نقدم هنا حلولًا تفصيلية لثلاثة أمثلة لتكامل الكسور النسبية التالية:
, , .

مثال 1

حساب التكامل:
.

حل

هنا، تحت علامة التكامل هناك وظيفة عقلانية، لأن التكامل هو جزء من كثيرات الحدود. مقام درجة متعددة الحدود ( 3 ) أقل من درجة البسط كثير الحدود ( 4 ). لذلك، أولا تحتاج إلى تحديد الجزء بأكمله من الكسر.

1. دعونا نختار الجزء الكامل من الكسر. قسمة س 4 بواسطة س 3 - 6 × 2 + 11 × - 6:

من هنا
.

2. دعونا نحلل مقام الكسر. للقيام بذلك، تحتاج إلى حل المعادلة التكعيبية:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
دعونا نستبدل x = 1 :
.

1 . القسمة على س - 1 :

من هنا
.
حل المعادلة التربيعية.
.
جذور المعادلة هي : .
ثم
.

3. دعونا نقسم الكسر إلى أبسط صورة.

.

لذلك وجدنا:
.
دعونا نتكامل.

إجابة

مثال 2

حساب التكامل:
.

حل

هنا بسط الكسر هو متعدد الحدود من الدرجة صفر ( 1 = × 0). المقام هو كثير الحدود من الدرجة الثالثة. بسبب ال 0 < 3 ، فالكسر صحيح. دعونا نقسمها إلى كسور بسيطة.

1. دعونا نحلل مقام الكسر. للقيام بذلك، تحتاج إلى حل معادلة الدرجة الثالثة:
.
لنفترض أن لها جذرًا واحدًا على الأقل. ثم هو مقسوم على الرقم 3 (عضو بدون x). أي أن الجذر بالكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 3, -1, -3 .
دعونا نستبدل x = 1 :
.

وبذلك نكون قد وجدنا جذرًا واحدًا x = 1 . قسمة س 3 + 2 س - 3على س - 1 :

لذا،
.

حل المعادلة التربيعية:
س 2 + س + 3 = 0.
أوجد المميز: D = 1 2 - 4 3 = -11. منذ د< 0 ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية. وهكذا حصلنا على تحليل المقام:
.

2.
.
(س - 1)(س 2 + س + 3):
(2.1) .
دعونا نستبدل x = 1 . ثم س - 1 = 0 ,
.

دعونا نستبدل (2.1) س = 0 :
1 = 3 أ - ج;
.

دعونا نساوي (2.1) معاملات x 2 :
;
0 = أ + ب;
.

.

3. دعونا نتكامل.
(2.2) .
لحساب التكامل الثاني، نعزل مشتقة المقام في البسط ونختصر المقام إلى مجموع المربعات.

;
;
.

احسب انا 2 .


.
منذ المعادلة x 2 + س + 3 = 0ليس له جذور حقيقية، ثم x 2 + س + 3 > 0. ولذلك، يمكن حذف علامة المعامل.

نقوم بالتوصيل الى (2.2) :
.

إجابة

مثال 3

حساب التكامل:
.

حل

هنا تحت علامة التكامل يوجد جزء من كثيرات الحدود. لذلك فإن التكامل هو دالة عقلانية. درجة كثير الحدود في البسط تساوي 3 . درجة كثير الحدود لمقام الكسر تساوي 4 . بسبب ال 3 < 4 ، فالكسر صحيح. ولذلك، فإنه يمكن أن تتحلل إلى كسور بسيطة. ولكن للقيام بذلك تحتاج إلى تحليل المقام.

1. دعونا نحلل مقام الكسر. للقيام بذلك، عليك حل معادلة الدرجة الرابعة:
.
لنفترض أن لها جذرًا واحدًا على الأقل. ثم هو مقسوم على الرقم 2 (عضو بدون x). أي أن الجذر بالكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 2, -1, -2 .
دعونا نستبدل x = -1 :
.

وبذلك نكون قد وجدنا جذرًا واحدًا x = -1 . القسمة على س - (-1) = س + 1:


لذا،
.

والآن علينا حل معادلة الدرجة الثالثة:
.
إذا افترضنا أن هذه المعادلة لها جذر صحيح، فهي مقسومة على الرقم 2 (عضو بدون x). أي أن الجذر بالكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 2, -1, -2 .
دعونا نستبدل x = -1 :
.

لذلك، وجدنا جذرًا آخر x = -1 . سيكون من الممكن، كما في الحالة السابقة، تقسيم كثير الحدود على ، لكننا سنجمع المصطلحات:
.

