شما اینجایید: خون

چهارضلعی محدب شکلی است متشکل از چهار ضلع که در رئوس به یکدیگر متصل هستند و چهار زاویه را با اضلاع تشکیل می دهند، در حالی که خود چهارضلعی نسبت به خط مستقیمی که یکی از اضلاع آن روی آن قرار دارد همیشه در یک صفحه قرار دارد. به عبارت دیگر، کل شکل در یک طرف هر یک از اضلاع آن قرار دارد.

در تماس با

همانطور که می بینید، یادآوری این تعریف بسیار آسان است.

خواص و انواع اساسی

تقریباً تمام اشکال شناخته شده متشکل از چهار گوشه و ضلع را می توان به عنوان چهار ضلعی محدب طبقه بندی کرد. موارد زیر قابل تشخیص است:

متوازی الاضلاع؛
مربع؛
مستطیل؛
ذوزنقه;
لوزی

همه این ارقام نه تنها با این واقعیت که چهار گوش هستند، بلکه با این واقعیت که آنها نیز محدب هستند متحد می شوند. فقط به نمودار نگاه کنید:

شکل ذوزنقه ای محدب را نشان می دهد. در اینجا می بینید که ذوزنقه در همان صفحه یا در یک طرف قطعه قرار دارد. اگر اقدامات مشابهی را انجام دهید، می توانید متوجه شوید که در مورد همه طرف های دیگر ذوزنقه محدب است.

آیا متوازی الاضلاع چهار ضلعی محدب است؟

در بالا تصویر متوازی الاضلاع است. همانطور که از شکل مشخص است، متوازی الاضلاع نیز محدب است. اگر به شکل نسبت به خطوطی که بخش های AB، BC، CD و AD روی آن قرار دارند نگاه کنید، مشخص می شود که همیشه از این خطوط در یک صفحه قرار دارد. مشخصه های اصلی متوازی الاضلاع این است که اضلاع آن دو به دو موازی و مساوی هستند، همانطور که زوایای مقابل هم با یکدیگر مساوی هستند.

حالا یک مربع یا مستطیل را تصور کنید. با توجه به خصوصیات اساسی آنها متوازی الاضلاع نیز هستند، یعنی تمام اضلاع آنها به صورت جفت موازی قرار دارند. فقط در مورد مستطیل، طول اضلاع می تواند متفاوت باشد و زاویه ها قائم باشد (برابر 90 درجه)، مربع مستطیلی است که تمام اضلاع آن برابر و زوایای آن نیز قائم باشد و در یک متوازی الاضلاع، طول اضلاع و زاویه می تواند متفاوت باشد.

در نتیجه مجموع هر چهار زاویه یک چهارضلعی باید برابر با 360 درجه باشد. ساده ترین راه برای تعیین این است که به یک مستطیل نگاه کنید: هر چهار گوشه مستطیل راست هستند، یعنی برابر با 90 درجه. از مجموع این زوایای 90 درجه، 360 درجه می شود، به عبارت دیگر، اگر 90 درجه را 4 بار جمع کنید، به نتیجه دلخواه می رسید.

ویژگی قطرهای یک چهارضلعی محدب

قطرهای یک چهارضلعی محدب قطع می شوند. در واقع، این پدیده را می توان به صورت بصری مشاهده کرد، فقط به شکل نگاه کنید:

شکل سمت چپ یک چهارضلعی یا چهارضلعی غیر محدب را نشان می دهد. هرجور عشقته. همانطور که می بینید، قطرها حداقل همه آنها را قطع نمی کنند. در سمت راست یک چهارضلعی محدب است. در اینجا خاصیت قطع شدن مورب ها قبلاً مشاهده شده است. همین خاصیت را می توان نشانه تحدب یک چهارضلعی دانست.

سایر خواص و نشانه های تحدب یک چهارضلعی

نام بردن خواص و ویژگی های خاص با استفاده از این اصطلاح بسیار دشوار است. جدا شدن با آن راحت تر است انواع مختلفچهار ضلعی از این نوع می توانید با متوازی الاضلاع شروع کنید. قبلاً می دانیم که این یک شکل چهار گوش است که اضلاع آن به صورت جفت موازی و مساوی هستند. در عین حال، این ویژگی همچنین شامل ویژگی موربهای متوازی الاضلاع برای قطع کردن یکدیگر و همچنین علامت محدب شکل است: متوازی الاضلاع همیشه در یک صفحه و در یک طرف نسبت به هر یک از آنها قرار دارد. طرف های آن

بنابراین، ویژگی ها و خواص اصلی شناخته شده است:

مجموع زوایای یک چهارضلعی 360 درجه است.
قطرهای شکل ها در یک نقطه قطع می شوند.

