3 i varierande grad. Exponentiering. Verksamhet med examina

Gå till youtube-kanalen på vår webbplats för att hålla dig uppdaterad med alla nya videolektionerna.

Låt oss först komma ihåg de grundläggande formlerna för krafter och deras egenskaper.

Produkt av ett nummer a förekommer på sig själv n gånger, kan vi skriva detta uttryck som a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potens eller exponentiella ekvationer– det här är ekvationer där variablerna är i potenser (eller exponenter), och basen är ett tal.

Exempel på exponentiella ekvationer:

I det här exemplet är siffran 6 basen, den är alltid längst ner och variabeln x grad eller indikator.

Låt oss ge fler exempel på exponentiella ekvationer.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Låt oss nu titta på hur exponentiella ekvationer löses?

Låt oss ta en enkel ekvation:

2 x = 2 3

Detta exempel kan lösas även i ditt huvud. Det kan ses att x=3. När allt kommer omkring, för att vänster och höger sida ska vara lika, måste du sätta siffran 3 istället för x.
Låt oss nu se hur man formaliserar detta beslut:

2 x = 2 3
x = 3

För att lösa en sådan ekvation tog vi bort identiska grunder(det vill säga tvåor) och skrev ner vad som blev kvar, det är grader. Vi fick svaret vi letade efter.

Låt oss nu sammanfatta vårt beslut.

Algoritm för att lösa exponentialekvationen:
1. Behöver kontrollera det samma om ekvationen har baser till höger och vänster. Om orsakerna inte är desamma letar vi efter alternativ för att lösa detta exempel.
2. Efter att baserna blivit desamma, likställa grader och lös den resulterande nya ekvationen.

Låt oss nu titta på några exempel:

Låt oss börja med något enkelt.

Baserna på vänster och höger sida är lika med talet 2, vilket betyder att vi kan kassera basen och likställa deras potenser.

x+2=4 Den enklaste ekvationen erhålls.
x=4 – 2
x=2
Svar: x=2

I följande exempel kan du se att baserna är olika: 3 och 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Flytta först nio till höger, vi får:

Nu måste du göra samma baser. Vi vet att 9=3 2. Låt oss använda potensformeln (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Vi får 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nu är det klart att på vänster och höger sida är baserna lika och lika med tre, vilket betyder att vi kan kassera dem och likställa graderna.

3x=2x+16 får vi den enklaste ekvationen
3x - 2x=16
x=16
Svar: x=16.

Låt oss titta på följande exempel:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Först och främst tittar vi på baserna, bas två och fyra. Och vi behöver att de är likadana. Vi transformerar de fyra med formeln (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Och vi använder också en formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Lägg till i ekvationen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Vi gav ett exempel av samma skäl. Men andra nummer 10 och 24 stör oss. Vad ska man göra med dem? Om du tittar noga kan du se att på vänster sida har vi 2 2x upprepade, här är svaret - vi kan sätta 2 2x inom parentes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Låt oss beräkna uttrycket inom parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Vi dividerar hela ekvationen med 6:

Låt oss föreställa oss 4=2 2:

2 2x = 2 2 baser är lika, vi kasserar dem och sätter likhetstecken mellan graderna.
2x = 2 är den enklaste ekvationen. Dela det med 2 så får vi
x = 1
Svar: x = 1.

Låt oss lösa ekvationen:

9 x – 12*3 x +27= 0

Låt oss förvandla:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Vi får ekvationen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Våra baser är desamma, lika med tre. I det här exemplet kan du se att de tre första har en grad två gånger (2x) än den andra (bara x). I det här fallet kan du lösa ersättningsmetod. Vi ersätter siffran med den minsta graden:

Sedan 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Vi ersätter alla x potenser i ekvationen med t:

t2 - 12t+27 = 0
Vi får en andragradsekvation. Löser vi genom diskriminanten får vi:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Återgår till variabeln x.

Ta t 1:
ti = 9 = 3 x

Det är,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

En rot hittades. Vi letar efter den andra från t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 = 2; x 2 = 1.

På webbplatsen kan du ställa alla frågor du kan ha i avsnittet HJÄLP BESTÄMMA, vi kommer definitivt att svara dig.

Gå med i gruppen

Ange siffran och graden och tryck sedan på =.

Tabell över grader

Gradens egenskaper - 2 delar

En tabell över huvudgraderna i algebra i kompakt form (bild, bekvämt för utskrift), ovanpå numret, på sidan av graden.

REFERENSMATERIAL OM ALGEBRA FÖR ÅRSKRAFT 7-11.

