قم بإجراء بحث كامل حول ميزات الحل عبر الإنترنت. استكشاف الوظائف ورسم الرسوم البيانية للدالة باستخدام المشتقات

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الوريث المعني.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

ندعوك اليوم لاستكشاف وبناء رسم بياني للدالة معنا. بعد دراسة هذه المقالة بعناية، لن تضطر إلى التعرق لفترة طويلة لإكمال هذا النوع من المهام. ليس من السهل دراسة وإنشاء رسم بياني للدالة؛ فهو عمل ضخم يتطلب أقصى قدر من الاهتمام والدقة في الحسابات. ولتسهيل فهم المادة، سندرس نفس الوظيفة خطوة بخطوة ونشرح جميع أفعالنا وحساباتنا. مرحبًا بكم في عالم الرياضيات المذهل والرائع! يذهب!

اِختِصاص

من أجل استكشاف دالة ورسمها بيانيًا، تحتاج إلى معرفة عدة تعريفات. الوظيفة هي أحد المفاهيم الأساسية (الأساسية) في الرياضيات. وهو يعكس الاعتماد بين عدة متغيرات (اثنان أو ثلاثة أو أكثر) أثناء التغييرات. تُظهر الوظيفة أيضًا اعتماد المجموعات.

تخيل أن لدينا متغيرين لهما نطاق معين من التغيير. إذن، y هي دالة للمتغير x، بشرط أن تتوافق كل قيمة للمتغير الثاني مع قيمة واحدة للمتغير الثاني. في هذه الحالة، المتغير y تابع، ويسمى دالة. من المعتاد أن نقول أن المتغيرين x و y موجودان لمزيد من الوضوح لهذا الاعتماد، تم بناء رسم بياني للدالة. ما هو الرسم البياني للوظيفة؟ هذه مجموعة من النقاط على المستوى الإحداثي، حيث تتوافق كل قيمة x مع قيمة y واحدة. يمكن أن تكون الرسوم البيانية مختلفة - الخط المستقيم، القطع الزائد، القطع المكافئ، الموجة الجيبية، وما إلى ذلك.

من المستحيل رسم وظيفة بدون بحث. اليوم سوف نتعلم كيفية إجراء البحث وبناء رسم بياني للدالة. من المهم جدًا تدوين الملاحظات أثناء الدراسة. هذا سيجعل المهمة أسهل بكثير في التعامل معها. الخطة البحثية الأكثر ملاءمة:

1. اِختِصاص.
2. استمرارية.
3. زوجي أو فردي.
4. الدورية.
5. الخطوط المقاربة.
6. أصفار.
7. ثبات الإشارة.
8. زيادة ونقصان.
9. النهايات.
10. التحدب والتقعر.

لنبدأ بالنقطة الأولى. لنجد مجال التعريف، أي الفترات التي توجد فيها وظيفتنا: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). في حالتنا، الدالة موجودة لأي قيم x، أي أن مجال التعريف يساوي R. ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي xÎR.

استمرارية

الآن سوف نقوم بدراسة وظيفة الانقطاع. وفي الرياضيات ظهر مصطلح "الاستمرارية" نتيجة لدراسة قوانين الحركة. ما هو لانهائي؟ المكان والزمان وبعض التبعيات (مثال على ذلك اعتماد المتغيرات S وt في مسائل الحركة)، ودرجة حرارة جسم ساخن (ماء، مقلاة، مقياس حرارة، إلخ)، خط مستمر (أي خط يمكن رسمها دون رفعها عن الورقة بقلم الرصاص).

يعتبر الرسم البياني مستمرًا إذا لم ينكسر في مرحلة ما. أحد الأمثلة الأكثر وضوحًا لمثل هذا الرسم البياني هو الشكل الجيبي، والذي يمكنك رؤيته في الصورة في هذا القسم. تكون الدالة مستمرة عند نقطة ما x0 إذا تم استيفاء عدد من الشروط:

• يتم تعريف الدالة عند نقطة معينة؛
• الحدان الأيمن والأيسر عند نقطة ما متساويان؛
• النهاية تساوي قيمة الدالة عند النقطة x0.

