Тэгшитгэлийн үр дагаврын тухай ойлголт. Гадны үндэс. Танилцуулга "Тэгшитгэлийн эквивалент. Тэгшитгэл %U2013 үр дагавар" Аль тэгшитгэл нь нөгөөгийн үр дагавар вэ

Өнөөдрийн сэдвийг судлахын тулд ямар тэгшитгэлийг үр дагавар тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, ямар теоремууд "зовлонтой" вэ, аливаа тэгшитгэлийн шийдэл ямар үе шатуудаас бүрддэг вэ гэдгийг давтах хэрэгтэй.

Тодорхойлолт.Хэрэв x-ээс ef-ийн тэгшитгэлийн язгуур бүр нь x-ээс тэнцүү бол (бид үүнийг нэг тоогоор тэмдэглэнэ) нэгэн зэрэг x-ээс pe тэгшитгэлийн язгуур, x-ээс ax-тай тэнцүү байна (бид үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ. хоёр дугаар), дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлийг нэг дэх тэгшитгэлийн үр дагавар гэж нэрлэдэг.

Дөрөв дэх теорем.Хэрэв x-ээс ef-ийн тэгшитгэлийн хоёр тал нь x-ээс ижил тэнцүү бол x-ээс ax ижил илэрхийллээр үржүүлбэл, энэ нь:

Нэгдүгээрт, энэ нь x-тэй тэнцүү x-ийн eff тэгшитгэлийг тодорхойлох талбарт (зөвшөөрөгдөх утгын мужид) хаа сайгүй утга учиртай.

Хоёрдугаарт, энэ бүс нутагт хаана ч алга болохгүй, тэгвэл x-ээс үнсээр үржүүлсэн x-ээс eff-ийн тэгшитгэл нь x-ээс ижил тэнцүү, x-ээс сүхээр үржүүлсэн нь түүний ODZ-д өгсөнтэй тэнцүү байна.

Үр дагавар теорем дөрөвЭнэ бол өөр нэг "тайван" мэдэгдэл юм: хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэг биш тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал та өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг авна.

Теорем тав. Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал

x-ээс eff нь тэнцүү ix нь ODS тэгшитгэлд сөрөг биш, дараа нь түүний хоёр хэсгийг ижил тэгш n зэрэгт хүргэсний дараа x-ээс n-р зэрэглэл хүртэлх eff тэгшитгэл нь n-р зэрэгтэй тэнцүү байна. өгөгдсөн тэгшитгэлийг өөрийн o de ze.

Теорем зургаа. a нь тэгээс их, нэгтэй тэнцүү биш, x-ийн ef нь тэгээс их,

х-ээс zhe тэгээс их, логарифм тэгшитгэл нь х-ээс а суурь хүртэлх логарифм ef, х-ээс а суурь хүртэлх zhe логарифмтай тэнцүү,

тэгшитгэлтэй тэнцүү байна ef-ээс x-ээс тэнцүү байна .

Өмнө дурьдсанчлан аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь гурван үе шаттайгаар явагддаг.

Эхний шат нь техникийн. Анхны тэгшитгэлээс хувиргах гинжин хэлхээг ашигласнаар бид нэлээд энгийн тэгшитгэлд хүрч, үүнийг шийдэж, үндсийг нь олдог.

Хоёр дахь шат бол шийдлийн шинжилгээ юм. Бид хийсэн өөрчлөлтүүддээ дүн шинжилгээ хийж, тэдгээр нь тэнцүү эсэхийг олж мэдэх болно.

Гурав дахь шат бол баталгаажуулалт юм. Үр дагаврын тэгшитгэлд хүргэж болох хувиргалтыг хийхдээ бүх олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгах нь заавал байх ёстой.

Энэ хичээлээр бид ямар хувиргалтуудыг ашиглах үед энэ тэгшитгэл нь үр дагавар тэгшитгэл болж хувирдаг болохыг олж мэдэх болно. Дараах ажлуудыг анхаарч үзээрэй.

Дасгал 1

Аль тэгшитгэл нь x хасах гурвыг хоёртой тэнцүүлэх тэгшитгэлийн үр дагавар вэ?

