3 بدرجات متفاوتة. الأس. العمليات بالدرجات

قم بزيارة قناة اليوتيوب الخاصة بموقعنا لتبقى على اطلاع بكل جديد دروس الفيديو.

أولا، دعونا نتذكر الصيغ الأساسية للقوى وخصائصها.

منتج من عدد أيحدث على نفسه n مرات، يمكننا كتابة هذا التعبير بالشكل a … a=a n

1. أ 0 = 1 (أ ≠ 0)

3. أ ن أ م = أ ن + م

4. (ن) م = نانومتر

5. أ ن ب ن = (أب) ن

7. أ ن / أ م = أ ن - م

معادلات القوة أو الأسية- هذه معادلات تكون فيها المتغيرات في القوى (أو الأسس)، وأساسها رقم.

أمثلة على المعادلات الأسية:

في هذا المثال، الرقم 6 هو الأساس، وهو دائمًا في الأسفل، وهو المتغير سدرجة أو مؤشر.

دعونا نعطي المزيد من الأمثلة على المعادلات الأسية.
2 × *5=10
16 س - 4 س - 6=0

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية حل المعادلات الأسية؟

لنأخذ معادلة بسيطة:

2 س = 2 3

يمكن حل هذا المثال حتى في رأسك. يمكن ملاحظة أن x=3. بعد كل شيء، لكي يكون الجانبان الأيسر والأيمن متساويين، تحتاج إلى وضع الرقم 3 بدلاً من x.
الآن دعونا نرى كيفية إضفاء الطابع الرسمي على هذا القرار:

2 س = 2 3
س = 3

ومن أجل حل هذه المعادلة، قمنا بإزالة أسباب متطابقة(أي مثنى) وكتب ما بقي فهذه درجات. لقد حصلنا على الجواب الذي كنا نبحث عنه.

الآن دعونا نلخص قرارنا.

خوارزمية حل المعادلة الأسية:
1. بحاجة للتحقق نفس الشيءما إذا كانت المعادلة لها قواعد على اليمين واليسار. إذا كانت الأسباب ليست واحدة، فإننا نبحث عن خيارات لحل هذا المثال.
2. بعد أن تصبح القواعد هي نفسها، يساويدرجات وحل المعادلة الجديدة الناتجة.

الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

لنبدأ بشيء بسيط.

القاعدتان على الجانبين الأيسر والأيمن تساويان الرقم 2، مما يعني أنه يمكننا تجاهل القاعدة ومساواة درجاتهما.

x+2=4 تم الحصول على أبسط معادلة.
س=4 – 2
س = 2
الجواب: س=2

في المثال التالي يمكنك أن ترى أن القاعدتين مختلفتان: 3 و9.

3 3س - 9 س+8 = 0

أولا، ننقل التسعة إلى الجانب الأيمن، فنحصل على:

الآن أنت بحاجة إلى إنشاء نفس القواعد. نحن نعلم أن 9=32. دعونا نستخدم صيغة الطاقة (أ ن) م = نانو متر.

3 3س = (2 3) س+8

نحصل على 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 الآن من الواضح أن القاعدتين على الجانبين الأيسر والأيمن متماثلتان وتساويان ثلاثة، مما يعني أنه يمكننا التخلص منهما ومساواة الدرجات.

3x=2x+16 نحصل على أبسط معادلة
3س - 2س=16
س = 16
الجواب: س=16.

لننظر إلى المثال التالي:

2 2س+4 - 10 4 س = 2 4

أولًا، ننظر إلى القاعدتين، القاعدتان الثانية والرابعة. ونريدهم أن يكونوا متماثلين. نحول الأربعة باستخدام الصيغة (a n) m = a nm.

