تعليمات

يتم منحك ثلاث نقاط. دعونا نشير إليها على أنها (x1، y1)، (x2، y2)، (x3، y3). ومن المفترض أن هذه النقاط هي رؤوس البعض مثلث. وتتمثل المهمة في إنشاء معادلات لأضلاعها - وبشكل أكثر دقة، معادلات تلك الخطوط التي تقع عليها هذه الجوانب. يجب أن تبدو هذه المعادلات كما يلي:
ص = ك1*س + ب1;
ص = ك2*س + ب2;
y = k3*x + b3، وبالتالي عليك إيجاد القيم الزاوية k1، k2، k3 والإزاحات b1، b2، b3.

أوجد المستقيم الذي يمر بالنقاط (x1، y1)، (x2، y2). إذا كان x1 = x2 فإن الخط المطلوب يكون رأسياً ومعادلته هي x = x1. إذا كان y1 = y2، فإن الخط أفقي ومعادلته هي y = y1. بشكل عام، لن تتوافق هذه الإحداثيات مع بعضها البعض.

باستبدال الإحداثيات (x1, y1), (x2, y2) في المعادلة العامة للخط المستقيم، تحصل على نظام من معادلتين خطيتين: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2. اطرح معادلة واحدة من الأخرى وحل المعادلة الناتجة لـ k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1، إذن k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

بالتعويض بما وجدته في أي من المعادلات الأصلية، ابحث عن التعبير b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1. وبما أننا نعرف بالفعل أن x2 ≠ x1، يمكننا تبسيط التعبير عن طريق ضرب y1 في (x2 - x1)/(x2 - x1). ثم بالنسبة لـ b1 ستحصل على التعبير التالي: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

تحقق مما إذا كان ثلث النقاط المحددة موجودًا على السطر الذي تم العثور عليه. للقيام بذلك، عوض بـ (x3, y3) في المعادلة الناتجة وانظر ما إذا كانت المساواة صحيحة. إذا لوحظ ذلك، فإن النقاط الثلاث تقع على نفس الخط، ويتحول المثلث إلى قطعة.

بنفس الطريقة الموضحة أعلاه، اشتق المعادلات للخطوط التي تمر بالنقاط (x2، y2)، (x3، y3) و (x1، y1)، (x3، y3).

الصيغة النهائية لمعادلات أضلاع المثلث المعطاة بإحداثيات الرءوس هي: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1) );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) ص = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

لايجاد المعادلات حفلات مثلثبادئ ذي بدء ، يجب أن نحاول حل مسألة كيفية العثور على معادلة الخط على المستوى إذا كان متجه اتجاهه s(m, n) ونقطة ما M0(x0, y0) التي تنتمي إلى الخط معروفة.

تعليمات

خذ نقطة عشوائية (متغيرة، عائمة) M(x, y) وقم ببناء المتجه M0M =(x-x0, y-y0) (اكتب أيضًا M0M(x-x0, y-y0))، والتي من الواضح أنها ستكون على خط مستقيم (موازي) بواسطة ك ق. بعد ذلك، يمكننا أن نستنتج أن إحداثيات هذه المتجهات متناسبة، حتى نتمكن من إنشاء خط مستقيم قانوني: (x-x0)/m = (y-y0)/n. وهذه هي النسبة التي سيتم استخدامها في حل المشكلة.

يتم تحديد جميع الإجراءات الإضافية بناءً على الطريقة .الطريقة الأولى. يتم الحصول على المثلث من خلال إحداثيات رؤوسه الثلاثة، والتي يتم الحصول عليها في الهندسة المدرسية من خلال أطوال رؤوسه الثلاثة حفلات(انظر الشكل 1). أي أن الشرط يحتوي على النقاط M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). وهي تتوافق مع متجهات نصف القطر الخاصة بها) OM1 و0M2 وOM3 بنفس إحداثيات النقاط. للحصول على المعادلات حفلات s M1M2 يتطلب متجه الاتجاه الخاص به M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) وأي من النقاط M1 أو M2 (هنا يتم أخذ النقطة ذات المؤشر الأدنى).