إذا لم يتم استيفاء شرط واحد على الأقل، يُقال أن الوظيفة قد فشلت. والنقاط التي تنقطع عندها الدالة تسمى عادةً نقاط التوقف. مثال على دالة "ستنكسر" عند عرضها بيانياً: y=(x+4)/(x-3). علاوة على ذلك، y غير موجود عند النقطة x = 3 (نظرًا لأنه من المستحيل القسمة على صفر).

في الوظيفة التي ندرسها (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) تبين أن كل شيء بسيط، لأن الرسم البياني سيكون مستمرًا.

حتى، غريب

الآن افحص وظيفة التكافؤ. أولا، القليل من النظرية. الدالة الزوجية هي التي تحقق الشرط f(-x)=f(x) لأي قيمة للمتغير x (من نطاق القيم). الامثله تشمل:

• الوحدة x (الرسم البياني يشبه داو، منصف الربعين الأول والثاني من الرسم البياني)؛
• x تربيعية (القطع المكافئ)؛
• جيب التمام س (جيب التمام).

لاحظ أن كل هذه الرسوم البيانية تكون متناظرة عند عرضها بالنسبة إلى المحور الصادي (أي المحور الصادي).

إذن ما الذي يسمى وظيفة غريبة؟ هذه هي الدوال التي تحقق الشرط: f(-x)=-f(x) لأي قيمة للمتغير x. أمثلة:

• القطع الزائد؛
• القطع المكافئ المكعب؛
• الجيوب الأنفية.
• الظل وهلم جرا.

يرجى ملاحظة أن هذه الوظائف متناظرة حول النقطة (0:0)، أي نقطة الأصل. وبناء على ما قيل في هذا القسم من المقال، فإن الدالة الزوجية والفردية يجب أن تكون لها الخاصية: x تنتمي إلى مجموعة التعريفات و-x أيضًا.

دعونا نفحص وظيفة التكافؤ. يمكننا أن نرى أنها لا تناسب أيًا من الأوصاف. ومن ثم، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

الخطوط المقاربة

لنبدأ بالتعريف. الخط المقارب هو منحنى أقرب ما يكون إلى الرسم البياني، أي أن المسافة من نقطة معينة تميل إلى الصفر. في المجموع، هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة:

• عمودي، أي موازي للمحور y؛
• أفقي، أي موازي للمحور x؛
• يميل.

أما النوع الأول فيجب البحث عن هذه الأسطر في بعض النقاط:

• فجوة؛
• نهايات مجال التعريف.

في حالتنا، الدالة مستمرة، ومجال التعريف يساوي R. وبالتالي، لا توجد خطوط مقاربة رأسية.

يحتوي الرسم البياني للدالة على خط تقارب أفقي، يلبي المتطلبات التالية: إذا كانت x تميل إلى ما لا نهاية أو ناقص ما لا نهاية، وكان الحد يساوي رقمًا معينًا (على سبيل المثال، أ). في هذه الحالة، y=a هو الخط المقارب الأفقي. لا توجد خطوط تقارب أفقية في الدالة التي ندرسها.

يوجد الخط المقارب المائل فقط في حالة استيفاء شرطين:

• ليم(f(x))/x=k;
• ليم f(x)-kx=b.

ومن ثم يمكن العثور عليه باستخدام الصيغة: y=kx+b. مرة أخرى، في حالتنا لا توجد خطوط تقارب مائلة.

وظيفة الأصفار

والخطوة التالية هي فحص الرسم البياني للدالة للأصفار. من المهم أيضًا ملاحظة أن المهمة المرتبطة بإيجاد أصفار دالة لا تحدث فقط عند دراسة وإنشاء رسم بياني للدالة، ولكن أيضًا كمهمة مستقلة وكوسيلة لحل عدم المساواة. قد يُطلب منك العثور على أصفار دالة على رسم بياني أو استخدام الرموز الرياضية.

سيساعدك العثور على هذه القيم في رسم الدالة بشكل أكثر دقة. بعبارات بسيطة، صفر الدالة هو قيمة المتغير x الذي عنده y = 0. إذا كنت تبحث عن أصفار دالة على الرسم البياني، فيجب عليك الانتباه إلى النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع المحور السيني.