Шийдэл

Тэгшитгэл х хасах гурав тэнцүү хоёр нь нэг үндэстэй - x нь тавтай тэнцүү. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг х хасах зургаа илэрхийллээр үржүүлж, ижил төстэй гишүүдийг нэмээд квадрат тэгшитгэлийг х квадрат хасах арван нэгэн х нэмэх гуч нь тэгтэй тэнцэнэ. Үүний язгуурыг тооцоолъё: x эхлээд тавтай тэнцүү; x секунд нь зургаатай тэнцүү. Энэ нь аль хэдийн хоёр үндэстэй. Тэгшитгэл x квадрат хасах арван нэгэн х нэмэх гуч тэнцүү тэг нь нэг язгуурыг агуулна - x нь тавтай тэнцүү; тэгшитгэл x хасах гурвыг хассан нь хоёртой тэнцэх тул x квадратыг хасах арван нэгэн х нэмэх гуч нь x хасах гурвыг хассан нь хоёр тэнцүү гэсэн тэгшитгэлийн үр дагавар юм.

Даалгавар 2

x-3=2 тэгшитгэлийн үр дагавар өөр ямар тэгшитгэл вэ?

Шийдэл

Тэгшитгэлд x хасах гурвыг хасвал хоёр, хоёр талыг нь квадрат болгоод, зөрүүний квадратын томьёог хэрэглэж, ижил төстэй гишүүдийг нэмээд квадрат тэгшитгэлийг х квадрат хасах зургаа х нэмэх тав нь тэгтэй тэнцэнэ.

Үүний язгуурыг тооцоод үзье: эхний х нь тав, х секунд нь нэг.

язгуур х тэнцүү нэг нь тэгшитгэлийн гаднах юм x хасах гурав тэнцүү хоёр. Энэ нь анхны тэгшитгэлийн хоёр тал нь квадрат (тэгш хүч) байсан тул ийм болсон. Гэхдээ үүний зэрэгцээ түүний зүүн тал - x хасах гурав нь сөрөг байж болно (нөхцөл теорем тав). Энэ нь тэгшитгэл x квадрат хасах зургаа х нэмэх тав тэнцүү тэг нь x хасах гурав тэнцүү хоёр тэгшитгэлийн үр дагавар юм.

Даалгавар 3

Тэгшитгэлийн үр дүнгийн тэгшитгэлийг ол

х-ийн логарифмыг 3-ын суурийн нэг дээр нэмсэн x-ийн логарифмыг 3-ын суурийн 3-ын логарифм нь нэгтэй тэнцүү байна.

Шийдэл

Нэгийг гурвын суурь гурвын логарифм гэж төсөөлж, логарифм тэгшитгэлийг потенциациулж, үржүүлгийг хийж, ижил төстэй гишүүдийг нэмээд квадрат тэгшитгэлийг х квадрат дээр дөрөв x тэгтэй тэнцүү гаргая. Үүний үндсийг тооцоод үзье: эхний х нь тэгтэй тэнцүү, хоёр дахь х нь хасах дөрөвтэй тэнцүү. Х язгуур нь хасах дөрөв нь логарифмын тэгшитгэлд үл хамаарах зүйл юм, учир нь үүнийг логарифмын тэгшитгэлд орлуулах үед x нэмэх нэг ба x нэмэх гурав сөрөг утгыг авдаг - нөхцөлийг зөрчсөн. теорем зургаа.

Энэ нь тэгшитгэл нь x квадрат дээр нэмэх нь дөрөв x тэгтэй тэнцэх нь энэ тэгшитгэлийн үр дагавар гэсэн үг юм.

Эдгээр жишээнүүдийн шийдэлд үндэслэн бид хийж чадна дүгнэлт:тэгшитгэлийн тодорхойлолтын мужийг өргөтгөх замаар энэ тэгшитгэлээс үр дүнд хүрсэн тэгшитгэлийг олж авна. гэх мэт хувиргалтыг хийснээр энэ нь боломжтой юм

1) хувьсах утгыг агуулсан хуваагчаас салах;

2) тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгш чадал болгон өсгөх;

3) логарифмын тэмдгээс ангижрах.

Хэрэв тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээ өргөжсөн бол олсон бүх үндсийг шалгах шаардлагатай гэдгийг санаарай.

Даалгавар 4

Тэгшитгэлийг х хасах гурвыг хуваах, х хасах тав нэмэх нэгийг хуваах нь х тэнцүү х нэмэх тавыг х үржүүлэх х хасах тавыг хас.

Шийдэл

Эхний шат нь техникийн.

Өөрчлөлтийн гинжин хэлхээг хийж, хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж аваад шийдье. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг бутархайн нийтлэг хуваагчаар, өөрөөр хэлбэл х илэрхийлэлийг х хасах таваар үржүүлнэ.

Бид квадрат тэгшитгэлийг олж авна x квадрат хасах гурав х хасах арав нь тэгтэй тэнцүү. Үндэсүүдийг тооцоолъё: эхний х нь тав, х секунд нь хасах хоёр.

Хоёр дахь шат бол шийдлийн шинжилгээ юм.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид хоёр талыг хувьсагч агуулсан илэрхийллээр үржүүлсэн. Энэ нь тэгшитгэлийн хамрах хүрээ өргөссөн гэсэн үг. Тиймээс үндсийг нь шалгах нь заавал байх ёстой.

Гурав дахь шат бол баталгаажуулалт юм.

x нь хасах хоёртой тэнцүү байх үед нийтлэг хуваагч тэг болдоггүй. Энэ нь x тэнцүү хасах хоёр нь энэ тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм.

x нь тавтай тэнцэх үед нийтлэг хуваагч тэг болно. Тиймээс x нь тавтай тэнцүү - гадны үндэс.

Хариулт: хасах хоёр.

Даалгавар 5

Тэгшитгэлийн квадрат язгуур х хасах зургаа тэнцүү квадрат язгуур дөрөв хасах х.

Шийдэл

Эхний шат нь техникийн .

Энгийн тэгшитгэл олж, түүнийг шийдвэрлэхийн тулд бид хувиргалтын гинжин хэлхээг гүйцэтгэдэг.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг дөрвөлжин (тэгш хүч) болгоод, х-г зүүн тал руу, тоонуудыг баруун талд шилжүүлж, ижил төстэй нөхцлүүдийг нэмбэл: хоёр х нь аравтай тэнцэнэ. X нь тавтай тэнцүү.

Хоёр дахь шат бол шийдлийн шинжилгээ юм.

Дууссан хувиргалтыг тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.

Тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид хоёр талыг нь квадрат болгов. Энэ нь тэгшитгэлийн хамрах хүрээ өргөссөн гэсэн үг. Тиймээс үндсийг нь шалгах нь заавал байх ёстой.

Гурав дахь шат бол баталгаажуулалт юм.

Олдсон язгууруудыг анхны тэгшитгэлд орлъё.

Хэрвээ x нь тавтай тэнцүү бол дөрвөөс х-ийг хассан илэрхийллийн квадрат язгуур тодорхойгүй тул x нь тав нь гаднах үндэс болно. Энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй гэсэн үг юм.

Хариулт: тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Даалгавар 6

Тэгшитгэлийг шийднэ үү х илэрхийллийн натурал логарифм квадратыг нэмэх хоёр х хасах долоо нь x илэрхийллийн натурал логарифмыг нэг хасах.

Шийдэл

Эхний шат нь техникийн .

Өөрчлөлтийн гинжин хэлхээг хийж, хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж аваад шийдье. Үүнийг хийхийн тулд хүчирхэгжүүлцгээе

тэгшитгэлийн хувьд бид бүх гишүүнийг тэгшитгэлийн зүүн тал руу шилжүүлж, ижил төстэй нөхцлүүдийг авчирч, квадрат тэгшитгэлийг х квадрат нэмэх x хасах зургаа нь тэгтэй тэнцүү байна. Үндэсүүдийг тооцоолъё: эхнийх нь хоёр, х секунд нь хасах гурав.

Хоёр дахь шат бол шийдлийн шинжилгээ юм.

Дууссан хувиргалтыг тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад бид логарифмын шинж тэмдгүүдээс өөрсдийгөө чөлөөлсөн. Энэ нь тэгшитгэлийн хамрах хүрээ өргөссөн гэсэн үг. Тиймээс үндсийг нь шалгах нь заавал байх ёстой.

Гурав дахь шат бол баталгаажуулалт юм.

Олдсон язгууруудыг анхны тэгшитгэлд орлъё.

Хэрэв х нь хоёртой тэнцүү бол бид нэгийн натурал логарифмыг нэгийн натурал логарифмтай тэнцүү авна -

жинхэнэ тэгш байдал.

Энэ нь x нь хоёр нь энэ тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм.