Kära föräldrar! Om du letar efter en matematiklärare för ditt barn, då är den här annonsen för dig. Jag erbjuder Skype-handledning: förberedelser för Unified State Exam, Unified State Exam, täppa till kunskapsluckor. Dina fördelar är uppenbara:

1) Ditt barn är hemma och du kan vara lugn om honom;

2) Klasserna hålls vid en tidpunkt som passar barnet, och du kan till och med delta i dessa klasser. Jag förklarar det enkelt och tydligt på den vanliga skolstyrelsen.

3) Du kan själv tänka på andra viktiga fördelar med Skype-lektioner!

• Arbete n faktorer som var och en är lika A kallad n-te potensen av talet A och är utsedd An.
• Den handling genom vilken produkten av flera lika faktorer hittas kallas exponentiering. Talet som höjs till en potens kallas basen för potensen. Siffran som visar till vilken styrka basen höjs kallas exponent. Så, An- grad, A– grunden för examen, n– exponent.
• och 0 = 1
• a 1 =a
• en m∙ en= en m + n
• en m: en= en m — n
• (en m) n= en mn
• (a∙b) n =a n ∙b n
• (a/ b) n= en/ b n När man höjer en bråkdel till en potens höjs både täljaren och nämnaren för bråket till den potensen.

• (- n) potens (n ​​– naturligt) tal A, inte lika med noll, betraktas det omvända talet n-talpotens A, dvs. . a — n=1/ en. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
• (a/ b) — n=(b/ a) n
• Egenskaperna för en grad med en naturlig exponent gäller även för grader med vilken exponent som helst.

Mycket stora och mycket små siffror skrivs vanligtvis i standardform: a∙10 n, Var 1≤a<10 Och n(naturligt eller heltal) – är ordningen för ett tal skrivet i standardform.

• Uttryck som är uppbyggda av tal, variabler och deras potenser med hjälp av multiplikation kallas monomialer.
• Denna typ av monomial, när den numeriska faktorn (koefficienten) kommer först, följt av variablerna med sina potenser, kallas standardtypen av monomial. Summan av exponenterna för alla variabler som ingår i en monomial kallas graden av monomial.
• Monomialer som har samma bokstavsdel kallas liknande monomialer.

• Summan av monomer kallas ett polynom. Monomialen som utgör ett polynom kallas termer för polynomet.
• Ett binomium är ett polynom som består av två termer (monom).
• Ett trinomium är ett polynom som består av tre termer (monomial).
• Graden av ett polynom är den högsta av graderna av dess ingående monomial.
• Ett polynom av standardform innehåller inte liknande termer och skrivs i fallande ordning efter graderna av dess termer.

• För att multiplicera ett monom med ett polynom måste du multiplicera varje term i polynomet med detta monom och addera de resulterande produkterna.
• Att representera ett polynom som en produkt av två eller flera polynom kallas att faktorisera polynomet.
• Att ta den gemensamma faktorn ur parentes är det enklaste sättet att faktorisera ett polynom.
• För att multiplicera ett polynom med ett polynom måste du multiplicera varje term i ett polynom med varje term i ett annat polynom och skriva de resulterande produkterna som summan av monomer. Om det behövs, lägg till liknande termer.

• (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Kvadrat på summan av två uttryckär lika med kvadraten på det första uttrycket plus två gånger produkten av det första uttrycket och det andra plus kvadraten på det andra uttrycket.
• (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Kvadrat på skillnaden mellan två uttryckär lika med kvadraten på det första uttrycket minus två gånger produkten av det första uttrycket och det andra plus kvadraten på det andra uttrycket.
• a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Skillnaden mellan kvadrater av två uttryckär lika med produkten av skillnaden mellan själva uttrycken och deras summa.
• (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Kub av summan av två uttryckär lika med kuben av det första uttrycket plus trippel produkten av kvadraten av det första uttrycket och andra plus trippel produkten av det första uttrycket och kvadraten av det andra plus kuben av det andra uttrycket.
• (a-b) 3 = a3-3a2b+3ab2-b3Skillnadskub av två uttryckär lika med kuben av det första uttrycket minus tre gånger produkten av kvadraten av det första uttrycket och det andra plus tre gånger produkten av det första uttrycket och kvadraten av det andra minus kuben av det andra uttrycket.
• a 3 + b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Summan av kuber av två uttryckär lika med produkten av summan av själva uttrycken och den ofullständiga kvadraten på deras skillnad.
• a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Skillnaden mellan kuber av två uttryckär lika med produkten av skillnaden mellan uttrycken själva och partialkvadraten på deras summa.
• (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Kvadrat på summan av tre uttryckär lika med summan av kvadraterna av dessa uttryck plus alla möjliga dubblerade parvisa produkter av själva uttrycken.
• Referens. Den perfekta kvadraten av summan av två uttryck: a 2 + 2ab + b 2

Partiell kvadrat av summan av två uttryck: a 2 + ab + b 2

Formens funktion y=x2 kallas en kvadratfunktion. Grafen för en kvadratisk funktion är en parabel med dess vertex i origo. Parabolgrenar y=x² riktad uppåt.