للعثور على أصفار الدالة، عليك حل المعادلة التالية: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. وبعد إجراء الحسابات اللازمة نحصل على الإجابة التالية:

ثبات الإشارة

المرحلة التالية من البحث وبناء الدالة (الرسم البياني) هي إيجاد فترات ذات إشارة ثابتة. هذا يعني أنه يجب علينا تحديد الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمة موجبة وفي الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمة سالبة. ستساعدنا الوظائف الصفرية الموجودة في القسم الأخير على القيام بذلك. لذلك، نحن بحاجة إلى بناء خط مستقيم (منفصل عن الرسم البياني) وتوزيع أصفار الدالة على طوله بالترتيب الصحيح من الأصغر إلى الأكبر. أنت الآن بحاجة إلى تحديد أي من الفواصل الزمنية الناتجة تحتوي على علامة "+" وأيها تحتوي على علامة "-".

في حالتنا، تأخذ الدالة قيمة موجبة على فترات:

• من 1 إلى 4؛
• من 9 إلى ما لا نهاية.

معنى سلبي:

• من ناقص اللانهاية إلى 1؛
• من 4 إلى 9.

هذا من السهل تحديده. استبدل أي رقم من الفاصل الزمني في الدالة وانظر ما هي العلامة التي تبين أن الإجابة بها (ناقص أو زائد).

زيادة ونقصان الوظائف

من أجل استكشاف وإنشاء دالة، نحتاج إلى معرفة أين سيزداد الرسم البياني (يرتفع على طول محور Oy) وأين سينخفض ​​(يزحف لأسفل على طول المحور y).

تزداد الدالة فقط إذا كانت القيمة الأكبر للمتغير x تتوافق مع قيمة أكبر لـ y. أي أن x2 أكبر من x1، وf(x2) أكبر من f(x1). ونلاحظ ظاهرة معاكسة تمامًا مع دالة متناقصة (كلما زاد x، قل y). لتحديد فترات الزيادة والنقصان، عليك العثور على ما يلي:

• مجال التعريف (لدينا بالفعل)؛
• مشتق (في حالتنا: 1/3(3x^2-28x+49);
• حل المعادلة 1/3(3x^2-28x+49)=0.

بعد الحسابات نحصل على النتيجة:

نحصل على: الدالة تزداد على الفترات من ناقص ما لا نهاية إلى 7/3 ومن 7 إلى ما لا نهاية، وتتناقص على الفترة من 7/3 إلى 7.

النهايات

الدالة قيد الدراسة y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) مستمرة وموجودة لأي قيمة للمتغير x. توضح النقطة القصوى الحد الأقصى والحد الأدنى لوظيفة معينة. في حالتنا لا يوجد أي شيء، مما يبسط مهمة البناء إلى حد كبير. وبخلاف ذلك، يمكن أيضًا العثور عليها باستخدام الدالة المشتقة. بمجرد العثور عليها، لا تنس وضع علامة عليها على الرسم البياني.

التحدب والتقعر

نواصل استكشاف الدالة y(x). الآن نحن بحاجة للتحقق من التحدب والتقعر. من الصعب جدًا فهم تعريفات هذه المفاهيم، ومن الأفضل تحليل كل شيء باستخدام الأمثلة. للاختبار: تكون الدالة محدبة إذا كانت دالة غير تناقصية. أوافق، هذا غير مفهوم!

علينا إيجاد مشتقة دالة من الدرجة الثانية. نحصل على: ص=1/3(6س-28). الآن دعونا نساوي الطرف الأيمن بالصفر ونحل المعادلة. الجواب: س = 14/3. لقد وجدنا نقطة الانقلاب، أي المكان الذي يتغير فيه الرسم البياني من التحدب إلى التقعر أو العكس. في الفترة من ناقص ما لا نهاية إلى 14/3 تكون الدالة محدبة، ومن 14/3 إلى زائد ما لا نهاية تكون مقعرة. من المهم أيضًا ملاحظة أن نقطة انعطاف الرسم البياني يجب أن تكون سلسة وناعمة، ويجب ألا تكون هناك زوايا حادة.