منذ المعادلة x 2 + 2 = 0 ليس له جذور حقيقية، ثم نحصل على تحليل المقام:
.

2. دعونا نقسم الكسر إلى أبسط صورة. نحن نبحث عن التوسع في النموذج:
.
نتخلص من مقام الكسر ونضربه (س + 1) 2 (س 2 + 2):
(3.1) .
دعونا نستبدل x = -1 . ثم س + 1 = 0 ,
.

دعونا نفرق (3.1) :

;

.
دعونا نستبدل x = -1 وتأخذ في الاعتبار أن x + 1 = 0 :
;
; .

دعونا نستبدل (3.1) س = 0 :
0 = 2 أ + 2 ب + د;
.

دعونا نساوي (3.1) معاملات x 3 :
;
1 = ب + ج;
.

وبذلك نكون قد وجدنا التحلل إلى كسور بسيطة:
.

3. دعونا نتكامل.


.

تكامل دالة كسرية عقلانية.
طريقة معامل غير مؤكدة

نواصل العمل على تكامل الكسور. لقد نظرنا بالفعل إلى تكاملات بعض أنواع الكسور في الدرس، ويمكن اعتبار هذا الدرس، بمعنى ما، استمرارًا. لفهم المادة بنجاح، يلزم وجود مهارات التكامل الأساسية، لذلك إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة التكاملات، أي أنك مبتدئ، فأنت بحاجة إلى البدء بالمقالة تكامل غير محدد. أمثلة على الحلول.

ومن الغريب أننا الآن لن ننخرط كثيرًا في إيجاد التكاملات، ولكن... في حل أنظمة المعادلات الخطية. في هذا الصدد بشكل عاجلأوصي بحضور الدرس، أي أنك بحاجة إلى أن تكون على دراية جيدة بطرق الاستبدال (طريقة "المدرسة" وطريقة الجمع (الطرح) لمعادلات النظام).

ما هي وظيفة عقلانية كسرية؟ بكلمات بسيطة، الدالة الكسرية هي الكسر الذي يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود أو منتجات كثيرات الحدود. علاوة على ذلك، فإن الكسور أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت مناقشتها في المقالة دمج بعض الكسور.

دمج دالة كسرية-عقلانية مناسبة

على الفور مثال وخوارزمية نموذجية لحل تكامل دالة كسرية.

مثال 1

الخطوة 1.أول شيء نفعله دائمًا عند حل تكامل دالة كسرية هو توضيح السؤال التالي: هل الكسر صحيح؟يتم تنفيذ هذه الخطوة لفظيًا، والآن سأشرح الطريقة:

أولًا، ننظر إلى البسط ونكتشف ذلك درجة عليامتعدد الحدود:

القوة الرئيسية للبسط هي اثنان.

الآن ننظر إلى المقام ونكتشف ذلك درجة علياالمقام - صفة مشتركة - حالة. الطريقة الواضحة هي فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، ولكن يمكنك القيام بذلك بشكل أسهل كلالعثور على أعلى درجة بين قوسين

والضرب ذهنياً: - وبذلك تكون أعلى درجة للمقام تساوي ثلاثة. ومن الواضح أننا إذا فتحنا القوسين بالفعل، فلن نحصل على درجة أكبر من ثلاثة.

خاتمة: الدرجة الكبرى من البسط بشكل صارمأقل من أعلى قوة للمقام، مما يعني أن الكسر صحيح.

إذا كان البسط في هذا المثال يحتوي على كثيرة الحدود 3، 4، 5، إلخ. درجة، ثم سيكون الكسر خطأ.

الآن سننظر فقط في الدوال العقلانية الكسرية الصحيحة. سيتم مناقشة الحالة التي تكون فيها درجة البسط أكبر من أو تساوي درجة المقام في نهاية الدرس.

الخطوة 2.دعونا نحلل المقام. دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:

بشكل عام، هذا بالفعل نتاج عوامل، ولكن مع ذلك نسأل أنفسنا: هل من الممكن توسيع شيء آخر؟ سيكون موضوع التعذيب بلا شك هو الثلاثي المربع. حل المعادلة التربيعية:

المميز أكبر من الصفر، مما يعني أنه يمكن بالفعل تحليل ثلاثية الحدود إلى عوامل:

القاعدة العامة: كل ما يمكن تحليله في المقام - قم بتحليله

لنبدأ في صياغة الحل:

الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور البسيطة (الابتدائية). الآن سوف يكون أكثر وضوحا.