Formens funktion y=x 3 kallas en kubisk funktion. Grafen för en kubisk funktion är en kubisk parabel som passerar genom origo. Grenar av en kubisk parabel y=x³ ligger i 1:a och 3:e kvarteren.

Jämn funktion.

Fungera f kallas även om, tillsammans med varje värde på variabeln X -X f(- x)= f(x). Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring ordinataaxeln (Oy). Funktionen y=x 2 är jämn.

Udda funktion.

Fungera f kallas udda om, tillsammans med varje värde på variabeln X från domänen för funktionsvärdet ( -X) ingår också i denna funktion och jämställdheten är uppfylld: f(- x)=- f(x) . Grafen för en udda funktion är symmetrisk om ursprunget. Funktionen y=x 3 är udda.

Andragradsekvation.

Definition. Formens ekvation ax 2 +bx+c=0, Var a, b Och c– eventuella reella tal, och a≠0, x– variabel, kallad andragradsekvation.

a– första koefficienten, b– andra koefficienten, c- gratis medlem.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer.

• ax 2 = 0 – Ofullständig andragradsekvation (b=0, c=0 ). Lösning: x=0. Svar: 0.
• ax 2 +bx=0 –Ofullständig andragradsekvation (c=0 ). Lösning: x (ax+b)=0 → x 1 =0 eller ax+b=0 → x 2 =-b/a. Svar: 0; -b/a.
• ax 2 +c=0 –Ofullständig andragradsekvation (b=0 ); Lösning: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Om (-c/a)<0 , då finns det inga riktiga rötter. Om (-с/а)>0

• ax 2 +bx+c=0- andragradsekvation allmän syn

Diskriminerande D=b2-4ac.

Om D>0, då har vi två riktiga rötter:

Om D=0, då har vi en enda rot (eller två lika stora rötter) x=-b/(2a).

Om D<0, то действительных корней нет.

• ax 2 +bx+c=0 – andragradsekvation privat form för ens sekund

Koefficient b

• ax 2 +bx+c=0 – andragradsekvation privat typ tillhandahålls : a-b+c=0.

Den första roten är alltid lika med minus ett, och den andra roten är alltid lika med minus Med, delat med A:

xl =-1, x2 =-c/a.

• ax 2 +bx+c=0 – andragradsekvation privat typ tillhandahålls: a+b+c=0.

Den första roten är alltid lika med en och den andra roten är lika med Med, delat med A:

xl=l, x2=c/a.

Lösa de givna andragradsekvationerna.

• x 2 +px+q=0 – reducerad andragradsekvation (den första koefficienten är lika med ett).

Summan av rötter i den reducerade andragradsekvationen x 2 +px+q=0är lika med den andra koefficienten tagen med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Var x 1, x 2- rötter till andragradsekvationen ax 2 +bx+c=0.

Funktionen för det naturliga argumentet kallas en talföljd, och talen som bildar sekvensen kallas termer för sekvensen.

Den numeriska sekvensen kan specificeras på följande sätt: verbal, analytisk, återkommande, grafisk.

En numerisk sekvens, vars varje medlem, med början från den andra, är lika med den föregående som lagts till samma nummer för en given sekvens d, kallas en aritmetisk progression. siffra d kallas skillnaden i en aritmetisk progression. I aritmetisk progression (en), dvs i en aritmetisk progression med termer: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, a n, ... per definition: a 2 =a 1 + d; a 3 = a 2 + d; a 4 = a 3 + d; a 5 = a 4 + d; ...; an =a n-1+ d; …

Formel för den n:e termen i en aritmetisk progression.

an =ai +(n-1) d.

Egenskaper för aritmetisk progression.

• Varje term i en aritmetisk progression, med början från den andra, är lika med det aritmetiska medelvärdet av dess närliggande termer:

an =(a n-1 +a n+1):2;

• Varje term i en aritmetisk progression, med början från den andra, är lika med det aritmetiska medelvärdet av termerna på lika avstånd från den:

a n =(a n-k +a n+k):2.

Formler för summan av de första n termerna i en aritmetisk progression.

1) Sn = (ai +an)∙n/2; 2) Sn =(2a1 +(n-1) d)∙n/2

Geometrisk progression.

Definition av geometrisk progression.

En numerisk sekvens, där varje medlem, med början från den andra, är lika med den föregående, multiplicerat med samma tal för en given sekvens q, kallas en geometrisk progression. siffra q kallas nämnaren för en geometrisk progression. I geometrisk progression (b n), dvs i geometrisk progression b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., b n, ... per definition: b 2 = b 1 ∙q; b3 =b2 ∙q; b4 =b3 ∙q; ... ; b n =b n -1 ∙q.