تحديد النقاط الإضافية

مهمتنا هي التحقيق وبناء رسم بياني للوظيفة. لقد أكملنا الدراسة، ولم يعد إنشاء رسم بياني للوظيفة أمرًا صعبًا. للحصول على نسخة أكثر دقة وتفصيلاً لمنحنى أو خط مستقيم على المستوى الإحداثي، يمكنك العثور على عدة نقاط مساعدة. من السهل جدًا حسابها. على سبيل المثال، نأخذ x=3 ونحل المعادلة الناتجة ونجد y=4. أو x=5، وy=-5 وهكذا. يمكنك أن تأخذ العديد من النقاط الإضافية التي تحتاجها للبناء. تم العثور على 3-5 منهم على الأقل.

رسم بياني

نحن بحاجة إلى التحقق من الدالة (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. تم إجراء جميع العلامات اللازمة أثناء العمليات الحسابية على المستوى الإحداثي. كل ما يتعين علينا القيام به هو إنشاء رسم بياني، أي ربط جميع النقاط. يجب أن يكون ربط النقاط سلسًا ودقيقًا، فهذه مسألة مهارة - القليل من الممارسة وسيكون جدولك الزمني مثاليًا.

دعونا ندرس الدالة \(y= \frac(x^3)(1-x) \) ونبني الرسم البياني الخاص بها.

1. نطاق التعريف.
مجال تعريف الدالة الكسرية (الكسر) سيكون: المقام لا يساوي الصفر، أي. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). المجال $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. نقاط التوقف الوظيفية وتصنيفها.
تحتوي الدالة على نقطة انقطاع واحدة x = 1
دعونا نتفحص النقطة x= 1. لنجد نهاية الدالة على يمين ويسار نقطة الانقطاع، على اليمين $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ وعلى يسار النقطة $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ هذا هي نقطة انقطاع من النوع الثاني ل الحدود من جانب واحد تساوي \(\infty\).

الخط المستقيم \(x = 1\) هو خط مقارب رأسي.

3. التكافؤ الوظيفي.
نتحقق من التكافؤ \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) الدالة ليست زوجية ولا فردية.

4. أصفار الدالة (نقاط التقاطع مع محور الثور). فترات الإشارة الثابتة للدالة.
أصفار الدالة (نقطة التقاطع مع محور الثور): نحن نساوي \(y=0\)، ونحصل على \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). يحتوي المنحنى على نقطة تقاطع واحدة مع محور الثور بإحداثيات \((0;0)\).

فترات الإشارة الثابتة للدالة.
في الفترات المدروسة \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) يحتوي المنحنى على نقطة تقاطع واحدة مع محور الثور، لذلك سننظر في مجال التعريف على ثلاث فترات.

دعونا نحدد إشارة الدالة على فترات مجال التعريف:
الفاصل الزمني \((-\infty; 0) \) أوجد قيمة الدالة عند أي نقطة \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
الفاصل الزمني \((0; 1) \) نجد قيمة الدالة عند أي نقطة \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \)، في هذه الفترة تكون الدالة موجب \(f(x ) > 0 \)، أي يقع فوق محور الثور.
الفاصل الزمني \((1;+\infty) \) أوجد قيمة الدالة عند أي نقطة \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. نقاط التقاطع مع محور أوي: نحن نساوي \(x=0\)، ونحصل على \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). إحداثيات نقطة التقاطع مع محور أوي \((0; 0)\)

6. فترات الرتابة. الحدود القصوى للدالة.
دعونا نوجد النقاط الحرجة (الثابتة)، ولهذا نجد المشتقة الأولى ونساويها بالصفر $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ يساوي 0 $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ لنوجد قيمة الدالة عند هذه النقطة \( f(0) = 0\) و \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). حصلنا على نقطتين حرجتين بإحداثيات \((0;0)\) و \((1.5;-6.75)\)