4 س = (2 2) س = 2 2س

ونستخدم أيضًا صيغة واحدة a n a m = a n + m:

2 2س+4 = 22س 2 4

أضف إلى المعادلة:

2 2س 2 4 - 10 2 2س = 24

لقد قدمنا ​​​​مثالا لنفس الأسباب. لكن الأرقام الأخرى 10 و 24 تزعجنا، فماذا نفعل بها؟ إذا نظرت عن كثب يمكنك أن ترى أنه على الجانب الأيسر لدينا 2 2x متكررة، إليك الإجابة - يمكننا وضع 2 2x بين قوسين:

2 2س (2 4 - 10) = 24

دعونا نحسب التعبير بين قوسين:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

نقسم المعادلة بأكملها على 6:

لنتخيل 4=2 2:

2 2x = 2 2 القاعدتان متماثلتان، نتخلص منهما ونساوي الدرجات.
2x = 2 هي أبسط معادلة. نقسمها على 2 فنحصل على
س = 1
الجواب: س = 1.

دعونا نحل المعادلة:

9 س – 12*3 س +27= 0

دعونا تحويل:
9 س = (2 3) س = 2 س

نحصل على المعادلة:
3 2س - 12 3 س +27 = 0

قواعدنا هي نفسها، تساوي ثلاثة، في هذا المثال، يمكنك أن ترى أن الثلاثة الأولى لها درجة ضعف (2x) من الثانية (فقط x). في هذه الحالة، يمكنك حلها طريقة الاستبدال. نستبدل الرقم بالدرجة الأصغر:

ثم 3 2س = (3 س) 2 = ر 2

نستبدل جميع قوى x في المعادلة بـ t:

ر 2 - 12ط+27 = 0
نحصل على معادلة تربيعية. بالحل من خلال المميز نحصل على:
د = 144-108 = 36
ر 1 = 9
ر2 = 3

العودة إلى المتغير س.

خذ ر 1:
ر 1 = 9 = 3 س

إنه،

3 × = 9
3 × = 3 2
× 1 = 2

تم العثور على جذر واحد. نحن نبحث عن الثاني من t 2:
ر 2 = 3 = 3 س
3 × = 3 1
× 2 = 1
الجواب: × 1 = 2؛ × 2 = 1.

يمكنك طرح أي أسئلة لديك على الموقع الإلكتروني في قسم "المساعدة في اتخاذ القرار"، وسنقوم بالرد عليك بالتأكيد.

انضم إلى المجموعة

أدخل الرقم والدرجة، ثم اضغط =.

جدول الدرجات

خصائص الدرجة - 2 أجزاء

جدول الدرجات الرئيسية في الجبر في شكل مضغوط (صورة، مناسبة للطباعة)، أعلى الرقم، على جانب الدرجة.

مادة مرجعية عن الجبر للصفوف 7-11.

الأباء الأعزاء!إذا كنت تبحث عن مدرس رياضيات لطفلك، فهذا الإعلان مناسب لك. أقدم دروسًا عبر Skype: التحضير لامتحان الدولة الموحدة، واختبار الدولة الموحدة، وسد الفجوات المعرفية. فوائدك واضحة:

1) طفلك في المنزل، ويمكنك أن تكون هادئا عنه؛

2) تقام الدروس في وقت مناسب للطفل، ويمكنك حتى حضور هذه الفصول. أشرح ذلك ببساطة ووضوح على لوحة المدرسة المعتادة.

3) يمكنك التفكير في المزايا المهمة الأخرى لدروس Skype بنفسك!

• عمل نالعوامل، وكل منها متساوي أمُسَمًّى ن-القوة رقم أويتم تعيينه أن.
• الإجراء الذي يتم من خلاله إيجاد حاصل ضرب عدة عوامل متساوية يسمى الأسي. الرقم الذي يتم رفعه إلى قوة يسمى أساس القوة. الرقم الذي يوضح مقدار القوة التي تم رفع القاعدة بها يسمى الأس. لذا، أن- درجة، أ- أساس الدرجة، ن- الأس.
• و0 =1
• أ 1 = أ
• أكون∙ ن= أكون + ن
• أكون: ن= أكون — ن
• (أكون) ن= دقيقة
• (أ∙ب) ن =أ ن ∙ب ن
• (أ/ ب) ن= ن/ ب نعند رفع كسر إلى قوة، يتم رفع كل من بسط الكسر ومقامه إلى تلك القوة.

• (- ن) عدد القوة (ن – طبيعي). أ، لا يساوي الصفر، ويعتبر الرقم العكسي ن-قوة الرقم أ، أي. . أ — ن=1/ ن. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
• (أ/ ب) — ن=(ب/ أ) ن
• خصائص الدرجة ذات الأس الطبيعي صالحة أيضًا للدرجات ذات الأس.

عادةً ما تتم كتابة الأعداد الكبيرة جدًا والصغيرة جدًا بالشكل القياسي: أ∙10 ن، أين 1 ≥ أ<10 و ن(طبيعي أو عدد صحيح) - هو ترتيب الرقم المكتوب بالشكل القياسي.

• تسمى التعبيرات المكونة من أرقام ومتغيرات وقوىها باستخدام إجراء الضرب وحيدات الحد.
• هذا النوع من أحادية الحد، عندما يأتي العامل العددي (المعامل) أولاً، يليه المتغيرات مع قواها، يسمى النوع القياسي من أحادية الحد. يُطلق على مجموع أسس جميع المتغيرات المضمنة في أحادية الحد درجة الوحدة.
• تسمى وحيدات الحد التي لها نفس جزء الحرف وحيدات الحد المتشابهة.

• مجموع أحاديات الحد يسمى متعدد الحدود. تسمى أحاديات الحد التي تشكل كثيرة الحدود مصطلحات كثيرة الحدود.
• ذات الحدين هي كثيرة الحدود تتكون من مصطلحين (أحادية الحد).
• ثلاثي الحدود هو متعدد الحدود يتكون من ثلاثة مصطلحات (أحادية الحد).
• درجة كثيرة الحدود هي أعلى درجات أحاديات الحد المكونة لها.
• كثير الحدود ذو الشكل القياسي لا يحتوي على مصطلحات متشابهة ويتم كتابته بترتيب تنازلي لدرجات شروطه.

• لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من حدود كثيرة الحدود في هذه الوحدة وإضافة المنتجات الناتجة.
• يسمى تمثيل كثير الحدود كمنتج لاثنين أو أكثر من كثيرات الحدود بتحليل كثير الحدود.
• إن إخراج العامل المشترك من الأقواس هو أبسط طريقة لتحليل كثيرة الحدود.
• لضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من كثيرة حدود أخرى وكتابة المنتجات الناتجة كمجموع من أحاديات الحد. إذا لزم الأمر، أضف مصطلحات مماثلة.

• (أ+ب) 2 =أ 2 +2أ+ب 2مربع مجموع تعبيرينيساوي مربع التعبير الأول زائد ضعف ناتج التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.
• (أ-ب) 2 =أ 2 -2أ+ب 2مربع الفرق بين تعبيرينيساوي مربع التعبير الأول ناقص ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.
• أ 2 - ب 2 =(أ-ب)(أ+ب) الفرق بين مربعين من التعبيراتيساوي حاصل ضرب الفرق بين التعبيرات نفسها ومجموعها.
• (أ+ب) 3 =أ 3 +3أ 2 ب+3أب 2 +ب 3مكعب مجموع تعبيرينيساوي مكعب التعبير الأول زائد ثلاثة أضعاف ناتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج التعبير الأول ومربع الثاني زائد مكعب التعبير الثاني.
• (أ-ب) 3 = أ 3 -3أ 2 ب+3أب 2 -ب 3مكعب الفرق بين تعبيرينيساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة أضعاف ناتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج التعبير الأول ومربع الثاني ناقص مكعب التعبير الثاني.
• أ 3 + ب 3 =(أ+ب)(أ 2 -أ+ب 2) مجموع مكعبات من تعبيرينيساوي حاصل ضرب مجموع التعبيرات نفسها والمربع غير الكامل للفرق بينهما.
• أ 3 -ب 3 =(أ-ب)(أ 2 +أب+ب 2) الفرق بين مكعبين من التعبيراتيساوي حاصل ضرب الفرق بين التعبيرات نفسها والمربع الجزئي لمجموعها.
• (أ+ب+ج) 2 =أ 2 +ب 2 +ج 2 +2ab+2ac+2bc مربع مجموع ثلاثة تعبيراتيساوي مجموع مربعات هذه التعبيرات بالإضافة إلى جميع المنتجات الزوجية الممكنة للتعبيرات نفسها.
• مرجع. المربع الكامل لمجموع تعبيرين: أ 2 + 2 أ + ب 2

