மடக்கைகளின் பண்புகள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். விரிவான வழிகாட்டி (2019). மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள் 8 மடக்கைகள் அவற்றின் பண்புகள்

சமூகம் வளர்ச்சியடைந்து உற்பத்தி சிக்கலானதாக மாறியதால், கணிதமும் வளர்ந்தது. எளிமையானது முதல் சிக்கலானது வரை இயக்கம். கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி சாதாரண கணக்கியலில் இருந்து, மீண்டும் மீண்டும் மீண்டும் செய்வதன் மூலம், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் என்ற கருத்துக்கு வந்தோம். பெருக்கத்தின் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டைக் குறைப்பது அதிவேகத்தின் கருத்தாக மாறியது. எண்களின் அடிப்படை மற்றும் அதிவேக எண்ணிக்கையின் முதல் அட்டவணைகள் 8 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்திய கணிதவியலாளர் வரசேனாவால் தொகுக்கப்பட்டது. அவற்றிலிருந்து நீங்கள் மடக்கைகள் ஏற்படும் நேரத்தை எண்ணலாம்.

வரலாற்று ஓவியம்

16 ஆம் நூற்றாண்டில் ஐரோப்பாவின் மறுமலர்ச்சியும் இயக்கவியலின் வளர்ச்சியைத் தூண்டியது. டி ஒரு பெரிய அளவு கணக்கீடு தேவைபல இலக்க எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் தொடர்பானது. பழங்கால அட்டவணைகள் சிறந்த சேவையாக இருந்தன. சிக்கலான செயல்பாடுகளை எளிமையானவற்றுடன் மாற்றுவதை அவர்கள் சாத்தியமாக்கினர் - கூட்டல் மற்றும் கழித்தல். 1544 இல் வெளியிடப்பட்ட கணிதவியலாளர் மைக்கேல் ஸ்டீஃபலின் பணி ஒரு பெரிய படியாகும், அதில் அவர் பல கணிதவியலாளர்களின் யோசனையை உணர்ந்தார். இது பகா எண்களின் வடிவில் உள்ள சக்திகளுக்கு மட்டுமல்ல, தன்னிச்சையான பகுத்தறிவுகளுக்கும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துவதை சாத்தியமாக்கியது.

1614 ஆம் ஆண்டில், ஸ்காட்ஸ்மேன் ஜான் நேப்பியர், இந்த யோசனைகளை உருவாக்கி, "ஒரு எண்ணின் மடக்கை" என்ற புதிய வார்த்தையை முதலில் அறிமுகப்படுத்தினார். சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் மடக்கைகள் மற்றும் தொடுகோடுகளைக் கணக்கிட புதிய சிக்கலான அட்டவணைகள் தொகுக்கப்பட்டன. இது வானியலாளர்களின் பணியை வெகுவாகக் குறைத்தது.

புதிய அட்டவணைகள் தோன்றத் தொடங்கின, அவை மூன்று நூற்றாண்டுகளாக விஞ்ஞானிகளால் வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்தப்பட்டன. இயற்கணிதத்தில் புதிய செயல்பாடு அதன் முடிக்கப்பட்ட வடிவத்தைப் பெறுவதற்கு முன்பு நிறைய நேரம் கடந்துவிட்டது. மடக்கையின் வரையறை கொடுக்கப்பட்டது மற்றும் அதன் பண்புகள் ஆய்வு செய்யப்பட்டது.

20 ஆம் நூற்றாண்டில், கால்குலேட்டர் மற்றும் கணினியின் வருகையுடன், 13 ஆம் நூற்றாண்டு முழுவதும் வெற்றிகரமாக வேலை செய்த பண்டைய அட்டவணைகளை மனிதகுலம் கைவிட்டது.

இன்று நாம் b இன் மடக்கையை a x என்ற எண்ணை அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளோம், இது b ஐ உருவாக்கும் சக்தியாகும். இது ஒரு சூத்திரமாக எழுதப்பட்டுள்ளது: x = log a(b).

எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 3(9) 2 க்கு சமமாக இருக்கும். நீங்கள் வரையறையைப் பின்பற்றினால் இது தெளிவாகத் தெரியும். நாம் 3 ஐ 2 இன் சக்திக்கு உயர்த்தினால், நமக்கு 9 கிடைக்கும்.