فترات من الرتابة.
تحتوي الدالة على نقطتين حرجتين (النقاط القصوى المحتملة)، لذلك سننظر في الرتابة على أربع فترات:
الفاصل الزمني \((-\infty; 0) \) أوجد قيمة المشتقة الأولى عند أي نقطة في الفاصل الزمني \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2)>
الفاصل الزمني \((0;1)\) نجد قيمة المشتقة الأولى عند أي نقطة في الفاصل الزمني \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) ، تزداد الدالة خلال هذه الفترة.
الفاصل الزمني \((1;1.5)\) نجد قيمة المشتقة الأولى عند أي نقطة في الفاصل \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) ، تزداد الدالة خلال هذه الفترة.
الفترة \((1.5; +\infty)\) أوجد قيمة المشتقة الأولى عند أي نقطة في الفترة \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

الحدود القصوى للدالة.

عند دراسة الدالة، حصلنا على نقطتين حرجتين (ثابتتين) على الفاصل الزمني لمجال التعريف. دعونا نحدد ما إذا كانوا متطرفين. دعونا نفكر في التغير في إشارة المشتق عند المرور بالنقاط الحرجة:

النقطة \(x = 0\) تشير التغييرات المشتقة إلى \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - النقطة ليست نقطة متطرفة.
النقطة \(x = 1.5\) تشير التغييرات المشتقة إلى \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - النقطة هي النقطة القصوى.

7. فترات التحدب والتقعر. نقاط الانقلاب.

لإيجاد فترات التحدب والتقعر، نوجد المشتقة الثانية للدالة ونساويها بصفر $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ تساوي صفر $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ تحتوي الدالة على نقطة حرجة واحدة من النوع الثاني بإحداثيات \((0;0)\) .
دعونا نحدد التحدب على فترات من مجال التعريف، مع الأخذ في الاعتبار نقطة حرجة من النوع الثاني (نقطة انعطاف محتملة).

الفاصل الزمني \((-\infty; 0)\) أوجد قيمة المشتقة الثانية عند أي نقطة \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- س)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
الفاصل الزمني \((0; 1)\) نجد قيمة المشتقة الثانية عند أي نقطة \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \)، في هذه الفترة يكون المشتق الثاني للدالة موجبًا \(f""(x) > 0 \) تكون الدالة محدبة للأسفل (محدبة).
الفاصل الزمني \((1; \infty)\) أوجد قيمة المشتقة الثانية عند أي نقطة \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

نقاط الانقلاب.

لنتأمل التغير في إشارة المشتقة الثانية عند المرور بنقطة حرجة من النوع الثاني:
عند النقطة \(x =0\)، يتم تسجيل تغييرات المشتقة الثانية بـ \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\)، يتغير الرسم البياني للدالة في التحدب، أي. هذه هي نقطة الانعطاف ذات الإحداثيات \((0;0)\).

8. الخطوط المقاربة.

الخط المقارب الرأسي. يحتوي الرسم البياني للدالة على خط تقارب رأسي واحد \(x =1\) (انظر الفقرة 2).
الخط المقارب.
لكي يكون للرسم البياني للدالة \(y= \frac(x^3)(1-x) \) عند \(x \to \infty\) خط مقارب مائل \(y = kx+b\) فهو ضروري وكاف بحيث يكون هناك حدين $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ نجده $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ والحد الثاني $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $، لأن \(k = \infty\) - لا يوجد خط تقارب مائل.

الخط المقارب الأفقي:لكي يكون الخط المقارب الأفقي موجودًا، من الضروري أن يكون هناك حد $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ لنجده $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ إنفتي$$
لا يوجد خط تقارب أفقي.

9. الرسم البياني للوظيفة.

