در اینجا ما راه‌حل‌های مفصلی را برای سه مثال از ادغام کسرهای گویا زیر ارائه می‌کنیم:
, , .

مثال 1

انتگرال را محاسبه کنید:
.

راه حل

در اینجا، زیر علامت انتگرال یک تابع گویا وجود دارد، زیرا انتگرال کسری از چندجمله ای ها است. درجه چند جمله ای مخرج ( 3 ) کمتر از درجه چند جمله ای عددی است ( 4 ). بنابراین، ابتدا باید کل قسمت کسری را انتخاب کنید.

1. بیایید کل قسمت کسر را انتخاب کنیم. x را تقسیم کنید 4 توسط x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

از اینجا
.

2. بیایید مخرج کسر را فاکتورسازی کنیم. برای این کار باید معادله مکعب را حل کنید:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
بیایید x = را جایگزین کنیم 1 :
.

1 . تقسیم بر x - 1 :

از اینجا
.
حل یک معادله درجه دوم.
.
ریشه های معادله عبارتند از: , .
سپس
.

3. بیایید کسر را به ساده ترین شکل آن تجزیه کنیم.

.

بنابراین یافتیم:
.
بیایید ادغام کنیم.

پاسخ

مثال 2

انتگرال را محاسبه کنید:
.

راه حل

در اینجا صورت کسر یک چند جمله ای درجه صفر است ( 1 = x 0). مخرج چند جمله ای درجه سوم است. از آنجا که 0 < 3 ، پس کسر صحیح است. بیایید آن را به کسرهای ساده تقسیم کنیم.

1. بیایید مخرج کسر را فاکتورسازی کنیم. برای این کار باید معادله درجه سوم را حل کنید:
.
بیایید فرض کنیم که حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس مقسوم علیه عدد است 3 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 3, -1, -3 .
بیایید x = را جایگزین کنیم 1 :
.

بنابراین، ما یک ریشه x = پیدا کرده ایم 1 . x را تقسیم کنید 3 + 2 x - 3در x - 1 :

بنابراین،
.

حل معادله درجه دوم:
ایکس 2 + x + 3 = 0.
ممیز را پیدا کنید: D = 1 2 - 4 3 = -11. از آنجایی که D< 0 ، پس معادله ریشه واقعی ندارد. بنابراین، فاکتورگیری مخرج را به دست آوردیم:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
بیایید x = را جایگزین کنیم 1 . سپس x - 1 = 0 ,
.

بیایید جایگزین کنیم (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

مساوی کنیم (2.1) ضرایب برای x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. بیایید ادغام کنیم.
(2.2) .
برای محاسبه انتگرال دوم، مشتق مخرج را در صورت انتخاب می کنیم و مخرج را به مجموع مربع ها کاهش می دهیم.

;
;
.

من را محاسبه کنید 2 .


.
از آنجایی که معادله x 2 + x + 3 = 0هیچ ریشه واقعی ندارد، پس x 2 + x + 3 > 0. بنابراین، علامت مدول را می توان حذف کرد.

تحویل می دهیم به (2.2) :
.

پاسخ

مثال 3

انتگرال را محاسبه کنید:
.

راه حل

در اینجا زیر علامت انتگرال کسری از چندجمله ای ها وجود دارد. بنابراین، انتگرال یک تابع عقلی است. درجه چند جمله ای در صورتگر برابر است با 3 . درجه چند جمله ای مخرج کسر برابر است با 4 . از آنجا که 3 < 4 ، پس کسر صحیح است. بنابراین، می توان آن را به کسرهای ساده تجزیه کرد. اما برای این کار باید مخرج را فاکتورسازی کنید.

1. بیایید مخرج کسر را فاکتورسازی کنیم. برای این کار باید معادله درجه چهارم را حل کنید:
.
بیایید فرض کنیم که حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس مقسوم علیه عدد است 2 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 2, -1, -2 .
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 :
.

بنابراین، ما یک ریشه x = پیدا کرده ایم -1 . تقسیم بر x - (-1) = x + 1:


بنابراین،
.

حال باید معادله درجه سوم را حل کنیم:
.
اگر فرض کنیم که این معادله یک ریشه صحیح داشته باشد، مقسوم علیه عدد است 2 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 2, -1, -2 .
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 :
.

بنابراین، ما یک ریشه دیگر x = پیدا کردیم -1 . ممکن است، مانند مورد قبلی، چند جمله ای را بر تقسیم کنیم، اما ما عبارت ها را گروه بندی می کنیم:
.

از آنجایی که معادله x 2 + 2 = 0 هیچ ریشه واقعی ندارد، سپس فاکتورگیری مخرج را بدست می آوریم:
.