المربع الجزئي لمجموع تعبيرين: أ 2 + أ ب + ب 2

وظيفة النموذج ص=x2تسمى دالة مربعة الرسم البياني للدالة التربيعية هو قطع مكافئ رأسه عند نقطة الأصل. فروع القطع المكافئ ص=س²موجهة للأعلى.

وظيفة النموذج ص=س 3تسمى دالة مكعبة الرسم البياني للدالة المكعبة هو قطع مكافئ مكعب يمر عبر نقطة الأصل. فروع القطع المكافئ المكعب ص=س³تقع في الربعين الأول والثالث.

دالة زوجية.

وظيفة Fيتم استدعاؤه حتى لو، مع كل قيمة للمتغير X -X F(- س)= F(س). الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور الإحداثي (Oy). الدالة y=x 2 زوجية.

وظيفة غريبة.

وظيفة Fويسمى فردي إذا، مع كل قيمة للمتغير Xمن مجال قيمة الدالة ( -X) يتم تضمينه أيضًا في نطاق هذه الوظيفة ويتم استيفاء المساواة: F(- س)=- F(س) . الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل. الدالة y=x 3 فردية.

معادلة من الدرجة الثانية.

تعريف. معادلة النموذج الفأس 2 +بx+ج=0، أين أ، بو ج- أي أرقام حقيقية، و أ≠0، س- متغير يسمى معادلة تربيعية.

أ- المعامل الأول، ب- المعامل الثاني، ج- عضو مجاني.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة.

• الفأس 2 =0 – غير مكتمل معادلة من الدرجة الثانية (ب=0، ج=0 ). الحل: س=0. الجواب: 0.
• الفأس 2 +بx=0 –غير مكتمل معادلة من الدرجة الثانية (ج = 0 ). الحل: x (ax+b)=0 → x 1 =0 أو ax+b=0 → x 2 =-b/a. الجواب: 0؛ -ب/أ.
• الفأس 2 +ج=0 –غير مكتمل معادلة من الدرجة الثانية (ب=0 ); الحل: الفأس 2 =-ج → × 2 =-ج/أ.

لو (-ج/أ)<0 إذن لا توجد جذور حقيقية. لو (-س/أ)>0

• الفأس 2 +بx+ج=0- معادلة من الدرجة الثانيةمنظر عام

مميز د=ب 2 - 4أ.

لو د > 0إذن لدينا جذرين حقيقيين:

لو د = 0، إذن لدينا جذر واحد (أو جذرين متساويين) س=-ب/(2أ).

إذا د<0, то действительных корней нет.

• الفأس 2 +بx+ج=0 – معادلة من الدرجة الثانية نموذج خاص لمدة ثانية واحدة

معامل في الرياضيات او درجة ب

• الفأس 2 +بx+ج=0 – معادلة من الدرجة الثانية النوع الخاص المقدم : أ-ب+ج=0.

الجذر الأول يساوي دائمًا سالب واحد، والجذر الثاني يساوي دائمًا سالب مع، مقسمة على أ:

س 1 =-1، س 2 =-ج/أ.

• الفأس 2 +بx+ج=0 – معادلة من الدرجة الثانية النوع الخاص المقدم: أ+ب+ج=0 .