لدراسة الدالة بشكل كامل ورسم الرسم البياني الخاص بها، يوصى بالمخطط التالي:
أ) العثور على مجال التعريف، ونقاط التوقف؛ استكشاف سلوك الدالة بالقرب من نقاط الانقطاع (ابحث عن حدود الدالة على اليسار واليمين عند هذه النقاط). أشر إلى الخطوط المقاربة العمودية.
ب) حدد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية واستنتج وجود تماثل. إذا كانت الدالة زوجية ومتماثلة حول محور OY؛ عندما تكون الدالة فردية ومتماثلة بالنسبة للأصل؛ و if هي دالة ذات شكل عام.
ج) ابحث عن نقاط تقاطع الدالة مع محوري الإحداثيات OY وOX (إن أمكن)، وحدد فترات الإشارة الثابتة للدالة. يتم تحديد حدود فترات الإشارة الثابتة للدالة من خلال النقاط التي تكون فيها الدالة صفر (أصفار دالة) أو غير موجودة وحدود مجال تعريف هذه الوظيفة. في الفواصل الزمنية التي يقع فيها الرسم البياني للوظيفة فوق محور OX، وأين - أسفل هذا المحور.
د) أوجد المشتقة الأولى للدالة، وحدد أصفارها وفترات الإشارة الثابتة. في الفترات التي تزيد فيها الدالة وحيث تقل. استنتج وجود النقاط القصوى (النقاط التي توجد فيها دالة ومشتقة وعند المرور من خلالها تتغير الإشارة. إذا تغيرت العلامة من زائد إلى ناقص، ففي هذه المرحلة يكون للدالة حد أقصى، وإذا تغيرت من ناقص إلى زائد ثم الحد الأدنى). أوجد قيم الدالة عند النقاط القصوى.
د) أوجد المشتقة الثانية وأصفارها وفترات الإشارة الثابتة. على فترات حيث< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
هـ) ابحث عن الخطوط المقاربة المائلة (الأفقية) التي يكون لمعادلاتها الشكل ; أين
.
في سيحتوي الرسم البياني للدالة على خطين مقاربين مائلين، وكل قيمة x at ويمكن أن تتوافق أيضًا مع قيمتين b.
ز) ابحث عن نقاط إضافية لتوضيح الرسم البياني (إذا لزم الأمر) وإنشاء رسم بياني.

مثال 1 استكشاف الوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها. الحل: أ) مجال التعريف ; الدالة مستمرة في مجال تعريفها؛ - نقطة الاستراحة، لأن ;. ثم - الخط المقارب العمودي.
ب)
أولئك. y(x) هي دالة ذات شكل عام.
ج) ابحث عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور OY: set x=0; ثم y(0)=–1، أي الرسم البياني للدالة يتقاطع مع المحور عند النقطة (0;-1). أصفار الدالة (نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور OX): set y=0; ثم
.
مميز المعادلة التربيعية أقل من الصفر، مما يعني عدم وجود أصفار. إذن حدود فترات الإشارة الثابتة هي النقطة x=1، حيث لا توجد الدالة.
يتم تحديد علامة الدالة في كل فترة من الفترات بطريقة القيم الجزئية:

يتضح من الرسم البياني أنه في الفاصل الزمني يقع الرسم البياني للدالة تحت محور OX، وفي الفاصل الزمني - فوق محور OX.
د) نكتشف وجود النقاط الحرجة.
.
نجد النقاط الحرجة (حيث أو لا توجد) من المساواة و .

نحصل على: x1=1، x2=0، x3=2. لنقم بإنشاء جدول مساعد

الجدول 1

(يحتوي السطر الأول على النقاط الحرجة والفواصل التي تنقسم إليها هذه النقاط بواسطة محور OX؛ أما السطر الثاني فيشير إلى قيم المشتق عند النقاط الحرجة والإشارات على الفواصل. ويتم تحديد العلامات بالقيمة الجزئية يشير السطر الثالث إلى قيم الدالة y(x) عند النقاط الحرجة ويوضح سلوك الدالة - زيادة أو نقصانًا على الفواصل الزمنية المقابلة للمحور العددي. بالإضافة إلى ذلك، فإن وجود الحد الأدنى أو الحد الأقصى مبين.
د) أوجد فترات التحدب وتقعر الدالة.
; بناء جدول كما في النقطة د)؛ فقط في السطر الثاني نكتب العلامات، وفي الثالث نشير إلى نوع التحدب. لأن ; ثم النقطة الحرجة هي واحد س = 1.
الجدول 2

النقطة x=1 هي نقطة الانقلاب.
هـ) ابحث عن الخطوط المقاربة المائلة والأفقية

ثم y=x هو خط مقارب مائل.
ز) بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها، قمنا ببناء رسم بياني للدالة

1). نطاق الوظيفة.
ومن الواضح أن هذه الدالة محددة على خط الأعداد بأكمله، باستثناء النقطتين "" و""، لأن عند هذه النقاط يكون المقام يساوي صفرًا، وبالتالي فإن الدالة غير موجودة، والخطوط المستقيمة وخطوط مقاربة رأسية.

