معادله لاپلاس جداسازی کانتور قطره مایع در مسئله تعیین کشش سطحی جداسازی خطوط قطره

استخراج کانتور یک قطره مایع در مسئله تعیین کشش سطحی

میزوتین م.م. 1، کریلوف A.S. 1، Protsenko P.V. 2

1 دانشگاه دولتی مسکو به نام M.V. لومونوسوف، دانشکده ریاضیات محاسباتی و ریاضیات

2 دانشگاه دولتی مسکو به نام M.V. لومونوسوف، دانشکده شیمی

معرفی

کشش سطحی یکی از مهمترین خواص مایعات است و اندازه گیری دقیق آن برای مطالعه پدیده های مختلف و توسعه فرآیندهای تکنولوژیکی ضروری است. روش‌های مختلفی برای اندازه‌گیری کشش سطحی وجود دارد، اما در بین همه آنها، روش قطره‌ای بدون نشست یا آویزان را می‌توان تشخیص داد. مزایای اصلی این روش طیف وسیعی از کاربردهای آن - از مایعات سیال سبک تا فلزات مایع، و سادگی نسبی راه اندازی آزمایشی در مقایسه با روش های دیگر است. علاوه بر این، با توجه به توسعه محاسبات دیجیتال و فناوری عکاسی، انجام تجزیه و تحلیل تقریباً آنی ممکن شده است.

ماهیت روش به شرح زیر است: یک قطره بر روی یک بستر افقی قرار می گیرد (روش قطره خوابیده) یا روی یک لوله مویین آویزان می شود (روش قطره آویزان) و سپس عکس پروفایل آن مطالعه می شود. اندازه گیری پارامترهای هندسی یک قطره تعادلی که شکل آن با رابطه بین چگالی و کشش سطحی مایع تعیین می شود، امکان بازیابی کشش سطحی مورد نظر را فراهم می کند. نمودار نصب در شکل نشان داده شده است. 1.

برنج. 1. 1 - منبع نور (لامپ یا آینه میکروسکوپ)، 2 - رها کردن روی بستر،

3- میکروسکوپ با دوربین دیجیتال.

علیرغم یک تکنیک تجربی نسبتاً توسعه یافته، یک نصب گران قیمت ویژه برای شلیک یک قطره هنوز مورد نیاز است. این مقاله الگوریتمی را برای یک راه‌اندازی آزمایشی که از مؤلفه‌های به طور گسترده در دسترس ساخته شده است، پیشنهاد می‌کند. معایب نصب در مقایسه با تجهیزات آزمایشگاهی با روش های پیشنهادی پردازش تصویر جبران می شود.

روش ریزش بدون نشست

معادله اصلی روش افت بدون نشست، معادله یانگ-لاپلاس، سطح یک قطره را با تقارن چرخشی بر روی یک بستر افقی توصیف می کند. برای حل این مشکل، یک تکنیک موثر پیشنهاد شد، پس از آن بهبود و تکمیل شد.

این تکنیک بر اساس تمایز عددی معادله یانگ-لاپلاس است. به منظور افتراق معادله یانگ-لاپلاس، پارامترسازی منحنی معرفی شده است
، جایی که تی- طول قوس منحنی از بالای قطره (شکل 2).

برنج. 2.پارامتری کردن کانتور افت.

این پارامترسازی شرط را برآورده می کند
، و به سیستم معادلات منتهی می شود

(1)

با شرایط اولیه
,
,
,
و شرایط اضافی
. در بسته نرم افزاری توسعه یافته، مسئله کوشی (1) با روش رانگ-کوتا درجه چهارم دقت حل شده است.

برای بازیابی پارامترهای یک افت بی‌صدا، حل مشکل معکوس تعیین ثابت مویرگی ضروری است.
، مختصات راس قطره
و شعاع انحنای آن به عنوان تابعی از شعاع بخش افقی قطره از ارتفاع بالای بستر. این تابع با خطا اندازه گیری می شود و در برخی موارد، اندازه گیری تنها بخشی از کانتور افت در دسترس است. هنگام حل این مشکل معکوس، خطای (2) به حداقل می رسد

بین نقاط آزمایشی
و منحنی به دست آمده در نتیجه حل عددی مسئله (2). تفاوت بین نقاط آزمایشی و منحنی به عنوان ریشه مجموع مجذورات فواصل هر نقطه آزمایشی تا منحنی تعریف می شود.

در این راستا، وظیفه پردازش تصویر زیر مطرح می شود: به دست آوردن خودکار طرح کلی یک قطره، که با وجود گرد و غبار و زباله در تصاویر (که با استفاده از یک دوربین معمولی در شرایط "خانگی" همراه است) پیچیده می شود. و همچنین شرایط نوری متغیر.

تابع خطا

یکی از بخش های اصلی روش، محاسبه تابع خطا (2) است. محاسبه فاصله بین یک نقطه و یک منحنی (3)

در این مورد بسیار کار بر است، زیرا برای ما ناشناخته است، و همچنین باید آنها را با استفاده از روش جستجوی یک بعدی به صورت عددی پیدا کرد.

برای محاسبه کارآمد تابع خطا، الگوریتم زیر پیشنهاد شده است. ابتدا لازم است تمام نقاط آزمایشی مرتب شوند تا با افزایش تعداد نقاط من پارامتر مربوطه نیز افزایش یافته است. سپس، هنگام جستجوی یک پارامتر برای هر نقطه بعدی، می توانید از مقدار پارامتر به عنوان تقریب اولیه استفاده کنید. ، و برای اولین نقطه تقریب اولیه خواهد بود
. برای اطلاعات بیشتر در مورد ترسیم طرح کلی یک قطره، به زیر مراجعه کنید.

ثانیاً، محاسبه تابع خطا را می توان به طور مستقیم در طی فرآیند یکپارچه سازی سیستم (1) با استفاده از روش Runge-Kutta انجام داد. در واقع در هر تکرار مقادیر در دسترس ما هستند و با حل معادله (4) می توان کمترین فاصله را از نقطه پیدا کرد.

روش نیوتن. یعنی هنگام ادغام عددی سیستم (1)، باید مقدار تابع (4) را برای هر نقطه بعدی نظارت کنید و مقادیر کوچکترین خطاها را به خاطر بسپارید، در صورت لزوم، مرحله را کاهش دهید. برای افزایش دقت نتایج

انتخاب طرح کلی یک قطره

همانطور که در بالا ذکر شد، برای محاسبه موثر خطا با استفاده از فرمول (4)، باید کانتور افت را از تصویر به گونه‌ای استخراج کرد که با افزایش عدد نقطه من پارامتر مربوطه نیز افزایش یافته است. این عملیات در 2 مرحله انجام می شود: انتخاب مستقیم لبه ها با استفاده از آشکارساز Canny و انتخاب مجموعه های متوالی نقاط مرتبط از نقشه باینری لبه ها.

الگوریتم زیر برای ردیابی لبه توسعه داده شد. ابتدا لازم است عملیات نازک کردن لبه انجام شود، زیرا آشکارساز Canny تضمین نمی کند که تمام لبه های حاصل 1 پیکسل ضخامت داشته باشند (این وضعیت عمدتاً در اتصالات رخ می دهد) و چنین شرایطی برای پردازش بیشتر ضروری است. جراحی نازک کردن لبه را می توان با استفاده از یکی از روش های شناخته شده نازک کردن لبه انجام داد. در این کار از الگوریتم استفاده شده است.

پردازش بیشتر بر اساس تجزیه و تحلیل یک همسایگی 3x3 پیکسل در اطراف پیکسل مورد نظر است. در شکل 3 مقادیر پیکسل در همسایگی با متغیرها نشان داده می شوند ، با گرفتن مقدار 0 یا 1.

برنج. 3.همسایگی 3x3 اطراف پیکسل مورد نظر ,
.

طرح کلی الگوریتم برای شناسایی دنباله های متصل نقاط:

اگر
و
، سپس پیکسل مرکزی شامل محل تلاقی خطوط است.

اگر
و سپس انتهای کانتور در پیکسل مرکزی قرار می گیرد.

در عین حال، بررسی این شرایط را می توان با استفاده از جداول جستجو به سرعت و کارآمد انجام داد، زیرا مجموع مقادیر ورودی ممکن 512 = 2 9 است.

از یکی از انتهای یافت شده خطوط شروع کنید.

پیکسل فعلی را به لیست پیکسل های کانتور زیر عدد فعلی اضافه کنید و پیکسل فعلی را روی نقشه لبه با شماره کانتور فعلی علامت گذاری کنید.

یک پیکسل با مقدار 1 را در بین همسایگان پیکسل فعلی پیدا کنید.

اگر همسایه یافت شده انتهای یک کانتور یا یک تقاطع نیست و هنوز با هیچ عددی در نقشه لبه علامت گذاری نشده است، پیکسل فعلی را به موقعیت همسایه یافت شده منتقل کرده و به مرحله 3 بروید. در غیر این صورت، پر کردن را تمام کنید. کانتور فعلی و رفتن به مرحله بعدی (مرحله 2).

نتیجه

مطالعات تجربی سیستم روغن پارافین/دکان در غلظت‌های مختلف با استفاده از الگوریتم پیشنهادی، اثربخشی رویکرد پیشنهادی را نشان داد.

این کار با حمایت برنامه هدف فدرال "کارکنان علمی و علمی-آموزشی روسیه مبتکر" برای 2009-2013 انجام شد.

ادبیات

ماز سی.، برنت جی. یک روش رگرسیون غیر خطی برای محاسبه کشش سطحی و زاویه تماس از شکل یک قطره بدون نشست // موج سواری. علمی. 1969. ج 13. ص 451.

کریلوف A. S.، Vvedensky A. V.، Katsnelson A. M.، Tugovikov A. E.. بسته نرم افزاری برای تعیین کشش سطحی فلزات مایع // جی. غیر کریست.مواد جامد. 1993. V. 156-158. ص 845.

O. I. del Río و A. W. Neumann.تجزیه و تحلیل شکل قطره متقارن محوری: روش‌های محاسباتی برای اندازه‌گیری ویژگی‌های سطحی از شکل و ابعاد قطره‌های آویز و بدون نشست // مجله کلوئید و علوم رابط، دوره 196، ش 2، 15 دی 1376، صفحات 136-147.

M. Hoorfar و A. W. Neumann. پیشرفت های اخیر در تجزیه و تحلیل شکل قطره متقارن محوری // پیشرفت در کلوئید و علوم رابط، دوره 121، شماره 1-3، 13 سپتامبر 2006، صفحات 25-49.

کنی، جی.یک روش محاسباتی به تشخیص لبه // IEEE Trans. تحلیل الگو و هوش ماشینی, 8(6):679–698, 1986

Lam L.، Lee S.-W.، Suen C.Y.روش‌های نازک‌سازی - نظرسنجی جامع // آرشیو معاملات IEEE در تجزیه و تحلیل الگو و هوش ماشینی، دوره 14، شماره 9، شهریور 92.