எனவே, வடிவமைக்கப்பட்ட வரையறை ஒரே ஒரு வரம்பை அமைக்கிறது: எண்கள் a மற்றும் b உண்மையானதாக இருக்க வேண்டும்.

மடக்கைகளின் வகைகள்

உன்னதமான வரையறை உண்மையான மடக்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் உண்மையில் சமன்பாட்டின் தீர்வு a x = b. விருப்பம் a = 1 என்பது எல்லைக்கோடு மற்றும் ஆர்வம் இல்லை. கவனம்: எந்த சக்திக்கும் 1 என்பது 1க்கு சமம்.

மடக்கையின் உண்மையான மதிப்புஅடிப்படை மற்றும் வாதம் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் அடிப்படை 1 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது.

கணிதத் துறையில் தனி இடம்மடக்கைகளை இயக்கவும், அவை அவற்றின் தளத்தின் அளவைப் பொறுத்து பெயரிடப்படும்:

விதிகள் மற்றும் கட்டுப்பாடுகள்

மடக்கைகளின் அடிப்படைப் பண்பு விதி: ஒரு பொருளின் மடக்கை மடக்கைத் தொகைக்கு சமம். பதிவு abp = பதிவு a(b) + log a(p).

இந்த அறிக்கையின் மாறுபாடாக இருக்கும்: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), quotient செயல்பாடு செயல்பாடுகளின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

முந்தைய இரண்டு விதிகளிலிருந்து இதைப் பார்ப்பது எளிது: log a(b p) = p * log a(b).

மற்ற பண்புகள் அடங்கும்:

கருத்து. பொதுவான தவறைச் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை - ஒரு தொகையின் மடக்கை மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்காது.

பல நூற்றாண்டுகளாக, மடக்கைக் கண்டறிதல் என்பது நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் பணியாக இருந்தது. கணிதவியலாளர்கள் பல்லுறுப்புக்கோவை விரிவாக்கத்தின் மடக்கைக் கோட்பாட்டின் நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினர்:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), இங்கு n என்பது 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண்ணாகும், இது கணக்கீட்டின் துல்லியத்தை தீர்மானிக்கிறது.

மற்ற தளங்களுடனான மடக்கைகள் ஒரு தளத்திலிருந்து மற்றொரு தளத்திற்கு மாறுவது மற்றும் தயாரிப்பின் மடக்கையின் பண்பு பற்றிய தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்டன.

இந்த முறை மிகவும் உழைப்பு-தீவிரமானது மற்றும் நடைமுறை சிக்கல்களை தீர்க்கும் போதுசெயல்படுத்த கடினமாக உள்ளது, நாங்கள் மடக்கைகளின் முன் தொகுக்கப்பட்ட அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தினோம், இது அனைத்து வேலைகளையும் கணிசமாக துரிதப்படுத்தியது.

சில சந்தர்ப்பங்களில், மடக்கைகளின் சிறப்பாக தொகுக்கப்பட்ட வரைபடங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன, இது குறைவான துல்லியத்தை அளித்தது, ஆனால் விரும்பிய மதிப்பிற்கான தேடலை கணிசமாக துரிதப்படுத்தியது. y = log a(x) செயல்பாட்டின் வளைவு, பல புள்ளிகளில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, வேறு எந்த புள்ளியிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிய வழக்கமான ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்த உங்களை அனுமதிக்கிறது. நீண்ட காலமாக, பொறியாளர்கள் இந்த நோக்கங்களுக்காக வரைபட காகிதம் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்தினர்.

17 ஆம் நூற்றாண்டில், முதல் துணை அனலாக் கம்ப்யூட்டிங் நிலைமைகள் தோன்றின, இது 19 ஆம் நூற்றாண்டில் ஒரு முழுமையான வடிவத்தைப் பெற்றது. மிகவும் வெற்றிகரமான சாதனம் ஸ்லைடு விதி என்று அழைக்கப்பட்டது. சாதனத்தின் எளிமை இருந்தபோதிலும், அதன் தோற்றம் அனைத்து பொறியியல் கணக்கீடுகளின் செயல்முறையையும் கணிசமாக துரிதப்படுத்தியது, மேலும் இது மிகைப்படுத்துவது கடினம். தற்போது, ​​சிலருக்கு இந்த சாதனம் தெரிந்திருக்கிறது.

கால்குலேட்டர்கள் மற்றும் கம்ப்யூட்டர்களின் வருகையால் வேறு எந்த சாதனங்களையும் பயன்படுத்துவதில் அர்த்தமில்லை.

சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

மடக்கைகளைப் பயன்படுத்தி பல்வேறு சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க, பின்வரும் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

• ஒரு தளத்திலிருந்து மற்றொன்றுக்கு நகரும்: பதிவு a(b) = log c(b) / log c(a);
• முந்தைய விருப்பத்தின் விளைவாக: log a(b) = 1 / log b(a).

ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க, தெரிந்து கொள்வது பயனுள்ளது:

• தளம் மற்றும் வாதம் இரண்டும் ஒன்றுக்கு அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருந்தால் மட்டுமே மடக்கையின் மதிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும்; குறைந்தபட்சம் ஒரு நிபந்தனையை மீறினால், மடக்கை மதிப்பு எதிர்மறையாக இருக்கும்.
• மடக்கை செயல்பாடு ஒரு சமத்துவமின்மையின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களில் பயன்படுத்தப்பட்டால், மற்றும் மடக்கையின் அடிப்பகுதி ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் பாதுகாக்கப்படுகிறது; இல்லையெனில் அது மாறுகிறது.

மாதிரி சிக்கல்கள்

மடக்கைகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான பல விருப்பங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம். சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

மடக்கையை ஒரு சக்தியில் வைப்பதற்கான விருப்பத்தைக் கவனியுங்கள்:

• சிக்கல் 3. 25^log 5(3)ஐக் கணக்கிடுக. தீர்வு: சிக்கலின் நிலைமைகளில், உள்ளீடு பின்வரும் (5^2)^log5(3) அல்லது 5^(2 * log 5(3)) போன்றது. அதை வேறு விதமாக எழுதலாம்: 5^log 5(3*2), அல்லது ஒரு சார்பு வாதமாக ஒரு எண்ணின் வர்க்கத்தை செயல்பாட்டின் வர்க்கமாக எழுதலாம் (5^log 5(3))^2. மடக்கைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, இந்த வெளிப்பாடு 3^2 க்கு சமம். பதில்: கணக்கீட்டின் விளைவாக நாம் 9 ஐப் பெறுகிறோம்.

நடைமுறை பயன்பாடு

முற்றிலும் கணிதக் கருவியாக இருப்பதால், நிஜ உலகில் உள்ள பொருட்களை விவரிப்பதற்கு மடக்கை திடீரென்று பெரும் முக்கியத்துவத்தைப் பெற்றது என்பது நிஜ வாழ்க்கையிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. பயன்படுத்தப்படாத அறிவியலைக் கண்டுபிடிப்பது கடினம். இது இயற்கைக்கு மட்டுமல்ல, மனிதாபிமான அறிவுத் துறைகளுக்கும் முழுமையாகப் பொருந்தும்.

மடக்கை சார்புகள்

எண் சார்புகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

இயக்கவியல் மற்றும் இயற்பியல்

வரலாற்று ரீதியாக, இயக்கவியல் மற்றும் இயற்பியல் எப்போதும் கணித ஆராய்ச்சி முறைகளைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்பட்டன, அதே நேரத்தில் மடக்கைகள் உட்பட கணிதத்தின் வளர்ச்சிக்கு ஊக்கமளிக்கும். இயற்பியலின் பெரும்பாலான விதிகளின் கோட்பாடு கணிதத்தின் மொழியில் எழுதப்பட்டுள்ளது. மடக்கையைப் பயன்படுத்தி இயற்பியல் விதிகளை விவரிக்கும் இரண்டு உதாரணங்களை மட்டும் தருவோம்.

ராக்கெட்டின் வேகம் போன்ற சிக்கலான அளவைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலை, சியோல்கோவ்ஸ்கி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும், இது விண்வெளி ஆய்வுக் கோட்பாட்டிற்கு அடித்தளம் அமைத்தது:

V = I * ln (M1/M2), எங்கே

• V என்பது விமானத்தின் இறுதி வேகம்.
• நான் - இயந்திரத்தின் குறிப்பிட்ட தூண்டுதல்.
• எம் 1 - ராக்கெட்டின் ஆரம்ப நிறை.
• எம் 2 - இறுதி நிறை.

மற்றொரு முக்கியமான உதாரணம்- இது மற்றொரு சிறந்த விஞ்ஞானியான மேக்ஸ் பிளாங்கின் சூத்திரத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வெப்ப இயக்கவியலில் சமநிலை நிலையை மதிப்பிட உதவுகிறது.