2). سلوك الدالة حيث يميل الوسيط إلى اللانهاية، ووجود نقاط الانقطاع، والتحقق من وجود الخطوط المقاربة المائلة.
دعونا أولاً نتحقق من سلوك الدالة عندما تقترب من اللانهاية إلى اليسار واليمين.

وبالتالي، عندما تميل الدالة إلى 1، أي. - الخط المقارب الأفقي.
في محيط نقاط الانقطاع، يتم تحديد سلوك الوظيفة على النحو التالي:


أولئك. عند الاقتراب من نقاط الانقطاع على اليسار، تقل الدالة إلى ما لا نهاية، وعلى اليمين، تزداد إلى ما لا نهاية.
نحدد وجود خط مقارب مائل من خلال النظر في المساواة:

لا توجد الخطوط المقاربة المائلة.

3). نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات.
هنا من الضروري النظر في حالتين: العثور على نقطة التقاطع مع محور الثور ومحور أوي. علامة التقاطع مع محور الثور هي القيمة صفر للدالة، أي. من الضروري حل المعادلة:

هذه المعادلة ليس لها جذور، وبالتالي فإن الرسم البياني لهذه الدالة لا يحتوي على نقاط تقاطع مع محور الثور.
علامة التقاطع مع محور Oy هي القيمة x = 0. في هذه الحالة
,
أولئك. – نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور أوي.

4).تحديد النقاط القصوى وفترات الزيادة والنقصان.
ولدراسة هذه المسألة نحدد المشتقة الأولى:
.
دعونا نساوي قيمة المشتقة الأولى بالصفر.
.
يكون الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه يساوي صفرًا، أي. .
دعونا نحدد فترات الزيادة والنقصان في الوظيفة.

وبالتالي، فإن الدالة لها نقطة قصوى واحدة ولا توجد عند نقطتين.
وبالتالي، فإن الدالة تزيد على الفواصل الزمنية وتنقص على الفواصل الزمنية و .

5). نقاط الانعطاف ومناطق التحدب والتقعر.
يتم تحديد هذه الخاصية لسلوك الوظيفة باستخدام المشتق الثاني. دعونا أولا تحديد وجود نقاط انعطاف. المشتقة الثانية للدالة تساوي

عندما تكون الدالة مقعرة؛

عندما تكون الوظيفة محدبة.

6). رسم بياني وظيفة.
باستخدام القيم الموجودة في النقاط، سنقوم بشكل تخطيطي ببناء رسم بياني للوظيفة:

حل
الدالة المعطاة هي دالة غير دورية ذات شكل عام. الرسم البياني الخاص به يمر عبر أصل الإحداثيات، منذ .
مجال تعريف دالة معينة هو جميع قيم المتغير باستثناء التي يصبح مقام الكسر فيها صفراً.
وبالتالي، فإن النقاط هي نقاط انقطاع الدالة.
لأن ,

لأن ,
فإن النقطة هي نقطة انقطاع من النوع الثاني.
الخطوط المستقيمة هي الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني للدالة.
معادلات الخطوط المقاربة المائلة، حيث، .
في ,
.
وبالتالي، فإن الرسم البياني للدالة يحتوي على خط مقارب واحد.
دعنا نوجد فترات الزيادة والنقصان للدالة والنقاط القصوى.
.
المشتق الأول للدالة at، وبالتالي، at وتزيد الدالة.
متى إذن متى تنخفض الدالة.
غير موجود ل .
، لذلك متى الرسم البياني للدالة مقعر.
في ، لذلك متى الرسم البياني للدالة محدب.

عند المرور عبر النقاط، علامة التغييرات. عندما لا يتم تعريف الدالة، فإن الرسم البياني للدالة له نقطة انعطاف واحدة.
دعونا نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة.