه یک زاویه تند می دهند. با کمک آنها این مشکل را به صورت پیش نویس حل کردم و به نتیجه رسیدم. و در نسخه نهایی باید بهانه های اضافی را بنویسم، که .

4) برای خطی که از نقطه ای موازی با خط می گذرد معادله بنویسید.

تکلیف استاندارد که در مثال شماره 2 درس به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. از معادله کلی خط بیایید بردار راهنما را برداریم. بیایید با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت معادله یک خط مستقیم ایجاد کنیم:

چگونه ارتفاع مثلث را پیدا کنیم؟

5) یک معادله برای ارتفاع ایجاد می کنیم و طول آن را پیدا می کنیم.

هیچ راه فراری از تعاریف دقیق وجود ندارد، بنابراین باید از کتاب درسی مدرسه سرقت کنید:

ارتفاع مثلث به عمود رسم شده از راس مثلث به خط حاوی ضلع مقابل گفته می شود.

یعنی باید برای یک عمود رسم شده از راس به ضلع معادله ایجاد کرد. این کار در مثال های شماره 6، 7 درس مورد بحث قرار گرفته است ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. از معادله بردار معمولی را حذف کنید بیایید معادله ارتفاع را با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت بسازیم:

لطفا توجه داشته باشید که ما مختصات نقطه را نمی دانیم.

گاهی معادله ارتفاع از نسبت ضرایب زاویه ای خطوط عمود بر هم بدست می آید: . در این صورت، پس: . بیایید معادله ارتفاع را با استفاده از یک نقطه و یک ضریب زاویه ای بسازیم (به ابتدای درس مراجعه کنید معادله یک خط مستقیم در یک صفحه):

طول ارتفاع را می توان به دو صورت یافت.

یک راه دور وجود دارد:

الف) پیدا کردن - نقطه تقاطع ارتفاع و سمت.
ب) طول پاره را با استفاده از دو نقطه شناخته شده بیابید.

اما در کلاس ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیمایک فرمول مناسب برای فاصله از یک نقطه تا یک خط در نظر گرفته شد. نقطه مشخص است: ، معادله خط نیز شناخته شده است: ، بدین ترتیب:

6) مساحت مثلث را محاسبه کنید. در فضا، مساحت یک مثلث به طور سنتی با استفاده از محاسبه می شود حاصلضرب برداری بردارها، اما در اینجا یک مثلث در یک هواپیما به ما داده می شود. ما از فرمول مدرسه استفاده می کنیم:
- مساحت مثلث برابر با نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع آن است.

در این مورد:

چگونه میانه یک مثلث را پیدا کنیم؟

7) بیایید یک معادله برای میانه ایجاد کنیم.

میانه یک مثلث قطعه ای نامیده می شود که راس یک مثلث را به وسط ضلع مقابل متصل می کند.

الف) نقطه - وسط ضلع را پیدا کنید. ما استفاده می کنیم فرمول مختصات نقطه وسط یک قطعه. مختصات انتهای بخش مشخص است: ، سپس مختصات وسط:

بدین ترتیب:

بیایید نقطه به نقطه معادله میانه را بسازیم :

برای بررسی معادله، باید مختصات نقاط را در آن جایگزین کنید.

8) نقطه تقاطع ارتفاع و میانه را پیدا کنید. من فکر می کنم همه قبلاً یاد گرفته اند که چگونه این عنصر اسکیت بازی را بدون افتادن انجام دهند:

نمونه ای از حل چند کار از کار استاندارد "هندسه تحلیلی در یک هواپیما"

رئوس داده شده است،
,
مثلث ABC پیدا کردن:

معادلات تمام اضلاع یک مثلث؛

سیستم نامساوی خطی که یک مثلث را تعریف می کند ABC;

معادلات ارتفاع، میانه و نیمساز مثلثی که از راس کشیده شده است آ;

نقطه تقاطع ارتفاعات مثلث؛

نقطه تقاطع وسط مثلث؛

طول ارتفاع به پهلو کاهش یافت AB;

گوشه آ;

یک نقاشی بکشید.