وذلك ل حفلات y M1M2 المعادلة الأساسية للخط (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). يمكننا أن نكتب بالتصرف بطريقة استقرائية بحتة المعادلاتالبقية حفلات.ل حفلاتق M2M3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). ل حفلاتق M1M3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

الطريقة الثانية. يتم تعريف المثلث بنقطتين (كما هو الحال قبل M1(x1, y1) وM2(x2, y2))، بالإضافة إلى متجهات الوحدة لاتجاهات النقطتين الأخريين حفلات. ل حفلاتالصورة M2M3: p^0(m1, n1). بالنسبة لـ M1M3: q^0(m2, n2). لذلك ل حفلات s M1M2 سيكون هو نفسه كما في الطريقة الأولى: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

ل حفلات s M2M3 كنقطة (x0، y0) من المعيار المعادلات(x1, y1)، ومتجه الاتجاه هو p^0(m1, n1). ل حفلاتيتم أخذ s M1M3, (x2, y2) كنقطة (x0, y0)، متجه الاتجاه هو q^0(m2, n2). وهكذا، بالنسبة لـ M2M3: المعادلة (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 بالنسبة إلى M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

فيديو حول الموضوع

نصيحة 3: كيفية العثور على ارتفاع المثلث إذا تم إعطاء إحداثيات النقاط

الارتفاع هو القطعة المستقيمة التي تربط الجزء العلوي من الشكل بالجانب المقابل. يجب أن تكون هذه القطعة متعامدة على الجانب، بحيث يمكن رسم قطعة واحدة فقط من كل قمة ارتفاع. وبما أن هناك ثلاث رؤوس في هذا الشكل، فإن عدد الارتفاعات متساوٍ. إذا تم إعطاء مثلث بإحداثيات رؤوسه، فيمكن حساب طول كل ارتفاع، على سبيل المثال، باستخدام صيغة إيجاد المساحة وحساب أطوال الجوانب.

تعليمات

ابدأ بحساب أطوال الجوانب مثلث. يعين الإحداثياتأرقام مثل هذا: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) وC(X₃,Y₃,Z₃). ثم يمكنك حساب طول الضلع AB باستخدام الصيغة AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). بالنسبة للجانبين الآخرين سيبدو هذا بالشكل التالي: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) وAC = √((X₁-X₃)² + (Y₁ -Y₃ )² + (Z₁-Z₃)²). على سبيل المثال، ل مثلثمع الإحداثيات A(3,5,7)، B(16,14,19) وC(1,2,13) ​​سيكون طول الضلع AB √((3-16)² + (5-14) )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19.85. أطوال الضلعين BC وAC، المحسوبة بنفس الطريقة، ستكون √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20.12 و√(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة تكفي لحساب المساحة مثلث(S) حسب صيغة هيرون: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). على سبيل المثال، استبدال القيم التي تم الحصول عليها من الإحداثيات في هذه الصيغة مثلث- عينة من الخطوة السابقة، وهذا سيعطي القيمة: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ≈ ¼*√75768.55 ≈ ¼*275.26 = 68.815 .

على أساس المنطقة مثلث، المحسوبة في الخطوة السابقة، وأطوال الأضلاع التي تم الحصول عليها في الخطوة الثانية، وحساب الارتفاعات لكل ضلع. بما أن المساحة تساوي نصف حاصل ضرب الارتفاع وطول الضلع المرسوم عليه، لإيجاد الارتفاع، قم بتقسيم المساحة مرتين على طول الضلع المطلوب: H = 2*S/a. في المثال المستخدم أعلاه، سيكون الارتفاع المخفض إلى الجانب AB هو 2*68.815/16.09 ≈ 8.55، وسيكون الارتفاع إلى الجانب BC بطول 2*68.815/20.12 ≈ 6.84، وبالنسبة للجانب AC ستكون هذه القيمة مساوية لـ 2 *68.815/7 ≈ 19.66.

مصادر:

• النقاط المعطاة أوجد مساحة المثلث

نصيحة 4: كيفية استخدام إحداثيات رؤوس المثلث لإيجاد معادلات أضلاعه

في الهندسة التحليلية، يمكن تعريف المثلث الموجود على المستوى باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية. بمعرفة إحداثيات الرءوس، يمكنك إنشاء معادلات لأضلاع المثلث. ستكون هذه معادلات لثلاثة خطوط مستقيمة، والتي تتقاطع وتشكل شكلاً.