Z. Guo و R. W. Hall, «نازک شدن موازی با الگوریتم‌های دو ابتراسیون»، Comm. ACM، جلد. 32، شماره 3، صص 359-373، 1989.

تشخیص لبه قطره برای تعیین کشش سطحی

Mizotin M. 1، Krylov A. 1، Protsenko P. 2

1 دانشگاه دولتی لومونوسوف مسکو، دانشکده ریاضیات محاسباتی و سایبرنتیک، آزمایشگاه روش های ریاضی پردازش تصویر،

2 دانشگاه دولتی مسکو لومونوسوف، گروه شیمی

کشش سطحی یکی از ویژگی های کلیدی مایع است، بنابراین اندازه گیری آن برای مطالعه پدیده های مختلف مانند خیس شدن و توسعه فرآیندهای تکنولوژیکی بسیار مهم است. تکنیک‌های افت بی‌صدا و آویز به دلیل جهانی بودن و سادگی فرآیند اندازه‌گیری، یکی از پرکاربردترین‌ها هستند.

این روش مبتنی بر مطالعه نیمرخ قطره متقارن است. تعادل نیروی گرانش و کشش سطحی شکل نمایه مشخص را تشکیل می دهد، بنابراین کشش سطحی را می توان با حل مسئله معکوس برای معادله یانگ-لاپلاس محاسبه کرد.

در این کار روش استخراج کانتور قطرات برای تعیین کشش سطحی ارائه شده است. تفاوت کلیدی روش پیشنهادی جهت گیری آن بر روی راه اندازی تجربی ارزان قیمت با استفاده از اجزای گسترده در دسترس مانند میکروسکوپ استاندارد، دوربین دیجیتال و نگهدارنده بستر است. تکنیک‌های پیشنهادی پردازش تصویر اجازه می‌دهد تا از بسیاری از مشکلات مربوط به کیفیت پایین تصاویر رها شده توسط تنظیمات ارزان قیمت با حفظ دقت اندازه‌گیری جلوگیری شود.

این کار توسط برنامه فدرال هدف "کارکنان علمی و علمی-آموزشی روسیه مبتکر در 2009-2013" پشتیبانی شد.



استفاده از روش آمیب های مورفولوژیکی برای جداسازی
باکشتی ها در تصاویر FUNDUS

ناسونوف A.V. 1، Chernomorets A.A. 1، کریلوف A.S. 1، رودین A.S. 2

دانشگاه دولتی مسکو به نام M.V. لومونوسوف،

1 دانشکده ریاضیات محاسباتی و سایبرنتیک، آزمایشگاه روشهای ریاضی پردازش تصویر /
2 دانشکده پزشکی بنیادی، گروه چشم پزشکی

این کار بر اساس استفاده از روش آمیب مورفولوژیکی، الگوریتمی برای شناسایی عروق در تصاویر فوندوس ایجاد کرد. کاربرد الگوریتم برای مسئله گسترش عروق از مجموعه ای از نقاطی که به عنوان نقاط رگ شناخته می شوند در نظر گرفته شده است.

1. معرفی

از عکس های فوندوس برای تشخیص بیماری های شبکیه استفاده می شود. تقسیم بندی و ارزیابی اندازه های مشخصه عروق سیستم گردش خون شبکیه در تشخیص و درمان بسیاری از بیماری های چشمی بسیار مورد توجه است.

شناسایی عروق در تصاویر شبکیه به دلیل سطوح بالای نویز، نور ناهموار و وجود اجسام مشابه رگ ها، کار نسبتاً دشواری در پردازش تصویر است. در میان روش های تشخیص عروق در تصاویر فوندوس، می توان کلاس های زیر را تشخیص داد:

دسته‌ای از روش‌ها که از کانولوشن تصویر با فیلتر جهت‌دار دو بعدی و تشخیص پیک پاسخ استفاده می‌کنند. به منظور قطعه بندی شبکه عروقی، یک فیلتر خطی دو بعدی پیشنهاد شده است که مشخصات آن گاوسی است. مزیت این روش شناسایی پایدار بخش های مستقیم کشتی ها و محاسبه عرض آنها است. با این حال، این روش عروق نازک و پرپیچ و خم را به خوبی تشخیص نمی دهد؛ هشدارهای کاذب برای اجسامی که رگ نیستند، به عنوان مثال، اگزودا امکان پذیر است.

روش‌های با استفاده از تشخیص برآمدگی بدوی پیدا می شود - بخش های کوتاهی که در وسط خطوط قرار دارند ، سپس با استفاده از روش های یادگیری ماشینی ، ابتدایی هایی انتخاب می شوند که مربوط به عروقی هستند که درخت عروقی در امتداد آنها بازسازی می شود.

روش‌هایی با استفاده از ردیابی شناور، که هم کشتی‌های اتصال را در یک جفت نقطه و هم کشتی‌های ادامه‌دهنده را شامل می‌شود. از مزایای این روش می توان به دقت بالای کار بر روی عروق نازک و ترمیم رگ های پاره شده اشاره کرد. نقطه ضعف آن دشواری پردازش انشعاب و عبور کشتی ها است.

طبقه بندی پیکسل به پیکسل بر اساس کاربرد روش های یادگیری ماشینی. در اینجا برای هر پیکسل یک بردار ویژگی ساخته می شود که بر اساس آن مشخص می شود که پیکسل بخشی از ظرف است یا خیر. برای آموزش روش، از تصاویر فوندوس با عروق مشخص شده توسط متخصص استفاده می شود. از معایب روش می توان به اختلاف زیاد در نظرات کارشناسان اشاره کرد.

در این کار، از روش آمیب های مورفولوژیکی برای شناسایی عروق استفاده می شود - روشی مورفولوژیکی که در آن یک عنصر ساختاری به طور تطبیقی ​​برای هر پیکسل انتخاب می شود.

2. آمیب های مورفولوژیکی

ما از روش آمیب مورفولوژیکی شرح داده شده در، با تابع فاصله اصلاح شده استفاده می کنیم.

یک تصویر در مقیاس خاکستری را در نظر بگیرید
. بیایید آن را به شکل نموداری تصور کنیم که در آن هر پیکسل به هشت پیکسل همسایه توسط یال هایی با مقداری وزن داده شده ("هزینه") متصل است. سپس برای هر پیکسل
شما می توانید مجموعه ای از تمام نقاط را پیدا کنید
، که برای آن هزینه مسیر از به
تجاوز نمی کند تی. مجموعه حاصل عنصر ساختاری پیکسل خواهد بود.

ما از تابع فاصله پیکسل زیر استفاده می کنیم و
:

ضرب کننده
هزینه کم برای حرکت در مناطق تاریک و هزینه بالا برای مناطق روشن تعیین می کند، در نتیجه از گسترش آمیب به نقاط خارج از کشتی جلوگیری می کند و این اصطلاح حرکت بین پیکسل ها را با شدت های بسیار متفاوت جریمه می کند. پارامتر اهمیت مجازات برای این انتقال را مشخص می کند.

نمونه ای از یافتن آمیب در
در شکل نشان داده شده است. 1.

برنج. 1. نمونه هایی از اشکال آمیب مورفولوژیکی. در سمت چپ تصویر اصلی با نقاط مشخص شده است که در آن آمیب ها محاسبه می شوند، در سمت راست - عناصر ساختاری یافت شده با رنگ سفید مشخص شده اند.

3. شناسایی عروق با استفاده از آمیب مورفولوژیکی

برای ردیابی عروق سیستم گردش خون در تصاویر فوندوس، یک الگوریتم ایجاد شد که شامل مراحل زیر است:

4. نتایج

نمونه ای از عملکرد الگوریتم در شکل 1 نشان داده شده است. 2.

برنج. 2. نتیجه شناسایی عروق با استفاده از آمیب مورفولوژیکی. در سمت چپ تصویری از فوندوس (کانال سبز)، در مرکز نقاطی هستند که مشخصا نقاط رگ هایی هستند که آمیب ها از آنها ساخته می شوند، در سمت راست نتیجه شناسایی عروق با استفاده از روش پیشنهادی است.

نتیجه

کاربرد روش آمیب مورفولوژیکی برای شناسایی عروق در تصاویر فوندوس مورد توجه قرار گرفته است.

الگوریتم توسعه‌یافته قرار است در یک سیستم خودکار برای تشخیص بیماری‌های شبکیه استفاده شود.

این کار توسط برنامه هدف فدرال "کارکنان علمی و علمی-آموزشی روسیه نوآور" برای سال های 2009-2013 و بنیاد روسیه برای تحقیقات پایه 10-01-00535-a حمایت شد.

ادبیات

S. Chaudhuri، S. Chatterjee، N. Katz، M. Nelson، M. Goldbaum. تشخیص رگ های خونی در تصاویر شبکیه با استفاده از فیلترهای تطبیق دو بعدی // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 8، شماره 3، 1989، صص. 263-269.

جی. استال، ام. دی. آبراموف، ام. نیمیجر، ام. ای. ویرگور، بی. گینکن. تقسیم بندی عروق مبتنی بر ریج در تصاویر رنگی شبکیه // IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 23، شماره 4، 2004، صص. 504–509.

M.Patasius، V.Marozas، D.Jegelevieius، A.Lukosevieius. الگوریتم بازگشتی برای تشخیص عروق خونی در تصاویر فوندوس چشم: نتایج اولیه // مجموعه مقالات IFMBE، جلد. 25/11، 2009، صص. 212-215.

J. Soares، J. Leandro، R. Cesar Jr.، H. Jelinek، M. Cree. تقسیم بندی عروق شبکیه با استفاده از موجک گابور دو بعدی و طبقه بندی نظارت شده // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 25، شماره 9، 2006، صص. 1214-1222.

کاربرد روش مورفولوژیکی آموئاسبرای تشخیص رگ های خونی در تصاویر فوندوس چشم

Nasonov A. 1، Chernomorets A. 1، Krylov A. 1، Rodin A. 2

دانشگاه دولتی لومونوسوف مسکو
1 دانشکده ریاضیات محاسباتی و سایبرنتیک، آزمایشگاه روشهای ریاضی پردازش تصویر، /
2 دانشکده پزشکی بنیادی، گروه چشم پزشکی

الگوریتمی برای تشخیص عروق خونی در تصاویر فوندوس چشم توسعه داده شده است. تقسیم بندی و تجزیه و تحلیل رگ های خونی در تصاویر فوندوس چشم، مهمترین اطلاعات را برای تشخیص بیماری های شبکیه فراهم می کند.

تشخیص رگ خونی در تصاویر فوندوس چشم یک مشکل چالش برانگیز است. تصاویر توسط نور و نویز غیر یکنواخت خراب می شوند. همچنین برخی از اشیاء را می توان به اشتباه به عنوان رگ های خونی تشخیص داد.

الگوریتم پیشنهادی بر اساس روش آمیب مورفولوژیکی است. آمیب مورفولوژیکی برای یک پیکسل معین مجموعه ای از پیکسل ها با حداقل فاصله تا پیکسل معین کمتر از یک آستانه است. تی. ما از مجموع مقدار شدت متوسط ​​ضرب در فاصله اقلیدسی و قدر مطلق تفاوت بین مقادیر شدت پیکسل برای فاصله استفاده می کنیم. در این حالت فاصله برای رگ‌های خونی که معمولاً تیره و برای نواحی روشن و لبه‌ها بزرگ هستند کم خواهد بود و آمیب در امتداد رگ کشیده می‌شود اما نه از طریق دیواره‌های عروق.