دعونا نلقي نظرة على وظيفة التكامل لدينا:

وكما تعلمون، بطريقة ما تنبثق فكرة بديهية مفادها أنه سيكون من الجيد تحويل الكسر الكبير إلى عدة أجزاء صغيرة. على سبيل المثال، مثل هذا:

السؤال الذي يطرح نفسه، هل من الممكن القيام بذلك؟ دعونا نتنفس الصعداء، تنص نظرية التحليل الرياضي المقابلة على أن هذا ممكن. مثل هذا التحلل موجود وهو فريد من نوعه.

هناك صيد واحد فقط، والاحتمالات هي الوداعنحن لا نعرف، ومن هنا الاسم – طريقة المعاملات غير المحددة.

كما خمنت، فإن حركات الجسم اللاحقة تكون هكذا، لا تثرثر! سوف يهدف فقط إلى التعرف عليهم - لمعرفة ما يساويهم.

كن حذرا، سأشرح بالتفصيل مرة واحدة فقط!

لذلك، دعونا نبدأ الرقص من:

على الجانب الأيسر نقوم بتقليل التعبير إلى قاسم مشترك:

يمكننا الآن التخلص بأمان من القواسم (لأنها متماثلة):

على الجانب الأيسر نفتح الأقواس، لكن لا نلمس المعاملات المجهولة الآن:

وفي الوقت نفسه، نكرر القاعدة المدرسية المتمثلة في ضرب كثيرات الحدود. عندما كنت مدرسًا، تعلمت نطق هذه القاعدة بوجه مستقيم: من أجل ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، يتعين عليك ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من كثيرة الحدود الأخرى.

من وجهة نظر شرح واضح، من الأفضل وضع المعاملات بين قوسين (على الرغم من أنني شخصيا لا أفعل ذلك أبدا لتوفير الوقت):

نحن نؤلف نظام المعادلات الخطية.
أولاً نبحث عن الدرجات العليا:

ونكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الأولى للنظام:

تذكر النقطة التالية جيداً. ماذا سيحدث لو لم يكن هناك حرف s على الجانب الأيمن على الإطلاق؟ لنفترض، هل سيتم عرضه بدون أي مربع؟ في هذه الحالة، في معادلة النظام سيكون من الضروري وضع صفر على اليمين: . لماذا الصفر؟ ولكن لأنه على الجانب الأيمن يمكنك دائمًا تعيين نفس المربع بصفر: إذا لم يكن هناك متغيرات و/أو حد حر على الجانب الأيمن، فإننا نضع أصفارًا على الجانب الأيمن من المعادلات المقابلة للنظام.

نكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الثانية للنظام:

وأخيرا، المياه المعدنية، نختار الأعضاء الأحرار.

إيه،... بطريقة ما كنت أمزح. بغض النظر عن النكات - الرياضيات علم جاد. في مجموعتنا بالمعهد، لم يضحك أحد عندما قالت الأستاذة المساعدة إنها ستقوم بنثر الحدود على خط الأعداد واختيار أكبرها. دعونا نكون جادين. مع ذلك... من يعيش ليرى نهاية هذا الدرس سيظل يبتسم بهدوء.

النظام جاهز:

نحن نحل النظام:

(1) من المعادلة الأولى نعبر عنها ونعوضها في المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. في الواقع، كان من الممكن التعبير (أو حرف آخر) من معادلة أخرى، ولكن في هذه الحالة من المفيد التعبير عنها من المعادلة الأولى، حيث أن هناك أصغر الاحتمالات.

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة.

(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة حداً تلو الآخر ونحصل على المساواة ويترتب على ذلك أن

(4) نعوض في المعادلة الثانية (أو الثالثة) حيث نجد ذلك

(5) عوض في المعادلة الأولى لتحصل على .

إذا واجهتك أي صعوبات في طرق حل النظام، قم بالتدرب عليها في الفصل. كيفية حل نظام المعادلات الخطية؟

بعد حل النظام، من المفيد دائمًا التحقق من استبدال القيم الموجودة كلمعادلة النظام، ونتيجة لذلك يجب أن "يتقارب" كل شيء.

اوشكت على الوصول. تم العثور على المعاملات، و:

يجب أن تبدو المهمة النهائية كما يلي:

كما ترون، كانت الصعوبة الرئيسية للمهمة هي تكوين (بشكل صحيح!) وحل (بشكل صحيح!) نظام من المعادلات الخطية. وفي المرحلة النهائية، كل شيء ليس صعبا للغاية: نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد والتكامل. يرجى ملاحظة أنه تحت كل من التكاملات الثلاثة لدينا وظيفة معقدة "حرة"؛ لقد تحدثت عن ميزات تكاملها في الدرس طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد.