2. بیایید کسر را به ساده ترین شکل آن تجزیه کنیم. ما به دنبال گسترش در فرم هستیم:
.
ما از مخرج کسر خلاص می شویم، ضرب در (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 . سپس x + 1 = 0 ,
.

تفکیک کنیم (3.1) :

;

.
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 و در نظر بگیرید که x + 1 = 0 :
;
; .

بیایید جایگزین کنیم (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

مساوی کنیم (3.1) ضرایب برای x 3 :
;
1 = B + C;
.

بنابراین، ما تجزیه به کسرهای ساده را پیدا کردیم:
.

3. بیایید ادغام کنیم.


.

ادغام یک تابع کسری - گویا.
روش ضریب نامشخص

ما به کار روی ادغام کسرها ادامه می دهیم. قبلاً در درس به انتگرال‌های برخی از کسرها نگاه کرده‌ایم و این درس به تعبیری می‌تواند ادامه آن در نظر گرفته شود. برای درک موفقیت آمیز مطالب، مهارت های ادغام اولیه مورد نیاز است، بنابراین اگر به تازگی مطالعه انتگرال ها را شروع کرده اید، یعنی مبتدی هستید، باید با مقاله شروع کنید. انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل ها.

به اندازه کافی عجیب، اکنون ما نه چندان درگیر یافتن انتگرال ها، بلکه... در حل سیستم های معادلات خطی خواهیم بود. در این رابطه فوریمن حضور در درس را توصیه می‌کنم، یعنی باید در روش‌های جایگزینی (روش «مدرسه» و روش جمع (تفریق) معادلات سیستم) به خوبی مسلط باشید.

تابع گویا کسری چیست؟ به عبارت ساده، تابع کسری - گویا به کسری گفته می شود که صورت و مخرج آن شامل چند جمله ای یا حاصلضرب چند جمله ای باشد. علاوه بر این، کسری ها پیچیده تر از موارد مورد بحث در مقاله هستند ادغام برخی کسری ها.

ادغام یک تابع کسری - گویا مناسب

بلافاصله یک مثال و یک الگوریتم معمولی برای حل انتگرال یک تابع کسری - گویا.

مثال 1

مرحله 1.اولین کاری که ما همیشه هنگام حل انتگرال یک تابع گویا کسری انجام می دهیم این است که سؤال زیر را روشن کنیم: آیا کسر مناسب است؟این مرحله به صورت شفاهی انجام می شود و اکنون نحوه انجام آن را توضیح می دهم:

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و متوجه می شویم مدرک ارشدچند جمله ای:

توان پیشروی عدد دو است.

حال به مخرج نگاه می کنیم و متوجه می شویم مدرک ارشدمخرج. راه واضح این است که پرانتزها را باز کنید و اصطلاحات مشابهی را بیاورید، اما می‌توانید این کار را ساده‌تر انجام دهید هر یکبالاترین درجه را در پرانتز پیدا کنید

و به طور ذهنی ضرب کنید: - بنابراین بالاترین درجه مخرج برابر با سه است. کاملاً بدیهی است که اگر واقعاً پرانتزها را باز کنیم، مدرکی بیشتر از سه نخواهیم گرفت.

نتیجه: درجه اصلی کسر موکداکمتر از بالاترین توان مخرج است، به این معنی که کسر مناسب است.

اگر در این مثال، شمارش شامل چند جمله ای 3، 4، 5 و غیره است. درجه، سپس کسر خواهد بود اشتباه.

اکنون فقط توابع گویا کسری صحیح را در نظر خواهیم گرفت. در موردی که درجه صورت بزرگتر یا مساوی با درجه مخرج باشد در پایان درس بحث خواهد شد.

گام 2.بیایید مخرج را فاکتورسازی کنیم. بیایید به مخرج خود نگاه کنیم:

به طور کلی، این در حال حاضر محصول عواملی است، اما، با این وجود، از خود می‌پرسیم: آیا می‌توان چیز دیگری را گسترش داد؟ موضوع شکنجه بدون شک مثلث مربع خواهد بود. حل معادله درجه دوم:

تفکیک بزرگتر از صفر است، به این معنی که سه جمله ای واقعاً می تواند فاکتورگیری شود:

قانون کلی: همه چیز در مخرج می تواند فاکتور - فاکتور شود

بیایید شروع به تدوین یک راه حل کنیم:

مرحله 3.با استفاده از روش ضرایب نامشخص، انتگرال را به مجموع کسرهای ساده (بنیادی) تبدیل می کنیم. حالا واضح تر خواهد شد.

