Begreppet en konsekvens av en ekvation. Utomstående rötter. Presentation "Ekvivalens av ekvationer. Ekvation %U2013 konsekvens" Vilken ekvation är en konsekvens av en annan

För att studera dagens ämne måste vi upprepa vilken ekvation som kallas en följdekvation, vilka satser som är "oroande" och vilka steg lösningen av en ekvation består av.

Definition. Om varje rot av ekvationen ef från x är lika med samma från x (vi betecknar det med siffran ett) är samtidigt roten av ekvationen pe från x, lika med ax från x (vi betecknar det med nummer två), då kallas ekvation två en konsekvens av ekvation ett.

Sats fyra. Om båda sidor av ekvationen ef från x är lika med samma från x multiplicerat med samma uttryck ax från x, vilket:

För det första är det vettigt överallt i definitionsdomänen (i domänen för tillåtna värden) av ekvationen eff i x, lika med i x.

För det andra, ingenstans i denna region försvinner inte, då ekvationen eff från x, multiplicerad med aska från x är lika med samma från x, multiplicerad med ax från x, är ekvivalent med den som ges i dess ODZ.

Följd satser fyraär ett annat "lugnt" påstående: om båda sidorna av ekvationen multipliceras eller divideras med samma tal som inte är noll, får du en ekvation som motsvarar den givna.

Sats fem. Om båda sidor av ekvationen

eff från x är lika med ix är inte negativ i ODS-ekvationen, sedan efter att ha höjt båda dess delar till samma jämna potens n, är ekvationen eff från x till n:te potensen lika med n:te potensen ekvivalent med given ekvation i dess o de ze.

Sats sex. Låt a vara större än noll, och inte lika med ett, och ef av x större än noll,

zhe från x är större än noll, den logaritmiska ekvationen logaritmen ef från x till basen a, lika med logaritmen zhe från x till basen a,

är ekvivalent med ekvationen ef från x är lika med från x .

Som vi redan har sagt, att lösa alla ekvationer sker i tre steg:

Det första steget är tekniskt. Med hjälp av en kedja av transformationer från den ursprungliga ekvationen kommer vi fram till en ganska enkel ekvation, som vi löser och hittar rötterna.

Det andra steget är lösningsanalys. Vi analyserar de omvandlingar vi utfört och tar reda på om de är likvärdiga.

Det tredje steget är verifiering. Att kontrollera alla hittade rötter genom att ersätta dem med den ursprungliga ekvationen är obligatoriskt när man utför transformationer som kan leda till en följdekvation.

I den här lektionen kommer vi att ta reda på, när vi tillämpar vilka transformationer, denna ekvation förvandlas till en följdekvation? Tänk på följande uppgifter.

Övning 1

Vilken ekvation är en följd av ekvationen x minus tre är lika med två?

Lösning

Ekvationen x minus tre är lika med två har en enda rot - x är lika med fem. Låt oss multiplicera båda sidor av denna ekvation med uttrycket x minus sex, addera liknande termer och få andragradsekvationen x kvadrat minus elva x plus trettio är lika med noll. Låt oss beräkna dess rötter: x först är lika med fem; x sekund är lika med sex. Den innehåller redan två rötter. Ekvationen x kvadrat minus elva x plus trettio är lika med noll innehåller en enda rot - x är lika med fem; ekvationen x minus tre är lika med två, så x kvadrat minus elva x plus trettio är en konsekvens av ekvationen x minus tre är lika med två.

Uppgift 2

Vilken annan ekvation är en konsekvens av ekvationen x-3=2?

Lösning

I ekvationen x minus tre är lika med två, låt oss kvadrera båda sidorna, tillämpa formeln för kvadraten på skillnaden, lägga till liknande termer och få andragradsekvationen x kvadrat minus sex x plus fem är lika med noll.

Låt oss beräkna dess rötter: x första är lika med fem, x andra är lika med ett.

Roten x är lika med ett är utanför ekvationen x minus tre är lika med två. Detta hände eftersom båda sidorna av den ursprungliga ekvationen var kvadratiska (en jämn potens). Men samtidigt kan dess vänstra sida - x minus tre - vara negativ (villkoren satser fem). Det betyder att ekvationen x kvadrat minus sex x plus fem är lika med noll är en följd av ekvationen x minus tre är lika med två.

Uppgift 3

Hitta följdekvationen för ekvationen

Logaritmen för x plus ett till bas tre plus logaritmen för x plus tre till bas tre är lika med ett.