كيف تتعلم حل المشاكل في الهندسة التحليلية؟
مشكلة نموذجية مع مثلث على متن طائرة

تم إنشاء هذا الدرس حول الاقتراب من خط الاستواء بين هندسة المستوى وهندسة الفضاء. في الوقت الحالي، هناك حاجة إلى تنظيم المعلومات المتراكمة والإجابة على سؤال مهم للغاية: كيف تتعلم حل المشاكل في الهندسة التحليلية؟تكمن الصعوبة في أنه يمكنك التوصل إلى عدد لا حصر له من المسائل في الهندسة، ولن يحتوي أي كتاب دراسي على هذا العدد الكبير والمتنوع من الأمثلة. ليس مشتق من وظيفةمع خمس قواعد للتمايز، وجدول والعديد من التقنيات….

هل هناك حل! لن أتحدث بصوت عالٍ عن حقيقة أنني قمت بتطوير نوع من التقنية الفخمة، ولكن في رأيي، هناك نهج فعال للمشكلة قيد النظر، والذي يسمح حتى دمية كاملة بتحقيق نتائج جيدة وممتازة. على الأقل، تبلورت الخوارزمية العامة لحل المشكلات الهندسية بشكل واضح جدًا في رأسي.

ما تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على القيام به
لحل المشاكل الهندسية بنجاح؟

لا يوجد مفر من هذا - حتى لا تضغط على الأزرار بشكل عشوائي بأنفك، تحتاج إلى إتقان أساسيات الهندسة التحليلية. لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة الهندسة أو نسيتها تمامًا، فيرجى البدء بالدرس ناقلات للدمى. بالإضافة إلى المتجهات والأفعال معها، تحتاج إلى معرفة المفاهيم الأساسية للهندسة المستوية، على وجه الخصوص، معادلة الخط في الطائرةو . يتم عرض هندسة الفضاء في المقالات معادلة الطائرة, معادلات الخط في الفضاء, المسائل الأساسية على الخط المستقيم والمستوى وبعض الدروس الأخرى. الخطوط المنحنية والأسطح المكانية من الدرجة الثانية متباعدة إلى حد ما، وليس هناك الكثير من المشاكل المحددة معهم.

لنفترض أن الطالب لديه بالفعل المعرفة والمهارات الأساسية في حل أبسط مشاكل الهندسة التحليلية. لكن الأمر يحدث على النحو التالي: تقرأ بيان المشكلة، و... تريد إغلاق الأمر برمته، ورميه في زاوية بعيدة ونسيانه، مثل حلم مزعج. علاوة على ذلك، فإن هذا لا يعتمد بشكل أساسي على مستوى مؤهلاتك؛ فأنا شخصياً أواجه أحيانًا مهامًا ليس حلها واضحًا. ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ لا داعي للخوف من مهمة لا تفهمها!

أولاً، يجب تثبيت - هل هذه مشكلة "مسطحة" أم مكانية؟على سبيل المثال، إذا كانت الحالة تتضمن متجهات بإحداثيتين، فهذه هي هندسة المستوى بالطبع. وإذا قام المعلم بتحميل المستمع الممتن بالهرم، فمن الواضح أن هناك هندسة الفضاء. نتائج الخطوة الأولى جيدة جدًا بالفعل، لأننا تمكنا من قطع كمية هائلة من المعلومات غير الضرورية لهذه المهمة!

ثانية. عادة ما تهمك الحالة ببعض الأشكال الهندسية. في الواقع، قم بالسير على طول ممرات جامعتك الأصلية، وسترى الكثير من الوجوه القلقة.

في المسائل "المسطحة"، ناهيك عن النقاط والخطوط الواضحة، يكون الشكل الأكثر شيوعًا هو المثلث. سنقوم بتحليلها بتفصيل كبير. بعد ذلك يأتي متوازي الأضلاع، والأقل شيوعًا هو المستطيل والمربع والمعين والدائرة والأشكال الأخرى.

في المسائل المكانية، يمكن لنفس الأشكال المسطحة + المستويات نفسها والأهرامات الثلاثية المشتركة ذات متوازيات السطوح أن تطير.

السؤال الثاني - هل تعرف كل شيء عن هذا الرقم؟لنفترض أن الحالة تتحدث عن مثلث متساوي الساقين، وأنك تتذكر بشكل غامض نوع المثلث الذي هو عليه. نفتح الكتاب المدرسي ونقرأ عن المثلث المتساوي الساقين. ماذا أفعل... قال الطبيب المعين، وهذا يعني المعين. الهندسة التحليلية هي الهندسة التحليلية، ولكن سيتم حل المشكلة من خلال الخصائص الهندسية للأشكال نفسهاالمعروفة لنا من المناهج المدرسية. إذا كنت لا تعرف ما هو مجموع زوايا المثلث، يمكن أن تعاني لفترة طويلة.