الگوریتم پیشنهادی تشخیص عروق خونی شامل مراحل زیر است:

کانال سبز را به عنوان آموزنده ترین استخراج کنید و با استفاده از روش اصلاح روشنایی را انجام دهید. این امکان استفاده از پارامترهای آمیب یکپارچه را برای تصاویر مختلف فراهم می کند.

مجموعه پیکسل ها را پیدا کنید ( پ n) در تصویر به دست آمده که حتما پیکسل های رگ های خونی هستند

آمیب را محاسبه کنید آ(پ من) برای هر پیکسل، فیلتر کردن رتبه را روی ماسک آمیب با پنجره 3x3 اعمال کنید: پیکسل هایی را از ماسک که کمتر از 3 پیکسل همسایه در ماسک دارند حذف کنید. پیکسل های باقی مانده به عنوان پیکسل رگ های خونی مشخص می شوند.

اگر لازم باشد رگ های خونی را گسترش دهیم، مرحله سوم برای تمام پیکسل های تازه اضافه شده به ناحیه رگ های خونی تکرار می شود.

ما قصد داریم از الگوریتم توسعه یافته در سیستم خودکار تشخیص بیماری شبکیه استفاده کنیم.

این کار توسط برنامه هدف فدرال "کارکنان علمی و علمی-آموزشی روسیه مبتکر در 2009-2013" و کمک مالی RFBR 10-01-00535-a پشتیبانی شد.

ادبیات

R. J. Winder، P. J. Morrow، I. N. McRitchie، J. R. Bailie، P. M. Hart. الگوریتم‌های پردازش تصویر دیجیتال در رتینوپاتی دیابتی // تصویربرداری پزشکی کامپیوتری و گرافیک، جلد. 33، 2009، 608-622.

M. Welk، M. Breub، O. Vogel. معادلات دیفرانسیل برای آمیب های مورفولوژیکی // یادداشت های سخنرانی در علوم کامپیوتر، جلد. 5720/2009، 2009، صص. 104-114.

G. D. Joshi، J. Sivaswamy. تقویت تصویر شبکیه رنگی بر اساس دانش دامنه // ششمین کنفرانس هند در زمینه بینایی کامپیوتری، گرافیک و پردازش تصویر (ICVGIP"08)، 2008، صفحات 591-598.

تصاویر با استفاده از روش توموگرافی به صورت دست نویس ... وجود نویز ضربه ای مشخصه از

معادله در فضای دو بعدی و تک بعدی نیز در نظر گرفته شده است. در فضای دو بعدی معادله لاپلاس نوشته شده است:

همچنین در n-فضای بعدی در این حالت مجموع برابر با صفر است nمشتقات دوم

• توجه: همه آنچه در بالا گفته شد برای مختصات دکارتی در فضای مسطح (هر ابعادی که باشد) صدق می کند. هنگام استفاده از سایر مختصات، نمایش عملگر لاپلاس تغییر می کند، و بر این اساس، ضبط معادله لاپلاس تغییر می کند (به عنوان مثال، زیر را ببینید). این معادلات معادله لاپلاس نیز نامیده می شود، اما برای رفع ابهام از اصطلاح، معمولاً به طور صریح به سیستم مختصات (و در صورت تمایل به وضوح کامل بعد) اضافه می شود، به عنوان مثال: "معادله لاپلاس دو بعدی در مختصات قطبی."

اشکال دیگر معادله لاپلاس

1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ (sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = \displaystyle (1 \ بیش از r^(2))(\ جزئی \ بیش از \ جزئی r)\ چپ (r^(2)(\جزئی f \ بیش از \ جزئی r)\راست)+(1 \ بیش از r^( دو ^(2)\theta )(\partial ^(2)f \over \partial \varphi ^(2))=0)

نکات ویژه r = 0، θ = 0، θ = π (\displaystyle r=0،\theta =0،\theta =\pi).

نکته ویژه

نقطه مفرد r = 0 (\displaystyle r=0).

کاربرد معادله لاپلاس

معادله لاپلاس در بسیاری از مسائل فیزیکی مکانیک، هدایت حرارتی، الکترواستاتیک و هیدرولیک به وجود می آید. عملگر لاپلاس در فیزیک کوانتومی به ویژه در معادله شرودینگر اهمیت زیادی دارد.

حل معادله لاپلاس

با وجود این واقعیت که معادله لاپلاس یکی از ساده ترین معادلات در فیزیک ریاضی است، حل آن با مشکلاتی روبرو است. حل عددی مخصوصاً به دلیل بی نظمی توابع و وجود تکینگی ها دشوار است.

تصمیم مشترک

فضای تک بعدی

جایی که C 1، C 2 (\displaystyle C_(1)، C_(2))- ثابت های دلخواه

فضای دو بعدی

معادله لاپلاس در یک فضای دو بعدی با توابع تحلیلی برآورده می شود. توابع تحلیلی در تئوری توابع یک متغیر مختلط در نظر گرفته می شوند و کلاس حل معادله لاپلاس را می توان به تابعی از یک متغیر مختلط تقلیل داد.

معادله لاپلاس برای دو متغیر مستقل به صورت زیر فرموله شده است

توابع تحلیلی

اگر z = ایکس + iy، و

پس شرایط کوشی-ریمان برای تابع لازم و کافی است f(z) تحلیلی بود:

هر دو بخش واقعی و خیالی توابع تحلیلی معادله لاپلاس را برآورده می کنند. داشتن شرایط متمایز

پراکندگی- مقدار متقابل به اندازه ذرات خطی (m -1):

انرژی سطحی جی اس

کل انرژی سطحی سیستم است.

رسوب گذاری -این حرکت ذرات تحت تأثیر گرانش است.

قانون استوکس:

- فرمول اساسی برای تجزیه و تحلیل رسوب

انتشار -این فرآیندی با هدف یکسان سازی غلظت ها در یک محیط ناهمگن اولیه است.

- قانون اول فیک؛

- معادله انیشتین (ضریب انتشار)

طرح ریزی ریشه میانگین جابجایی مربع:

- معادله جابجایی میانگین ریشه

D ~ 10 -11 - 10 -14 m2 /s، [D]=[m2 /s]

ضریب انتشارجریان ماده ای است که از طریق یک استوانه با سطح مقطع واحد در واحد زمان منتقل می شود.

معادله گیبز-دوهم

- قانون هیپسومتری، فرمول فشارسنجی.

اسمز حرکت یک حلال (محیط پراکندگی) به یک محلول کلوئیدی از طریق یک غشای نیمه تراوا است.

معادله وانت هاف:

ناهمسانگردی امواج نور:

قانون ریلی:
.

- قانون بوگر-لامبرت-بیر

- کدورت سیستم [m -1]

کدورت متقابل فاصله ای است که در آن شدت نور فرودی با ضریب e کاهش می یابد.

کشش سطحیکار تشکیل یک سطح واحد در شرایط همدما برگشت پذیر است.

تجربه دوپره:

کشش سطحینیروی وارد بر یک سطح مماسی و در واحد طول محیطی است که این سطح را محدود می کند.

معادله تعمیم یافته قوانین I و II ترمودینامیک:

- معادله گیبز-هلمهولتز

- معادله لاپلاس .

- فرمول جورین.

- اصل کوری-گیبز

- معادله تامسان-کلوین (تراکم مویرگی) .

روش گیبس:

روش لایه سطحی:

پشت ضخامت لایه فاصله هر دو طرف مرز فاز را در نظر بگیرید، که فراتر از آن، ویژگی‌های سطح با ویژگی‌های حجیم متفاوت نیستند.

خیس شدن - این پدیده برهمکنش مایع با جسم جامد یا مایع در حضور سطح مشترک بین سه فاز است.

- معادله یانگ

پخش کار - این انرژی است که هنگامی که یک سطح با یک لایه نازک مایع پوشانده می شود آزاد می شود یا نیرویی است که روی سطح در طول کل سطح تماس وارد می شود.

- کار کاگزیا

کار چسبندگی

کاگسیا برهمکنش بین ذرات یک فاز است. این کاری است که باید روی گسیختگی فاز، در هر واحد سطح گسیختگی صرف شود.

کار چسبندگی روی تشکیل دو سطح جدید صرف می شود
و
و از ناپدید شدن رابط جامد-مایع سود می برد.

گرمای خیس شدن (N سانتی متر ) مقدار انرژی است که با خیس شدن یک واحد سطح آزاد می شود.

ضریب زبری - نسبت سطح واقعی به سطح هندسی.
,

روش های اندازه گیری کشش سطحی

استاتیک روش های مبتنی بر مطالعه تعادل استاتیکی روش افزایش مویرگی روش ویلهلمی

نیمه استاتیک n 0 - تعداد قطرات برای مایع استاندارد n X - برای اندازه گیری شده 2. روش Du-Nouy 3. روش فشار بیش از حد.

روشهای دینامیک : روش جت نوسانی.

جذب

- اصل کوری

جذب فرآیند توزیع مجدد یک جزء بین فاز حجیم و لایه سطحی است.

الف – جذب کامل مقدار جذب در لایه سطحی در واحد جرم یا سطح جاذب است. قابل اندازه گیری برحسب mol/m2، mol/kg، g/kg و غیره.

G - "گاما" - جذب اضافی (گچ) مقدار اضافی جذب در لایه سطحی در مقایسه با همان حجم فاز در واحد سطح یا جرم جاذب است.

- معادله لنارد جونز

- معادله جذب گیبس .

- تغییر کامل در انرژی گیبس .

- تغییر آنتروپی دیفرانسیل

- آنتالپی دیفرانسیل جذب

- گرمای ایزوستریک جذب

- گرمای تراکم

- گرمای خالص جذب

Qa - گرمای یکپارچه جذب،

Qra - گرمای خالص یکپارچه جذب،

- معادله هانری

- معادله لانگمویر

جذب مخلوطی از گازها در یک سطح همگن

جذب مخلوطی از گازها در سطحی غیر یکنواخت

نظریه BET

امتیاز کلیدی:

هنگامی که یک مولکول جذب شده به یک مکان اشغال شده برخورد می کند، یک مجموعه چندگانه تشکیل می شود.

هر چه نزدیک تر می شویم پبه پ ستعداد سایت های جذب رایگان کاهش می یابد. در ابتدا تعداد مکان های اشغال شده توسط یک نفره، دو نفره و ... افزایش و سپس کاهش می یابد. در مجموعه ها

در پ =پ س جذب به تراکم تبدیل می شود.

هیچ تعامل افقی وجود ندارد.

برای لایه اول، ایزوترم لانگمویر برآورده شده است.

اشکال اصلی نظریه- غفلت از تعاملات افقی به نفع تعاملات عمودی.

حسابداری برای تعاملات جذب-جذب.

آ جاذب قطبی نیست

نمودار 1 مربوط به برهمکنش های ضعیف جاذب-جاذب و برهمکنش های قوی جاذب-جاذب است.

نمودار 2 مربوط به برهمکنش های قوی جاذب-جاذب و برهمکنش های قوی جاذب-جاذب است.

نمودار 3 مربوط به برهمکنش قوی جاذب-جاذب و برهمکنش ضعیف جاذب-جاذب است.

- معادله فرونکین، فاولر، گوگنهایم.