الجذر الأول يساوي دائمًا واحدًا، والجذر الثاني يساوي دائمًا مع، مقسمة على أ:

× 1 = 1، × 2 = ج/أ.

حل المعادلات التربيعية المعطاة.

• س 2 +بكسل+ف=0 – تخفيض المعادلة التربيعية (المعامل الأول يساوي واحد).

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 +بكسل+ف=0يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر:

الفأس 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2)، أين × 1، × 2- جذور المعادلة التربيعية الفأس 2 +بx+ج=0.

تسمى وظيفة الوسيطة الطبيعية تسلسلًا رقميًا، وتسمى الأرقام التي تشكل التسلسل مصطلحات التسلسل.

ويمكن تحديد التسلسل الرقمي بالطرق التالية: لفظي، تحليلي، متكرر، بياني.

تسلسل عددي كل عضو فيه ابتداء من الثاني يساوي الذي قبله مضافا إلى نفس العدد لتسلسل معين د، ويسمى التقدم الحسابي. رقم ديسمى فرق التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي (ن)، أي في متوالية حسابية ذات مصطلحات: أ 1، أ 2، أ 3، أ 4، أ 5، ...، أ ن-1، أ ن، ... حسب التعريف: أ 2 = أ 1 + د; أ 3 = أ 2 + د; أ 4 = أ 3 + د; أ 5 = أ 4 + د; ...; أ ن = أ ن-1 + د; …

صيغة الحد n من التقدم الحسابي.

أ ن = أ 1 +(ن-1) د.

خصائص التقدم الحسابي.

• كل حد من المتتابعة الحسابية، بدءاً من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للحدين المجاورين له:

أ ن =(أ ن-1 +أ ن+1):2;

• كل حد من المتوالية الحسابية، ابتداء من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للحدين المتباعدتين عنه بشكل متساو:

أ ن =(أ ن-ك +أ ن+ك):2.

صيغ لمجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي.

1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) س ن =(2أ 1 +(ن-1) د)∙ن/2

المتوالية الهندسية.

تعريف التقدم الهندسي.

تسلسل عددي كل عضو فيه ابتداء من الثاني يساوي الذي قبله مضروبا في نفس العدد لتسلسل معين س، ويسمى التقدم الهندسي. رقم سيسمى مقام التقدم الهندسي. في التقدم الهندسي (ب ن)، أي في التقدم الهندسي ب 1، ب 2، ب 3، ب 4، ب 5، ...، ب ن، ... حسب التعريف: ب 2 = ب 1 ∙q؛ ب 3 = ب 2 ∙ف؛ ب 4 = ب 3 ∙ف؛ ... ; ب ن = ب ن -1 ∙q.

صيغة الحد n من التقدم الهندسي.

ب n =ب 1 ∙q n -1 .

خصائص التقدم الهندسي.

صيغة لمجموع الأولن شروط التقدم الهندسي.

مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي.

العلامة العشرية الدورية اللانهائية تساوي كسرًا عاديًا، في البسط هو الفرق بين العدد الكامل بعد العلامة العشرية والرقم بعد العلامة العشرية قبل فترة الكسر، والمقام يتكون من “تسعة” و “أصفار”، وهناك الكثير “ "تسعة" حيث توجد أرقام في الفترة، وعدد من "الأصفار" يساوي عدد الأرقام بعد العلامة العشرية قبل فترة الكسر. مثال:

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية.

(α+β=90°)

لدينا: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. بما أن β=90°-α إذن

الخطيئة (90°-α)=cosα; كوس (90°-α)=الخطيئةα;

تيراغرام (90°-α)=ctgα; CTG (90°-α)=tgα.

تكون الوظائف المشتركة للزوايا التي تكمل بعضها البعض حتى 90 درجة متساوية.

صيغ الإضافة.