Хэрэв х нь хасах гуравтай тэнцүү бол x квадратыг нэмэх хоёр х хасах долоо илэрхийллийн натурал логарифм, х хасах нэгийг хассан илэрхийллийн натурал логарифм тодорхойлогдоогүй болно. Энэ нь x тэнцүү хасах гурвыг гадны үндэс гэсэн үг.

Хариулт: хоёр.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ гурван үе шатыг ялгах шаардлагатай юу? Би өөр ямар аргаар шалгаж болох вэ?

Бид дараагийн хичээлээр эдгээр асуултын хариултыг авах болно.

Танилцуулгад бид эквивалент тэгшитгэл, теоремуудыг үргэлжлүүлэн авч үзэх бөгөөд ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үе шатуудын талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.

Эхлэхийн тулд нэг тэгшитгэл нь нөгөөгийнхөө үр дагавар болох нөхцөлийг эргэн санацгаая (слайд 1). Зохиогч өмнө нь авч үзсэн эквивалент тэгшитгэлийн зарим теоремуудыг дахин иш татав: тэгшитгэлийн хэсгүүдийг ижил утгаараа h (x) үржүүлэх; тэгшитгэлийн хэсгүүдийг ижил тэгш чадалтай болгох; log a f(x) = log a g (x) тэгшитгэлээс эквивалент тэгшитгэлийг олж авах.

Танилцуулгын 5-р слайд нь эквивалент тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой үндсэн алхмуудыг онцолсон болно.

Эквивалент тэгшитгэлийн шийдийг олох;

Шийдэлд дүн шинжилгээ хийх;

Шалгах.

1-р жишээг авч үзье. x - 3 = 2 тэгшитгэлийн үр дагаврыг олох шаардлагатай. x = 5 тэгшитгэлийн язгуурыг олъё. (x - 3)(x - 6) = 2( тэнцүү тэгшитгэлийг бичнэ. x - 6), тэгшитгэлийн хэсгүүдийг (x - 6) -аар үржүүлэх аргыг ашиглана. Илэрхийллийг х 2 - 11х +30 = 0 хэлбэрт хөнгөвчлөхөд бид x 1 = 5, x 2 = 6 үндсийг олно. Учир нь x - 3 = 2 тэгшитгэлийн язгуур бүр нь мөн x 2 - 11x +30 = 0 тэгшитгэлийн шийдэл, тэгвэл x 2 - 11x +30 = 0 нь үр дагавар тэгшитгэл болно.

Жишээ 2. Тэгшитгэлийн өөр үр дагаврыг олоорой x - 3 = 2. Эквивалент тэгшитгэлийг олж авахын тулд бид тэгш чадал руу өсгөх аргыг ашигладаг. Үүссэн илэрхийллийг хялбарчлан бид x 2 - 6x +5 = 0 гэж бичнэ. x 1 = 5, x 2 = 1 тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Учир нь x = 5 (х - 3 = 2 тэгшитгэлийн язгуур) нь мөн x 2 - 6x +5 = 0 тэгшитгэлийн шийдэл, тэгвэл x 2 - 6x +5 = 0 тэгшитгэл нь мөн үр дагавар тэгшитгэл болно.

Жишээ 3. log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 тэгшитгэлийн үр дагаврыг олох шаардлагатай.

Тэгшитгэлд 1 = log 3 3-ыг орлуулъя. Дараа нь теорем 6-ын мэдэгдлийг ашиглан (x + 1)(x +3) = 3 тэнцэтгэлийг бичнэ. Илэрхийллийг хялбарчлан бид x 2 + 4x = болно. 0, үндэс нь x 1 = 0, x 2 = - 4. Тэгэхээр x 2 + 4x = 0 тэгшитгэл нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үр дагавар юм log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

Тиймээс бид дүгнэж болно: хэрэв тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээг өргөжүүлбэл үр дагавар тэгшитгэлийг олж авна. Дүгнэлт тэгшитгэлийг олохдоо стандарт үйлдлүүдийг тодруулцгаая.

Хувьсагч агуулсан хуваагчаас салах;

Тэгшитгэлийн хэсгүүдийг ижил тэгш чадалтай болгох;

Логарифмын тэмдгүүдээс ангижрах.

Гэхдээ үүнийг санах нь чухал: шийдлийн явцад тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээ өргөжих үед ODZ-д орох эсэхийг шалгахын тулд олсон бүх үндсийг шалгах шаардлагатай.