Lösning

Låt oss föreställa oss en som logaritmen av tre till bas tre, potentiera den logaritmiska ekvationen, utför multiplikationen, addera liknande termer och få andragradsekvationen x kvadrat plus fyra x är lika med noll. Låt oss beräkna dess rötter: det första x är lika med noll, det andra x är lika med minus fyra. Roten x är lika med minus fyra är främmande för den logaritmiska ekvationen, eftersom när den ersätts i den logaritmiska ekvationen får uttrycken x plus ett och x plus tre negativa värden - villkoren överträds satser sex.

Det betyder att ekvationen x i kvadrat plus fyra x är lika med noll är en följd av denna ekvation.

Baserat på lösningen av dessa exempel kan vi göra slutsats:följdekvationen erhålls från denna ekvation genom att expandera ekvationens definitionsdomän. Och detta är möjligt genom att utföra transformationer som t.ex

1) ta bort nämnare som innehåller ett variabelt värde;

2) höja båda sidor av ekvationen till samma jämna styrka;

3) befrielse från logaritmiska tecken.

Kom ihåg! Om ekvationens definitionsdomän utökades i processen för att lösa en ekvation, är det nödvändigt att kontrollera alla rötter som finns.

Uppgift 4

Lös ekvationen x minus tre dividerat med x minus fem plus ett dividerat med x är lika med x plus fem dividerat med x gånger x minus fem.

Lösning

Det första steget är tekniskt.

Låt oss genomföra en kedja av transformationer, få den enklaste ekvationen och lösa den. För att göra detta multiplicerar vi båda sidor av ekvationen med den gemensamma nämnaren för bråken, det vill säga med uttrycket x multiplicerat med x minus fem.

Vi får andragradsekvationen x kvadrat minus tre x minus tio är lika med noll. Låt oss beräkna rötterna: x första är lika med fem, x andra är lika med minus två.

Det andra steget är lösningsanalys.

När vi löser en ekvation multiplicerade vi båda sidorna med ett uttryck som innehåller en variabel. Det betyder att ekvationens räckvidd har utökats. Därför är det obligatoriskt att kontrollera rötterna.

Det tredje steget är verifiering.

När x är lika med minus två går den gemensamma nämnaren inte till noll. Detta betyder att x är lika med minus två är roten till denna ekvation.

När x är lika med fem går den gemensamma nämnaren till noll. Därför är x lika med fem - en främmande rot.

Svar: minus två.

Uppgift 5

Lös ekvationen kvadratroten ur x minus sex är lika med kvadratroten ur fyra minus x.

Lösning

Det första steget är tekniskt .

För att få fram en enkel ekvation och lösa den utför vi en kedja av transformationer.

Låt oss kvadrera (en jämn potens) båda sidorna av denna ekvation, flytta x:en till vänster sida och talen till höger sida av ekvationen, lägg till liknande termer, vi får: två x är lika med tio. X är lika med fem.

Det andra steget är lösningsanalys.

Låt oss kontrollera de genomförda transformationerna för ekvivalens.

När vi löser ekvationen kvadratiska vi båda sidorna. Det betyder att ekvationens räckvidd har utökats. Därför är det obligatoriskt att kontrollera rötterna.

Det tredje steget är verifiering.

Låt oss ersätta de hittade rötterna i den ursprungliga ekvationen.

Om x är lika med fem är uttrycket kvadratroten ur fyra minus x odefinierat, så x är lika med fem är en främmande rot. Det betyder att denna ekvation inte har några rötter.

Svar: ekvationen har inga rötter.

Uppgift 6

Lös ekvationen den naturliga logaritmen för uttrycket x i kvadrat plus två x minus sju är lika med den naturliga logaritmen för uttrycket x minus ett.

Lösning

Det första steget är tekniskt .

Låt oss genomföra en kedja av transformationer, få den enklaste ekvationen och lösa den. För att göra detta, låt oss potentiera

ekvation, flyttar vi alla termer till vänster sida av ekvationen, tar med liknande termer, vi får en andragradsekvation x kvadrat plus x minus sex är lika med noll. Låt oss beräkna rötterna: x första är lika med två, x andra är lika med minus tre.

Det andra steget är lösningsanalys.

Låt oss kontrollera de genomförda transformationerna för ekvivalens.

