3 įvairaus laipsnio. Eksponentiškumas. Operacijos su laipsniais

Eikite į mūsų svetainės „YouTube“ kanalą, kad gautumėte naujausią informaciją apie visas naujas vaizdo įrašų pamokas.

Pirmiausia prisiminkime pagrindines galių formules ir jų savybes.

Skaičiaus sandauga a savaime atsiranda n kartų, šią išraišką galime parašyti kaip a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Galios arba eksponentinės lygtys– tai lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais (arba laipsniais), o pagrindas yra skaičius.

Eksponentinių lygčių pavyzdžiai:

Šiame pavyzdyje skaičius 6 yra pagrindas; jis visada yra apačioje ir kintamasis x laipsnis arba rodiklis.

Pateiksime daugiau eksponentinių lygčių pavyzdžių.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos eksponentinės lygtys?

Paimkime paprastą lygtį:

2 x = 2 3

Šis pavyzdys gali būti išspręstas net jūsų galvoje. Matyti, kad x=3. Juk norint, kad kairė ir dešinė pusės būtų lygios, vietoj x reikia dėti skaičių 3.
Dabar pažiūrėkime, kaip įforminti šį sprendimą:

2 x = 2 3
x = 3

Norėdami išspręsti tokią lygtį, pašalinome identiškais pagrindais(tai yra dviese) ir surašė, kas liko, tai yra laipsniai. Gavome atsakymą, kurio ieškojome.

Dabar apibendrinkime savo sprendimą.

Eksponentinės lygties sprendimo algoritmas:
1. Reikia patikrinti tas pats ar lygtis turi pagrindus dešinėje ir kairėje. Jei priežastys nevienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.
2. Kai bazės tampa vienodos, prilyginti laipsnių ir išspręskite gautą naują lygtį.

Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių:

Pradėkime nuo kažko paprasto.

Kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra lygūs skaičiui 2, o tai reiškia, kad galime atmesti pagrindą ir sulyginti jų galias.

x+2=4 Gaunama paprasčiausia lygtis.
x = 4 – 2
x=2
Atsakymas: x=2

Šiame pavyzdyje matote, kad bazės skiriasi: 3 ir 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pirma, perkelkite devynis į dešinę pusę, gausime:

Dabar reikia padaryti tuos pačius pagrindus. Mes žinome, kad 9 = 3 2. Naudokime laipsnio formulę (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Gauname 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Dabar aišku, kad kairėje ir dešinėje pusėse bazės yra vienodos ir lygios trims, tai reiškia, kad galime juos atmesti ir sulyginti laipsnius.

3x=2x+16 gauname paprasčiausią lygtį
3x - 2x = 16
x=16
Atsakymas: x=16.

Pažvelkime į tokį pavyzdį:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Visų pirma, mes žiūrime į bazes, antrą ir ketvirtą. Ir mums reikia, kad jie būtų vienodi. Keturis transformuojame naudodami formulę (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Taip pat naudojame vieną formulę a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridėkite prie lygties:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Tačiau mus vargina kiti skaičiai 10 ir 24. Ką su jais daryti? Atidžiau pažiūrėjus matosi, kad kairėje pusėje pakartojame 2 2x, štai atsakymas – galime dėti 2 2x iš skliaustų:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Apskaičiuokime išraišką skliausteliuose:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Visą lygtį padaliname iš 6:

Įsivaizduokime 4 = 2 2:

2 2x = 2 2 bazės yra vienodos, jas atmetame ir laipsnius sulyginame.
2x = 2 yra paprasčiausia lygtis. Padalinkite iš 2 ir gausime
x = 1
Atsakymas: x = 1.