ک- ثابت جاذبه

نظریه بالقوه پلیانی

جذب- این نتیجه جذب ماده جاذب به سطح جاذب به دلیل عمل پتانسیل جذب است که به حضور مولکول های دیگر بستگی ندارد و به فاصله بین سطح و مولکول جاذب بستگی دارد.

, - پتانسیل جذب

از آنجایی که سطح غیر یکنواخت است، فاصله با حجم جذب جایگزین می شود . حجم جذبحجم محصور شده بین سطح و نقطه مربوط به مقدار معین است .

پتانسیل جذبکار انتقال 1 مول جاذب خارج از یک حجم جذب معین به یک نقطه معین از حجم جذب است (یا کار انتقال 1 مول بخار اشباع از یک ماده جاذب که در صورت عدم وجود جاذب در تعادل با یک ماده جاذب مایع است. وارد فاز بخار در حالت تعادل با جاذب).

معادله تامپسون-کلوین.

جذب در رابط جامد-مایع

معادله ایزوترم جذب با ثابت مبادله

فعالیت سطحی g توانایی مواد برای کاهش کشش سطحی در یک سیستم است.

- قانون ترابو دوکلوس

- معادله شیشکوفسکی

میسل- به مجموعه ای از مولکول های سورفکتانت آمفیفیلیک گفته می شود که رادیکال های هیدروکربنی آن هسته تشکیل می دهند و گروه های قطبی به فاز آبی تبدیل می شوند.

توده میسلی – توده میسلی.

تعداد مولکول ها عدد تجمع است.

برای یک سری همسانی یک معادله تجربی وجود دارد:

آ- انرژی انحلال گروه عاملی.

ب- افزایش پتانسیل جذب، کار جذب در واحد متیلن.

وجود یک هسته هیدروکربنی در میسل ها این فرصت را ایجاد می کند که ترکیباتی که در آب نامحلول هستند در محلول های آبی سورفکتانت ها حل شوند؛ این پدیده نامیده می شود. حل شدن(آنچه حل می شود یک ماده حل کننده است، یک سورفکتانت یک حل کننده است).

- فشار دو بعدی

فیلمی که با فازهای یکسان در هر دو طرف محدود شده باشد نامیده می شود دو طرفه. در این گونه فیلم ها حرکت دائمی مشروب مادر مشاهده می شود.

فیلم هایی با ضخامت کمتر از 5 نانومتر نامیده می شوند فیلم های سیاه.

- آنالوگ معادله شیشکوفسکی

پدیده های الکتروکینتیکی دو لایه الکتریکی (EDL).

الکترواسموز حرکت یک محیط پراکندگی نسبت به یک فاز پراکنده ثابت تحت تأثیر جریان الکتریکی است.

الکتروفورز - این حرکت ذرات فاز پراکنده نسبت به یک محیط پخش ثابت تحت تأثیر جریان الکتریکی است.

مدول برشی

مدول اصطکاک ویسکوز

- معادله گلمهولتز- اسمالوکوفسکی

معادله بولتزمن

تراکم بار حجمی

\

معادله پواسون

- ضخامت DEL فاصله ای است که پتانسیل DEL در آن کاهش می یابد هیک بار.

- پتانسیل به صورت تصاعدی کاهش می یابد.

ظرفیت دو لایه

نظریه استرن. ساختار یک میسل کلوئیدی

لایه دوگانه الکتریکی از دو قسمت متراکم و پراکنده تشکیل شده است. یک لایه متراکم در نتیجه تعامل یون های پتانسیل تشکیل با یون های جذب شده خاص تشکیل می شود. این یون‌ها معمولاً تا حدی یا کاملاً کم آب هستند و می‌توانند بار مشابه یا مخالف یون‌های تعیین‌کننده پتانسیل داشته باشند. بستگی به نسبت انرژی برهمکنش الکترواستاتیک دارد
و پتانسیل جذب خاص
. یون های لایه متراکم ثابت هستند. قسمت دیگر یون ها در لایه انتشار قرار دارد، این یون ها آزاد هستند و می توانند به عمق محلول حرکت کنند، یعنی. از ناحیه ای با غلظت بیشتر به ناحیه ای با غلظت کمتر. چگالی بار کل از دو قسمت تشکیل شده است.

- شارژ لایه هلمهولتز

- شارژ لایه پراکنده

، جایی که - کسر مولی از یون های ضد در محلول

خط شکست نامیده می شود مرز لغزشی.

پتانسیل ایجاد شده در مرز لغزش در نتیجه جدا شدن بخشی از لایه منتشر نامیده می شود. پتانسیل الکتروکینتیکی(پتانسیل زتا ).

یک ذره فاز پراکنده با یک لایه احاطه کننده از یون های ضد و یک لایه الکتریکی دوگانه نامیده می شود میسل.

معادله گلمهولتز - اسمولوچوفسکی

(برای الکترواسموز).

برای پتانسیل جریان:

- 1 معادله لیپمن.

- معادله 2 لیپمن.

- معادله نرنست

- معادله منحنی الکتروکاپیلاری (ECC).

انعقادفرآیند چسبندگی ذرات است که منجر به از دست دادن پایداری تجمع می شود.

- قانون شولز-هاردی

فیلم- این بخشی از سیستم است که بین دو سطح سطحی قرار دارد.

فشار از هم گسستهزمانی اتفاق می‌افتد که ضخامت فیلم در نتیجه تعامل لایه‌های سطحی به شدت کاهش می‌یابد.

تئوری ثبات. DLFO (Deryagin، Landau، Fairway، Overbeck).

بر اساس تئوری DLFO، فشار از هم گسسته دو جزء دارد:

الکترواستاتیک P E (مثبت، به دلیل نیروهای دافعه الکترواستاتیکی است). مربوط به کاهش انرژی گیبس با افزایش ضخامت لایه است.

مولکولی P M (منفی، به دلیل عمل نیروهای جاذبه). این ناشی از فشرده سازی فیلم در اثر نیروهای سطحی شیمیایی است، شعاع اثر نیروها دهم نانومتر با انرژی حدود 400 کیلوژول بر مول است.

کل انرژی تعامل:

- معادله لاپلاس

برای سطوح با بار ضعیف

برای سطوح با شارژ زیاد:

جزء مولکولی برهمکنش دو اتم است:

~

برهمکنش اتم با سطح:

سطوح کمی شارژ شده:
, برای سطوح با شارژ بالا

نظریه اسمولوچوفسکی در مورد انعقاد سریع.

وابستگی سرعت انعقاد به غلظت الکترولیت.

I - میزان انعقاد پایین است،

II - سرعت انعقاد تقریباً متناسب با غلظت الکترولیت است.

III - منطقه انعقاد سریع، سرعت عملا مستقل از غلظت است.

مقررات اساسی:

سل اولیه تک پراکنده است، ذرات مشابه شکل کروی دارند.

همه برخوردهای ذرات موثر هستند.

وقتی دو ذره اولیه با هم برخورد می کنند، یک ذره ثانویه تشکیل می شود. ثانویه + اولیه = درجه سوم. اولیه، ثانویه، ثالثی - کثرت.

,
,
,

سیستم هایی که به طور خود به خود تشکیل می شوند نامیده می شوند لیوفیلیک، با مقادیر کم مشخص می شوند
و پایدار

سیستم های لیوفوبیکبه طور خود به خود تشکیل نمی شوند، t/d ناپایدار هستند و نیاز به تثبیت اضافی دارند، اغلب به دلیل ورود یک سورفکتانت به سیستم.

مرحله تشکیل جنین ( )=تشکیل مراکز تبلور (I) + مرحله تحویل ماده به این مراکز (U).

مرحله رشد جنین
= تشکیل مراکز تراکم دو بعدی (I') + تحویل ماده به این مراکز (U)

فیزیک حرارتی دماهای بالا، 2010، جلد 48، شماره 2، ص. 193-197

خواص فیزیکی حرارتی این ماده

UDC 532.6:004.932

روش قطره سنجش بهبود یافته برای تعیین کشش سطحی مایعات

© 2010 L. B. Director, V. M. Zaichenko, I. L. Maikov

موسسه مشترک دماهای بالا RAS، مسکو دریافت 2009/05/25

یک تکنیک بهبودیافته برای پردازش تصاویر بخش نصف النهاری یک قطره مایع به دست آمده با اجرای روش قطره بدون نشست برای تعیین کشش سطحی مایع توسعه یافته است. این تکنیک اسکن تصویر دیجیتال یک قطره، حل عددی معادله یانگ لاپلاس، و همچنین محاسبه کشش سطحی، زاویه تماس و حجم قطره را فراهم می‌کند.

معرفی

روش ریزش ثابت (آویزان) یا ثابت، مطمئن ترین روش استاتیکی برای مطالعه کشش سطحی مذاب فلزات، نمک، پلیمر و سایر مایعات در نظر گرفته می شود.

روش‌های استاتیکی مبتنی بر حل معادله دیفرانسیل یانگ-لاپلاس است. راه حل های تقریبی برای این معادله توسط بسیاری از نویسندگان به دست آمده است و رایج ترین روش برای تعیین ضریب کشش سطحی بر اساس استفاده از جداول باشفورث و آدامز است. وابستگی های تجربی موجود اساساً تقریبی از این جداول هستند. معایب چنین روش هایی دقت کم و همچنین محدودیت های مرتبط با اندازه قطرات است. پارامترهای هندسی قطره با اندازه گیری تصویر عکاسی آن با استفاده از میکروسکوپ اندازه گیری تعیین می شود. فرآیند اندازه گیری کاملاً کار فشرده است و نتایج آن حاوی خطاهای مرتبط با ویژگی های فردی ناظر است.

هدف از این کار ایجاد یک بسته نرم افزاری با سرعت بالا است که به شما امکان می دهد یک تصویر دیجیتالی از یک قطره را پردازش کنید و یک روش بهینه سازی را برای تعیین ضریب کشش سطحی یک مایع با استفاده از روش بی تحرک و روش انجام دهید. جدا کردن قطره (قطره آویزان). این روش مبتنی بر ایدئولوژی ادغام عددی معادله یانگ-لاپلاس است که در کار ارائه شده است.

روش پردازش تصویر رها کنید

اطلاعات منبع یک فایل گرافیکی با فرمت نقطه استاندارد است

BitMaP (BMP) mate که حاوی تصویری از بخش نصف النهار قطره است. تصویر دارای یک پالت سیاه و سفید با مقیاس خاکستری از سفید تا سیاه (با نماد هگزادسیمال از 000000 تا FFFFFF) در رنگ RGB است (شکل 1).

تعیین مرز دقیق یک تصویر یک کار جداگانه است. الگوریتم‌های کاملاً پیچیده‌ای بر اساس روش تابع مجموعه سطح و نیاز به حل معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولی وجود دارد. در این کار، از الگوریتم ساده ای که در زیر توضیح داده شده است برای ساده سازی محاسبات عددی استفاده شده و دقت آن ارزیابی می شود.

در مرحله اول پردازش، تصویر خاکستری به شرح زیر به تک رنگ سیاه و سفید تبدیل می شود. مقدار متوسط ​​رنگ از پالت رنگ انتخاب شده است (در هگزادسیمال، این مربوط به رنگ 888888 است). فرآیند پردازش بیشتر شامل

برنج. 1. تصویر یک قطره روی یک بستر (فرمت BMR).