I processen att lösa denna ekvation befriade vi oss från logaritmernas tecken. Det betyder att ekvationens räckvidd har utökats. Därför är det obligatoriskt att kontrollera rötterna.

Det tredje steget är verifiering.

Låt oss ersätta de hittade rötterna i den ursprungliga ekvationen.

Om x är lika med två, så får vi den naturliga logaritmen för en lika med den naturliga logaritmen för en -

sann jämlikhet.

Detta betyder att x är lika med två är roten till denna ekvation.

Om x är lika med minus tre, är den naturliga logaritmen för uttrycket x kvadrat plus två x minus sju och den naturliga logaritmen för uttrycket x minus ett inte definierade. Detta betyder att x är lika med minus tre är en främmande rot.

Svar: två.

Är det alltid nödvändigt att särskilja tre steg när man löser en ekvation? På vilket annat sätt kan jag kontrollera?

Vi kommer att få svar på dessa frågor i nästa lektion.

I presentationen kommer vi att fortsätta att överväga ekvivalenta ekvationer, teorem, och kommer att uppehålla oss mer i detalj vid stadierna för att lösa sådana ekvationer.

Till att börja med, låt oss komma ihåg villkoret under vilket en av ekvationerna är en konsekvens av den andra (bild 1). Författaren citerar återigen några satser om ekvivalenta ekvationer som diskuterades tidigare: om att multiplicera delar av ekvationen med samma värde h (x); höja delar av en ekvation till samma jämna styrka; erhålla en ekvivalent ekvation från ekvationen log a f(x) = log a g (x).

Den femte bilden av presentationen belyser de viktigaste stegen med vilka det är bekvämt att lösa ekvationer:

Hitta lösningar på den ekvivalenta ekvationen;

Analysera lösningar;

Kolla upp.

Låt oss betrakta exempel 1. Det är nödvändigt att hitta en konsekvens av ekvationen x - 3 = 2. Låt oss hitta roten till ekvationen x = 5. Låt oss skriva den ekvivalenta ekvationen (x - 3)(x - 6) = 2( x - 6), med metoden att multiplicera delar av ekvationen med (x - 6). Om vi ​​förenklar uttrycket till formen x 2 - 11x +30 = 0, finner vi rötterna x 1 = 5, x 2 = 6. Eftersom Varje rot i ekvationen x - 3 = 2 är också en lösning till ekvationen x 2 - 11x +30 = 0, då är x 2 - 11x +30 = 0 en följdekvation.

Exempel 2. Hitta en annan konsekvens av ekvationen x - 3 = 2. För att få en ekvivalent ekvation använder vi metoden att höja till en jämn potens. För att förenkla det resulterande uttrycket skriver vi x 2 - 6x +5 = 0. Hitta rötterna till ekvationen x 1 = 5, x 2 = 1. Eftersom x = 5 (roten av ekvationen x - 3 = 2) är också en lösning till ekvationen x 2 - 6x +5 = 0, då är ekvationen x 2 - 6x +5 = 0 också en följdekvation.

Exempel 3. Det är nödvändigt att hitta en konsekvens av ekvationen log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1.

Låt oss ersätta 1 = log 3 3 i ekvationen Sedan, med påståendet från sats 6, skriver vi ekvivalenten (x + 1)(x +3) = 3. Förenklat uttrycket får vi x 2 + 4x =. 0, där rötterna är x 1 = 0, x 2 = - 4. Så ekvationen x 2 + 4x = 0 är en konsekvens för den givna ekvationen log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

Så vi kan dra slutsatsen: om definitionsdomänen för en ekvation utökas, erhålls en följdekvation. Låt oss lyfta fram standardåtgärderna när vi hittar en följdekvation:

Att bli av med nämnare som innehåller en variabel;

Att höja delar av en ekvation till samma jämna styrka;

Befrielse från logaritmiska tecken.

Men det är viktigt att komma ihåg: när definitionsdomänen för ekvationen expanderar under lösningen, är det nödvändigt att kontrollera alla hittade rötter - om de kommer att falla in i ODZ.

Exempel 4. Lös ekvationen som presenteras på bild 12. Låt oss först hitta rötterna till den ekvivalenta ekvationen x 1 = 5, x 2 = - 2 (första steget). Det är absolut nödvändigt att kontrollera rötterna (andra steget). Kontrollera rötterna (tredje steget): x 1 = 5 hör inte till intervallet av tillåtna värden för den givna ekvationen, därför har ekvationen en lösning endast x = - 2.