مستطیل. این شکل دارای تمام خواص و ویژگی های یک متوازی الاضلاع است، اما در عین حال تمام زوایای آن برابر با 90 درجه است. از این رو نام - مستطیل.

مربع، همان متوازی الاضلاع، اما زوایای آن مانند یک مستطیل راست است. به همین دلیل، یک مربع به ندرت مستطیل نامیده می شود. اما از همه مهمتر انگیک مربع، علاوه بر موارد ذکر شده در بالا، این است که هر چهار ضلع آن برابر است.

ذوزنقه شکل بسیار جالبی است. این نیز یک چهار گوش و همچنین محدب است. در این مقاله، ذوزنقه قبلاً با استفاده از مثال نقاشی مورد بحث قرار گرفته است. مشخص است که محدب نیز هست. تفاوت اصلی و در نتیجه نشانه ذوزنقه این است که اضلاع آن ممکن است از نظر طول و همچنین زوایای آن از نظر ارزش کاملاً نابرابر با یکدیگر باشند. در این حالت، شکل نسبت به هر یک از خطوطی که هر دو رأس آن را در امتداد قطعات تشکیل‌دهنده شکل به هم متصل می‌کند، همیشه در همان صفحه باقی می‌ماند.

یک لوزی شکل به همان اندازه جالب است. تا حدی، لوزی را می توان مربع در نظر گرفت. نشانه لوزی این واقعیت است که مورب های آن نه تنها همدیگر را قطع می کنند، بلکه گوشه های لوزی را نیز به نصف تقسیم می کنند و خود مورب ها در زوایای قائمه همدیگر را قطع می کنند، یعنی عمود هستند. اگر طول اضلاع یک لوزی برابر باشد، مورب ها نیز در هنگام قطع به نصف تقسیم می شوند.

دلتوئید یا لوزی محدب (لوزی)ممکن است طول ضلع های مختلفی داشته باشد. اما در عین حال، هم ویژگی‌ها و ویژگی‌های اساسی خود لوزی و هم ویژگی‌ها و ویژگی‌های تحدب همچنان حفظ می‌شوند. یعنی می توانیم مشاهده کنیم که مورب ها زوایا را نصف می کنند و در زوایای قائمه همدیگر را قطع می کنند.

وظیفه امروز بررسی و درک اینکه چهار ضلعی محدب چیست، چگونه هستند و ویژگی ها و ویژگی های اصلی آنها بود. توجه! لازم به یادآوری است که مجموع زوایای یک چهارضلعی محدب 360 درجه است. به عنوان مثال، محیط شکل ها برابر است با مجموع طول تمام قطعات تشکیل دهنده شکل. فرمول های محاسبه محیط و مساحت چهارضلعی ها در مقالات بعدی مورد بحث قرار خواهند گرفت.

انواع چهارضلعی محدب

مفهوم چند ضلعی

تعریف 1

چند ضلعییک شکل هندسی در یک صفحه است که شامل قطعاتی است که به صورت جفت به هم متصل شده اند، قسمت های مجاور روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند.

در این حالت بخش ها فراخوانی می شوند اضلاع چند ضلعیو پایان آنها - رئوس چند ضلعی.

تعریف 2

$n$-gon یک چند ضلعی با راس $n$ است.

انواع چند ضلعی

تعریف 3

اگر یک چند ضلعی همیشه در یک ضلع از هر خطی که از دو طرف آن می گذرد قرار گیرد، آن چند ضلعی نامیده می شود محدب(عکس. 1).

شکل 1. چند ضلعی محدب

تعریف 4

اگر چند ضلعی در اضلاع مخالف حداقل یک خط مستقیم که از اضلاع آن می گذرد قرار گیرد، آن چند ضلعی غیر محدب نامیده می شود (شکل 2).

شکل 2. چند ضلعی غیر محدب

مجموع زوایای یک چند ضلعی

اجازه دهید یک قضیه در مورد مجموع زوایای یک مثلث معرفی کنیم.

قضیه 1

مجموع زوایای یک مثلث محدب به صورت زیر تعیین می شود

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

اثبات

اجازه دهید یک چند ضلعی محدب $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ به ما داده شود. بیایید راس $A_1$ آن را با تمام رئوس دیگر این چند ضلعی وصل کنیم (شکل 3).

شکل 3.