اسکن تصویر در هر پیکسل همه پیکسل هایی که مقدار رنگ آنها کمتر از مرز است، مقدار خود را به رنگ سفید، و بیشتر از مرز، به سیاه تغییر می دهند، در نتیجه مرز رنگ های سفید و سیاه و بر این اساس، مختصات نقاط کانتور تصویر تعیین می شود. (شکل 2).

انتخاب رنگ مرزی هنگام تبدیل تصویر از خاکستری به تک رنگ، خطای خاصی را در نتیجه ایجاد می کند که با منحنی وابستگی حجم نسبی استاندارد (گوی فولادی مدرج) به انتخاب رنگ مرزی نشان داده می شود (شکل . 3).

هنگام انتخاب یک پنجم از پالت کامل (رنگ های پالت از 666666 تا LLLLLLA در نمایش هگزادسیمال با رنگ های 1 تا 4 در شکل 3 مطابقت دارد)، خطای نسبی در تعیین حجم 0.2٪ است. رنگ پالت 888888 (وسط پالت کامل) با مقدار 3 در محور x و حجم نسبی 1 مطابقت دارد.

حجم نسبی 1.0010

مرز جداسازی رنگ

برنج. 3. وابستگی حجم نسبی استاندارد به انتخاب رنگ مرزی.

روش عددی برای پردازش یک تصویر قطره

شکل قطره ای که روی یک بستر قرار دارد (شکل 4) معادله یانگ-لاپلاس را برآورده می کند.

(l + U "2) 3/2 U (1 + U

ثابت مویرگی؛ st - co-

ضریب کشش سطحی؛ H - ارتفاع سقوط؛ [x, y(x)] - مختصات مرز بخش نصف النهار قطره (نگاه کنید به شکل 4). R0 شعاع انحنا در نقطه بالای افت است. Ap تفاوت بین چگالی مایع و گاز اطراف است.

برای حل عددی معادله (1)، اجازه دهید آن را x = x(1) پارامتر کنیم.

در اینجا I طول قوس منحنی از بالای افت تا نقطه با مختصات x(1)، y(1) است. سپس معادله یانگ-لاپلاس به صورت پارامتریک به صورت زیر نوشته می شود

v a y Ro n - x + x + _2_

A y Roy با شرایط اولیه x(0) = H، y(0) = 0، x(0) = 0، y(0) = -1.

برنج. 4. بخش نصف النهار از یک قطره بدون نشست.

روش افت بدون نشست بهبود یافته است

سیستم دو معادله دیفرانسیل مرتبه دوم (2) را می توان به صورت سیستمی از چهار معادله مرتبه اول نشان داد.

u = -v + ä + 2

"H - x، ü، 2 v = ü |-2--1---1--

با شرایط اولیه x(0) = H، y(0) = 0،

و (0) = 0، v (0) = -1.

برای ادغام سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی (3)، یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل سفت استفاده شد - یک روش چند مرحله ای خطی با انتخاب گام خودکار، پیاده سازی شده در الگوریتم DIFSUB.

هنگام پردازش داده‌های به‌دست‌آمده در روش قطره‌ای بدون نشست (جدایی قطره)، مسئله معکوس تعیین ثابت مویرگی a2، ارتفاع افت H و شعاع انحنای آن R با استفاده از وابستگی شعاع دایره مقطع افقی حل می‌شود. افت فاصله این بخش تا زیرلایه.

بیایید تابعی را در نظر بگیریم که مجموع انحرافات مجذور نقاط تجربی از منحنی محاسبه شده را نشان می دهد.

L = K - X;)2 + (Ue1 - Y,)2)،

که در آن (xe، ye) مختصات نقاط آزمایشی، (x، y) مختصات نقاط محاسبه شده است.

نقاط محاسبه شده (x;، y()) توابعی از پارامترهای a1 = a2، a2 = H، a3 = R0 هستند:

xi - xi(t، a1 a2، a3)،

yt - y، (h، ai، a2، a3). اجازه دهید (5) را به یک سری تیلور در مجاورت نقطه گسترش دهیم

ki (a1، a2، a3)

xt = x (t، a°، a°، a°) + dXi Aa1 + dXt Aa2 + dXi Aa3،

yl = y، (ti، ai1، a°، a°) + ^ Aai + Aa2 + Aay

برای یافتن حداقل عملکردی (4)، باید شرایط را رعایت کرد

با جایگزینی (4) به (6) و متمایز کردن، می توان سیستم معادلات (7) را به شکل نوشت

Xei - xi - dx- Aai - dx- Aa2 - dx- Aa3)) +

+ | yei - y، -dU Aai -f* Aa2 -f* Aa3))

öa1 öa2 öa3 jda1_

xei - x, - ^Дв1 -О*!.дa2 -§xlAa3- +

yei-y، -yU. بله، - Da1 - & Daz -

da1 da2 da3)da2j

dx 5x- 5x- 15x-xei - xi --LD^ --LDa2 --LDaz - +

yei- yt -dR Da1 -M Da2 -^U- Da3 -

dxt dxt + dyt dyt = 1 dak da, dak da,

من| (xei-xi)f + (yei - y، fi|، V da، da، 1

I I dxL dx± + dy_ dyj_

داک دا، داک دا،

k = 1| i = 1 k 2 k 2.

من| (xei-x,)f* + (yei - У,)f |,

I I dxj_ dxi + dy_ dy_

Dak da3 dak da3 k = 1V i = 1 k 3 k 3 U

من| (xei- x, + (yei - Y,)f

برای حل سیستم معادلات (8) لازم است

dimo مشتقات جزئی فرم را محاسبه می کند

(6) جایی که I = 1-^، k = 1-3. از آنجایی که تحلیلی است

وابستگی (4) به پارامترهای a1 ناشناخته است، مشتقات جزئی به صورت عددی تعیین می شوند.

مقادیر جدید ak (که k = 1-3) با استفاده از مقادیر یافت شده Aak با استفاده از فرمول محاسبه می شود.

0 0 , . ak = آک + آک

الگوریتم راه حل

برای حل عددی سیستم معادلات (8) الگوریتم زیر توسعه داده شده است.

کارگردان و غیره

برنج. 5. شکل یک قطره آب در روش قطره نشسته: 1 - نقاط تجربی; 2 - محاسبه با استفاده از روش بهینه سازی.

1. تنظیم تقریب اولیه (a0, a0, a0) با این فرض که شکل قطره تقریباً با یک بیضی با نیم محورهای برابر با ارتفاع افت و حداکثر شعاع دایره مقطع افقی توصیف می شود.

2. تنظیم انحرافات کوچک (Aab Aa2، Aa3).

3. حل سیستم معادلات (3) با استفاده از الگوریتم DIFSUB برای مقادیر داده شده (a0، a0، a0). به دست آوردن جواب عددی 1. تعیین وابستگی های تابعی xn و yn با استفاده از الگوریتم محاسبه پارامترهای تابع spline مکعبی SPLINE.

4. حل سیستم معادلات (3) با استفاده از الگوریتم DIFSUB برای مقادیر داده شده (a0 + Aa1، a0، a0). به دست آوردن جواب عددی دوم تعیین وابستگی های تابعی xi2 و yi2 با استفاده از الگوریتم SPLINE. محاسبه مشتقات با استفاده از راه حل های 1 و 2

dh1 = Xg - xn dy1 = y2 - yn. da1 Aa1 da1 Aa1

5. حل سیستم معادلات (3) با استفاده از الگوریتم DIFSUB برای داده شده (a0, a0 +

Aa2، a0). به دست آوردن جواب عددی سوم تعیین وابستگی های تابعی xi3 و yi3 با استفاده از الگوریتم SPLINE. محاسبه مشتقات با استفاده از راه حل های 1 و 3

dX = Xz - x/1؟ d!± = Ua - U/1. da2 Aa2 da2 Aa2

6. حل سیستم معادلات (3) با استفاده از

a3 + Aa3). به دست آوردن جواب عددی چهارم. تعیین وابستگی های تابعی xi4 و yi4 با استفاده از الگوریتم SPLINE. محاسبه مشتقات با استفاده از راه حل های 1 و 4

dX/ = X/4 - Xj 1 dyl = Y/4 - Y/1.

7. محاسبه ضرایب سیستم (8) و حل آن با استفاده از الگوریتم حل سیستم معادلات خطی SOLVE. دریافت (Aab Aa2، Aa3).

8. محاسبه مقادیر پارامتر جدید با استفاده از فرمول (9)

با استفاده از الگوریتم DIFSUB

برای مطالعه بیشتر مقاله، باید متن کامل را خریداری کنید

KASHEZHEV A. Z.، KUTUEV R. A.، PONEZHEV M. Kh.، SOZAEV V. A.، KHASANOV A. I. - 2012

لئوناردو داوینچی را کاشف پدیده های مویرگی می دانند. با این حال، اولین مشاهدات دقیق از پدیده های مویرگی بر روی لوله ها و صفحات شیشه ای توسط فرانسیس هاکسبی در سال 1709 انجام شد.

این ماده بی نهایت قابل تقسیم نیست و ساختار اتمی یا مولکولی دارد، فرضیه کاری اکثر دانشمندان از قرن هجدهم بوده است. در اواخر قرن نوزدهم، هنگامی که گروهی از فیزیکدانان پوزیتیویست به غیر مستقیم بودن اثبات وجود اتم ها اشاره کردند، واکنش چندانی به ادعای آنها نشان نداد و در نتیجه ایرادات آنها تا آغاز این قرن رد نشد. . اگر در گذشته شک و تردید به نظر ما بی‌اساس می‌آید، باید به خاطر داشته باشیم که تقریباً همه کسانی که در آن زمان به وجود اتم‌ها اعتقاد داشتند، به وجود مادی اتر الکترومغناطیسی و در نیمه اول قرن نوزدهم نیز اعتقاد راسخ داشتند. - اغلب کالری با این حال، دانشمندانی که بیشترین سهم را در نظریه گازها و مایعات داشتند، از فرض (معمولاً به شکل صریح) ساختار مجزای ماده استفاده کردند. ذرات بنیادی ماده را اتم یا مولکول (مثلا لاپلاس) یا صرفاً ذرات (یونگ) می نامیدند، اما ما از مفاهیم مدرن پیروی می کنیم و از کلمه "مولکول" برای ذرات بنیادی استفاده می کنیم که گاز، مایع یا گاز را می سازند. جامد.