تحقق: ميّز الإجابة:

تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل بشكل صحيح.
أثناء التحقق، كان علينا اختزال التعبير إلى قاسم مشترك، وهذا ليس من قبيل الصدفة. إن طريقة المعاملات غير المحددة واختزال التعبير إلى قاسم مشترك هما إجراءان عكسيان.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد.

دعنا نعود إلى الكسر من المثال الأول: . من السهل ملاحظة أن جميع العوامل مختلفة في المقام. السؤال الذي يطرح نفسه هو ماذا تفعل إذا تم إعطاء الكسر التالي على سبيل المثال: ؟ هنا لدينا درجات في المقام، أو رياضياً، مضاعفات. بالإضافة إلى ذلك، هناك ثلاثية حدود تربيعية لا يمكن تحليلها (من السهل التحقق من أن مميز المعادلة سالبة، لذلك لا يمكن تحليل ثلاثية الحدود). ما يجب القيام به؟ سيبدو التوسع في مجموع الكسور الأولية بهذا الشكل مع معاملات غير معروفة في الأعلى أو أي شيء آخر؟

مثال 3

تقديم وظيفة

الخطوة 1.التحقق مما إذا كان لدينا كسر مناسب
البسط الرئيسي: 2
أعلى درجة للمقام: 8
مما يعني أن الكسر صحيح.

الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ من الواضح لا، كل شيء تم وضعه بالفعل. لا يمكن توسيع ثلاثي الحدود المربع إلى منتج للأسباب المذكورة أعلاه. كَبُّوت. عمل أقل.

الخطوه 3.دعونا نتخيل دالة كسرية عقلانية كمجموع الكسور الأولية.
في هذه الحالة، يكون التوسع على الشكل التالي:

دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:
عند تحليل دالة كسرية إلى مجموع الكسور الأولية، يمكن تمييز ثلاث نقاط أساسية:

1) إذا كان المقام يحتوي على عامل "وحيد" للقوة الأولى (في حالتنا)، فإننا نضع معاملًا غير محدد في الأعلى (في حالتنا). الأمثلة رقم 1، 2 تتألف فقط من هذه العوامل "الوحيدة".

2) إذا كان القاسم موجودا عديدالمضاعف، فأنت بحاجة إلى تحليله على النحو التالي:
- أي المرور بجميع درجات "X" من الدرجة الأولى إلى الدرجة التاسعة بالتتابع. في مثالنا هناك عاملان متعددان: و، ألقِ نظرة أخرى على التوسيع الذي قدمته وتأكد من توسيعهما تمامًا وفقًا لهذه القاعدة.

3) إذا كان المقام يحتوي على كثير حدود غير قابل للتحلل من الدرجة الثانية (في حالتنا)، فعند التحلل في البسط تحتاج إلى كتابة دالة خطية ذات معاملات غير محددة (في حالتنا مع معاملات غير محددة و ).

في الواقع، هناك حالة رابعة أخرى، لكنني سألتزم الصمت عنها، لأنها في الممارسة العملية نادرة للغاية.

مثال 4

تقديم وظيفة كمجموع كسور أولية ذات معاملات غير معروفة.

هذا مثال عليك حله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
اتبع الخوارزمية بدقة!

إذا فهمت المبادئ التي تحتاج من خلالها إلى توسيع الدالة الكسرية إلى مجموع، فيمكنك مضغ أي تكامل من النوع قيد النظر تقريبًا.

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد.

الخطوة 1.من الواضح أن الكسر صحيح:

الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ يستطيع. هنا مجموع المكعبات . عامل المقام باستخدام صيغة الضرب المختصرة

الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور الأولية:

يرجى ملاحظة أن كثيرة الحدود لا يمكن تحليلها (تأكد من أن المميز سلبي)، لذلك نضع في الأعلى دالة خطية ذات معاملات غير معروفة، وليس حرفًا واحدًا فقط.

نأتي الكسر إلى قاسم مشترك:

دعونا نؤلف ونحل النظام:

(1) نعبر من المعادلة الأولى ونعوض بها في المعادلة الثانية للنظام (هذه هي الطريقة الأكثر عقلانية).

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلة الثانية.

(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة من حد النظام بحده.

جميع الحسابات الإضافية تكون، من حيث المبدأ، شفهية، لأن النظام بسيط.

(1) نكتب مجموع الكسور حسب المعاملات الموجودة.