بگذارید رئوس مثلث دارای مختصات باشد: آ (1; 4), که در (5; 3), با(3؛ 6). بیایید بلافاصله یک نقاشی بکشیم:

1. برای نوشتن معادلات همه اضلاع مثلث، از معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده با مختصات می گذرد استفاده می کنیم. ایکس 0 , y 0 ) و ( ایکس 1 , y 1 ):

=

بنابراین، جایگزینی به جای ( ایکس 0 , y 0 ) مختصات نقطه آ، و به جای ( ایکس 1 , y 1 ) مختصات نقطه که در، معادله خط را بدست می آوریم AB:

معادله حاصل معادله خط مستقیم خواهد بود AB، به شکل کلی نوشته شده است. به همین ترتیب، معادله خط مستقیم را پیدا می کنیم AC:

و همچنین معادله خط مستقیم آفتاب:

2. توجه داشته باشید که مجموعه نقاط مثلث ABCنشان دهنده تقاطع سه نیم صفحه است و هر نیم صفحه را می توان با استفاده از یک نابرابری خطی تعریف کرد. اگر معادله دو طرف ∆ را بگیریم ABC، مثلا AB، سپس نابرابری ها

و

نقاطی را که در طرف مقابل یک خط قرار دارند تعریف کنید AB. ما باید نیم صفحه ای را انتخاب کنیم که نقطه C در آن قرار دارد، بیایید مختصات آن را با هر دو نامساوی جایگزین کنیم.

نابرابری دوم صحیح خواهد بود، به این معنی که امتیازات مورد نیاز توسط نابرابری تعیین می شود

.

ما همین کار را با خط مستقیم BC، معادله آن انجام می دهیم
. ما از نقطه A (1، 1) به عنوان نقطه آزمایش استفاده می کنیم:

این بدان معنی است که نابرابری مورد نیاز به شکل زیر است:

.

اگر خط مستقیم AC (نقطه آزمایش B) را بررسی کنیم، دریافت می کنیم:

به این معنی که نابرابری مورد نیاز شکل خواهد داشت

در نهایت سیستمی از نابرابری ها را به دست می آوریم:

علائم "≤"، "≥" به این معنی است که نقاطی که در اضلاع مثلث قرار دارند نیز در مجموعه نقاط تشکیل دهنده مثلث گنجانده شده است. ABC.

3. الف) به منظور یافتن معادله ارتفاع افت شده از راس آبه کنار آفتاب، معادله ضلع را در نظر بگیرید آفتاب:
. وکتور با مختصات
عمود بر ضلع آفتابو بنابراین به موازات ارتفاع. بیایید معادله خط مستقیمی را که از یک نقطه می گذرد بنویسیم آبه موازات بردار
:

این معادله ارتفاع حذف شده از t است. آبه کنار آفتاب.

ب) مختصات وسط ضلع را بیابید آفتابطبق فرمول های:

اینجا
- این مختصات t هستند. که در، آ
- مختصات t. با. بیایید جایگزین کنیم و دریافت کنیم:

خط مستقیمی که از این نقطه و نقطه عبور می کند آمیانه مورد نیاز است:

ج) معادله نیمساز را بر این اساس جستجو می کنیم که در یک مثلث متساوی الساقین ارتفاع، میانه و نیمساز نزولی از یک راس به قاعده مثلث برابر است. بیایید دو بردار را پیدا کنیم
و
و طول آنها:

سپس بردار
همان جهت بردار را دارد
، و طول آن
به همین ترتیب، بردار واحد
در جهت با بردار منطبق است
جمع برداری

برداری وجود دارد که در جهت با نیمساز زاویه منطبق است آ. بنابراین، معادله نیمساز مورد نظر را می توان به صورت زیر نوشت:

4) ما قبلا معادله یکی از ارتفاعات را ساخته ایم. بیایید یک معادله برای ارتفاع دیگر مثلاً از راس بسازیم که در. سمت ACتوسط معادله داده شده است
بنابراین بردار
عمود بر AC، و در نتیجه موازی با ارتفاع مورد نظر. سپس معادله خطی که از راس می گذرد که دردر جهت بردار
(یعنی عمود بر AC) دارای شکل:

مشخص است که ارتفاعات یک مثلث در یک نقطه قطع می شود. به ویژه، این نقطه تقاطع ارتفاعات پیدا شده است، یعنی. حل سیستم معادلات:

- مختصات این نقطه

5. وسط ABمختصات دارد
. اجازه دهید معادله میانه را به سمت بنویسیم ABاین خط از نقاطی با مختصات (3، 2) و (3، 6) می گذرد، یعنی معادله آن به شکل زیر است:

توجه داشته باشید که صفر در مخرج یک کسری در معادله یک خط به این معنی است که این خط موازی با محور ارتجاعی است.

برای یافتن نقطه تقاطع میانه ها کافی است سیستم معادلات را حل کنیم:

نقطه تلاقی وسط یک مثلث دارای مختصاتی است
.

6. طول ارتفاع به پهلو کاهش یافته است AB،برابر فاصله از نقطه بابه یک خط مستقیم ABبا معادله
و با فرمول پیدا می شود:

7. کسینوس زاویه آرا می توان با استفاده از فرمول کسینوس زاویه بین بردارها یافت و ، که برابر است با نسبت حاصل ضرب اسکالر این بردارها به حاصل ضرب طول آنها:

.