در آغاز قرن نوزدهم. نیروهایی که ممکن است بین مولکول ها وجود داشته باشد به اندازه خود ذرات نامشخص بود. تنها نیرویی که هیچ شکی در مورد آن وجود نداشت گرانش نیوتنی بود. بین اجرام آسمانی و بدیهی است بین یکی از این جرم ها (زمین) و دیگری (مثلاً یک سیب) با جرم آزمایشگاهی عمل می کند. کاوندیش اخیراً نشان داده بود که بین دو جرم آزمایشگاهی نیز عمل می کند و بنابراین فرض بر این بود که بین مولکول ها نیز عمل می کند. در کارهای اولیه روی مایعات، جرم مولکولی و چگالی جرمی را می‌یابیم که وارد معادلاتی می‌شویم که اکنون باید تعداد مولکول‌ها و چگالی تعداد مولکول‌ها را بنویسیم. در یک مایع خالص، همه مولکول ها جرم یکسانی دارند، بنابراین این تفاوت اهمیتی ندارد. اما حتی قبل از سال 1800 مشخص بود که مفهوم نیروهای گرانشی برای توضیح پدیده های مویرگی و سایر خواص مایعات کافی نیست. بالا آمدن مایع در یک لوله شیشه ای مستقل از ضخامت شیشه است (طبق گفته هاکسبی، 1709)، و بنابراین تنها نیروهایی که توسط مولکول ها در لایه سطحی شیشه وارد می شود، بر مولکول های موجود در مایع تأثیر می گذارد. نیروهای گرانشی فقط با مجذور فاصله نسبت معکوس دارند و همانطور که مشخص شد از طریق ماده میانی آزادانه عمل می کنند.

ماهیت نیروهای بین مولکولی به غیر از نیروهای گرانشی بسیار نامشخص بود، اما هیچ کمبودی در حدس و گمان وجود نداشت. کشیش یسوعی Ruggero Giuseppe Boscovich معتقد بود که مولکول ها در فواصل بسیار کوتاه دفع می شوند، در فواصل کمی بزرگتر جذب می شوند و سپس با افزایش فاصله، دافعه متناوب و جاذبه با قدر کاهش می یابند. ایده های او در قرن بعد بر فارادی و کلوین تأثیر گذاشت، اما آنقدر پیچیده بود که نمی توانست فوراً برای نظریه پردازان مویینگی استفاده شود. دومی خردمندانه به فرضیه های ساده بسنده کرد.

Quincke (G.H. Quincke) آزمایشاتی را برای تعیین بیشترین فاصله ای که در آن عمل نیروهای بین مولکولی قابل توجه است انجام داد. او دریافت که برای مواد مختلف این فاصله ها 1/20000 میلی متر است، یعنی. ~ 5 · 10 -6 سانتی متر (داده های داده شده بر اساس) .

جیمز جورین نشان داد که ارتفاعی که یک مایع تا آن بالا می رود، با بالای لوله که بالای مایع قرار دارد تعیین می شود و مستقل از شکل پایین لوله است. او معتقد بود که بالا آمدن مایع به دلیل جذب از سطح استوانه ای داخلی لوله، که سطح بالایی مایع به آن متصل است، رخ می دهد. بر این اساس، او نشان داد که افزایش مایع در لوله های همان ماده با شعاع داخلی آنها نسبت معکوس دارد.

Clairaut یکی از اولین کسانی بود که نیاز به در نظر گرفتن جاذبه بین ذرات خود مایع را برای توضیح پدیده های مویرگی نشان داد. با این حال، او تشخیص نداد که فواصلی که این نیروها در آن عمل می کنند به طور نامحسوس کوچکی هستند.

در سال 1751، فون سگنر ایده مهم کشش سطحی را با قیاس با کشش مکانیکی یک غشاء در تئوری الاستیسیته معرفی کرد. امروزه مفهوم کشش سطحی رایج است و معمولاً نقطه شروع مطالعه نیروهای مویرگی و پدیده های سطحی در مؤسسات آموزشی است.

این ایده کلیدی در توسعه بیشتر نظریه شد. در واقع، این اولین گام در مطالعه این پدیده بود - یک مفهوم پدیدارشناختی معرفی شد که رفتار ماکروسکوپی سیستم را توصیف می کند. مرحله دوم استخراج مفاهیم پدیدارشناختی و محاسبه مقادیر کمیت ها بر اساس نظریه مولکولی است. این مرحله از اهمیت زیادی برخوردار است، زیرا آزمونی برای صحت یک نظریه مولکولی خاص است.

در سال 1802، جان لزلی با در نظر گرفتن جاذبه بین جسم جامد و لایه نازکی از مایع روی سطح آن، اولین توضیح صحیح را برای بالا آمدن مایع در یک لوله ارائه کرد. او بر خلاف بسیاری از محققان قبلی، تصور نمی کرد که نیروی این جاذبه به سمت بالا هدایت می شود (مستقیماً برای حفظ مایع). برعکس، او نشان داد که جاذبه در همه جا نسبت به سطح جسم جامد طبیعی است.

اثر مستقیم جاذبه افزایش فشار در یک لایه مایع در تماس با یک جامد است به طوری که فشار از فشار داخل مایع بیشتر شود. نتیجه این است که این لایه تمایل به "گسترش" روی سطح یک جسم جامد دارد که فقط توسط نیروهای گرانشی متوقف می شود. بنابراین، یک لوله شیشه‌ای غوطه‌ور در آب با آب خیس می‌شود تا جایی که «می‌تواند بخزد». با بالا آمدن مایع، ستونی را تشکیل می دهد که وزن آن در نهایت نیرویی را که باعث پخش شدن مایع می شود متعادل می کند.

این نظریه در نمادهای ریاضی نوشته نشده بود و بنابراین نمی توانست رابطه کمی بین جاذبه تک تک ذرات و نتیجه نهایی نشان دهد. نظریه لزلی بعداً با استفاده از روش‌های ریاضی لاپلاس توسط جیمز آیوری در مقاله‌ای در مورد عمل مویرگی، تحت عنوان «سیالات، ارتفاع از» در ضمیمه‌ای به ویرایش چهارم دایره‌المعارف بریتانیکا، منتشر شده در سال 1819، تجدید نظر شد.

2. نظریه های یونگ و لاپلاس

در سال 1804، توماس یانگ نظریه پدیده های مویرگی را بر اساس اصل کشش سطحی اثبات کرد. او همچنین ثبات زاویه تماس مایع یک سطح جامد (زاویه تماس) را مشاهده کرد و یک رابطه کمی پیدا کرد که زاویه تماس را با ضرایب کشش سطحی مرزهای بین فاز مربوطه مرتبط می کند. در حالت تعادل، خط تماس نباید در امتداد سطح یک جامد حرکت کند، به این معنی که هاکسبی گفت، او یک نمایشگر در انجمن سلطنتی بود و آزمایشات او بر محتوای مقاله بسیار طولانی در مورد ذرات اولیه ماده و نیروهای بین آنها، که با آن نیوتن انتشار "اپتیک" خود را در سال 1717 به پایان رساند. سانتی متر.

جایی که sSV,sSL,s LVضرایب کشش سطحی مرزهای بین فاز: جامد - گاز (بخار)، جامد - مایع، مایع - گاز، به ترتیب، qزاویه لبه این رابطه اکنون به فرمول یانگ معروف است. این اثر هنوز همان تأثیری را که مقاله لاپلاس چند ماه بعد منتشر کرد، در توسعه علم در این مسیر نداشت. به نظر می رسد این به خاطر این واقعیت است که یونگ از استفاده از نمادهای ریاضی اجتناب می کرد و سعی می کرد همه چیز را به صورت شفاهی توصیف کند و کار خود را گیج کننده و نامشخص جلوه می داد. با این وجود، امروزه او را یکی از بنیانگذاران نظریه کمی مویینگی می دانند.

پدیده های انسجام و چسبندگی، تراکم بخار به مایع، خیس شدن جامدات توسط مایعات و بسیاری از خواص ساده ماده - همه به وجود نیروهای جاذبه ای چند برابر قوی تر از گرانش اشاره می کنند، اما فقط در فواصل بسیار کوچک بین آنها عمل می کنند. مولکول ها. همانطور که لاپلاس گفت، تنها شرط تحمیل شده بر این نیروها که از پدیده های قابل مشاهده ناشی می شود این است که آنها «در فواصل محسوس نامحسوس باشند».

نیروهای دافعه دردسر بیشتری ایجاد کردند. حضور آنها را نمی توان انکار کرد - آنها باید نیروهای جذب را متعادل کنند و از نابودی کامل ماده جلوگیری کنند، اما ماهیت آنها کاملاً نامشخص بود. این سوال با دو نظر اشتباه زیر پیچیده شد. اولاً، غالباً اعتقاد بر این بود که نیروی دافعه فعال گرما است (معمولاً نظر طرفداران نظریه کالری) ، زیرا (این استدلال بود) یک مایع ، هنگام گرم شدن ابتدا منبسط می شود و سپس می جوشد ، به طوری که مولکول ها از هم جدا می شوند. در فواصل بسیار بیشتر از یک جسم جامد دومین تصور غلط از این ایده ناشی شد که به نیوتن بازمی گردد، که فشار مشاهده شده یک گاز به دلیل دافعه ایستا بین مولکول ها است و نه به دلیل برخورد آنها با دیواره های ظرف، همانطور که دانیل برنولی بیهوده استدلال کرد.

در برابر این پس‌زمینه، طبیعی بود که اولین تلاش‌ها برای توضیح مویینگی یا به طور کلی انسجام مایعات، بر اساس جنبه‌های ایستا ماده بود. مکانیک یک شاخه نظری از علم بود که به خوبی درک شده بود. ترمودینامیک و نظریه جنبشی هنوز در آینده بودند. در بررسی مکانیکی، فرض کلیدی، فرض نیروهای جاذبه بزرگ اما کوتاه برد بود. مایعات در حال سکون (چه در یک لوله مویین یا خارج از آن) آشکارا در حالت تعادل هستند و بنابراین این نیروهای جاذبه باید توسط نیروهای دافعه متعادل شوند. از آنجایی که حتی کمتر از نیروهای جاذبه در مورد آنها می‌توان گفت، اغلب در سکوت از آنها عبور می‌کردند، و به قول ریلی، «نیروهای جاذبه برای انجام ترفند غیرقابل تصور تعادل خود رها می‌شدند». لاپلاس اولین کسی بود که به طور رضایت بخشی این مشکل را حل کرد و معتقد بود که نیروهای دافعه (به قول او حرارتی) را می توان با فشار داخلی جایگزین کرد که در همه جا در یک سیال تراکم ناپذیر عمل می کند. (این فرض گاهی منجر به عدم اطمینان در آثار قرن نوزدهم در مورد اینکه دقیقاً «فشار در یک سیال» به چه معناست.) اجازه دهید محاسبه لاپلاس از فشار داخلی را ارائه دهیم. (این نتیجه گیری به نتیجه گیری های ماکسول و ریلی نزدیک تر است. نتیجه گیری بر اساس آن ارائه شده است.)

در سال 1819 او درگیر بحث مفصلی در مورد نیروهای دافعه بین مولکولی بود، که اگرچه هنوز به گرما یا کالری نسبت داده می شد، اما دارای خاصیت اساسی بود که با فاصله سریعتر از نیروهای جاذبه کاهش می یابد.

باید نیروهای چسبنده در سیال را متعادل کند، و لاپلاس این را با نیروی در واحد سطح شناسایی کرد که در برابر تقسیم یک جسم سیال نامحدود به دو جسم نیمه نامتناهی کاملاً جدا از هم که توسط سطوح مسطح محدود شده‌اند، مقاومت می‌کند. اشتقاق زیر به ماکسول و ریلی نزدیکتر است تا شکل اصلی لاپلاس، اما تفاوت قابل توجهی در استدلال وجود ندارد.