Formel för den n:e termen av en geometrisk progression.

bn=b1∙qn-1.

Egenskaper för geometrisk progression.

Formel för summan av den förstan termer av geometrisk progression.

Summan av en oändligt minskande geometrisk progression.

En oändlig periodisk decimal är lika med en vanlig bråkdel, i vars täljare är skillnaden mellan hela talet efter decimalkomma och talet efter decimalkomma före perioden för bråket, och nämnaren består av "nio" och "nollor", och det finns lika många " nio” eftersom det finns siffror i perioden, och lika många “nollor” som det finns siffror efter decimaltecknet före bråkperioden. Exempel:

Sinus, cosinus, tangent och cotangens för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel.

(α+β=90°)

Vi har: sinβ=cosα; cosp=sina; tgp=ctga; ctgp=tga. Eftersom β=90°-α, alltså

sin(90°-a)=cosa; cos (90°-a)=sina;

tg (90°-a)=ctga; ctg (90°-a)=tga.

Kofunktioner av vinklar som kompletterar varandra upp till 90° är lika.

Tilläggsformler.

9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;

10) sin (a-p)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;

11) cos (a+p)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;

12) cos (a-p)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;

Formler för dubbla och trippelargument.

17) sin2a=2sinαcosα; 18) cos2a=cos2a-sin2a;

19) 1+cos2a=2cos2a; 20) 1-cos2a=2sin 2a

21) sin3a=3sina-4sin3a; 22) cos3a=4cos3a-3cosa;

Formler för att omvandla en summa (skillnad) till en produkt.

Formler för att omvandla en produkt till en summa (skillnad).

Halvargumentformler.

Sinus och cosinus i valfri vinkel.

Jämnhet (udda) av trigonometriska funktioner.

Av de trigonometriska funktionerna är endast en jämn: y=cosx, de andra tre är udda, dvs cos (-α)=cosα;

sin (-a)=-sina; tg (-a)=-tga; ctg (-a)=-ctga.

Tecken på trigonometriska funktioner genom koordinatfjärdedelar.

Värden av trigonometriska funktioner för vissa vinklar.

Radianer.

1) 1 radian är värdet på den centrala vinkeln baserat på en båge vars längd är lika med radien för den givna cirkeln. 1 rad≈57°.

2) Konvertera gradmåttet för en vinkel till radianmåttet.

3) Konvertera radianvinkelmått till gradmått.

Reduktionsformler.

Mnemonisk regel:

1. Före den reducerade funktionen, sätt den reducerbara skylten.

2. Om argumentet π/2 (90°) skrivs ett udda antal gånger så ändras funktionen till en samfunktion.

Omvända trigonometriska funktioner.

Arcsinus för ett tal (arcsin a) är en vinkel från intervallet [-π/2; π/2 ], vars sinus är lika med a.

arcsin(- a)=- arcsina.

Arccosinus för ett tal (arccos a) är en vinkel från intervallet vars cosinus är lika med a.

arccos(-a)=π – arccosa.

Arktangensen för ett tal a (arctg a) är en vinkel från intervallet (-π/2; π/2), vars tangent är lika med a.

arctg(- a)=- arctga.

Arcotangensen för ett tal a (arcctg a) är en vinkel från intervallet (0; π), vars cotangens är lika med a.

arcctg(-a)=π – arcctg a.

Lösa enkla trigonometriska ekvationer.

Allmänna formler.

1) sin t=a, 0

2) sin t = - a, 0

3) cos t=a, 0

4) cos t =-a, 0

5) tg t =a, a>0, sedan t=arctg a + πn, nϵZ;

6) tg t =-a, a>0, sedan t= - arctg a + πn, nϵZ;

7) ctg t=a, a>0, sedan t=arcctg a + πn, nϵZ;

8) ctg t= -a, a>0, sedan t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

Särskilda formler.

1) sin t=0, då t=πn, nϵZ;

2) sin t=1, då t= π/2 +2πn, nϵZ;

3) sin t= -1, sedan t= — π/2 +2πn, nϵZ;

4) cos t=0, då t= π/2+ πn, nϵZ;

5) cos t=1, då t=2πn, nϵZ;

6) cos t=1, då t=π +2πn, nϵZ;

7) tgt =0, då t = πn, nϵZ;

8) cot t=0, då t = π/2+πn, nϵZ.

Lösning av enkla trigonometriska ojämlikheter.

1) synd

2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn

3) kosta

4) kostnad>a (|a|<1), -arccosa+2πn

5) tgt

6) tgt>a, arctga+πn

7) ctgt

8) ctgt>a, πn

Rakt på ett plan.