I exempel 5 är den hittade roten av ekvivalentekvationen inte inkluderad i ODZ för den givna ekvationen. I exempel 6 är värdet på en av de två hittade rötterna odefinierat, så denna rot är inte en lösning på den ursprungliga ekvationen.

Klass: 11

Varaktighet: 2 lektioner.

Syftet med lektionen:

• (för lärare) bildning hos eleverna av en helhetsförståelse av metoder för att lösa irrationella ekvationer.
• (för studenter) Utveckling av förmågan att observera, jämföra, generalisera och analysera matematiska situationer (bild 2). Förberedelse för Unified State Exam.

Första lektionsplanen(bild 3)

1. Uppdaterar kunskap
2. Analys av teorin: Att höja en ekvation till en jämn potens
3. Workshop om att lösa ekvationer

Andra lektionsplanen

1. Differentierat självständigt arbete i grupper "Irrationella ekvationer på Unified State Exam"
2. Sammanfattning av lektioner
3. Läxa

Lektionernas framsteg

I. Uppdatering av kunskap

Mål: upprepa de begrepp som krävs för att framgångsrikt bemästra ämnet för lektionen.

Frontalundersökning.

– Vilka två ekvationer kallas ekvivalenta?

– Vilka transformationer av en ekvation kallas ekvivalenta?

– Ersätt denna ekvation med en ekvation med en förklaring av den tillämpade transformationen: (bild 4)

a) x+ 2x+1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; d) = -4.

– Vilken ekvation kallas följdekvationen till den ursprungliga ekvationen?

– Kan en följdekvation ha en rot som inte är roten till den ursprungliga ekvationen? Vad kallas dessa rötter?

– Vilka transformationer av ekvationen leder till följdekvationer?

– Vad kallas en aritmetisk kvadratrot?

Idag kommer vi att uppehålla oss mer i detalj vid omvandlingen "Att höja en ekvation till en jämn makt".

II. Analys av teorin: Att höja en ekvation till en jämn potens

Lärarens förklaring med aktivt deltagande av eleverna:

Låt 2m(mN) är ett fast jämnt naturligt tal. Sedan konsekvensen av ekvationenf(x) =g(x) är ekvationen (f(x)) = (g(x)).

Mycket ofta används detta påstående när man löser irrationella ekvationer.

Definition. En ekvation som innehåller en okänd under rottecknet kallas irrationell.

Vid lösning av irrationella ekvationer används följande metoder: (bild 5)

Uppmärksamhet! Metod 2 och 3 kräver obligatorisk kontroller.

ODZ hjälper inte alltid till att eliminera främmande rötter.

Slutsats: När man löser irrationella ekvationer är det viktigt att gå igenom tre steg: teknisk, lösningsanalys, verifiering (slide 6).

III. Workshop om att lösa ekvationer

Lös ekvationen:

Efter att ha diskuterat hur man löser en ekvation genom att kvadrera, lös genom att gå till ett ekvivalent system.

Slutsats: De enklaste ekvationerna med heltalsrötter kan lösas med vilken metod som helst.

b) = x – 2

Genom att lösa genom att höja båda sidor av ekvationen till samma potens får eleverna rötter x = 0, x = 3 -, x = 3 +, som är svåra och tidskrävande att kontrollera genom substitution. (Bild 7). Övergång till ett likvärdigt system

låter dig snabbt bli av med främmande rötter. Villkoret x ≥ 2 uppfylls endast av x.

Svar: 3+

Slutsats: Det är bättre att kontrollera irrationella rötter genom att flytta till ett likvärdigt system.

c) = x – 3

När vi löser denna ekvation får vi två rötter: 1 och 4. Båda rötterna uppfyller den vänstra sidan av ekvationen, men när x = 1 bryts definitionen av en aritmetisk kvadratrot. ODZ-ekvationen hjälper inte till att eliminera främmande rötter. Övergången till ett likvärdigt system ger rätt svar.

Slutsats:god kunskap och förståelse för alla förutsättningar för att bestämma den aritmetiska kvadratroten hjälper till att gå vidare tillutföra motsvarande transformationer.