اجازه دهید دو جسم مایع نیمه نامتناهی با سطوح کاملاً صاف را در نظر بگیریم که با یک لایه (ضخامت) از هم جدا شده اند. ل) با چگالی بسیار کم جفت می شود (شکل 1)، و در هر یک از آنها یک عنصر حجم را انتخاب می کنیم. اولی در بالاتنه در ارتفاع است rبالای سطح صاف پایین تنه؛ حجم آن برابر است dxdydz. دومی در بدنه پایینی قرار دارد و دارای حجمی است که مبدأ مختصات قطبی با موقعیت حجم ابتدایی اول منطبق است. اجازه دهید f(س) نیرویی است که بین دو مولکول که با فاصله از هم جدا شده اند، عمل می کند س، آ د- شعاع عمل آن. از آنجایی که این همیشه یک نیروی جذاب است، ما داریم

اگر rچگالی تعداد مولکول ها در هر دو جسم است، سپس مولفه عمودی نیروی برهمکنش بین دو عنصر حجمی برابر است با

مجموع نیروی جاذبه در واحد سطح (مقدار مثبت) است

اجازه دهید تو(س) پتانسیل نیروی بین مولکولی است:

ادغام مجدد توسط قطعات، دریافت می کنیم

فشار لاپلاس داخلی کنیروی جاذبه در واحد سطح بین دو سطح صاف هنگام برخورد آنهاست، یعنی. اف(0):

کجا یک عنصر حجم است که می تواند به صورت نوشته شود. از آنجا که تو(r) با این فرض در همه جا منفی یا برابر با صفر است، پس کمثبت لاپلاس معتقد بود کدر مقایسه با فشار اتمسفر بزرگ است، اما اولین تخمین عددی واقع بینانه توسط یانگ انجام شد.

نتیجه گیری فوق مبتنی بر این فرض ضمنی است که مولکول ها به طور یکنواخت با چگالی توزیع شده اند. r، یعنی مایع ساختار قابل تشخیصی در مقیاس اندازه متناسب با شعاع عمل نیروها ندارد. د. بدون این فرض، نوشتن عبارات (2) و (3) به این شکل ساده غیرممکن خواهد بود، اما باید دریابید که چگونه حضور یک مولکول در عنصر حجم اول بر احتمال حضور مولکول تأثیر می گذارد. یک مولکول در دوم

کشش در واحد طول در امتداد یک خط دلخواه روی سطح مایع باید (در سیستم واحدهای مناسب) با کار صرف شده برای ایجاد یک واحد سطح آزاد برابر باشد. این نتیجه از آزمایش کشش یک فیلم مایع (شکل 2) است.

ارزش این کار را می توان بلافاصله از عبارت (6) برای بدست آورد اف(ل). اگر دو جسم نیمه نامتناهی را در تماس بگیریم و آنها را به فاصله ای بیش از شعاع عمل نیروهای بین مولکولی از هم جدا کنیم، کار در واحد سطح به صورت زیر تعیین می شود.

(8)

در حین جداسازی، دو سطح آزاد تشکیل می شود و بنابراین کار صرف شده را می توان معادل دو برابر انرژی سطح در واحد سطح دانست که برابر با کشش سطحی است:

(9)

بدین ترتیب، کانتگرال پتانسیل بین مولکولی یا گشتاور صفر آن است و اچ- اولین لحظه اش در حالی که کغیرقابل دسترس برای آزمایش مستقیم، اچاگر بتوانیم کشش سطحی را اندازه گیری کنیم، می توان آن را پیدا کرد.

بگذارید چگالی انرژی منسجم در نقطه‌ای از مایع یا گاز باشد، یعنی. نگرش dU/dVجایی که d U- انرژی داخلی با حجم کم Vمایع یا گاز حاوی این نقطه برای مدل مولکولی ما قبول می کنیم

(10)

جایی که r- فاصله از نقطه مورد نظر ریلی لاپلاس را شناسایی کرد کبا اختلاف این پتانسیل 2 بین یک نقطه روی سطح صاف مایع (مقدار 2 اس) و یک نقطه در داخل (مقدار 2 من). در سطح، ادغام در (10) به یک نیمکره با شعاع محدود می شود د، و در منطقه داخلی در سراسر کره انجام می شود. از این رو، اسنیمی وجود دارد من، یا

(11)

اکنون یک قطره شعاع را در نظر می گیریم آر. محاسبه f Iتغییر نمی کند، اما پس از دریافت f Sادغام در حال حاضر در حجم محدودتری به دلیل انحنای سطح انجام می شود. اگر زاویه بین بردار و یک شعاع ثابت است، پس

سپس فشار داخلی در قطره است

جایی که اچبا رابطه (9) تعیین می شود. اگر قطره ای کروی نداشته باشیم، بلکه بخشی از مایع را با سطحی که توسط دو شعاع انحنای اصلی تعیین می شود، می گیریم. R 1و R 2، سپس فشار داخلی را در فرم دریافت می کنیم

(14)

طبق قضیه اویلر، مجموع آن برابر است با مجموع شعاع معکوس انحنای سطح در امتداد هر دو مماس متعامد.

زیرا کو اچمثبت و آربرای یک سطح محدب مثبت است، سپس از (13) نتیجه می گیرد که فشار داخلی در یک قطره بیشتر از یک مایع با سطح صاف است. برعکس، فشار داخلی در یک سیال محدود به یک سطح کروی مقعر کمتر از یک سیال با سطح صاف است، زیرا آردر این صورت منفی است.

این نتایج اساس نظریه مویینگی لاپلاس را تشکیل می دهد. معادله اختلاف فشار (فشار سیال در داخل یک قطره کروی شعاع آر) و (فشار گاز در خارج) اکنون معادله لاپلاس نامیده می شود:

سه ایده کافی است - کشش سطحی، فشار داخلی و زاویه تماس، و همچنین عبارات (1) و (15) برای حل تمام مشکلات مویینگی تعادل معمولی با استفاده از روش‌های استاتیک کلاسیک. بنابراین، پس از کار لاپلاس و یانگ، پایه های نظریه کمی مویینگی گذاشته شد.

نتایج یانگ بعداً توسط گاوس با استفاده از روش تغییرات به دست آمد. اما همه این آثار (یانگ، لاپلاس و گاوس) یک ایراد مشترک داشتند، به اصطلاح، یک نقص. این اشکال بعداً مورد بحث قرار خواهد گرفت.

هنگام محاسبه فشار داخل یک سطح مایع منحنی، پتانسیل ریلی 2 (10) معرفی شد. ضمناً اشاره شد که منچگالی انرژی منسجم است. این مفهوم مفید برای اولین بار در سال 1869 توسط دوپر معرفی شد، که آن را به عنوان کار خرد کردن یک قطعه از یک ماده در مولکول های تشکیل دهنده آن تعریف کرد (la travail de désagré gation totale - کار جداسازی کامل).

نیروی درونی که بر روی یک مولکول در عمق اثر می گذارد r< d ، در مقابل نیروی بیرونی است که از مولکول‌ها در حجم سایه‌دار ناشی می‌شود، اگر به طور یکنواخت با چگالی پر شود.

او نتیجه‌گیری را که همکارش F. J. D. Massier انجام داده است، به شرح زیر استناد می‌کند. نیرویی که روی مولکول در سطح به سمت حجم مایع وارد می‌شود، برخلاف نیروی ناشی از حجم سایه‌دار در شکل. 3، از آنجایی که در داخل مایع نیروی جاذبه از حجم کروی شعاع به دلیل تقارن صفر است. بنابراین، نیروی هدایت شده به داخل است

این نیرو مثبت است زیرا f(0 < س < د) < 0 и اف(د) = 0 به دلیل تابع فرد f(س). هیچ نیرویی روی یک مولکول وارد نمی شود مگر اینکه در یک فاصله باشد ددر یک طرف یا طرف دیگر سطح. بنابراین، کار انجام شده برای حذف یک مولکول از یک مایع است

زیرا تو(r) یک تابع زوج است. این کار برابر است با منهای دو برابر انرژی لازم برای هر مولکول برای تجزیه مایع ( دو برابر شد، برای اینکه مولکول ها را دو بار بشماریم: یک بار هنگام حذف آنها، یک بار دیگر به عنوان بخشی از محیط):

(18)

این یک بیان ساده و قابل درک برای انرژی درونی است Uمایع حاوی نمولکول ها. نتیجه این است که چگالی انرژی منسجم با بیان (10) یا داده می شود

که با (11) منطبق است، اگر شاخص را حذف کنیم من. خود دوپره همین نتیجه را در یک مسیر دوربرگردان به دست آورد. داشت می شمرد dU/dVاز طریق کار در برابر نیروهای بین مولکولی در طول انبساط یکنواخت یک مکعب مایع. به او داد

از آنجا که کشکل ((7) و (11)) دارد که در آن ثابت است آبا بیان داده می شود

(21)

سپس ادغام (20) دوباره به (19) منجر می شود.

ریلی از نتیجه گیری دوپره انتقاد کرد. او معتقد بود که در نظر گرفتن کار انبساط یکنواخت از حالت تعادل نیروهای بین مولکولی منسجم و دافعه با در نظر گرفتن تنها نیروهای منسجم، بی اساس است. قبل از انجام چنین اقدامی باید شناخت بهتری از نوع نیروهای دافعه داشت.

می بینیم که در این نتیجه گیری، مانند نتیجه گیری های یانگ، لاپلاس و گاوس، از فرض تغییر ناگهانی در چگالی تعداد مولکول های یک ماده در فصل مشترک فاز به طور قابل توجهی استفاده شده است. در عین حال، برای اینکه استدلال های فوق پدیده های واقعی در ماده را توصیف کنند، لازم است فرض کنیم که شعاع عمل نیروهای بین مولکولی در ماده بسیار بیشتر از فاصله مشخصه بین ذرات است. اما تحت این فرض، رابط بین دو فاز نمی تواند تیز باشد - یک نمایه چگالی انتقال پیوسته باید ایجاد شود، به عبارت دیگر، یک منطقه گذار.

تلاش هایی برای تعمیم این یافته ها به یک نمایه گذرا پیوسته انجام شده است. به طور خاص، پواسون، در تلاش برای دنبال کردن این مسیر، به این نتیجه اشتباه رسید که در حضور یک نمایه گذار، کشش سطحی باید به طور کلی ناپدید شود. ماکسول بعداً اشتباه بودن این نتیجه را نشان داد.

با این حال، این فرض که شعاع عمل نیروهای بین مولکولی در یک ماده بسیار بیشتر از فاصله مشخصه بین ذرات است، با داده های تجربی مطابقت ندارد. در واقع، این فاصله ها به یک ترتیب هستند. بنابراین، یک ملاحظه مکانیکی در روح لاپلاس، در اصطلاح مدرن، یک نظریه میدان متوسط ​​است. همان نظریه واندر والز است که در اینجا توضیح داده نشده است و معادله معروف حالت گازهای واقعی را به دست می دهد. در تمام این موارد، یک محاسبه دقیق مستلزم در نظر گرفتن همبستگی بین چگالی تعداد ذرات در نقاط مختلف است. این کار را بسیار دشوار می کند.

3. نظریه مویینگی گیبس

همانطور که اغلب اتفاق می افتد، توصیف ترمودینامیکی ساده تر و کلی تر است و با کاستی های مدل های خاص محدود نمی شود.