با این اتصال مثلث های $n-2$ بدست می آوریم. با جمع کردن زوایای آنها مجموع زوایای یک -گون معین را بدست می آوریم. از آنجایی که مجموع زوایای یک مثلث برابر با $(180)^0 است، به این نتیجه می رسیم که مجموع زوایای یک مثلث محدب با فرمول تعیین می شود.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

قضیه ثابت شده است.

مفهوم چهار ضلعی

با استفاده از تعریف $2، به راحتی می توان تعریف چهارضلعی را معرفی کرد.

تعریف 5

یک چهارضلعی چند ضلعی با راس $4$ است (شکل 4).

شکل 4. چهار گوش

برای یک چهارضلعی، مفاهیم چهار ضلعی محدب و چهارضلعی غیر محدب به طور مشابه تعریف می شوند. نمونه های کلاسیک چهارضلعی محدب عبارتند از مربع، مستطیل، ذوزنقه، لوزی، متوازی الاضلاع (شکل 5).

شکل 5. چهار ضلعی محدب

قضیه 2

مجموع زوایای یک چهارضلعی محدب $(360)^0$ است

اثبات

با قضیه $1$، می دانیم که مجموع زوایای یک گونۀ محدب با فرمول تعیین می شود.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

بنابراین مجموع زوایای یک چهارضلعی محدب برابر است با

\[\چپ(4-2\راست)\cdot (180)^0=(360)^0\]

قضیه ثابت شده است.

در کلاس هشتم، در طول درس هندسه در مدرسه، دانش آموزان ابتدا با مفهوم چند ضلعی محدب آشنا می شوند. خیلی زود آنها متوجه می شوند که این رقم خاصیت بسیار جالبی دارد. مهم نیست که چقدر پیچیده باشد، مجموع تمام زوایای داخلی و خارجی یک چند ضلعی محدب مقدار کاملاً مشخصی به خود می گیرد. در این مقاله یک معلم ریاضی و فیزیک در مورد اینکه مجموع زوایای یک چند ضلعی محدب برابر است صحبت می کند.

مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی محدب

چگونه این فرمول را اثبات کنیم؟

قبل از اینکه به اثبات این جمله بپردازیم، به یاد بیاوریم که کدام چند ضلعی محدب نامیده می شود. چند ضلعی محدب به چند ضلعی گفته می شود که به طور کامل در یک طرف خطی که هر یک از اضلاع آن را در بر می گیرد قرار دارد. به عنوان مثال، آنچه در این شکل نشان داده شده است:

اگر چند ضلعی شرایط مشخص شده را برآورده نکند، آن را غیر محدب می نامند. به عنوان مثال، مانند این:

مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی محدب برابر است با ، که تعداد اضلاع آن چند ضلعی است.

اثبات این واقعیت بر اساس قضیه مجموع زوایای یک مثلث است که برای همه دانش‌آموزان شناخته شده است. من مطمئن هستم که این قضیه برای شما نیز آشناست. مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر است با .

ایده این است که یک چند ضلعی محدب را به چندین مثلث تقسیم کنیم. این کار قابل انجام است راه های مختلف. بسته به اینکه کدام روش را انتخاب کنیم، شواهد کمی متفاوت خواهند بود.

1. چند ضلعی محدب را با استفاده از تمام مورب های ممکن که از یک راس کشیده شده اند به مثلث ها تقسیم کنید. به راحتی می توان فهمید که در این صورت n-gon ما به مثلث ها تقسیم می شود:

علاوه بر این، مجموع تمام زوایای همه مثلث های حاصل با مجموع زوایای n-gon ما برابر است. از این گذشته، هر زاویه در مثلث های حاصل یک زاویه جزئی در چند ضلعی محدب ما است. یعنی مقدار مورد نیاز برابر است با .

2. همچنین می توانید یک نقطه را در داخل چند ضلعی محدب انتخاب کنید و آن را به تمام رئوس متصل کنید. سپس n-gon ما به مثلث ها تقسیم می شود:

علاوه بر این، مجموع زوایای چند ضلعی ما در این حالت برابر با مجموع زوایای همه این مثلث ها منهای زاویه مرکزی خواهد بود که برابر است با . یعنی مقدار مورد نیاز دوباره برابر است با .

مجموع زوایای بیرونی یک چندضلعی محدب

اکنون این سوال را مطرح می کنیم: "مجموع زوایای خارجی یک چند ضلعی محدب چقدر است؟" این سوال را می توان به صورت زیر پاسخ داد. هر گوشه خارجی در مجاورت گوشه داخلی مربوطه قرار دارد. بنابراین برابر است با:

سپس مجموع تمام زوایای خارجی برابر است با . یعنی مساوی است.