Genom att kvadrera båda sidor av ekvationen får vi ekvationen

x + 13 - 8 + 16 = 3 + 2x - x, placera radikalen på höger sida, får vi

26 – x + x = 8. Tillämpning av ytterligare åtgärder för att kvadrera båda sidor av ekvationen kommer att leda till en ekvation av 4:e graden. Övergången till ODZ-ekvationen ger ett bra resultat:

låt oss hitta ODZ-ekvationen:

x = 3.

Kontrollera: - 4 = , 0 = 0 korrekt.

Slutsats:Ibland är det möjligt att lösa med definitionen av ODZ-ekvationen, men se till att kolla.

Lösning: ODZ-ekvation: -2 – x ≥ 0 x ≤ -2.

För x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Därför är den vänstra sidan av ekvationen negativ, och den högra sidan är icke-negativ; därför har den ursprungliga ekvationen inga rötter.

Svar: inga rötter.

Slutsats:Efter att ha gjort rätt resonemang om begränsningen i ekvationens tillstånd kan du enkelt hitta ekvationens rötter, eller fastställa att de inte existerar.

Använd exemplet på att lösa denna ekvation, visa den dubbla kvadreringen av ekvationen, förklara innebörden av frasen "radikalers ensamhet" och behovet av att kontrollera de hittade rötterna.

h) + = 1.

Lösningen av dessa ekvationer utförs med hjälp av variabelersättningsmetoden tills den ursprungliga variabeln återgår. Erbjud lösningen till dem som slutför uppgifterna i nästa steg tidigare.

Kontrollfrågor

• Hur löser man de enklaste irrationella ekvationerna?
• Vad behöver du komma ihåg när du höjer en ekvation till en jämn potens? ( främmande rötter kan förekomma)
• Vad är det bästa sättet att testa irrationella rötter? ( med hjälp av ODZ och villkor för sammanträffandet av tecknen på båda sidor av ekvationen)
• Varför är det nödvändigt att kunna analysera matematiska situationer när man löser irrationella ekvationer? ( För det korrekta och snabba valet av hur man löser ekvationen).

IV. Differentierat självständigt arbete i grupper "Irrationella ekvationer på Unified State Exam"

Klassen delas in i grupper (2-3 personer) efter utbildningsnivåer, varje grupp väljer ett alternativ med en uppgift, diskuterar och löser de valda uppgifterna. Vid behov, sök råd från läraren. Efter att ha slutfört alla uppgifter i deras version och kontrollerat svaren av läraren, avslutar gruppmedlemmarna individuellt med att lösa ekvationerna g) och h) i det föregående steget av lektionen. För alternativ 4 och 5 (efter kontroll av svar och lösningar av läraren) skrivs ytterligare uppgifter på tavlan och genomförs individuellt.

Alla individuella lösningar lämnas till läraren för verifiering i slutet av lektionerna.

Alternativ 1

Lös ekvationerna:

a) = 6;
b) = 2;
c) = 2 - x;
d) (x + 1) (5 – x) (+ 2 = 4.

Alternativ 5

1. Lös ekvationen:

a) = ;
b) = 3 – 2x;

2. Lös ekvationssystemet:

Ytterligare uppgifter:

V. Sammanfattning av lektioner

Vilka svårigheter upplevde du när du slutförde USE-uppgifter? Vad krävs för att övervinna dessa svårigheter?

VI. Läxa

Upprepa teorin om att lösa irrationella ekvationer, läs avsnitt 8.2 i läroboken (var uppmärksam på exempel 3).

Lös nr 8.8 (a, c), nr 8.9 (a, c), nr 8.10 (a).

Litteratur:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra och början av matematisk analys , lärobok för 11:e klass av allmänna utbildningsinstitutioner, M.: Prosveshchenie, 2009.
2. Mordkovich A.G. Om några metodologiska frågor relaterade till att lösa ekvationer. Matematik i skolan. -2006. -Nr 3.
3. M. Shabunin. Ekvationer. Föreläsningar för gymnasieelever och sökande. Moskva, "Chistye Prudy", 2005. (biblioteket "Första september")
4. E.N. Balayan. Verkstad för problemlösning. Irrationella ekvationer, ojämlikheter och system. Rostov-on-Don, "Phoenix", 2006.
5. Matematik. Förberedelse för Unified State Exam 2011. Redigerad av F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova Legion-M, Rostov-on-Don, 2010.