به این ترتیب بود که گیبس در سال 1878 مویینگی را توصیف کرد و یک نظریه صرفاً ترمودینامیکی ساخت. این نظریه به بخشی جدایی ناپذیر از ترمودینامیک گیبس تبدیل شد. نظریه مویینگی گیبس، بدون تکیه مستقیم به هیچ مدل مکانیکی، عاری از کاستی های نظریه لاپلاس است. به حق می توان آن را اولین نظریه دقیق ترمودینامیکی پدیده های سطحی در نظر گرفت.

در مورد نظریه مویینگی گیبس می توان گفت که بسیار ساده و بسیار پیچیده است. ساده است زیرا گیبس موفق شد روشی را بیابد که به ما امکان می دهد فشرده ترین و ظریف ترین روابط ترمودینامیکی را به دست آوریم که به همان اندازه برای سطوح صاف و منحنی قابل استفاده است. گیبس می‌نویسد: «یکی از وظایف اصلی پژوهش نظری در هر زمینه‌ای از دانش، ایجاد دیدگاهی است که از آن موضوع مطالعه با بیشترین سادگی ظاهر شود». این دیدگاه در نظریه مویینگی گیبس، ایده جداسازی سطوح است. استفاده از یک تصویر هندسی بصری از سطح تقسیم کننده و معرفی کمیت های زائد این امکان را فراهم می کند تا خصوصیات سطوح را به ساده ترین شکل ممکن توصیف کنیم و از سؤال ساختار و ضخامت لایه سطحی که کاملاً مطالعه نشده بود، دور بزنیم. زمان گیبس و هنوز کاملاً حل نشده است. مقادیر اضافی گیبس (جذب و موارد دیگر) به موقعیت سطح جداکننده بستگی دارد و دومی را نیز می توان به دلایل حداکثر سادگی و راحتی یافت.

منطقی است که در هر مورد سطح تقسیم را طوری انتخاب کنیم که همه جا عمود بر شیب چگالی باشد. اگر سطوح جداکننده انتخاب شوند، هر فاز ( ل} (ل = آ, ب, g) اکنون با حجمی که اشغال می کند مطابقت دارد V{ ل) . حجم کامل سیستم

اجازه دهید چگالی تعداد مولکول های واریته باشد jدر فاز [انبوه] ( ل). سپس تعداد کل مولکول های این نوع jدر سیستم مورد نظر برابر است با

تعداد اضافی سطح مولکول های نوع کجاست j(فهرست مطالب ( س) به معنی سطح - سطح). مازاد سایر مقادیر فیزیکی گسترده به روشی مشابه تعیین می شود. بدیهی است که مثلاً در مورد یک فیلم تخت، متناسب با مساحت آن است آ. مقداری که به عنوان مازاد سطح در تعداد مولکول های یک نوع تعریف می شود jبه ازای هر واحد سطح از سطح پخش، جذب مولکول های نوع نامیده می شود jدر این سطح

گیبس از دو موقعیت اصلی سطح جداکننده استفاده کرد: یکی که در آن جذب یکی از اجزای آن صفر است (اکنون این سطح را هم مولکولی می نامند) و موقعیتی که وابستگی آشکار انرژی سطح به انحنای سطح از بین می رود. (این موقعیت توسط گیبس سطح کشش نامیده شد). گیبس از سطح هم مولکولی برای در نظر گرفتن سطوح صاف مایع (و سطوح جامدات) و از سطح کششی برای در نظر گرفتن سطوح منحنی استفاده کرد. برای هر دو موقعیت، تعداد متغیرها کاهش می یابد و حداکثر سادگی ریاضی به دست می آید.

اکنون در مورد پیچیدگی نظریه گیبس. اگرچه از نظر ریاضی بسیار ساده است، اما هنوز درک آن دشوار است. این به چند دلیل اتفاق می افتد. اولاً، نظریه مویینگی گیبس را نمی توان جدا از کل ترمودینامیک گیبس، که مبتنی بر یک روش بسیار کلی و قیاسی است، درک کرد. کلیت زیاد یک نظریه همیشه به آن مقداری انتزاعی می دهد که البته بر سهولت ادراک تأثیر می گذارد. ثانیاً، نظریه مویینگی گیبس خود یک سیستم گسترده اما مشروط است که نیازمند وحدت ادراک بدون انتزاع از مفاد فردی آن است. یک رویکرد آماتوری برای مطالعه گیبس به سادگی غیرممکن است. در نهایت، یک شرایط مهم این است که تمام آثار ذکر شده گیبس به شیوه ای بسیار فشرده و به زبان بسیار دشوار نوشته شده است. به گفته ریلی، این اثر نه تنها برای بیشتر، بلکه شاید برای همه خوانندگان بسیار فشرده و دشوار است. به گفته گوگنهایم، "استفاده از فرمول های گیبس بسیار ساده تر از درک آنها است."

طبیعتاً استفاده از فرمول‌های گیبز بدون درک واقعی آنها منجر به اشتباهات متعددی در تفسیر و کاربرد مفاد منفرد نظریه مویینگی گیبز شد. بسیاری از خطاها با عدم درک نیاز به تعیین بدون ابهام موقعیت سطح تقسیم به منظور به دست آوردن نتیجه فیزیکی صحیح همراه بود. خطاهایی از این نوع اغلب هنگام تجزیه و تحلیل وابستگی کشش سطحی به انحنای سطح مواجه می شدند. حتی یکی از «ستون‌های» نظریه مویینگی، باکر، از آنها فرار نکرد. نمونه ای از نوع دیگر خطا، تفسیر نادرست پتانسیل های شیمیایی هنگام در نظر گرفتن پدیده های سطحی و میدان های خارجی است.

به زودی پس از انتشار نظریه مویینگی گیبس، آرزوهایی برای توضیح کاملتر و دقیق تر آن در ادبیات علمی بیان شد. در نامه ای به گیبز که در بالا نقل شد، ریلی پیشنهاد کرد که خود گیبز این کار را بپذیرد. با این حال، این کار خیلی دیرتر انجام شد: رایس تفسیری بر کل نظریه گیبس تهیه کرد و برخی از مفاد آن در آثار فرومکین، دیفای، رهبیندر، گوگنهایم، تولمن، باف، سمنچنکو و سایر محققان شرح داده شد. بسیاری از مفاد نظریه گیبس واضح تر شد و تکنیک های منطقی ساده تر و مؤثرتری برای توجیه آنها یافت شد.

نمونه بارز آن کار چشمگیر کوندو است که روشی بصری و قابل درک را برای معرفی یک سطح کششی با حرکت ذهنی سطح جداکننده پیشنهاد کرد. اگر عبارتی برای انرژی یک سیستم دو فازی تعادلی بنویسیم آ - ب (آ- داخلی و ب- فاز خارجی) با سطح شکست کروی

U = T.S. - پآ Vآ- پب V b+ sA +(22)

و ما به طور ذهنی موقعیت سطح تقسیم را تغییر خواهیم داد، یعنی. شعاع آن را تغییر دهید r، پس بدیهی است که ویژگی های فیزیکی مانند انرژی تو،درجه حرارت تی،آنتروپی اس، فشار R،پتانسیل شیمیایی منجزء ام مترمن و جرم آن m iو همچنین حجم کامل سیستم V a+ V b بدون تغییر باقی می ماند. در مورد حجم Vآ = 4 /3 تا 3و مناطق آ = 4 پر 2 و کشش سطحی س، سپس این کمیت ها به موقعیت سطح تقسیم کننده و بنابراین برای فرآیند ذهنی مشخص شده تغییر بستگی دارد. rما از (22) دریافت می کنیم

- P a dVآ+ پب dVب + sdA + آگهیس = 0 (23)

(24)

معادله (24) وابستگی غیرفیزیکی (این شرایط با ستاره مشخص شده است) کشش سطحی به موقعیت سطح تقسیم را تعیین می کند. این وابستگی با یک حداقل مشخص مشخص می شود س، که مربوط به سطح کشش است. بنابراین، طبق نظر کوندو، یک سطح کششی یک سطح تقسیم کننده است که کشش سطحی برای آن دارای حداقل مقدار است.

گیبس سطح کشش را به شیوه ای متفاوت معرفی کرد. او از معادله اصلی نظریه مویینگی استفاده کرد

(نوار بالا به معنای اضافی برای یک سطح تقسیم دلخواه با انحنای اصلی است با 1 و سی 2) و فرآیند فیزیکی (و نه صرفاً ذهنی) انحنای سطح را در یک موقعیت معین و شرایط خارجی ثابت در نظر گرفت.

طبق گفته گیبس، سطح کشش مربوط به موقعیتی از سطح تقسیم است که در آن انحنای لایه سطحی، با پارامترهای خارجی ثابت، بر انرژی سطح تأثیر نمی گذارد و همچنین با شرایط زیر مطابقت دارد:

¶ س/¶ r =0 (26)

گوگنهایم در مورد اثبات گیبز چنین اظهار نظر می کند: "من بحث گیبس را دشوار می دیدم، و هر چه با دقت بیشتری آن را مطالعه می کردم، به نظرم مبهم تر می رسید." این تشخیص نشان می دهد که درک سطح کشش گیبس حتی برای ترمودینامیک ها نیز دشوار بوده است.

در مورد رویکرد کندو، در نگاه اول واضح است. با این حال، لازم است از کافی بودن سطوح کششی Gibbs و Kondo اطمینان حاصل شود. این را می توان برای مثال با استفاده از تعیین هیدرواستاتیک کشش سطحی نشان داد

یانگ وجود گرادیان چگالی را در لایه ای با ضخامت محدود ذکر کرد، اما این اثر را ناچیز دانست.

Pt-مقدار محلی مولفه مماسی تانسور فشار؛

r"- مختصات شعاعی؛ شعاع ها R aو Rbلایه سطحی را محدود کنید

تمایز (27) با حرکت ذهنی سطح تقسیم و ثبات حالت فیزیکی (رویکرد کوندو) به معادله (24) منجر می شود. تمایز با انحنای لایه سطحی و ثبات حالت فیزیکی (رویکرد گیبس، در این مورد R aو Rbمتغیرها) می دهد

(28)

جایی که در نظر گرفته شده است که پی تی(P a) = P aو پی تی(P b) = P b.

از معادلات (28) و (24) مشخص می شود که شرط (26) معادل شرط ( d s/ دکتر) * = 0 و بنابراین، روش ساده تر و شهودی تر Kondo برای رویکرد گیبس کافی است.

معرفي مفهوم سطح تقسيم‌كننده اين امكان را فراهم كرد كه به طور رياضي مفهوم كاملاً شهودي مرز فاز را از نظر رياضي تعريف كنيم و بنابراين، از كميت‌هاي دقيقاً تعريف‌شده در معادلات استفاده كنيم. اصولاً ترمودینامیک سطح گیبز طیف بسیار وسیعی از پدیده ها را توصیف می کند و بنابراین (به غیر از تحقق ها، فرمول بندی های مجدد، مشتقات و برهان های ظریف تر) کارهای جدیدی در این زمینه از زمان پیدایش آن انجام نشده است. اما باز هم باید به نتایجی اشاره کرد که عمدتاً مربوط به آن دسته از موضوعاتی است که گیبس به آنها پرداخته است.