(2) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد. ماذا حدث في التكامل الثاني؟ يمكنك التعرف على هذه الطريقة في الفقرة الأخيرة من الدرس. دمج بعض الكسور.

(3) مرة أخرى نستخدم خصائص الخطية. في التكامل الثالث نبدأ بعزل المربع الكامل (الفقرة قبل الأخيرة من الدرس دمج بعض الكسور).

(4) نأخذ التكامل الثاني، وفي الثالث نختار المربع الكامل.

(٥) خذ التكامل الثالث. مستعد.

تعتمد المادة المقدمة في هذا الموضوع على المعلومات المقدمة في موضوع "الكسور المنطقية. تحليل الكسور المنطقية إلى كسور أولية (بسيطة)". أوصي بشدة بتصفح هذا الموضوع على الأقل قبل الانتقال إلى قراءة هذه المادة. بالإضافة إلى ذلك، سنحتاج إلى جدول التكاملات غير المحددة.

اسمحوا لي أن أذكركم ببعض المصطلحات. لقد تمت مناقشتها في الموضوع المقابل، لذلك سأقتصر هنا على صياغة موجزة.

النسبة بين كثيرتي الحدود $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ تسمى دالة عقلانية أو كسر عقلاني. يسمى الكسر العقلاني صحيح، إذا $ن< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется خطأ.

الكسور الأولية (البسيطة) هي كسور كسرية من أربعة أنواع:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

ملاحظة (يُفضل الحصول على فهم أكثر اكتمالاً للنص): إظهار/إخفاء

لماذا هناك حاجة إلى الشرط $p^2-4q؟< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

على سبيل المثال، بالنسبة للتعبير $x^2+5x+10$ نحصل على: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. منذ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

بالمناسبة، لإجراء هذا التحقق، ليس من الضروري على الإطلاق أن يكون المعامل قبل $x^2$ مساويًا لـ 1. على سبيل المثال، بالنسبة إلى $5x^2+7x-3=0$ نحصل على: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 دولارات. بما أن $D > 0$، فإن التعبير $5x^2+7x-3$ قابل للتحليل.

يمكن العثور على أمثلة للكسور المنطقية (الصحيحة وغير الصحيحة)، بالإضافة إلى أمثلة لتحليل الكسر العقلاني إلى أجزاء أولية. هنا سنهتم فقط بمسائل تكاملهم. لنبدأ بتكامل الكسور الأولية. لذلك، من السهل دمج كل نوع من الأنواع الأربعة للكسور الأولية المذكورة أعلاه باستخدام الصيغ أدناه. اسمحوا لي أن أذكرك أنه عند تكامل الكسور من النوعين (2) و (4)، يتم افتراض $n=2,3,4,\ldots$. تتطلب الصيغتان (3) و (4) استيفاء الشرط $p^2-4q< 0$.

\begin(معادلة) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ فارك (2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(معادلة)

بالنسبة إلى $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$، يتم إجراء الاستبدال $t=x+\frac(p)(2)$، وبعد ذلك يكون الفاصل الزمني الناتج هو وتنقسم الى مجموعتين. سيتم حساب الأول عن طريق الإدخال تحت العلامة التفاضلية، والثاني سيكون له النموذج $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. يتم أخذ هذا التكامل باستخدام علاقة التكرار

\begin(المعادلة) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(معادلة)

تمت مناقشة حساب هذا التكامل في المثال رقم 7 (انظر الجزء الثالث).

مخطط لحساب تكاملات الوظائف العقلانية (الكسور المنطقية):

1. إذا كان التكامل أوليًا، فقم بتطبيق الصيغ (1)-(4).
2. إذا لم يكن التكامل أوليًا، فقم بتمثيله كمجموع كسور أولية، ثم قم بالتكامل باستخدام الصيغ (1)-(4).

تتمتع الخوارزمية المذكورة أعلاه لدمج الكسور المنطقية بميزة لا يمكن إنكارها - فهي عالمية. أولئك. باستخدام هذه الخوارزمية يمكنك التكامل أيجزء عقلاني. هذا هو السبب في أن جميع تغييرات المتغيرات تقريبًا في التكامل غير المحدد (أويلر، تشيبيشيف، الاستبدال المثلثي العالمي) تتم بطريقة نحصل بعد هذا التغيير على جزء عقلاني تحت الفاصل الزمني. ثم قم بتطبيق الخوارزمية عليها. سنقوم بتحليل التطبيق المباشر لهذه الخوارزمية باستخدام الأمثلة، بعد تقديم ملاحظة صغيرة.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

من حيث المبدأ، من السهل الحصول على هذا التكامل دون التطبيق الميكانيكي للصيغة. إذا أخذنا الثابت $7$ من علامة التكامل وأخذنا في الاعتبار $dx=d(x+9)$، فسنحصل على:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

للحصول على معلومات مفصلة، ​​أوصي بالنظر إلى الموضوع. ويشرح بالتفصيل كيفية حل هذه التكاملات. وبالمناسبة، يتم إثبات الصيغة بنفس التحويلات التي تم تطبيقها في هذه الفقرة عند حلها "يدويا".