S = k * ln (Ω), எங்கே

• எஸ் - வெப்ப இயக்கவியல் பண்பு.
• கே - போல்ட்ஸ்மேன் மாறிலி.
• Ω என்பது வெவ்வேறு மாநிலங்களின் புள்ளிவிவர எடை.

வேதியியல்

மடக்கைகளின் விகிதத்தைக் கொண்ட வேதியியலில் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது குறைவான வெளிப்படையானது. இரண்டு உதாரணங்களை மட்டும் தருவோம்:

• நெர்ன்ஸ்ட் சமன்பாடு, பொருட்களின் செயல்பாடு மற்றும் சமநிலை மாறிலி ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய ஊடகத்தின் ரெடாக்ஸ் திறனின் நிலை.
• ஆட்டோலிசிஸ் இன்டெக்ஸ் மற்றும் கரைசலின் அமிலத்தன்மை போன்ற மாறிலிகளின் கணக்கீடும் நமது செயல்பாடு இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

உளவியல் மற்றும் உயிரியல்

மேலும் உளவியலுக்கும் இதற்கும் என்ன சம்பந்தம் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. இந்தச் செயல்பாட்டின் மூலம் உணர்வின் வலிமையானது தூண்டுதலின் தீவிர மதிப்பின் தலைகீழ் விகிதமாக குறைந்த தீவிர மதிப்புக்கு நன்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ளது.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பிறகு, மடக்கைகளின் தலைப்பு உயிரியலில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதில் ஆச்சரியமில்லை. மடக்கைச் சுழல்களுடன் தொடர்புடைய உயிரியல் வடிவங்களைப் பற்றி முழு தொகுதிகளும் எழுதப்படலாம்.

மற்ற பகுதிகள்

இந்த செயல்பாட்டுடன் தொடர்பு இல்லாமல் உலகின் இருப்பு சாத்தியமற்றது என்று தோன்றுகிறது, மேலும் அது அனைத்து சட்டங்களையும் கட்டுப்படுத்துகிறது. குறிப்பாக இயற்கையின் விதிகள் வடிவியல் முன்னேற்றத்துடன் தொடர்புடையதாக இருக்கும் போது. MatProfi வலைத்தளத்திற்குத் திரும்புவது மதிப்புக்குரியது, மேலும் பின்வரும் செயல்பாடுகளில் இதுபோன்ற பல எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன:

பட்டியல் முடிவற்றதாக இருக்கலாம். இந்த செயல்பாட்டின் அடிப்படைக் கொள்கைகளில் தேர்ச்சி பெற்ற பிறகு, நீங்கள் எல்லையற்ற ஞானத்தின் உலகில் மூழ்கலாம்.

ஆரம்பிப்போம் ஒன்றின் மடக்கையின் பண்புகள். அதன் உருவாக்கம் பின்வருமாறு: ஒற்றுமையின் மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது, பதிவு a 1=0ஏதேனும் a>0, a≠1. ஆதாரம் கடினமானது அல்ல: மேலே உள்ள நிபந்தனைகள் a>0 மற்றும் a≠1 ஆகியவற்றிற்கு 0 =1 திருப்திகரமாக இருப்பதால், சமத்துவப் பதிவு a 1=0 என்பது மடக்கையின் வரையறையிலிருந்து உடனடியாகப் பின்பற்றப்படுகிறது.

கருதப்படும் சொத்தின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம்: பதிவு 3 1=0, log1=0 மற்றும் .

அடுத்த சொத்துக்கு செல்லலாம்: அடிப்படைக்கு சமமான எண்ணின் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம், அது, பதிவு a = 1 a>0, a≠1க்கு. உண்மையில், எந்த a க்கும் 1 =a என்பதால், மடக்கையின் வரையறையின்படி a=1.

மடக்கைகளின் இந்த பண்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் சமத்துவ பதிவு 5 5=1, பதிவு 5.6 5.6 மற்றும் lne=1.

எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 மற்றும் .

இரண்டு நேர்மறை எண்களின் பெருக்கத்தின் மடக்கை x மற்றும் y இந்த எண்களின் மடக்கைகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . ஒரு பொருளின் மடக்கையின் சொத்தை நிரூபிப்போம். பட்டத்தின் பண்புகள் காரணமாக a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, மற்றும் முக்கிய மடக்கை அடையாளத்தின் மூலம் ஒரு பதிவு a x =x மற்றும் ஒரு log a y =y, பின்னர் ஒரு log a x ·a log a y =x·y. இவ்வாறு, ஒரு பதிவு a x+log a y =x·y, இதில் இருந்து, மடக்கையின் வரையறையின்படி, சமத்துவம் பின்வருமாறு நிரூபிக்கப்படுகிறது.

ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்போம்: பதிவு 5 (2 3)=பதிவு 5 2+பதிவு 5 3 மற்றும் .

ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்பு நேர்மறை எண்கள் x 1 , x 2 , ..., x n என வரையறுக்கப்பட்ட எண் n இன் பெருக்கத்திற்கு பொதுமைப்படுத்தப்படலாம் பதிவு a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . இந்த சமத்துவத்தை பிரச்சனைகள் இல்லாமல் நிரூபிக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டாக, உற்பத்தியின் இயற்கை மடக்கை 4, e மற்றும் எண்களின் மூன்று இயற்கை மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையால் மாற்றப்படலாம்.

இரண்டு நேர்மறை எண்களின் கோட்பாட்டின் மடக்கை x மற்றும் y இந்த எண்களின் மடக்கைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம். ஒரு கோட்பாட்டின் மடக்கையின் பண்பு, படிவத்தின் சூத்திரத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது, இதில் a>0, a≠1, x மற்றும் y ஆகியவை சில நேர்மறை எண்களாகும். இந்த சூத்திரத்தின் செல்லுபடியாகும் தன்மையும், ஒரு தயாரிப்பின் மடக்கைக்கான சூத்திரமும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது: முதல் , பின்னர் ஒரு மடக்கையின் வரையறையின்படி.

மடக்கையின் இந்த பண்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு இங்கே: .

நாம் செல்லலாம் சக்தியின் மடக்கையின் சொத்து. ஒரு பட்டத்தின் மடக்கையானது அடுக்கு மற்றும் இந்த பட்டத்தின் அடிப்பகுதியின் மாடுலஸின் மடக்கையின் பெருக்கத்திற்கு சமம். ஒரு சக்தியின் மடக்கையின் இந்த பண்பை ஒரு சூத்திரமாக எழுதுவோம்: log a b p =p·log a |b|, இதில் a>0, a≠1, b மற்றும் p ஆகியவை எண்களாகும், அதாவது பட்டம் b p மற்றும் b p >0.

முதலில் இந்த சொத்தை நேர்மறை b க்கு நிரூபிக்கிறோம். அடிப்படை மடக்கை அடையாளமானது, ஒரு log a b என்ற எண்ணைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த அனுமதிக்கிறது, பின்னர் b p =(a log a b) p , மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடு, சக்தியின் பண்பு காரணமாக, p·log a b க்கு சமம். எனவே நாம் சமத்துவத்திற்கு வருகிறோம் b p =a p·log a b, இதிலிருந்து, ஒரு மடக்கையின் வரையறையின்படி, log a b p =p·log a b என்று முடிவு செய்கிறோம்.

இந்த சொத்தை நெகடிவ் பிக்கு நிரூபிக்க வேண்டும். எதிர்மறையான bக்கான log a b p என்ற வெளிப்பாடு, p என்ற அடுக்குகளுக்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை இங்கே நாம் கவனிக்கிறோம் (பட்டம் b p இன் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், இல்லையெனில் மடக்கைக்கு அர்த்தம் இருக்காது), மேலும் இந்த வழக்கில் b p =|b| ப. பிறகு b p =|b| p =(ஒரு பதிவு a |b|) p =a p·log a |b|, எங்கிருந்து log a b p =p·log a |b| .

உதாரணத்திற்கு, மற்றும் ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

இது முந்தைய சொத்திலிருந்து பின்வருமாறு மூலத்திலிருந்து மடக்கையின் பண்பு: n வது மூலத்தின் மடக்கையானது, தீவிர வெளிப்பாட்டின் மடக்கையால் 1/n பின்னத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அதாவது, , இங்கு a>0, a≠1, n என்பது ஒன்றை விட அதிகமான இயற்கை எண், b>0.

ஆதாரம் சமத்துவத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது (பார்க்க), இது எந்த நேர்மறை b க்கும் செல்லுபடியாகும், மற்றும் சக்தியின் மடக்கையின் பண்பு: .

இந்த சொத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு இங்கே: .