Жишээ 4. 12-р слайд дээр үзүүлсэн тэгшитгэлийг шийд. Эхлээд x 1 = 5, x 2 = - 2 (эхний шат) эквивалент тэгшитгэлийн язгуурыг олъё. Үндэсийг шалгах нь зайлшгүй шаардлагатай (хоёр дахь шат). Үндэс шалгах (гурав дахь шат): x 1 = 5 нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх утгын мужид хамаарахгүй тул тэгшитгэл нь зөвхөн x = - 2 шийдэлтэй байна.

Жишээ 5-д өгөгдсөн тэгшитгэлийн ODZ-д эквивалент тэгшитгэлийн олсон язгуурыг оруулаагүй болно. Жишээ 6-д олдсон хоёр язгуурын аль нэгнийх нь утга тодорхойгүй байгаа тул энэ язгуур нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл биш юм.

Анги: 11

Үргэлжлэх хугацаа: 2 хичээл.

Хичээлийн зорилго:

• (багшийн хувьд)оюутнуудад иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын талаар цогц ойлголтыг бий болгох.
• (Оюутнуудад зориулсан)Математик нөхцөл байдлыг ажиглах, харьцуулах, нэгтгэх, дүн шинжилгээ хийх чадварыг хөгжүүлэх (слайд 2). Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх.

Эхний хичээлийн төлөвлөгөө(слайд 3)

1. Мэдлэгийг шинэчлэх
2. Онолын шинжилгээ: Тэгшитгэлийг тэгш зэрэглэлд хүргэх
3. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх семинар

Хоёр дахь хичээлийн төлөвлөгөө

1. "Улсын нэгдсэн шалгалтын иррационал тэгшитгэл" бүлэгт ялгасан бие даасан ажил
2. Хичээлийн хураангуй
3. Гэрийн даалгавар

Хичээлийн явц

I. Мэдлэгийг шинэчлэх

Зорилтот:хичээлийн сэдвийг амжилттай эзэмшихэд шаардлагатай ойлголтуудыг давт.

Урд талын судалгаа.

– Аль хоёр тэгшитгэлийг эквивалент гэж нэрлэдэг вэ?

– Тэгшитгэлийн ямар хувиргалтыг эквивалент гэж нэрлэдэг вэ?

– Энэ тэгшитгэлийг ашигласан хувиргалтын тайлбар бүхий ижил тэгшитгэлээр солино уу: (слайд 4)

a) x+ 2x +1; б) 5 = 5; в) 12х = -3; d) x = 32; d) = -4.

– Ямар тэгшитгэлийг анхдагч тэгшитгэлийн хавсарсан тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

– Дүгнэлт тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш язгууртай байж болох уу? Эдгээр үндэсийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

– Тэгшитгэлийн ямар хувиргалт нь үр дагавар тэгшитгэлд хүргэдэг вэ?

– Арифметик квадрат язгуур гэж юу вэ?

Өнөөдөр бид "Тэгшитгэлийг тэгш хүч болгон өсгөх" хувиргалтын талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.

II. Онолын шинжилгээ: Тэгшитгэлийг тэгш зэрэглэлд хүргэх

Сурагчдын идэвхтэй оролцоотой багшийн тайлбар:

2 байгм(мN) тогтмол тэгш натурал тоо. Дараа нь тэгшитгэлийн үр дагаварf(x) =g(x) нь тэгшитгэл (f(x)) = (g(x)).

Ихэнхдээ энэ мэдэгдлийг иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Тодорхойлолт. Үндэс тэмдгийн дор үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг иррациональ гэнэ.

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дараах аргуудыг ашигладаг: (слайд 5)

Анхаар! 2 ба 3-р аргууд шаардлагатай заавал байх ёстойшалгалтууд.

ODZ нь гадны үндэсийг арилгахад үргэлж тусалдаггүй.

Дүгнэлт:Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ техникийн, шийдлийн дүн шинжилгээ, баталгаажуулалт гэсэн гурван үе шатыг давах нь чухал (слайд 6).

III. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх семинар

Тэгшитгэлийг шийд:

Тэгшитгэлийг квадратаар хэрхэн шийдвэрлэх талаар ярилцсаны дараа эквивалент систем рүү шилжих замаар шийд.

Дүгнэлт: Бүхэл язгууртай хамгийн энгийн тэгшитгэлийг ямар ч танил аргаар шийдэж болно.