2) مرة أخرى، هناك طريقتان: استخدام التركيبة الجاهزة أو الاستغناء عنها. إذا قمت بتطبيق الصيغة، فيجب أن تأخذ في الاعتبار أنه يجب إزالة المعامل الموجود أمام $x$ (الرقم 4). للقيام بذلك، دعونا ببساطة نخرج هذه الأربعة من الأقواس:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\يسار (x+\frac(19)(4)\يمين)^8). $$

الآن حان الوقت لتطبيق الصيغة:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \يمين)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \يمين)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \يمين )^7)+ج. $$

يمكنك الاستغناء عن استخدام الصيغة. وحتى بدون إخراج مبلغ 4$ الثابت من بين قوسين. إذا أخذنا في الاعتبار $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$، فسنحصل على:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ فارك(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

توجد شرح تفصيلي لإيجاد مثل هذه التكاملات في موضوع "التكامل بالتعويض (التعويض تحت العلامة التفاضلية)".

3) نحتاج إلى تكامل الكسر $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. يحتوي هذا الكسر على البنية $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$، حيث $M=4$، $N=7$، $p=10$، $q=34$. ومع ذلك، للتأكد من أن هذا هو بالفعل كسر أولي من النوع الثالث، فأنت بحاجة إلى التحقق من استيفاء الشرط $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x) +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

دعونا نحل نفس المثال، ولكن دون استخدام صيغة جاهزة. دعونا نحاول عزل مشتقة المقام في البسط. ماذا يعني هذا؟ نحن نعلم أن $(x^2+10x+34)"=2x+10$. إنه التعبير $2x+10$ الذي يتعين علينا عزله في البسط. حتى الآن يحتوي البسط على $4x+7$ فقط، ولكن هذا لن يستمر طويلا دعونا نطبق التحول التالي على البسط:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

الآن يظهر التعبير المطلوب $2x+10$ في البسط. ويمكن إعادة كتابة التكامل الخاص بنا على النحو التالي:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

دعونا نقسم التكامل إلى قسمين. حسنًا ، وبناءً على ذلك ، فإن التكامل نفسه "منقسم" أيضًا:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \يمين)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

دعونا نتحدث أولا عن التكامل الأول، أي. حول $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. بما أن $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$، فإن بسط التكامل يحتوي على تفاضل المقام. باختصار، بدلاً من ذلك من التعبير $( 2x+10)dx$ نكتب $d(x^2+10x+34)$.

الآن دعنا نقول بضع كلمات عن التكامل الثاني. لنختار مربعًا كاملاً في المقام: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. بالإضافة إلى ذلك، نأخذ في الاعتبار $dx=d(x+5)$. الآن يمكن إعادة كتابة مجموع التكاملات التي حصلنا عليها سابقًا بشكل مختلف قليلاً:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

إذا قمنا في التكامل الأول بإجراء الاستبدال $u=x^2+10x+34$، فسيأخذ النموذج $\int\frac(du)(u)$ ويمكن الحصول عليه ببساطة عن طريق تطبيق الصيغة الثانية من . أما التكامل الثاني فمن الممكن أن يتغير $u=x+5$، وبعد ذلك سيأخذ الشكل $\int\frac(du)(u^2+9)$. هذه هي أنقى الصيغة الحادية عشرة من جدول التكاملات غير المحددة. وبالعودة إلى مجموع التكاملات، لدينا:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

لقد حصلنا على نفس الإجابة التي حصلنا عليها عند تطبيق الصيغة، وهو أمر ليس مفاجئًا بالمعنى الدقيق للكلمة. بشكل عام، يتم إثبات الصيغة بنفس الطرق التي استخدمناها لإيجاد هذا التكامل. وأعتقد أن القارئ اليقظ قد يكون لديه هنا سؤال واحد، لذلك سأصيغه:

السؤال رقم 1

إذا طبقنا الصيغة الثانية من جدول التكاملات غير المحددة على التكامل $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$، فسنحصل على ما يلي:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