بیایید به تابع انتگرال خود نگاه کنیم:

و، می دانید، به نحوی یک فکر شهودی مطرح می شود که خوب است کسر بزرگ خود را به چند کسر کوچک تبدیل کنیم. به عنوان مثال، مانند این:

این سوال پیش می آید که آیا اصلا امکان این کار وجود دارد؟ بیایید نفس راحتی بکشیم، قضیه مربوط به آنالیز ریاضی می گوید - ممکن است. چنین تجزیه ای وجود دارد و منحصر به فرد است.

فقط یک مورد وجود دارد، شانس این است خدا حافظما نمی دانیم، از این رو نام - روش ضرایب نامعین است.

همانطور که حدس زدید، حرکات بعدی بدن همینطور است، غلغله نکنید! صرفاً شناسایی آنها - برای یافتن اینکه آنها با چه چیزی برابر هستند - هدف خواهد بود.

مواظب باش فقط یکبار مفصل توضیح میدم!

بنابراین، بیایید شروع به رقص کنیم:

در سمت چپ عبارت را به مخرج مشترک کاهش می دهیم:

اکنون می توانیم با خیال راحت از مخرج ها خلاص شویم (زیرا آنها یکسان هستند):

در سمت چپ، براکت ها را باز می کنیم، اما فعلاً ضرایب مجهول را لمس نکنید:

در عین حال، قانون مدرسه ضرب چند جمله ای را تکرار می کنیم. وقتی معلم بودم یاد گرفتم که این قانون را با صورت مستقیم تلفظ کنم: برای ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای، باید هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله چند جمله ای دیگر ضرب کنید..

از نقطه نظر یک توضیح واضح، بهتر است ضرایب را در پرانتز قرار دهید (البته من شخصاً هرگز این کار را برای صرفه جویی در وقت انجام نمی دهم):

ما یک سیستم معادلات خطی می سازیم.
ابتدا به دنبال مدارک ارشد می گردیم:

و ضرایب مربوطه را در معادله اول سیستم می نویسیم:

نکته زیر را به خوبی به خاطر بسپارید. اگر هیچ s در سمت راست اصلا وجود نداشت چه اتفاقی می افتاد؟ بیایید بگوییم، آیا بدون هیچ مربعی خودنمایی می کند؟ در این صورت، در معادله سیستم لازم است که یک صفر در سمت راست قرار دهیم: . چرا صفر؟ اما از آنجا که در سمت راست همیشه می توانید همین مربع را با صفر نسبت دهید: اگر در سمت راست هیچ متغیر و/یا یک جمله آزاد وجود نداشته باشد، در سمت راست معادلات مربوطه سیستم صفر قرار می دهیم.

ضرایب مربوطه را در معادله دوم سیستم می نویسیم:

و در نهایت آب معدنی اعضای رایگان را انتخاب می کنیم.

اوه... یه جوری شوخی کردم. شوخی به کنار - ریاضیات یک علم جدی است. در گروه مؤسسه ما، وقتی استادیار گفت که عبارات را در امتداد خط اعداد پراکنده می کند و بزرگترین آنها را انتخاب می کند، هیچ کس نخندید. جدی بگیریم هر چند... هر که زنده بماند تا پایان این درس را ببیند، همچنان آرام لبخند خواهد زد.

سیستم آماده است:

ما سیستم را حل می کنیم:

(1) از معادله اول بیان می کنیم و آن را به معادلات 2 و 3 سیستم جایگزین می کنیم. در واقع، بیان (یا حرف دیگری) از معادله دیگر ممکن بود، اما در این مورد، بیان آن از معادله 1 مفید است، زیرا وجود دارد کوچکترین شانس.

(2) ما عبارات مشابه را در معادلات 2 و 3 ارائه می کنیم.

(3) معادله 2 و 3 را ترم به ترم جمع می کنیم و برابری را بدست می آوریم که از آن نتیجه می شود که

(4) معادله دوم (یا سوم) را جایگزین می کنیم، از آنجا که آن را پیدا می کنیم

(5) جایگزین و وارد معادله اول، به دست آوردن .

اگر با روش های حل سیستم مشکل دارید، در کلاس تمرین کنید. چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟

پس از حل سیستم، همیشه مفید است که مقادیر یافت شده را بررسی کنید - جایگزین کنید هرمعادله سیستم، در نتیجه همه چیز باید "همگرا" شود.

تقریباً وجود دارد. ضرایب پیدا شد و:

کار تمام شده باید چیزی شبیه به این باشد:

همانطور که می بینید، دشواری اصلی کار نوشتن (به درستی!) و حل (درست!) یک سیستم معادلات خطی بود. و در مرحله آخر، همه چیز چندان پیچیده نیست: ما از خصوصیات خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم و ادغام می کنیم. لطفاً توجه داشته باشید که در زیر هر یک از سه انتگرال ما یک تابع پیچیده "رایگان" داریم که در مورد ویژگی های ادغام آن در درس صحبت کردم روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین.

بررسی کنید: پاسخ را متمایز کنید:

تابع انتگرال اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال به درستی پیدا شده است.
در حین تأیید، ما مجبور شدیم که عبارت را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم و این تصادفی نیست. روش ضرایب نامشخص و کاهش یک عبارت به مخرج مشترک، اقدامات معکوس متقابل هستند.

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

بیایید به کسری از مثال اول برگردیم: . به راحتی می توان متوجه شد که در مخرج همه عوامل متفاوت هستند. این سوال پیش می آید که اگر مثلاً کسری زیر داده شود چه باید کرد: ? در اینجا ما درجاتی در مخرج داریم، یا از نظر ریاضی، مضرب. علاوه بر این، یک مثلث درجه دوم وجود دارد که نمی توان آن را فاکتور گرفت (به راحتی می توان تأیید کرد که ممیز معادله منفی است، بنابراین سه جمله ای را نمی توان فاکتور گرفت). چه باید کرد؟ بسط به مجموع کسرهای ابتدایی چیزی شبیه به آن خواهد بود با ضرایب مجهول در بالا یا چیز دیگری؟

مثال 3

یک تابع معرفی کنید

مرحله 1.بررسی اینکه آیا کسری مناسب داریم یا خیر
شمارنده اصلی: 2
بالاترین درجه مخرج: 8
یعنی کسر صحیح است.

گام 2.آیا می توان چیزی را در مخرج فاکتور گرفت؟ بدیهی است که نه، همه چیز از قبل تنظیم شده است. به دلایلی که در بالا ذکر شد نمی توان سه جمله ای مربع را به یک محصول تبدیل کرد. کاپوت ماشین. کار کمتر.

مرحله 3.بیایید یک تابع کسری - گویا را به عنوان مجموع کسرهای ابتدایی تصور کنیم.
در این حالت، بسط به شکل زیر است:

بیایید به مخرج خود نگاه کنیم:
هنگام تجزیه یک تابع کسری - گویا به مجموع کسرهای ابتدایی، سه نکته اساسی قابل تشخیص است:

1) اگر مخرج دارای یک عامل "تنها" به توان اول باشد (در مورد ما)، یک ضریب نامشخص را در بالا قرار می دهیم (در مورد ما). مثال های شماره 1، 2 فقط شامل چنین عوامل "تنهایی" بودند.

2) اگر مخرج داشته باشد چندگانهضریب، سپس باید آن را به صورت زیر تجزیه کنید:
- یعنی به طور متوالی تمام درجات "X" را از درجه اول تا nام طی کنید. در مثال ما دو عامل چندگانه وجود دارد: و، یک نگاه دیگر به بسطی که ارائه دادم بیندازید و مطمئن شوید که آنها دقیقاً طبق این قانون گسترش می‌یابند.

3) اگر مخرج حاوی یک چند جمله ای تجزیه ناپذیر درجه دوم باشد (در مورد ما)، پس هنگام تجزیه در صورتگر باید یک تابع خطی با ضرایب نامشخص بنویسید (در مورد ما با ضرایب نامشخص و ).

در واقع، مورد چهارم دیگری وجود دارد، اما من در مورد آن سکوت خواهم کرد، زیرا در عمل بسیار نادر است.

مثال 4

یک تابع معرفی کنید به عنوان مجموع کسرهای ابتدایی با ضرایب مجهول.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.
الگوریتم را به شدت دنبال کنید!

اگر اصولی را که به وسیله آنها باید یک تابع کسری-عقلانی را به یک مجموع بسط دهید، درک می کنید، می توانید تقریباً هر انتگرال از نوع مورد بررسی را بجوید.

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

مرحله 1.بدیهی است کسر صحیح است:

گام 2.آیا می توان چیزی را در مخرج فاکتور گرفت؟ می توان. در اینجا مجموع مکعب ها است . با استفاده از فرمول ضرب اختصاری، مخرج را عامل کنید

مرحله 3.با استفاده از روش ضرایب نامعین، انتگرال را به مجموع کسرهای ابتدایی گسترش می دهیم:

لطفاً توجه داشته باشید که چند جمله ای را نمی توان فاکتورسازی کرد (بررسی کنید که ممیز منفی است)، بنابراین در بالا یک تابع خطی با ضرایب مجهول قرار می دهیم و نه فقط یک حرف.

کسر را به مخرج مشترک می آوریم:

بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

(1) از معادله اول بیان می کنیم و آن را جایگزین معادله دوم سیستم می کنیم (این منطقی ترین راه است).

(2) ما عبارات مشابه را در معادله دوم ارائه می کنیم.

(3) معادله دوم و سوم سیستم را ترم به ترم اضافه می کنیم.

همه محاسبات بعدی، در اصل، شفاهی هستند، زیرا سیستم ساده است.

(1) مجموع کسرها را مطابق با ضرایب پیدا شده یادداشت می کنیم.

(2) ما از خصوصیات خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم. در انتگرال دوم چه اتفاقی افتاد؟ در پاراگراف آخر درس می توانید با این روش آشنا شوید. ادغام برخی کسری ها.

(3) یک بار دیگر از ویژگی های خطی بودن استفاده می کنیم. در انتگرال سوم شروع به جداسازی مربع کامل می کنیم (بند ماقبل آخر درس ادغام برخی کسری ها).

(4) انتگرال دوم را می گیریم، در سومین مربع کامل را انتخاب می کنیم.

(5) انتگرال سوم را بگیرید. آماده.

مطالب ارائه شده در این مبحث بر اساس اطلاعات ارائه شده در مبحث "کسرهای گویا. تجزیه کسرهای گویا به کسرهای ابتدایی (ساده)" است. اکیداً توصیه می‌کنم قبل از رفتن به خواندن این مطالب، حداقل این موضوع را مرور کنید. علاوه بر این، به جدولی از انتگرال های نامعین نیاز خواهیم داشت.

بگذارید چند عبارت را به شما یادآوری کنم. آنها در موضوع مربوطه مورد بحث قرار گرفتند، بنابراین در اینجا به یک فرمول مختصر محدود می شوم.

نسبت دو چند جمله ای $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ را تابع گویا یا کسر گویا می نامند. کسر گویا نامیده می شود درست، اگر $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется اشتباه.

کسرهای گویا ابتدایی (ساده) کسرهای گویا از چهار نوع هستند:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

نکته (مطلوب برای درک کاملتر متن): show\hide

چرا شرط $p^2-4q مورد نیاز است؟< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

به عنوان مثال، برای عبارت $x^2+5x+10$ دریافت می کنیم: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. از آنجایی که $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

ضمناً برای این بررسی اصلاً لازم نیست ضریب قبل از $x^2$ برابر با 1 باشد. مثلاً برای $5x^2+7x-3=0$ دریافت می کنیم: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. از $D > 0$، عبارت $5x^2+7x-3$ قابل فاکتورسازی است.

نمونه‌هایی از کسرهای گویا (مناسب و نامناسب)، و همچنین نمونه‌هایی از تجزیه کسر گویا به کسرهای ابتدایی را می‌توان یافت. در اینجا ما فقط به سؤالات ادغام آنها علاقه مند خواهیم شد. بیایید با ادغام کسرهای ابتدایی شروع کنیم. بنابراین، ادغام هر یک از چهار نوع کسر ابتدایی بالا با استفاده از فرمول های زیر آسان است. اجازه دهید یادآوری کنم که هنگام ادغام کسری از انواع (2) و (4)، $n=2،3،4،\ldots$ فرض می‌شود. فرمول های (3) و (4) نیازمند تحقق شرط $p^2-4q هستند< 0$.

\ابتدا(معادله) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \پایان(معادله) \شروع(معادله) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \پایان(معادله) \شروع(معادله) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(معادله)

برای $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ جایگزینی $t=x+\frac(p)(2)$ انجام می‌شود، پس از آن بازه به دست آمده به دو تقسیم شده است. اولی با وارد کردن زیر علامت دیفرانسیل محاسبه می شود و دومی به شکل $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ خواهد بود. این انتگرال با استفاده از رابطه عود گرفته شده است

\begin(معادله) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2) I_n،\; n\in N\end (معادله)

محاسبه چنین انتگرالی در مثال شماره 7 مورد بحث قرار گرفته است (به بخش سوم مراجعه کنید).

طرحی برای محاسبه انتگرال توابع گویا (کسری گویا):

1. اگر انتگرال ابتدایی است، فرمول های (1)-(4) را اعمال کنید.
2. اگر انتگرال ابتدایی نیست، آن را به صورت مجموع کسرهای ابتدایی نشان دهید و سپس با استفاده از فرمول های (1)-(4) ادغام کنید.

الگوریتم فوق برای ادغام کسرهای گویا یک مزیت غیرقابل انکار دارد - جهانی است. آن ها با استفاده از این الگوریتم می توانید ادغام کنید هرکسر گویا به همین دلیل است که تقریباً تمام تغییرات متغیرها در یک انتگرال نامعین (اولر، چبیشف، جایگزینی مثلثاتی جهانی) به گونه ای انجام می شود که پس از این تغییر یک کسری گویا در زیر بازه به دست می آوریم. و سپس الگوریتم را روی آن اعمال کنید. پس از یادداشتی کوچک، کاربرد مستقیم این الگوریتم را با استفاده از مثال ها تحلیل خواهیم کرد.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

در اصل، این انتگرال بدون کاربرد مکانیکی فرمول به راحتی بدست می آید. اگر ثابت $7$ را از علامت انتگرال خارج کنیم و $dx=d(x+9)$ را در نظر بگیریم، به دست می‌آییم:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

برای اطلاعات دقیق، توصیه می کنم به موضوع نگاه کنید. به طور مفصل توضیح می دهد که چگونه چنین انتگرال هایی حل می شوند. به هر حال، فرمول با همان تبدیل هایی که در این پاراگراف هنگام حل آن به صورت "دستی" اعمال شد، ثابت می شود.

2) باز هم دو راه وجود دارد: از فرمول آماده استفاده کنید یا بدون آن انجام دهید. اگر فرمول را اعمال کنید، باید در نظر داشته باشید که ضریب مقابل $x$ (شماره 4) باید حذف شود. برای انجام این کار، اجازه دهید به سادگی این چهار را از پرانتز خارج کنیم:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\راست)\راست)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

اکنون زمان اعمال فرمول است:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \راست)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \راست )^7)+C. $$

شما می توانید بدون استفاده از فرمول انجام دهید. و حتی بدون خارج کردن 4 دلار ثابت از پرانتز. اگر $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ را در نظر بگیریم، به دست می‌آییم:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

توضیحات مفصل برای یافتن چنین انتگرالهایی در مبحث "ادغام با جایگزینی (جایگزینی تحت علامت دیفرانسیل)" ارائه شده است.

3) ما باید کسر $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ را ادغام کنیم. این کسر دارای ساختار $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ است که در آن $M=4$، $N=7$، $p=10$، $q=34$. با این حال، برای اطمینان از اینکه این واقعاً کسری ابتدایی از نوع سوم است، باید تحقق شرط $p^2-4q را بررسی کنید.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

بیایید همان مثال را حل کنیم، اما بدون استفاده از فرمول آماده. بیایید سعی کنیم مشتق مخرج را در صورت جدا کنیم. این یعنی چی؟ می دانیم که $(x^2+10x+34)"=2x+10$. این عبارت $2x+10$ است که باید آن را در صورتگر جدا کنیم. اما بیایید تبدیل زیر را به صورتگر اعمال کنیم.

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

اکنون عبارت مورد نیاز $2x+10$ در صورت حساب ظاهر می شود. و انتگرال ما را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

بیایید انتگرال را به دو قسمت تقسیم کنیم. خوب، و بر این اساس، خود انتگرال نیز "دوشاخه" است:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \راست)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

بیایید ابتدا در مورد انتگرال اول صحبت کنیم، i.e. حدود $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. از آنجایی که $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$، پس صورت‌گر انتگرال حاوی دیفرانسیل مخرج است. به طور خلاصه، در عوض از عبارت $( 2x+10)dx$ می نویسیم $d(x^2+10x+34)$.

حال اجازه دهید چند کلمه در مورد انتگرال دوم بگوییم. بیایید یک مربع کامل در مخرج انتخاب کنیم: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. علاوه بر این، $dx=d(x+5)$ را نیز در نظر می گیریم. اکنون مجموع انتگرال هایی که قبلاً به دست آوردیم را می توان به شکل کمی متفاوت بازنویسی کرد:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

اگر در انتگرال اول، $u=x^2+10x+34$ را جایگزین کنیم، آنگاه به شکل $\int\frac(du)(u)$ خواهد بود و با استفاده از فرمول دوم به سادگی می توان آن را به دست آورد. . در مورد انتگرال دوم، تغییر $u=x+5$ برای آن امکان پذیر است، پس از آن به شکل $\int\frac(du)(u^2+9)$ خواهد بود. این خالص ترین فرمول یازدهم از جدول انتگرال های نامعین است. بنابراین، با بازگشت به مجموع انتگرال ها، داریم:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

ما همان پاسخی را دریافت کردیم که هنگام استفاده از فرمول، که به طور دقیق، تعجب آور نیست. به طور کلی، فرمول با همان روش هایی که برای یافتن این انتگرال استفاده کردیم، اثبات می شود. من معتقدم که خواننده ی توجه ممکن است در اینجا یک سوال داشته باشد، بنابراین آن را فرموله می کنم:

سوال شماره 1

اگر فرمول دوم را از جدول انتگرال های نامشخص به انتگرال $\int \frac(d(x^2+10x+34)) (x^2+10x+34)$ اعمال کنیم، نتیجه زیر را بدست می آوریم:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

چرا هیچ ماژولی در راه حل وجود نداشت؟

پاسخ به سوال شماره 1

سوال کاملا طبیعی است. ماژول تنها به این دلیل وجود نداشت که عبارت $x^2+10x+34$ برای هر $x\in R$ بزرگتر از صفر است. نشان دادن این امر از چند جهت بسیار آسان است. برای مثال، از آنجایی که $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ و $(x+5)^2 ≥ 0$، سپس $(x+5)^2+9 > 0$ . شما می توانید متفاوت فکر کنید، بدون استفاده از انتخاب یک مربع کامل. از 10^2-4$\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ برای هر $x\in R$ (اگر این زنجیره منطقی تعجب آور است، به شما توصیه می کنم به روش گرافیکی برای حل نابرابری های درجه دوم نگاه کنید). در هر صورت، از $x^2+10x+34 > 0$، سپس $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$، یعنی. به جای ماژول، می توانید از براکت های معمولی استفاده کنید.

تمام نکات مثال شماره 1 حل شد، فقط باید پاسخ را یادداشت کرد.

پاسخ:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

مثال شماره 2

$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ انتگرال را پیدا کنید.

در نگاه اول، انتگرال $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ بسیار شبیه یک کسر ابتدایی از نوع سوم است، یعنی. توسط $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. به نظر می رسد که تنها تفاوت ضریب 3$ در مقابل $x^2$ است، اما برداشتن ضریب (آن را از پرانتز خارج کنید) طولی نمی کشد. با این حال، این شباهت آشکار است. برای کسری $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ شرط $p^2-4q اجباری است< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

ضریب ما قبل از $x^2$ برابر با یک نیست، بنابراین شرط $p^2-4q را بررسی کنید< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$، بنابراین عبارت $3x^2-5x-2$ را می توان فاکتور گرفت. این بدان معناست که کسر $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ یک کسر عنصری از نوع سوم نیست و $\int\frac(7x+12)(3x^2- را اعمال کنید. ) به فرمول انتگرال 5x-2)dx$ امکان پذیر نیست.

خوب، اگر کسر گویا یک کسری ابتدایی نباشد، باید به صورت مجموع کسرهای ابتدایی نمایش داده شود و سپس ادغام شود. به طور خلاصه، از مسیر استفاده کنید. نحوه تجزیه کسری گویا به کسری ابتدایی به تفصیل نوشته شده است. بیایید با فاکتورگیری مخرج شروع کنیم:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(تراز شده) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(تراز شده)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

ما کسری فرعی را به این شکل ارائه می کنیم:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\راست)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

حالا بیایید کسری $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ را به موارد ابتدایی تجزیه کنیم:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\راست))(\چپ(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\راست). $$

برای یافتن ضرایب $A$ و $B$ دو راه استاندارد وجود دارد: روش ضرایب نامشخص و روش جایگزینی مقادیر جزئی. بیایید روش جایگزینی مقدار جزئی را اعمال کنیم و $x=2$ و سپس $x=-\frac(1)(3)$ را جایگزین کنیم:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\راست)+B\چپ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

از آنجایی که ضرایب پیدا شده اند، تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن بسط نهایی است:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

در اصل، شما می توانید این ورودی را ترک کنید، اما من گزینه دقیق تری را دوست دارم:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

با بازگشت به انتگرال اصلی، بسط حاصل را در آن جایگزین می کنیم. سپس انتگرال را به دو قسمت تقسیم می کنیم و فرمول را برای هر کدام اعمال می کنیم. ترجیح می دهم بلافاصله ثابت ها را خارج از علامت انتگرال قرار دهم:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\راست)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\راست)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

پاسخ: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

مثال شماره 3

انتگرال $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ را بیابید.

ما باید کسر $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ را ادغام کنیم. صورت شامل چند جمله ای درجه دوم و مخرج شامل چند جمله ای درجه سوم است. از آنجایی که درجه چند جمله ای در صورت از درجه چند جمله ای در مخرج کمتر است، یعنی. 2 دلار< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که انتگرال داده شده را به سه تقسیم کرده و فرمول را برای هر کدام اعمال کنیم. ترجیح می دهم بلافاصله ثابت ها را خارج از علامت انتگرال قرار دهم:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

پاسخ: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

ادامه تحلیل نمونه هایی از این مبحث در قسمت دوم قرار دارد.

یک ریاضیدان، درست مانند یک هنرمند یا شاعر، الگوها را خلق می کند. و اگر الگوهای او پایدارتر است، فقط به این دلیل است که از ایده تشکیل شده است... الگوهای یک ریاضیدان، درست مانند الگوهای یک هنرمند یا یک شاعر، باید زیبا باشد. ایده ها، درست مانند رنگ ها یا کلمات، باید با یکدیگر مطابقت داشته باشند. زیبایی اولین شرط است: هیچ مکانی در دنیا برای ریاضیات زشت وجود ندارد».

جی اچ هاردی

در فصل اول اشاره شد که ضد مشتق‌هایی از توابع نسبتاً ساده وجود دارد که دیگر نمی‌توان آنها را از طریق توابع ابتدایی بیان کرد. در این راستا، آن دسته از توابع که می توان به طور دقیق در مورد آنها گفت که ضد مشتقات آنها توابع ابتدایی هستند، اهمیت عملی زیادی پیدا می کنند. این دسته از توابع شامل توابع منطقی، نشان دهنده نسبت دو چند جمله ای جبری است. بسیاری از مشکلات منجر به ادغام کسرهای گویا می شود. بنابراین، بسیار مهم است که بتوان چنین توابعی را یکپارچه کرد.

2.1.1. توابع گویا کسری

کسر گویا(یا تابع گویا کسری) رابطه دو چند جمله ای جبری نامیده می شود:

کجا و چند جمله ای هستند.

بگذارید آن را به خاطر بیاوریم چند جمله ای (چند جمله ای, کل عملکرد عقلانی) nدرجه امتابع فرم نامیده می شود

جایی که - اعداد واقعی. مثلا،

- چند جمله ای درجه اول؛

- چند جمله ای درجه چهارم و غیره

کسر گویا (2.1.1) نامیده می شود درست, اگر درجه کمتر از درجه باشد , i.e. n<متر، در غیر این صورت کسر نامیده می شود اشتباه.

هر کسر نامناسب را می توان به صورت مجموع یک چند جمله ای (کل جزء) و یک کسر مناسب (قسمت کسری) نشان داد.جداسازی کل و کسری یک کسر نامناسب را می توان طبق قاعده تقسیم چندجمله ای با "گوشه" انجام داد.

مثال 2.1.1.کل و جزء کسرهای کسرهای گویا نامناسب زیر را مشخص کنید:

آ) ، ب) .

راه حل . الف) با استفاده از الگوریتم تقسیم "گوشه"، به دست می آوریم

بنابراین، ما دریافت می کنیم

.

ب) در اینجا از الگوریتم تقسیم "گوشه" نیز استفاده می کنیم:

در نتیجه می گیریم

.

بیایید خلاصه کنیم. در حالت کلی، انتگرال نامعین یک کسر گویا را می توان به صورت مجموع انتگرال های چند جمله ای و کسر گویا مناسب نشان داد. یافتن پاد مشتق چند جمله ای ها کار سختی نیست. بنابراین، در مطالب بعدی عمدتاً کسرهای گویا مناسب را در نظر خواهیم گرفت.

2.1.2. ساده ترین کسرهای گویا و ادغام آنها

در میان کسرهای گویا، چهار نوع وجود دارد که به عنوان دسته بندی می شوند ساده ترین کسرهای گویا (بنیادی):

یک عدد صحیح کجاست، ، یعنی سه جمله ای درجه دوم ریشه واقعی ندارد

ادغام کسرهای ساده از نوع 1 و 2 هیچ مشکل بزرگی ایجاد نمی کند:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

اجازه دهید اکنون ادغام کسرهای ساده نوع 3 را در نظر بگیریم، اما کسری از نوع 4 را در نظر نخواهیم گرفت.

بیایید با انتگرال های فرم شروع کنیم

.

این انتگرال معمولاً با جداسازی مجذور کامل مخرج محاسبه می شود. نتیجه یک انتگرال جدول از فرم زیر است

یا .

مثال 2.1.2.انتگرال ها را بیابید:

آ) ، ب) .

راه حل . الف) یک مربع کامل از یک مثلث درجه دوم انتخاب کنید:

از اینجا پیدا می کنیم

ب) با جداسازی یک مربع کامل از یک مثلث درجه دوم، به دست می آید:

بدین ترتیب،

.

برای یافتن انتگرال

می توانید مشتق مخرج را در صورت جدا کنید و انتگرال را به مجموع دو انتگرال بسط دهید: اولی آنها با جایگزینی به ظاهر می رسد

,

و دوم - به موردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت.

مثال 2.1.3.انتگرال ها را بیابید:

.

راه حل . توجه کنید که . بیایید مشتق مخرج را در صورت جدا کنیم:

انتگرال اول با استفاده از جایگزینی محاسبه می شود :

در انتگرال دوم، مربع کامل را در مخرج انتخاب می کنیم

بالاخره می رسیم

2.1.3. بسط کسر گویا مناسب
برای مجموع کسرهای ساده

هر کسر منطقی مناسب را می توان به روشی منحصر به فرد به عنوان مجموع کسرهای ساده نشان داد. برای این کار باید مخرج را فاکتور گرفت. از جبر بالاتر مشخص می شود که هر چند جمله ای دارای ضرایب واقعی است