б) = x - 2

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зэрэглэлд өсгөх замаар шийдвэрлэх замаар сурагчид орлуулах замаар шалгахад хэцүү, цаг хугацаа их шаарддаг x = 0, x = 3 -, x = 3 + язгуурыг олж авдаг. (Слайд 7). Адилхан системд шилжих

гадаад үндсийг хурдан арилгах боломжийг танд олгоно. x ≥ 2 нөхцөл нь зөвхөн x-ээр хангагдана.

Хариулт: 3 +

Дүгнэлт: Ижил системд шилжих замаар иррациональ үндэсийг шалгах нь дээр.

в) = x - 3

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад бид 1 ба 4 гэсэн хоёр язгуурыг олж авдаг. Хоёр үндэс хоёулаа тэгшитгэлийн зүүн талыг хангаж байгаа боловч x = 1 үед арифметик квадрат язгуурын тодорхойлолт зөрчигддөг. ODZ тэгшитгэл нь гадны үндэсийг арилгахад тус болохгүй. Ижил системд шилжих нь зөв хариултыг өгдөг.

Дүгнэлт:Арифметик квадрат язгуурыг тодорхойлох бүх нөхцөл байдлын талаархи сайн мэдлэг, ойлголт нь цааш шилжихэд тусалнаэквивалент хувиргалтыг гүйцэтгэх.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгосноор бид тэгшитгэлийг олж авна

x + 13 - 8 + 16 = 3 + 2x - x, радикалыг баруун талд байрлуулбал бид олж авна.

26 – x + x = 8. Дараах үйлдлүүдийг тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоход 4-р зэргийн тэгшитгэл гарна. ODZ тэгшитгэлд шилжих нь сайн үр дүнг өгдөг.

ODZ тэгшитгэлийг олъё:

x = 3.

Шалгах: - 4 = , 0 = 0 зөв.

Дүгнэлт:Заримдаа ODZ тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг ашиглан шийдвэрлэх боломжтой байдаг, гэхдээ заавал шалгаарай.

Шийдэл: ODZ тэгшитгэл: -2 – x ≥ 0 x ≤ -2.

x ≤ -2-ын хувьд,< 0, а ≥ 0.

Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн тал нь сөрөг, баруун тал нь сөрөг биш; тиймээс анхны тэгшитгэл нь үндэсгүй.

Хариулт: үндэс байхгүй.

Дүгнэлт:Тэгшитгэлийн нөхцөл дэх хязгаарлалтын талаар зөв үндэслэлийг гаргасны дараа та тэгшитгэлийн үндсийг хялбархан олох эсвэл тэдгээр нь байхгүй гэдгийг тогтоож чадна.

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг ашиглан тэгшитгэлийн давхар квадратыг харуулж, "радикалуудын ганцаардал" гэсэн хэллэгийн утга, олсон үндсийг шалгах хэрэгцээг тайлбарла.

h) + = 1.

Эдгээр тэгшитгэлийн шийдлийг анхны хувьсагч руу буцах хүртэл хувьсагчийг орлуулах аргыг ашиглан гүйцэтгэнэ. Дараагийн шатны даалгаврыг өмнө нь гүйцэтгэсэн хүмүүст шийдлийг санал болго.

Хяналтын асуултууд

• Хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
• Тэгшитгэлийг тэгш чадалтай болгохдоо юуг санах хэрэгтэй вэ? ( гадаад үндэс гарч ирж болно)
• Иррационал үндэсийг шалгах хамгийн сайн арга юу вэ? ( ODZ ба тэгшитгэлийн хоёр талын тэмдгүүдийн давхцах нөхцлийг ашиглах)
• Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ математик нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх чадвартай байх нь яагаад зайлшгүй шаардлагатай вэ? ( Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх зөв, хурдан сонголтын хувьд).

IV. "Улсын нэгдсэн шалгалтын иррационал тэгшитгэл" бүлэгт ялгасан бие даасан ажил

Анги нь сургалтын түвшний дагуу бүлэгт (2-3 хүн) хуваагдаж, бүлэг бүр даалгавар бүхий хувилбарыг сонгож, сонгосон даалгавраа хэлэлцэж, шийддэг. Шаардлагатай бол багшаас зөвлөгөө аваарай. Өөрийнхөө хувилбарт байгаа бүх даалгаврыг хийж, багшийн хариултыг шалгасны дараа бүлгийн гишүүд хичээлийн өмнөх шатны g) ба h) тэгшитгэлийг бие даан шийдэж дуусгана. 4 ба 5-р хувилбарын хувьд (багшийн хариулт, шийдлийг шалгасны дараа) нэмэлт даалгавруудыг самбар дээр бичиж, дангаар нь гүйцэтгэнэ.