இப்போது நிரூபிப்போம் புதிய மடக்கை தளத்திற்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரம்கருணை . இதைச் செய்ய, சமத்துவப் பதிவேடு c b=log a b·log c a இன் செல்லுபடியை நிரூபிக்க போதுமானது. அடிப்படை மடக்கை அடையாளம், b எண்ணை ஒரு log a b ஆகக் குறிப்பிட அனுமதிக்கிறது, பின்னர் log c b=log c a log a b . பட்டத்தின் மடக்கையின் சொத்தைப் பயன்படுத்த இது உள்ளது: log c a log a b =log a b log c a. இது சமத்துவ பதிவு c b=log a b·log c a ஐ நிரூபிக்கிறது, அதாவது மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரமும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

மடக்கைகளின் இந்த பண்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்பிப்போம்: மற்றும் .

புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரம், "வசதியான" தளத்தைக் கொண்ட மடக்கைகளுடன் பணிபுரிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கை அல்லது தசம மடக்கைகளுக்குச் செல்ல இதைப் பயன்படுத்தலாம், இதன் மூலம் மடக்கைகளின் அட்டவணையில் இருந்து மடக்கையின் மதிப்பைக் கணக்கிடலாம். ஒரு புதிய மடக்கை தளத்திற்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரம், சில சமயங்களில், மற்ற தளங்களுடனான சில மடக்கைகளின் மதிப்புகள் அறியப்படும் போது கொடுக்கப்பட்ட மடக்கையின் மதிப்பைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

படிவத்தின் c=bக்கான புதிய மடக்கை தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தின் சிறப்பு வழக்கு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. . இது log a b மற்றும் log b a – என்று காட்டுகிறது. எ.கா. .

சூத்திரமும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது , மடக்கை மதிப்புகளைக் கண்டறிய இது வசதியானது. எங்கள் வார்த்தைகளை உறுதிப்படுத்த, படிவத்தின் மடக்கையின் மதிப்பைக் கணக்கிட அதை எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம் என்பதைக் காண்பிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது . சூத்திரத்தை நிரூபிக்க மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் போதும் a: .

மடக்கைகளின் ஒப்பீட்டு பண்புகளை நிரூபிக்க இது உள்ளது.

எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் b 1 மற்றும் b 2, b 1 என்பதை நிரூபிப்போம் log a b 2 , மற்றும் a>1 க்கு – சமத்துவமின்மை பதிவு a b 1

இறுதியாக, மடக்கைகளின் பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகளில் கடைசியாக நிரூபிக்க இது உள்ளது. அதன் முதல் பகுதியின் ஆதாரத்திற்கு நம்மை மட்டுப்படுத்துவோம், அதாவது, 1 >1, 2 >1 மற்றும் 1 என நிரூபிப்போம். 1 உண்மை பதிவு a 1 ​​b>log a 2 b . மடக்கைகளின் இந்த சொத்தின் மீதமுள்ள அறிக்கைகள் இதேபோன்ற கொள்கையின்படி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன.

எதிர் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். ஒரு 1 >1, a 2 >1 மற்றும் a 1 என்று வைத்துக்கொள்வோம் 1 உண்மை பதிவு a 1 ​​b≤log a 2 b . மடக்கைகளின் பண்புகளின் அடிப்படையில், இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம் மற்றும் முறையே, அவற்றிலிருந்து முறையே log b a 1 ≤log b a 2 மற்றும் log b a 1 ≥log b a 2 எனப் பின்தொடர்கிறது. பின்னர், அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளின் பண்புகளின்படி, சமத்துவங்கள் b log b a 1 ≥b log b a 2 மற்றும் b log b a 1 ≥b log b a 2 ஆகியவற்றை வைத்திருக்க வேண்டும், அதாவது a 1 ​​≥a 2 . எனவே நாங்கள் நிபந்தனை a 1 க்கு முரண்பட்டோம்

நூல் பட்டியல்.

• கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டட்னிட்சின் யூ.பி. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10 - 11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்.
• குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு).

ஒரு எண்ணின் மடக்கை என் அடிப்படையில் ஏ அடுக்கு எனப்படும் எக்ஸ் , நீங்கள் உருவாக்க வேண்டும் ஏ எண் பெற என்

என்று வழங்கினர்
,
,

மடக்கையின் வரையறையிலிருந்து அது பின்வருமாறு
, அதாவது
- இந்த சமத்துவம் அடிப்படை மடக்கை அடையாளமாகும்.