ثالث. حاول دائمًا متابعة الرسم(على مسودة/نسخة نهائية/عقلية) ولو لم يقتضي الشرط ذلك. في المسائل "المسطحة"، أمر إقليدس نفسه بالتقاط مسطرة وقلم رصاص - ليس فقط لفهم الحالة، ولكن أيضًا لغرض الاختبار الذاتي. في هذه الحالة، المقياس الأكثر ملاءمة هو 1 وحدة = 1 سم (خليتان للكمبيوتر الدفتري). دعونا لا نتحدث عن الطلاب وعلماء الرياضيات المهملين الذين يدورون في قبورهم - يكاد يكون من المستحيل ارتكاب خطأ في مثل هذه المشكلات. بالنسبة للمهام المكانية، نقوم بإجراء رسم تخطيطي، مما سيساعد أيضًا في تحليل الحالة.

غالبًا ما يسمح لك الرسم أو الرسم التخطيطي برؤية طريقة حل المشكلة على الفور. بالطبع، لهذا تحتاج إلى معرفة أسس الهندسة وفهم خصائص الأشكال الهندسية (انظر الفقرة السابقة).

الرابع. تطوير خوارزمية الحل. العديد من المسائل الهندسية متعددة الخطوات، لذا فإن الحل وتصميمه مناسب جدًا لتقسيمه إلى نقاط. غالبًا ما تتبادر إلى ذهنك الخوارزمية فورًا بعد قراءة الشرط أو إكمال الرسم. في حالة الصعوبات، نبدأ بسؤال المهمة. على سبيل المثال، وفقًا للشرط "تحتاج إلى إنشاء خط مستقيم...". وهنا السؤال الأكثر منطقية هو: "ما الذي يجب معرفته لبناء هذا الخط المستقيم؟" لنفترض أننا "نعرف النقطة، ونحتاج إلى معرفة متجه الاتجاه". نطرح السؤال التالي: "كيف يمكن العثور على متجه الاتجاه هذا؟ أين؟" إلخ.

في بعض الأحيان يكون هناك "خطأ" - لم يتم حل المشكلة وهذا كل شيء. قد تكون أسباب التوقف ما يلي:

– فجوة خطيرة في المعرفة الأساسية. بمعنى آخر، أنت لا تعرف و/أو لا ترى شيئًا بسيطًا جدًا.

– الجهل بخصائص الأشكال الهندسية.

- كانت المهمة صعبة. نعم، يحدث ذلك. لا فائدة من التبخير لساعات وجمع الدموع في منديل. اطلب النصيحة من معلمك أو زملائك الطلاب أو اطرح سؤالاً في المنتدى. علاوة على ذلك، من الأفضل أن تجعل بيانها ملموسًا - حول ذلك الجزء من الحل الذي لا تفهمه. صرخة على شكل "كيف تحل المشكلة؟" لا يبدو جيدًا جدًا، وقبل كل شيء، لسمعتك الخاصة.

المرحلة الخامسة. نحن نقرر-نتحقق، نقرر-نتحقق، نقرر-نتحقق-نعطي إجابة. من المفيد التحقق من كل نقطة من المهمة مباشرة بعد الانتهاء منه. سيساعدك هذا على اكتشاف الخطأ على الفور. بطبيعة الحال، لا أحد يمنع حل المشكلة برمتها بسرعة، ولكن هناك خطر إعادة كتابة كل شيء مرة أخرى (في كثير من الأحيان عدة صفحات).

ربما تكون هذه هي جميع الاعتبارات الرئيسية التي ينبغي مراعاتها عند حل المشكلات.

الجزء العملي من الدرس معروض في الهندسة المستوية. سيكون هناك مثالين فقط، ولكن لن يبدو كافيا =)

دعنا نستعرض موضوع الخوارزمية التي نظرت إليها للتو في عملي العلمي الصغير:

مثال 1

يتم إعطاء ثلاثة رؤوس متوازي الأضلاع. العثور على القمة.

لنبدأ بالفهم:

الخطوةالاولى: من الواضح أننا نتحدث عن مشكلة "مسطحة".