یعنی یک نتیجه خیلی خنده دار به دست می آید. اگر تمام زوایای خارجی هر n-gon محدب را به ترتیب یکی پس از دیگری رسم کنیم، نتیجه دقیقاً کل صفحه خواهد بود.

این حقیقت جالبرا می توان به صورت زیر نشان داد. بیایید همه اضلاع چند ضلعی محدب را به طور متناسب کاهش دهیم تا زمانی که در یک نقطه ادغام شود. پس از این اتفاق، تمام زوایای خارجی از یکدیگر کنار گذاشته می شوند و بنابراین کل صفحه را پر می کنند.

واقعیت جالب است، اینطور نیست؟ و از این دست حقایق در هندسه بسیار است. پس، دانش آموزان عزیز، هندسه را یاد بگیرید!

مطالبی در مورد اینکه مجموع زوایای یک چند ضلعی محدب برابر است توسط سرگئی والریویچ تهیه شده است.

مفهوم چند ضلعی

تعریف 1

در این حالت بخش ها فراخوانی می شوند اضلاع چند ضلعیو پایان آنها - رئوس چند ضلعی.

تعریف 2

$n$-gon یک چند ضلعی با راس $n$ است.

انواع چند ضلعی

تعریف 3

شکل 1. چند ضلعی محدب

تعریف 4

شکل 2. چند ضلعی غیر محدب

مجموع زوایای یک چند ضلعی

اجازه دهید یک قضیه در مورد مجموع زوایای یک مثلث معرفی کنیم.

قضیه 1

مجموع زوایای یک مثلث محدب به صورت زیر تعیین می شود

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

اثبات

شکل 3.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

قضیه ثابت شده است.

مفهوم چهار ضلعی

با استفاده از تعریف $2، به راحتی می توان تعریف چهارضلعی را معرفی کرد.

تعریف 5

یک چهارضلعی چند ضلعی با راس $4$ است (شکل 4).

شکل 4. چهار گوش

شکل 5. چهار ضلعی محدب

قضیه 2

مجموع زوایای یک چهارضلعی محدب $(360)^0$ است

اثبات

با قضیه $1$، می دانیم که مجموع زوایای یک گونۀ محدب با فرمول تعیین می شود.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

بنابراین مجموع زوایای یک چهارضلعی محدب برابر است با

\[\چپ(4-2\راست)\cdot (180)^0=(360)^0\]

قضیه ثابت شده است.

شکسته شده

تعریف

خط شکستهیا به طور خلاصه خط شکسته، تماس گرفت سکانس پایانیبخش ها، به طوری که یکی از انتهای بخش اول به عنوان انتهای قطعه دوم، انتهای دیگر بخش دوم به عنوان انتهای بخش سوم و غیره عمل می کند. در این مورد، بخش های مجاور روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند. به این بخش ها پیوندهای خط شکسته می گویند.

انواع پلی لاین

خط شکسته نامیده می شود بسته، اگر ابتدای قسمت اول با پایان قسمت آخر منطبق باشد.

یک خط شکسته می تواند از خود عبور کند، خود را لمس کند یا روی خود همپوشانی داشته باشد. اگر چنین تکینگی وجود نداشته باشد، چنین خط شکسته ای نامیده می شود ساده.

چند ضلعی ها

تعریف

یک خط شکسته بسته ساده همراه با قسمتی از صفحه که به آن محدود می شود نامیده می شود چند ضلعی.

اظهار نظر

در هر رأس یک چند ضلعی، اضلاع آن زاویه مشخصی از چند ضلعی را مشخص می کنند. می تواند یا کمتر گسترش یابد یا بیشتر گسترش یابد.

ویژگی

هر چند ضلعی زاویه ای کمتر از $180^\circ$ دارد.

اثبات

اجازه دهید یک چند ضلعی $P$ داده شود.

بیایید یک خط مستقیم بکشیم که آن را قطع نمی کند. ما آن را به موازات چند ضلعی حرکت می دهیم. در نقطه‌ای، برای اولین بار یک خط مستقیم $a$ به دست خواهیم آورد که حداقل یک نقطه مشترک با چند ضلعی $P$ دارد. چند ضلعی در یک طرف این خط قرار دارد (برخی از نقاط آن در خط $a$ قرار دارند).