Išspręskime lygtį:

9 x – 12*3 x +27= 0

Transformuokime:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Gauname lygtį:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Mūsų pagrindai yra vienodi, lygūs trims Šiame pavyzdyje matote, kad pirmieji trys laipsnį turi du kartus (2x) nei antrasis (tik x). Tokiu atveju galite išspręsti pakeitimo metodas. Pakeičiame skaičių mažiausiu laipsniu:

Tada 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Visas x laipsnius lygtyje pakeičiame t:

t 2 – 12t+27 = 0
Gauname kvadratinę lygtį. Išspręsdami per diskriminantą, gauname:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Grįžtant prie kintamojo x.

Paimkite t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Tai yra,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo iš t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atsakymas: x 1 = 2; x 2 = 1.

Svetainėje galite užduoti visus jums rūpimus klausimus skiltyje PAGALBA SPRUSTI, mes jums tikrai atsakysime.

Prisijunk prie grupės

Įveskite skaičių ir laipsnį, tada paspauskite =.

Laipsnių lentelė

Laipsnio savybės - 2 dalys

Pagrindinių algebros laipsnių lentelė kompaktiška forma (paveikslėlis, patogus spausdinti), skaičiaus viršuje, laipsnio pusėje.

ETALONINĖ MEDŽIAGA APIE ALGEBRĄ 7-11 KLASĖMS.

Mieli tėvai! Jei ieškote matematikos mokytojo savo vaikui, tai šis skelbimas kaip tik jums. Siūlau Skype konsultacijas: pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui, vieningam valstybiniam egzaminui, žinių spragų šalinimas. Jūsų nauda akivaizdi:

1) Jūsų vaikas yra namuose, ir jūs galite būti ramūs dėl jo;

2) Užsiėmimai vyksta vaikui patogiu laiku, o jūs netgi galite lankyti šiuos užsiėmimus. Aš tai paprastai ir aiškiai paaiškinu įprastoje mokyklos lentoje.

3) Kitus svarbius Skype pamokų privalumus galite pagalvoti patys!

• Darbas n veiksniai, kurių kiekvienas yra lygus A paskambino n- skaičiaus laipsnis A ir yra paskirtas An.
• Veiksmas, kurio metu randama kelių vienodų veiksnių sandauga, vadinamas eksponencija. Skaičius, pakeltas iki laipsnio, vadinamas laipsnio baze. Skaičius, rodantis, kokia galia pakelta bazė, vadinamas eksponentu. Taigi, An- laipsnis, A– laipsnio pagrindas, n– eksponentas.
• ir 0 =1
• a 1 =a
• esu∙ a n= esu + n
• esu: a n= esu — n
• (esu) n= a mn
• (a∙b) n =a n ∙b n
• (a/ b) n= a n/ b n Keliant trupmeną iki laipsnio, tiek trupmenos skaitiklis, tiek vardiklis pakeliami iki tos laipsnio.

• (- n) laipsnio (n – natūralusis) skaičius A, nelygus nuliui, laikomas atvirkštinis skaičius n- skaičiaus laipsnis A, t.y. . a — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
• (a/ b) — n=(b/ a) n
• Laipsnio su natūraliuoju laipsniu savybės galioja ir laipsniams su bet kokiu laipsniu.

Labai dideli ir labai maži skaičiai paprastai rašomi standartine forma: a∙10 n, Kur 1≤a<10 Ir n(natūralus arba sveikasis skaičius) – tai skaičių tvarka, parašyta standartine forma.

• Išraiškos, sudarytos iš skaičių, kintamųjų ir jų galių naudojant daugybos veiksmą, vadinamos monomijomis.
• Šis monomio tipas, kai pirmoje vietoje yra skaitinis veiksnys (koeficientas), o po jo eina kintamieji su jų galiomis, vadinamas standartiniu monomio tipu. Visų į monomiją įtrauktų kintamųjų rodiklių suma vadinama monomio laipsniu.
• Monomilai, turintys tą pačią raidžių dalį, vadinami panašiais mononomais.

• Vienanarių suma vadinama daugianariu. Monomaliai, sudarantys daugianarį, vadinami daugianario nariais.
• Dvejetainis yra daugianaris, susidedantis iš dviejų dėmenų (monomalių).
• Trinaris yra daugianario, susidedančio iš trijų narių (monomių).
• Polinomo laipsnis yra aukščiausias iš jį sudarančių mononomų laipsnių.
• Standartinės formos daugianario nėra panašių terminų ir jis rašomas jo terminų laipsnių mažėjimo tvarka.

• Norėdami padauginti vienanarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną daugianario narį iš šio monomio ir pridėti gautus sandaugus.
• Dauginamo vaizdavimas kaip dviejų ar daugiau daugianario sandauga vadinamas daugianario faktoringu.
• Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų yra paprasčiausias daugianario faktoriaus būdas.
• Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario ir parašyti gautus sandaugus kaip vienanarių sumą. Jei reikia, pridėkite panašių terminų.

• (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Dviejų išraiškų sumos kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratui ir dvigubai pirmosios išraiškos sandaugai ir antrosios bei antrosios išraiškos kvadratui.
• (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratui, atėmus du kartus pirmosios išraiškos sandaugą ir antrąją plius antrosios išraiškos kvadratą.
• a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Dviejų išraiškų kvadratų skirtumas yra lygus pačių posakių ir jų sumos skirtumo sandaugai.
• (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Dviejų išraiškų sumos kubas yra lygus pirmosios išraiškos kubui, plius pirmosios išraiškos kvadrato sandauga ir antrosios išraiškos kvadrato sandauga ir antrosios išraiškos kvadrato sandauga ir antrosios išraiškos kubo sandauga.
• (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3Dviejų išraiškų skirtumo kubas yra lygus pirmosios išraiškos kubui, atėmus tris kartus pirmosios išraiškos kvadrato sandaugą, o antrosios ir plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugą ir antrosios išraiškos kvadratą, atėmus antrosios išraiškos kubą.
• a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Dviejų išraiškų kubų suma yra lygus pačių reiškinių sumos ir nepilnojo jų skirtumo kvadrato sandaugai.
• a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Dviejų išraiškų kubelių skirtumas yra lygus pačių reiškinių skirtumo ir jų sumos dalinio kvadrato sandaugai.
• (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Trijų išraiškų sumos kvadratas yra lygus šių reiškinių kvadratų sumai ir visų galimų pačių išraiškų padvigubintoms poroms sandaugai.
• Nuoroda. Puikus dviejų išraiškų sumos kvadratas: a 2 + 2ab + b 2

Dalinis dviejų išraiškų sumos kvadratas: a 2 + ab + b 2

Formos funkcija y=x2 vadinama kvadratine funkcija. Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra pradžioje. Parabolės šakos y=x² nukreiptas į viršų.

Formos funkcija y = x 3 vadinama kubine funkcija. Kubinės funkcijos grafikas yra kubinė parabolė, einanti per pradžią. Kubinės parabolės šakos y=x³ yra 1 ir 3 kvartaluose.

Netgi funkcija.

Funkcija f vadinamas net jei kartu su kiekviena kintamojo reikšme X -X f(- x)= f(x). Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinačių ašiai (Oy). Funkcija y=x 2 yra lyginė.

Keista funkcija.

Funkcija f vadinamas nelyginiu, jei kartu su kiekviena kintamojo reikšme X iš funkcijos reikšmės srities ( -X) taip pat įtrauktas į šios funkcijos apimtį ir tenkinama lygybė: f(- x)=- f(x) . Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei. Funkcija y=x 3 yra nelyginė.

Kvadratinė lygtis.

Apibrėžimas. Formos lygtis ax 2 +bx+c=0, Kur a, b Ir c– bet kokie realieji skaičiai ir a≠0, x– kintamasis, vadinamas kvadratine lygtimi.

a– pirmasis koeficientas, b– antrasis koeficientas, c- laisvas narys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.

• kirvis 2 =0 – Nebaigtas kvadratinė lygtis (b = 0, c = 0 ). Sprendimas: x=0. Atsakymas: 0.
• ax 2 +bx=0 –Nebaigtas kvadratinė lygtis (c = 0 ). Sprendimas: x (ax+b)=0 → x 1 =0 arba ax+b=0 → x 2 =-b/a. Atsakymas: 0; -b/a.
• ax 2 +c=0 –Nebaigtas kvadratinė lygtis (b = 0 ); Sprendimas: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Jeigu (-c/a)<0 , tada nėra tikrų šaknų. Jeigu (-с/а)>0

• ax 2 +bx+c=0- kvadratinė lygtis bendras vaizdas

Diskriminuojantis D=b 2 - 4ac.

Jeigu D>0, tada turime dvi tikras šaknis:

Jeigu D=0, tada turime vieną šaknį (arba dvi lygias šaknis) x=-b/(2a).

Jeigu D<0, то действительных корней нет.

• ax 2 +bx+c=0 – kvadratinė lygtis privati ​​forma net sekundei

Koeficientas b

• ax 2 +bx+c=0 – kvadratinė lygtis numatytas privatus tipas : a-b+c=0.

Pirmoji šaknis visada lygi minus vienam, o antroji šaknis visada lygi minusui Su, padalytą A:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

• ax 2 +bx+c=0 – kvadratinė lygtis numatytas privatus tipas: a+b+c=0 .

Pirmoji šaknis visada lygi vienetui, o antroji – lygi Su, padalytą A:

x 1 = 1, x 2 = c/a.

Duotų kvadratinių lygčių sprendimas.

• x 2 +px+q=0 – redukuota kvadratinė lygtis (pirmasis koeficientas lygus vienetui).

Sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 2 +px+q=0 yra lygus antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1) (x-x 2), Kur x 1, x 2- kvadratinės lygties šaknys ax 2 +bx+c=0.

Natūralaus argumento funkcija vadinama skaičių seka, o seką sudarantys skaičiai – sekos nariais.

Skaitmeninė seka gali būti nurodyta šiais būdais: žodiniu, analitiniu, pasikartojančiu, grafiniu.

Skaitinė seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, pridėtam prie to paties skaičiaus tam tikrai sekai d, vadinamas aritmetine progresija. Skaičius d vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu. Aritmetine progresija (a n), t. y. aritmetinėje progresijoje su terminais: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, a n, ... pagal apibrėžimą: a 2 =a 1 + d; a 3 =a 2 + d; a 4 =a 3 + d; a 5 =a 4 + d; ...; a n =a n-1 + d; …

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė.

a n =a 1 + (n-1) d.

Aritmetinės progresijos savybės.

• Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui:

a n =(a n-1 +a n+1):2;

• Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus vienodai nuo jo nutolusių terminų aritmetiniam vidurkiui:

a n =(a n-k +a n+k):2.

Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių sumos formulės.

1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2

Geometrinė progresija.

Geometrinės progresijos apibrėžimas.

Skaitinė seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padauginta iš to paties skaičiaus tam tikrai sekai q, vadinamas geometrine progresija. Skaičius q vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Geometrinėje progresijoje (b n), ty geometrine progresija b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., b n, ... pagal apibrėžimą: b 2 = b 1 ∙q; b3 =b2∙q; b4 =b3∙q; ... ; b n =b n -1 ∙q.

Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė.

b n =b 1 ∙q n -1 .

Geometrinės progresijos savybės.

Pirmojo sumos formulėn geometrinės progresijos narių.

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma.

Begalinis periodinis dešimtainis skaičius lygus bendrajai trupmenai, kurio skaitiklyje yra skirtumas tarp viso skaičiaus po kablelio ir skaičiaus po kablelio prieš trupmenos tašką, o vardiklis susideda iš „devynių“ ir „nulių“, o yra tiek pat „ devynetai“, kiek taške yra skaitmenų, ir tiek „nulių“, kiek yra skaitmenų po kablelio prieš trupmenos tašką. Pavyzdys:

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas.

(α+β=90°)

Turime: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ = ctgα; ctgβ=tgα. Kadangi β=90°-α, tai

sin(90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sinα;

tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.

Kampų, papildančių vienas kitą iki 90°, kofunkcijos yra lygios.

Sudėjimo formulės.

9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;

10) sin (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;

11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;

12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;

Dvigubo ir trigubo argumentų formulės.

17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;

19) 1+cos2α=2cos 2α; 20) 1-cos2α=2sin 2α

21) sin3α=3sinα-4sin 3α; 22) cos3α=4cos 3α-3cosα;

Sumos (skirtumo) pavertimo sandauga formulės.

Produkto pavertimo suma (skirtumu) formulės.

Pusiau argumentų formulės.

Bet kurio kampo sinusas ir kosinusas.

Trigonometrinių funkcijų lygumas (keistumas).

Iš trigonometrinių funkcijų tik viena yra lyginė: y=cosx, kitos trys nelyginės, t.y. cos (-α)=cosα;

sin (-α)=-sinα; tg (-α)=-tgα; ctg (-α)=-ctgα.

Trigonometrinių funkcijų ženklai koordinačių ketvirčiais.

Kai kurių kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės.

Radianai.

1) 1 radianas yra centrinio kampo vertė, pagrįsta lanku, kurio ilgis lygus nurodyto apskritimo spinduliui. 1 rad≈57°.

2) Kampo laipsnio matavimo konvertavimas į radianinį matą.

3) Radiano kampo matas konvertuojamas į laipsnio matą.

Sumažinimo formulės.

Mnemoninė taisyklė:

1. Prieš sumažintą funkciją uždėkite sumažinimo ženklą.

2. Jei argumentas π/2 (90°) parašytas nelyginį skaičių kartų, tai funkcija pakeičiama į kofunkciją.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos.

Skaičiaus arcsinusas (arcsin a) yra kampas nuo intervalo [-π/2; π/2 ], kurio sinusas lygus a.

arcsin(- a)=- arcsina.

Skaičiaus arkosinusas (arccos a) yra kampas nuo intervalo, kurio kosinusas lygus a.

arccos(-a)=π – arccosa.

Skaičiaus a arktangentas (arctg a) yra kampas iš intervalo (-π/2; π/2), kurio liestinė lygi a.

arctg(- a)=- arctga.

Skaičiaus arkotangentas (arcctg a) yra kampas iš intervalo (0; π), kurio kotangentas yra lygus a.

arcctg(-a)=π – arcctg a.

Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas.

Bendrosios formulės.

1) sin t = a, 0

2) sin t = - a, 0

3) cos t=a, 0

4) cos t =-a, 0

5) tg t =a, a>0, tada t=arctg a + πn, nϵZ;

6) tg t =-a, a>0, tada t= - arctg a + πn, nϵZ;

7) ctg t=a, a>0, tada t=arcctg a + πn, nϵZ;

8) ctg t= -a, a>0, tada t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

Ypatingos formulės.

1) sin t =0, tada t=πn, nϵZ;

2) sin t=1, tada t= π/2 +2πn, nϵZ;

3) sin t= -1, tada t= — π/2 +2πn, nϵZ;

4) cos t=0, tada t= π/2+ πn, nϵZ;

5) cos t=1, tada t=2πn, nϵZ;

6) cos t=1, tada t=π +2πn, nϵZ;

7) tg t =0, tada t = πn, nϵZ;

8) cot t=0, tada t = π/2+πn, nϵZ.

Paprastų trigonometrinių nelygybių sprendimas.

1) nuodėmė

2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn

3) kaina

4) savikaina>a (|a|<1), -arccosa+2πn

5) tgt

6) tgt>a, arctga+πn

7) ctgt

8) ctgt>a, πn

Tiesiai lėktuve.