9) الخطيئة (α+β)=الخطيئةα∙cosβ+cosα∙sinβ;

10) الخطيئة (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;

11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;

12) كوس (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;

صيغ للوسائط المزدوجة والثلاثية.

17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;

19) 1+cos2α=2cos 2α; 20) 1-cos2α=2sin 2α

21) الخطيئة 3 α = 3 الخطيئة α - 4 الخطيئة 3 α ؛ 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;

صيغ لتحويل المبلغ (الفرق) إلى منتج.

صيغ لتحويل المنتج إلى مجموع (فرق).

صيغ نصف الوسيطة.

جيب وجيب التمام من أي زاوية.

المساواة (الغرابة) للدوال المثلثية.

من بين الدوال المثلثية، هناك واحدة فقط زوجية: y=cosx، والثلاثة الأخرى فردية، أي cos (-α)=cosα;

الخطيئة (-α)=-الخطيئةα؛ تيراغرام (-α)=-تغα; ctg (-α)=-ctgα.

علامات الدوال المثلثية حسب تنسيق الأرباع.

قيم الدوال المثلثية لبعض الزوايا.

راديان.

1) 1 راديان هي قيمة الزاوية المركزية بناءً على قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة المحددة. 1 راد≈57°.

2) تحويل قياس درجة الزاوية إلى قياس الراديان.

3) تحويل قياس زاوية راديان إلى قياس درجة.

صيغ التخفيض.

قاعدة ذاكري:

1. قبل الوظيفة المخفضة، ضع علامة الاختزال.

2. إذا تمت كتابة الوسيطة π/2 (90°) عددًا فرديًا من المرات، فسيتم تغيير الدالة إلى دالة مشتركة.

الدوال المثلثية العكسية.

قوس جيب العدد (arcsin a) هو زاوية من الفاصل الزمني [-π/2؛ π/2 ]، جيبها يساوي a.

أركسين(- أ)=- أركسينأ.

قوس جيب تمام العدد (arccos a) هو زاوية من الفاصل الزمني الذي يساوي جيب تمامه a.

أركوس(-أ)=π - أركوسا.

قوس الظل لعدد (arctg a) هو زاوية من الفاصل الزمني (-π/2; π/2)، ظلها يساوي a.

com.arctg(- أ)=- com.arctgأ.

ظل التمام للرقم a (arcctg a) هو زاوية من الفاصل الزمني (0؛ π)، ظل التمام الذي يساوي a.

arcctg(-a)=π – أركتكج أ.

حل المعادلات المثلثية البسيطة.

الصيغ العامة.

1) الخطيئة ر = أ، 0

2) الخطيئة ر = - أ، 0

3) كوس ر = أ، 0

4) كوس تي = -أ، 0

5) tg t =a, a>0, ثم t=arctg a + πn, nϵZ;

6) tg t =-a, a>0, ثم t= - arctg a + πn, nϵZ;

7) ctg t=a, a>0, ثم t=arcctg a + πn, nϵZ;

8) ctg t= -a, a>0, ثم t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

صيغ خاصة.

1) الخطيئة t = 0، ثم t = πn، nϵZ؛

2) الخطيئة t=1، ثم t= π/2 +2πn، nϵZ؛

3) الخطيئة t= -1، ثم t= — π/2 +2πn، nϵZ؛

4) cos t=0، ثم t= π/2+ πn، nϵZ؛

5) cos t=1، ثم t=2πn، nϵZ؛

6) cos t=1، ثم t=π +2πn، nϵZ؛

7) تيراغرام تي =0، ثم تي = πn، nϵZ؛

8) سرير الأطفال t=0، ثم t = π/2+πn، nϵZ.

حل المتباينات المثلثية البسيطة.

1) خطيئة

2) سينت>أ (|أ|<1), arcsina+2πn

3) يكلف

4) التكلفة>أ (|أ|<1), -arccosa+2πn

5) tgt

6) tgt>a, arctga+πn

7) ctgt

8) ctgt>أ، πn

مباشرة على متن الطائرة.