الخطوة الثانية: المشكلة تتعامل مع متوازي الأضلاع. هل يتذكر الجميع هذا الشكل المتوازي الأضلاع؟ ليست هناك حاجة للابتسام، فالكثير من الناس يتلقون تعليمهم في سن 30-40-50 أو أكثر، لذلك حتى الحقائق البسيطة يمكن محوها من الذاكرة. تعريف متوازي الأضلاع موجود في المثال رقم 3 من الدرس الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات.

الخطوة الثالثة: لنقم بعمل رسم نحدد عليه ثلاثة رؤوس معروفة. من المضحك أنه ليس من الصعب بناء النقطة المطلوبة على الفور:

إن بنائه أمر جيد بالطبع، ولكن يجب صياغة الحل بشكل تحليلي.

الخطوة الرابعة: تطوير خوارزمية الحل. أول ما يتبادر إلى الذهن هو أنه يمكن العثور على نقطة باعتبارها تقاطع الخطوط. نحن لا نعرف معادلاتهم، لذلك سيتعين علينا التعامل مع هذه المسألة:

1) الضلعان المتقابلان متوازيان. بالنقاط دعونا نجد متجه الاتجاه لهذه الجوانب. هذه هي أبسط مشكلة تمت مناقشتها في الفصل. ناقلات للدمى.

ملحوظة: من الأصح أن نقول "معادلة الخط الذي يحتوي على جانب" ولكن هنا وللإيجاز سأستخدم عبارات "معادلة الجانب" و "متجه اتجاه الجانب" وما إلى ذلك.

3) الضلعان المتقابلان متوازيان. باستخدام النقاط، نجد متجه الاتجاه لهذه الجوانب.

4) لنقم بإنشاء معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه

في الفقرات 1-2 و3-4، قمنا بالفعل بحل نفس المشكلة مرتين؛ وقد تمت مناقشتها في المثال رقم 3 من الدرس أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى. كان من الممكن اتباع طريق أطول - ابحث أولاً عن معادلات الخطوط وبعد ذلك فقط "اسحب" متجهات الاتجاه منها.

5) الآن أصبحت معادلات الخطوط معروفة. كل ما تبقى هو تكوين وحل النظام المقابل للمعادلات الخطية (انظر الأمثلة رقم 4، 5 من نفس الدرس) أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى).

تم العثور على هذه النقطة.

المشكلة بسيطة جداً وحلها واضح، ولكن هناك طريق أقصر!

الحل الثاني:

أقطار متوازي الأضلاع مقسمة بنقطة تقاطعها. لقد حددت النقطة، ولكن حتى لا تشوش الرسم، لم أرسم الأقطار نفسها.

دعونا نؤلف معادلة الجانب نقطة بنقطة :

للتحقق، يجب عليك عقليًا أو على مسودة استبدال إحداثيات كل نقطة في المعادلة الناتجة. الآن دعونا نجد المنحدر. وللقيام بذلك نعيد كتابة المعادلة العامة في صورة معادلة ذات معامل الميل:

وبالتالي فإن المنحدر هو:

وبالمثل، نجد معادلات الجانبين. لا أرى فائدة كبيرة في وصف نفس الشيء، لذلك سأقدم النتيجة النهائية على الفور:

2) أوجد طول الضلع. هذه هي أبسط مشكلة يتم تناولها في الفصل. ناقلات للدمى. للحصول على نقاط نستخدم الصيغة:

باستخدام نفس الصيغة، من السهل العثور على أطوال الجوانب الأخرى. يمكن إجراء الفحص بسرعة كبيرة باستخدام مسطرة عادية.

نحن نستخدم الصيغة .

لنجد المتجهات:

هكذا:

بالمناسبة، على طول الطريق وجدنا أطوال الجانبين.

نتيجة ل:

حسنًا، يبدو الأمر وكأنه الحقيقة؛ ولجعل الأمر أكثر إقناعًا، يمكنك تثبيت منقلة في الزاوية.

انتباه! لا تخلط بين زاوية المثلث والزاوية الواقعة بين الخطوط المستقيمة. يمكن أن تكون زاوية المثلث منفرجة، لكن لا يمكن أن تكون الزاوية بين الخطوط المستقيمة (راجع الفقرة الأخيرة من المقال أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى). ومع ذلك، للعثور على زاوية المثلث، يمكنك أيضًا استخدام الصيغ من الدرس أعلاه، ولكن الخشونة هي أن تلك الصيغ تعطي دائمًا زاوية حادة. وبمساعدتهم، قمت بحل هذه المشكلة في المسودة وحصلت على النتيجة. وفي النسخة النهائية، يجب أن أكتب أعذارًا إضافية.

4) اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة موازية للخط.

المهمة القياسية، تمت مناقشتها بالتفصيل في المثال رقم 2 من الدرس أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى. من المعادلة العامة للخط دعونا نخرج ناقل الدليل. لنقم بإنشاء معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

كيفية العثور على ارتفاع المثلث؟

5) لنقم بإنشاء معادلة للارتفاع ونوجد طوله.

ليس هناك مفر من التعريفات الصارمة، لذلك سيتعين عليك سرقة الكتاب المدرسي:

ارتفاع المثلث يسمى العمود المرسوم من رأس المثلث على الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل له.

أي أنه من الضروري إنشاء معادلة للخط العمودي المرسوم من الرأس إلى الجانب. تمت مناقشة هذه المهمة في الأمثلة رقم 6، 7 من الدرس أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى. من مكافئ. إزالة الناقل العادي. لنقم بتكوين معادلة الارتفاع باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

يرجى ملاحظة أننا لا نعرف إحداثيات النقطة.

في بعض الأحيان يتم العثور على معادلة الارتفاع من نسبة المعاملات الزاوية للخطوط المتعامدة: . ففي هذه الحالة إذن: . لنقم بتكوين معادلة الارتفاع باستخدام نقطة ومعامل زاوي (انظر بداية الدرس معادلة الخط المستقيم على المستوى):

يمكن العثور على طول الارتفاع بطريقتين.

هناك طريق دوار:

أ) العثور على - نقطة تقاطع الارتفاع والجانب؛
ب) أوجد طول القطعة باستخدام نقطتين معروفتين.

ولكن في الصف أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوىتم النظر في صيغة مناسبة للمسافة من نقطة إلى خط. النقطة معروفة: ومعادلة الخط معروفة أيضاً: ، هكذا:

6) احسب مساحة المثلث . في الفضاء، يتم حساب مساحة المثلث تقليديا باستخدام ناقلات المنتج من ناقلات، ولكن هنا لدينا مثلث على المستوى. نستخدم صيغة المدرسة:
- مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته وارتفاعه.

في هذه الحالة:

كيفية العثور على متوسط ​​المثلث؟

7) دعونا ننشئ معادلة للوسيط.

متوسط ​​المثلث تسمى القطعة التي تصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل.

أ) أوجد النقطة - منتصف الجانب. نحن نستخدم صيغ إحداثيات نقطة المنتصف للقطعة. إحداثيات نهايات القطعة معروفة: ثم إحداثيات الوسط:

هكذا:

لنقم بتكوين المعادلة المتوسطة نقطة بنقطة :

للتحقق من المعادلة، تحتاج إلى استبدال إحداثيات النقاط فيها.

8) أوجد نقطة تقاطع الارتفاع والوسيط. أعتقد أن الجميع قد تعلموا بالفعل كيفية أداء هذا العنصر من التزلج على الجليد دون السقوط:

مثال على حل بعض المهام من العمل القياسي "الهندسة التحليلية على المستوى"

يتم إعطاء القمم ،
,
المثلث ABC. يجد:

معادلات جميع أضلاع المثلث؛

نظام المتباينات الخطية التي تحدد المثلث اي بي سي;

معادلات الارتفاع والوسيط والمنصف للمثلث المرسومة من الرأس أ;

نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث؛

نقطة تقاطع متوسطات المثلث؛

طول الارتفاع خفضت إلى الجانب أ.ب;

ركن أ;

جعل الرسم.

دع رؤوس المثلث لها إحداثيات: أ (1; 4), في (5; 3), مع(3 ؛ 6). لنرسم رسمًا على الفور:

1. لكتابة معادلات جميع أضلاع المثلث، نستخدم معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين معلومتين بإحداثياتهما ( س 0 , ذ 0 ) و ( س 1 , ذ 1 ):

=

وبالتالي استبدال بدلا من ( س 0 , ذ 0 ) إحداثيات النقطة أوبدلا من ( س 1 , ذ 1 ) إحداثيات النقطة في، نحصل على معادلة الخط أ.ب:

المعادلة الناتجة ستكون معادلة الخط المستقيم أ.ب، مكتوبة في شكل عام. وبالمثل، نجد معادلة الخط المستقيم تكييف:

وأيضا معادلة الخط المستقيم شمس:

2. لاحظ أن مجموعة نقاط المثلث اي بي سييمثل تقاطع ثلاثة أنصاف مستويات، ويمكن تعريف كل نصف مستوى باستخدام عدم المساواة الخطية. إذا أخذنا معادلة أي من الطرفين ∆ اي بي سي، على سبيل المثال أ.بثم عدم المساواة

و

تحديد النقاط التي تقع على جانبي الخط أ.ب. علينا اختيار نصف المستوى الذي تقع فيه النقطة C، فلنعوض بإحداثياته ​​في المتباينتين:

وستكون المتباينة الثانية صحيحة، مما يعني أن النقاط المطلوبة تتحدد بالمتراجحة

.