Бүх бие даасан шийдлүүдийг хичээлийн төгсгөлд баталгаажуулахын тулд багшид өгдөг.

Сонголт 1

Тэгшитгэлийг шийд:

a) = 6;
б) = 2;
в) = 2 – x;
d) (x + 1) (5 – x) (+ 2 = 4.

Сонголт 5

1. Тэгшитгэлийг шийд:

a) =;
б) = 3 - 2x;

2. Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Нэмэлт даалгавар:

В. Хичээлийн хураангуй

USE даалгавруудыг гүйцэтгэхэд танд ямар бэрхшээл тулгарсан бэ? Эдгээр бэрхшээлийг даван туулахад юу хэрэгтэй вэ?

VI. Гэрийн даалгавар

Иррационал тэгшитгэлийг шийдэх онолыг давтаж, сурах бичгийн 8.2-р догол мөрийг уншина уу (3-р жишээнд анхаарлаа хандуулаарай).

No 8.8 (a, c), No 8.9 (a, c), No 8.10 (a) -ийг шийднэ.

Уран зохиол:

1. Никольский С.М., Потапов М.К., Н.Н. Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебр ба математик анализын эхлэл , Ерөнхий боловсролын байгууллагын 11-р ангийн сурах бичиг, М.: Просвещение, 2009.
2. Мордкович А.Г. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга зүйн зарим асуудлын талаар. Сургуульд математик. -2006. -Үгүй 3.
3. М.Шабунин. Тэгшитгэл. Ахлах ангийн сурагчид болон элсэгчдэд зориулсан лекц. Москва, "Чистые правы", 2005. ("Есдүгээр сарын нэгэн" номын сан)
4. Э.Н. Балаян. Асуудлыг шийдвэрлэх семинар. Иррационал тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем. Ростов-на-Дону, "Феникс", 2006 он.
5. Математик. 2011 оны улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх. F.F. засварласан. Лысенко, С.Ю. Кулабухова Легион-М, Ростов-на-Дону, 2010 он.

Хотын боловсролын байгууллага

"Новоуколовская дунд сургууль"

Белгород мужийн Красненский дүүрэг

11-р ангийн алгебрийн хичээл

"Үндсэн тэгшитгэлд хүргэх хэд хэдэн хувиргалтыг ашиглах"

Бэлтгэсэн, хэрэгжүүлсэн

Математикийн багш

Харьковская Валентина Григорьевна

Алгебр 11-р анги

Сэдэв: Дүгнэлт тэгшитгэлд хүргэдэг хэд хэдэн хувиргалтыг ашиглах.

Зорилтот: "Тэгшитгэл-үр дагаварт хүргэх хэд хэдэн хувиргалтыг ашиглах" сэдвээр материалыг нэгтгэх нөхцлийг бүрдүүлэх; Рбие даасан байдлыг хөгжүүлэх, ярианы бичиг үсгийг сайжруулах; оюутнуудын тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх; Улсын нэгдсэн шалгалтын түвшинд тохирсон даалгавруудыг гүйцэтгэх.

Тоног төхөөрөмж: сурах бичиг, компьютер, карт

Хичээлийн төрөл: ЗУН-ын цогц хэрэглээний хичээл

Хичээлийн үеэр

Зохион байгуулалтын мөч (Слайд 1)

Өдрийн мэнд залуусаа! Эдгээр зургуудыг үзээд аль нь хамгийн их таалагдсаныг сонго. Та ч гэсэн над шиг сайхан ааштай хичээлдээ ирснийг харж байна, хичээл дуустал энэ хэвээрээ байх болов уу. Та бүхэнд ажлын өндөр амжилт хүсэн ерөөе.

Залуус аа, та бүгдийн ширээн дээр хичээлийн үе шат бүрт өөрийгөө үнэлэх үнэлгээний хуудас байгаа.

Гэрийн даалгаврыг шалгах (Слайд 2).