لماذا لم تكن هناك وحدة في الحل؟

الإجابة على السؤال رقم 1

السؤال طبيعي تماما. كانت الوحدة مفقودة فقط لأن التعبير $x^2+10x+34$ لأي $x\in R$ أكبر من الصفر. من السهل جدًا إظهار ذلك بعدة طرق. على سبيل المثال، بما أن $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ و$(x+5)^2 ≥ 0$، فإن $(x+5)^2+9 > 0$ . يمكنك التفكير بشكل مختلف، دون استخدام اختيار مربع كامل. منذ $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ لأي $x\in R$ (إذا كانت هذه السلسلة المنطقية مفاجئة، أنصحك بإلقاء نظرة على الطريقة الرسومية لحل عدم المساواة التربيعية). على أية حال، بما أن $x^2+10x+34 > 0$، ثم $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$، أي. بدلا من الوحدة النمطية، يمكنك استخدام الأقواس العادية.

تم حل جميع نقاط المثال رقم 1، ولم يتبق سوى كتابة الإجابة.

إجابة:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

المثال رقم 2

أوجد التكامل $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

للوهلة الأولى، يبدو الكسر التكاملي $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ مشابهًا جدًا لكسر أولي من النوع الثالث، أي. بواسطة $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. يبدو أن الاختلاف الوحيد هو المعامل $3$ أمام $x^2$، لكن إزالة المعامل لا تستغرق وقتًا طويلاً (أخرجه من الأقواس). ومع ذلك، فإن هذا التشابه واضح. بالنسبة للكسر $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ الشرط $p^2-4q إلزامي< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

معاملنا قبل $x^2$ لا يساوي واحدًا، لذا تحقق من الشرط $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$، لذلك يمكن تحليل التعبير $3x^2-5x-2$. هذا يعني أن الكسر $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ليس كسرًا عنصريًا من النوع الثالث، وقم بتطبيق $\int\frac(7x+12)(3x^2-) ) إلى صيغة التكامل 5x-2)dx$ غير ممكنة.

حسنًا، إذا لم يكن الكسر النسبي المعطى كسرًا أوليًا، فيجب تمثيله كمجموع كسور أولية ثم تكامله. باختصار، الاستفادة من الدرب. كيفية تحليل الكسر العقلاني إلى أجزاء أولية مكتوبة بالتفصيل. لنبدأ بتحليل المقام:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(محاذاة) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(محاذاة)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

نقدم الكسر الفرعي في هذا النموذج:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

الآن دعونا نحلل الكسر $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ إلى أجزاء أولية:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\يمين)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\صحيح). $$

للعثور على المعاملين $A$ و$B$ هناك طريقتان قياسيتان: طريقة المعاملات غير المحددة وطريقة استبدال القيم الجزئية. دعونا نطبق طريقة استبدال القيمة الجزئية، مع استبدال $x=2$ ثم $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\يمين); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

منذ أن تم العثور على المعاملات، كل ما تبقى هو كتابة التوسع النهائي:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

من حيث المبدأ، يمكنك ترك هذا الإدخال، لكني أحب الخيار الأكثر دقة:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

وبالعودة إلى التكامل الأصلي، نعوض بالمفكوك الناتج فيه. ثم نقسم التكامل إلى قسمين، ونطبق الصيغة على كل منهما. أفضل وضع الثوابت على الفور خارج علامة التكامل:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ فارك(1)(x+\frac(1)(3))\يمين)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+ج. $$

إجابة: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

المثال رقم 3

أوجد التكامل $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

نحن بحاجة إلى دمج الكسر $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. يحتوي البسط على كثيرة حدود من الدرجة الثانية، ويحتوي المقام على كثيرة حدود من الدرجة الثالثة. حيث أن درجة كثيرة الحدود في البسط أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام، أي. 2 دولار< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

كل ما علينا فعله هو تقسيم التكامل المعطى إلى ثلاثة وتطبيق الصيغة على كل منها. أفضل وضع الثوابت على الفور خارج علامة التكامل:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+ج. $$

إجابة: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

استمرار تحليل أمثلة هذا الموضوع موجود في الجزء الثاني.

"إن عالم الرياضيات، مثله مثل الفنان أو الشاعر، يخلق الأنماط. وإذا كانت أنماطه أكثر استقرارا، فذلك فقط لأنها مكونة من أفكار... أنماط عالم الرياضيات، تماما مثل أنماط الفنان أو الشاعر، يجب أن تكون جميلة؛ الأفكار، مثل الألوان أو الكلمات، يجب أن تتوافق مع بعضها البعض. الجمال هو المطلب الأول: لا مكان في العالم للرياضيات القبيحة».