Kommunal läroanstalt

"Novoukolovskaya gymnasieskola"

Krasnensky-distriktet, Belgorod-regionen

Algebra-lektion i 11:e klass

"Tillämpning av flera transformationer som leder till en följdekvation"

Förberedd och genomförd

Matematiklärare

Kharkovskaya Valentina Grigorievna

Algebra 11:e klass

Ämne: Tillämpning av flera transformationer som leder till följdekvationen.

Mål: skapa förutsättningar för att konsolidera material om ämnet: "Tillämpning av flera transformationer som leder till en ekvationskonsekvens"; Rutveckla självständighet, förbättra talkompetens; att utveckla elevernas datorkunskaper; slutföra uppgifter som motsvarar nivån Unified State Examination.

Utrustning: lärobok, dator, kort

Lektionstyp: lektion om komplex tillämpning av ZUN

Under lektionerna

Organisatoriskt ögonblick (bild 1)

God eftermiddag grabbar! Titta på dessa bilder och välj vilken du gillade mest. Jag ser att du, precis som jag, kom till klassen med gott humör, och jag tror att det kommer att förbli detsamma till slutet av lektionen. Jag vill önska dig ett fruktbart arbete.

Killar, var och en av er har bedömningsblad på ert skrivbord där ni kommer att utvärdera er själva i varje skede av lektionen.

Kontrollera läxor (Bild 2)

Markera lösningarna på rutschkanan så ger barnen sig själva betyg

självkontrollblad. Inga fel – “5”, om 1 fel – “4”, 2

fel – "3". Om du får många barn som har 2

misstag, lös sedan denna uppgift i styrelsen.

Tillkännage ämnet för lektionen (Bild 3). sätta upp lektionsmål

Du kan se ämnet för vår lektion på bilden. Vad tror du än

Ska vi studera med dig i klassen idag?

Tja, killar, låt oss komma ihåg materialet vi täckte. .

Låt oss börja med muntligt arbete :

Muntligt arbete (bild 4)

Vilka ekvationer kallas följdekvationer? (om någon rot av den första ekvationen är en rot av den andra, så kallas den andra ekvationen en konsekvens av den första);

Vad kallas övergången till en följdekvation? (att ersätta en ekvation med en annan ekvation, vilket är dess konsekvens);

Vilka transformationer leder till följdekvationen? Ge exempel. (höja en ekvation till en jämn potens; potentiera en logaritmisk ekvation; frigöra ekvationen från nämnaren; ta med liknande termer i ekvationen; tillämpa formler).

Lös ekvationerna (bild 5)

(ekvationer visas på skärmen):

1) = 6; (svar: 36)

2) = 3; (svar: 11)

3) = 4; (svar: 6)

4) = - 2; (svar: inga lösningar, eftersom den vänstra sidan av ekvationen endast tar icke-negativa värden)

5) = 9; (svar: -9 och 9)

6) = -2; (svar: inga lösningar, eftersom summan av två

icke-negativa tal kan inte vara negativa)

Killar, jag tror ni märkte att när vi gjorde läxor och muntliga arbeten stötte vi på uppgifter som motsvarade demoversionen, specifikationen och USE-kodifieraren.

4.Att slutföra uppgifter

Killar, låt oss arbeta i våra anteckningsböcker:

№8.26 (a) – vid svarta tavlan

№8.14 (c) – vid svarta tavlan

Ögonträning (musik)

№8.8 (c)-vid styrelsen

№8.9-(e)-vid styrelsen

5. Självständigt arbete (bild 6)

Lösning för självständigt arbete (Bild 7)

6. Hemläxa: slutför nr 8.14 (d), Unified State Examination B5 uppgift i alternativ 21,23,25 (Bild 8)

7. Lektionssammanfattning (bild 9)

8. Reflektion (bild 10)

Frågeformulär.

1. Jag arbetade under lektionen

2. Genom mitt arbete i klass I

3. Lektionen tycktes mig

4. Till lektionen I

5. Mitt humör

6. Jag hade lektionsmaterialet

7. Tror du att du klarar av sådana uppgifter på provet?

8. Läxor verkar för mig

aktiv passiv

nöjd/missnöjd

kort lång

inte trött / trött

det blev bättre/det blev värre

klart / oklart

användbar/onyttig

intressant tråkigt

ja/nej/vet inte

lätt svår

intressant/ointressant

Använda resurser:

Nikolsky S.M., Potapov K.M., . Algebra och början av matematisk analys, 11:e klass M.: Prosveshcheniye, 2010

Samling av uppgifter för att förbereda sig för Unified State Exam i matematik