خط $a$ حداقل شامل یک راس چند ضلعی است. دو ضلع آن، که در یک طرف خط $a$ قرار دارند، در آن همگرا می شوند (از جمله موردی که یکی از آنها روی این خط قرار دارد). این بدان معنی است که در این راس زاویه کمتر از زاویه باز شده است.

تعریف

چند ضلعی نامیده می شود محدب، اگر در یک طرف هر خط حاوی ضلع خود قرار گیرد. اگر چند ضلعی محدب نباشد به آن می گویند غیر محدب.

اظهار نظر

چند ضلعی محدب محل تلاقی نیم صفحه هایی است که توسط خطوطی که اضلاع چند ضلعی را در بر می گیرند محدود شده اند.

ویژگی های یک چند ضلعی محدب

یک چند ضلعی محدب همه زوایای کمتر از $180^\circ$ دارد.

یک پاره خطی که هر دو نقطه از یک چند ضلعی محدب (به ویژه هر یک از مورب های آن) را به هم متصل می کند در این چند ضلعی قرار دارد.

اثبات

بیایید خاصیت اول را ثابت کنیم

هر زاویه $A$ از یک چند ضلعی محدب $P$ و ضلع $a$ که از راس $A$ می آید را در نظر بگیرید. فرض کنید $l$ یک خط حاوی ضلع $a$ باشد. از آنجایی که چند ضلعی $P$ محدب است، در یک طرف خط $l$ قرار دارد. در نتیجه، زاویه $A$ نیز در یک طرف این خط قرار دارد. این به این معنی است که زاویه $A$ کمتر از زاویه توسعه یافته است، یعنی کمتر از $180^\circ$.

بیایید خاصیت دوم را ثابت کنیم

هر دو نقطه $A$ و $B$ از چند ضلعی محدب $P$ را در نظر بگیرید. چند ضلعی $P$ محل تلاقی چند نیم صفحه است. بخش $AB$ در هر یک از این نیم صفحه ها وجود دارد. بنابراین، در چند ضلعی $P$ نیز موجود است.

تعریف

مورب یک چند ضلعیقطعه ای نامیده می شود که رئوس غیر مجاور خود را به هم متصل می کند.

قضیه (درباره تعداد قطرهای یک n-ضلعی)

تعداد قطرهای یک $n$-gon محدب با فرمول $\dfrac(n(n-3))(2)$ محاسبه می شود.

اثبات

از هر رأس یک n-gon می توان قطرهای $n-3$ رسم کرد (شما نمی توانید یک مورب به رئوس همسایه یا خود این راس رسم کنید). اگر همه این بخش‌های ممکن را بشماریم، آنگاه $n\cdot(n-3)$ از آنها وجود خواهد داشت، زیرا راس‌های $n$ وجود دارد. اما هر مورب دو بار شمرده خواهد شد. بنابراین، تعداد قطرهای یک n-gon برابر است با $\dfrac(n(n-3))(2)$.

قضیه (درباره مجموع زوایای یک n-گون)

مجموع زوایای یک $n$-gon محدب 180$^\circ(n-2)$ است.

اثبات

$n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$ را در نظر بگیرید.

بیایید یک نقطه دلخواه $O$ در داخل این چند ضلعی بگیریم.

مجموع زوایای همه مثلث‌های $A_1OA_2$، $A_2OA_3$، $A_3OA_4$، \ldots، $A_(n-1)OA_n$ برابر با $180^\circ\cdot n$ است.

از طرف دیگر، این مجموع مجموع تمام زوایای داخلی چند ضلعی و زاویه کل $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$ است.

سپس مجموع زوایای $n$-gon مورد نظر برابر است با $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

نتیجه

مجموع زوایای یک $n$-gon غیر محدب 180$^\circ(n-2)$ است.

اثبات

چند ضلعی $A_1A_2\ldots A_n$ را در نظر بگیرید که تنها زاویه آن $\angle A_2$ غیر محدب است، یعنی $\angle A_2>180^\circ$.

اجازه دهید مجموع صید او را به عنوان $S$ نشان دهیم.

بیایید نقاط $A_1A_3$ را به هم وصل کنیم و چند ضلعی $A_1A_3\ldots A_n$ را در نظر بگیریم.

مجموع زوایای این چند ضلعی برابر است با:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \ زاویه A_1A_2A_3+\ زاویه A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

بنابراین، $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

اگر چند ضلعی اصلی بیش از یک زاویه غیر محدب داشته باشد، عملیاتی که در بالا توضیح داده شد را می توان با هر یک از این زاویه ها انجام داد که منجر به اثبات گزاره می شود.