جي إتش هاردي

في الفصل الأول، لوحظ أن هناك مشتقات عكسية لدوال بسيطة إلى حد ما لم يعد من الممكن التعبير عنها من خلال الدوال الأولية. في هذا الصدد، فإن فئات الدوال التي يمكننا القول بدقة أن مشتقاتها العكسية هي دوال أولية تكتسب أهمية عملية هائلة. تتضمن هذه الفئة من الوظائف وظائف عقلانية، تمثل نسبة اثنين من كثيرات الحدود الجبرية. تؤدي العديد من المشكلات إلى تكامل الكسور المنطقية. لذلك، من المهم جدًا أن تكون قادرًا على دمج هذه الوظائف.

2.1.1. وظائف عقلانية كسرية

جزء عقلاني(أو دالة عقلانية كسرية) تسمى العلاقة بين اثنين من كثيرات الحدود الجبرية:

أين و هي كثيرات الحدود.

دعونا نتذكر ذلك متعدد الحدود (متعدد الحدود, وظيفة عقلانية كاملة) نالدرجة العاشرةتسمى وظيفة النموذج

أين - أرقام حقيقية. على سبيل المثال،

- كثيرة الحدود من الدرجة الأولى؛

- متعدد الحدود من الدرجة الرابعة، الخ.

يسمى الكسر العقلاني (2.1.1). صحيح، إذا كانت الدرجة أقل من الدرجة، أي. ن<موإلا يسمى الكسر خطأ.

يمكن تمثيل أي كسر غير فعلي كمجموع كثير الحدود (الجزء الكامل) وكسر حقيقي (الجزء الكسري).يمكن فصل الأجزاء الكاملة والكسرية للكسر غير الحقيقي وفقًا لقاعدة تقسيم كثيرات الحدود بـ "الزاوية".

مثال 2.1.1.حدد الأجزاء الكاملة والكسرية للكسور النسبية غير الحقيقية التالية:

أ) ، ب) .

حل . أ) باستخدام خوارزمية القسمة "الزاوية"، نحصل على

وهكذا نحصل

.

ب) نستخدم هنا أيضًا خوارزمية التقسيم "الزاوية":

ونتيجة لذلك، نحصل على

.

دعونا نلخص. في الحالة العامة، يمكن تمثيل التكامل غير المحدد للكسر الكسرى كمجموع تكاملات كثير الحدود والكسر الكسرى المناسب. العثور على المشتقات العكسية لكثيرات الحدود ليس بالأمر الصعب. لذلك، في ما يلي سننظر بشكل أساسي في الكسور المنطقية الصحيحة.

2.1.2. أبسط الكسور المنطقية وتكاملها

من بين الكسور المنطقية المناسبة، هناك أربعة أنواع، والتي يتم تصنيفها على أنها أبسط الكسور المنطقية (الابتدائية):

أين هو عدد صحيح، ، أي. ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية ليس له جذور حقيقية.

لا يمثل دمج الكسور البسيطة من النوع 1 والنوع 2 صعوبة كبيرة:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

دعونا الآن نفكر في تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث، لكننا لن نفكر في الكسور من النوع الرابع.

لنبدأ بتكاملات النموذج

.

عادة ما يتم حساب هذا التكامل عن طريق عزل المربع الكامل للمقام. والنتيجة هي جدول متكامل من النموذج التالي

أو .

مثال 2.1.2.أوجد التكاملات:

أ) ، ب) .

حل . أ) اختر مربعًا كاملاً من ثلاثية الحدود التربيعية:

من هنا نجد

ب) بعزل مربع كامل من ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية نحصل على:

هكذا،

.

للعثور على التكامل

يمكنك عزل مشتقة المقام في البسط وتوسيع التكامل إلى مجموع تكاملين: أولهما بالتعويض يأتي إلى المظهر

,

والثاني - لتلك التي تمت مناقشتها أعلاه.

مثال 2.1.3.أوجد التكاملات:

.

حل . لاحظ أن . دعونا نعزل مشتقة المقام في البسط:

يتم حساب التكامل الأول باستخدام الاستبدال :

في التكامل الثاني، نختار المربع الكامل في المقام

وأخيراً وصلنا

2.1.3. توسيع الكسر العقلاني السليم
لمجموع الكسور البسيطة

أي جزء عقلاني مناسب يمكن تمثيلها بطريقة فريدة كمجموع الكسور البسيطة. للقيام بذلك، يجب أن يتم تحليل المقام. ومن المعروف من الجبر الأعلى أن كل كثيرة حدود لها معاملات حقيقية