Слайд дээрх шийдлүүдийг тодруулж, хүүхдүүд өөрсдөдөө үнэлгээ өгнө

өөрийгөө хянах хуудас. Алдаа байхгүй - "5", 1 алдаа бол "4", 2

алдаа - "3". Хэрэв та олон хүүхэдтэй бол 2

алдаа гарвал энэ ажлыг самбар дээр шийд.

Хичээлийн сэдвийг зарлах (Слайд 3). хичээлийн зорилгоо тодорхойлох

Та манай хичээлийн сэдвийг слайд дээрээс харж болно. Та юу гэж бодож байна

Өнөөдөр бид чамтай хичээл дээр хамт суралцах уу?

За, залуусаа, бид үзсэн материалаа санацгаая. .

Аман ажлаа эхэлцгээе :

Аман ажил (Слайд 4)

Ямар тэгшитгэлийг үр дүнгийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ? (хэрэв эхний тэгшитгэлийн аль нэг язгуур нь хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэс бол хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь үр дагавар гэж нэрлэдэг);

Дүгнэлт тэгшитгэл рүү шилжихийг юу гэж нэрлэдэг вэ? (тэгшитгэлийг өөр тэгшитгэлээр солих, энэ нь түүний үр дагавар);

Ямар хувиргалт нь үр дүнд хүрсэн тэгшитгэлд хүргэдэг вэ? Жишээ хэлнэ үү. (тэгшитгэлийг тэгш зэрэглэлд хүргэх; логарифмын тэгшитгэлийг потенциал болгох; тэгшитгэлийг хуваагчаас чөлөөлөх; тэгшитгэлийн ижил төстэй нөхцөлүүдийг авчрах; томьёо хэрэглэх).

Тэгшитгэлийг шийдэх (Слайд 5)

(тэгшитгэлийг дэлгэцэн дээр харуулав):

1) = 6; (хариулт: 36)

2) = 3; (хариулт: 11)

3) = 4; (хариулт: 6)

4) = - 2; (хариулт: тэгшитгэлийн зүүн тал нь зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг тул шийдэл байхгүй)

5) = 9; (хариулт: -9 ба 9)

6) = -2; (хариулт: хоёрын нийлбэрээс хойш шийдэл байхгүй

сөрөг бус тоо сөрөг байж болохгүй)

Залуус аа, бид гэрийн даалгавар, аман даалгавраа хийхдээ демо хувилбар, техникийн үзүүлэлт, Улсын нэгдсэн шалгалтын кодлогчтой таарч байгаа даалгавартай тааралдсан гэдгийг та анзаарсан гэж бодож байна.

4. Даалгавруудыг гүйцэтгэх

Залуус аа, дэвтэр дээрээ ажиллацгаая.

№8.26 (а) - самбар дээр

№8.14 (в) - самбар дээр

Нүдний дасгал (хөгжим)

№8.8 (в) - самбар дээр

№8.9-(д)-удирдах зөвлөл дээр

5. Бие даасан ажил (Слайд 6)

Бие даасан ажлын шийдэл (Слайд 7)

6. Гэрийн даалгавар: 8.14 (г), Улсын нэгдсэн шалгалтын В5 даалгаврыг 21,23,25 хувилбарт бөглөнө үү (Слайд 8)

7. Хичээлийн хураангуй (Слайд 9)

8. Тусгал (Слайд 10)

Санал асуулга.

1. Би хичээлийн үеэр ажилласан

2. I ангид хийсэн ажлаараа

3. Хичээл надад санагдсан

4. Хичээлийн хувьд I

5. Миний сэтгэлийн байдал

6. Надад хичээлийн материал байсан

7. Та шалгалтанд ийм даалгавруудыг даван туулж чадна гэж бодож байна уу?

8. Гэрийн даалгавар надад санагдаж байна

идэвхтэй / идэвхгүй

сэтгэл хангалуун/сэтгэл ханамжгүй

богино / урт

ядарсан биш / ядарсан

энэ нь сайжирсан/муу болсон

тодорхой / тодорхойгүй

ашигтай/ашиггүй

сонирхолтой / уйтгартай

тийм/үгүй/мэдэхгүй

хялбар / хэцүү

сонирхолтой / сонирхолгүй

Ашигласан нөөцүүд:

Никольский С.М., Потапов К.М., . Алгебр ба математик анализын эхлэл, 11-р анги М.: Просвещение, 2010

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх даалгаврын цуглуулга