ونفعل الشيء نفسه مع الخط المستقيم BC، معادلته
. نستخدم النقطة أ (1، 1) كنقطة اختبار:

وهذا يعني أن عدم المساواة المطلوبة لها الشكل:

.

إذا تحققنا من الخط المستقيم AC (نقطة الاختبار B)، نحصل على:

وهذا يعني أن المتباينة المطلوبة سيكون لها الشكل

نحصل أخيرًا على نظام عدم المساواة:

العلامات "" ، "≥" تعني أن النقاط الواقعة على جوانب المثلث تدخل أيضًا في مجموعة النقاط التي يتكون منها المثلث اي بي سي.

3. أ) لإيجاد معادلة الارتفاع المسقط من الرأس أإلى الجانب شمس، النظر في معادلة الجانب شمس:
. ناقل مع الإحداثيات
عمودي على الجانب شمسوبالتالي موازية للارتفاع. دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة ما أبالتوازي مع المتجه
:

هذه هي معادلة الارتفاع المحذوف من t. أإلى الجانب شمس.

ب) أوجد إحداثيات منتصف الضلع شمسوفقا للصيغ:

هنا
- هذه هي إحداثيات ر. في، أ
– إحداثيات ر. مع. لنستبدل ونحصل على:

الخط المستقيم الذي يمر بهذه النقطة وهذه النقطة أهو الوسيط المطلوب:

ج) سنبحث عن معادلة المنصف بناءً على حقيقة أنه في المثلث المتساوي الساقين يكون الارتفاع والوسيط والمنصف النازل من قمة المثلث إلى قاعدة المثلث متساويين. دعونا نجد ناقلين
و
وأطوالهم:

ثم المتجه
له نفس اتجاه المتجه
، وطوله
وبالمثل، متجه الوحدة
يتزامن في الاتجاه مع المتجه
ما تها التامة

هو المتجه الذي يتطابق في الاتجاه مع منصف الزاوية أ. وبالتالي يمكن كتابة معادلة المنصف المطلوب على النحو التالي:

4) لقد قمنا بالفعل ببناء معادلة أحد الارتفاعات. لنقم ببناء معادلة لارتفاع آخر، على سبيل المثال، من الرأس في. جانب تكييفتعطى بواسطة المعادلة
لذلك المتجه
عمودي تكييف، وبالتالي بالتوازي مع الارتفاع المطلوب. ثم معادلة الخط الذي يمر عبر الرأس فيفي اتجاه المتجه
(أي عمودي تكييف)، له النموذج:

ومن المعروف أن ارتفاعات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة. على وجه الخصوص، هذه النقطة هي تقاطع المرتفعات الموجودة، أي. حل نظام المعادلات:

- إحداثيات هذه النقطة.

5. الأوسط أ.بلديه إحداثيات
. دعونا نكتب معادلة الوسيط على الجانب أ.ب.يمر هذا الخط بنقاط ذات إحداثيات (3، 2) و (3، 6)، مما يعني أن معادلته لها الشكل:

لاحظ أن الصفر في مقام الكسر في معادلة الخط المستقيم يعني أن هذا الخط المستقيم موازي للمحور الإحداثي.

للعثور على نقطة تقاطع المتوسطات، يكفي حل نظام المعادلات:

نقطة تقاطع متوسطات المثلث لها إحداثيات
.

6. طول الارتفاع منخفض إلى الجانب أب،يساوي المسافة من النقطة معإلى خط مستقيم أ.بمع المعادلة
ويتم العثور عليها بواسطة الصيغة:

7. جيب تمام الزاوية أيمكن إيجادها باستخدام صيغة جيب تمام الزاوية بين المتجهات و ، وهي تساوي نسبة المنتج القياسي لهذه المتجهات إلى منتج أطوالها:

.