அடிப்படை 10-க்கான மடக்கைகள் தசம மடக்கைகள் எனப்படும். அதற்கு பதிலாக
எழுது
.

தளத்திற்கு மடக்கைகள் இ அவை இயற்கை என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் நியமிக்கப்பட்டன
.

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்.

ஒன்றின் மடக்கை எந்த அடிப்படைக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

உற்பத்தியின் மடக்கையானது காரணிகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

3) மடக்கையின் மடக்கையானது மடக்கைகளின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்

காரணி
மடக்கையிலிருந்து அடித்தளத்திற்கு மாறுவதற்கான மாடுலஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது அ அடிவாரத்தில் மடக்கைகளுக்கு பி .

2-5 பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, மடக்கைகளில் எளிய எண்கணித செயல்பாடுகளின் விளைவாக சிக்கலான வெளிப்பாட்டின் மடக்கைக் குறைப்பது பெரும்பாலும் சாத்தியமாகும்.

உதாரணத்திற்கு,

மடக்கையின் இத்தகைய மாற்றங்கள் மடக்கைகள் எனப்படும். மடக்கைக்கு நேர்மாறான மாற்றங்கள் பொடென்சியேஷன் எனப்படும்.

அத்தியாயம் 2. உயர் கணிதத்தின் கூறுகள்.

1. வரம்புகள்

செயல்பாட்டின் வரம்பு
ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண் A என்றால், என xx 0 முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட ஒவ்வொன்றிற்கும்
, அத்தகைய எண் உள்ளது
என்று விரைவில்
, அந்த
.

வரம்பைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடு அதிலிருந்து எண்ணற்ற அளவு வேறுபடுகிறது:
, எங்கே- b.m.v., i.e.
.

உதாரணமாக. செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்
.

முயற்சி செய்யும் போது
, செயல்பாடு ஒய் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்:

1.1 வரம்புகள் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்.

நிலையான மதிப்பின் வரம்பு இந்த நிலையான மதிப்புக்கு சமம்

.

வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் வரம்பு (வேறுபாடு) இந்தச் சார்புகளின் வரம்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு (வேறுபாடு) சமம்.

வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான செயல்பாடுகளின் பெருக்கத்தின் வரம்பு இந்த செயல்பாடுகளின் வரம்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

வகுப்பின் வரம்பு பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், இரண்டு சார்புகளின் கோட்பாட்டின் வரம்பு, இந்தச் சார்புகளின் வரம்புகளின் பங்கிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

அற்புதமான வரம்புகள்

,
, எங்கே

1.2 வரம்பு கணக்கீடு எடுத்துக்காட்டுகள்

இருப்பினும், எல்லா வரம்புகளும் அவ்வளவு எளிதில் கணக்கிடப்படுவதில்லை. பெரும்பாலும், வரம்பைக் கணக்கிடுவது வகையின் நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்துகிறது: அல்லது .

.

2. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

எங்களுக்கு ஒரு செயல்பாடு இருக்கட்டும்
, பிரிவில் தொடர்கிறது
.

வாதம் சில அதிகரிப்பு கிடைத்தது
. பின்னர் செயல்பாடு ஒரு அதிகரிப்பு பெறும்
.

வாத மதிப்பு செயல்பாட்டு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது
.

வாத மதிப்பு
செயல்பாட்டு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது.

எனவே, .

இந்த விகிதத்தின் வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்
. இந்த வரம்பு இருந்தால், அது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 3 கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
வாதத்தால் வாதத்தின் அதிகரிப்பு தன்னிச்சையாக பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் போது, ​​ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கான விகிதத்தின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

; ; ; .

வரையறை 4 ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபாடு.

2.1 வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள்.

சில திடமான உடல் அல்லது பொருள் புள்ளியின் நேர்கோட்டு இயக்கத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு கட்டத்தில் விடுங்கள் நகரும் புள்ளி
தொலைவில் இருந்தது தொடக்க நிலையில் இருந்து
.

சில காலம் கழித்து
அவள் தூரம் நகர்ந்தாள்
. மனோபாவம் =- ஒரு பொருள் புள்ளியின் சராசரி வேகம்
. அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு இந்த விகிதத்தின் வரம்பை கண்டுபிடிப்போம்
.

இதன் விளைவாக, ஒரு பொருள் புள்ளியின் இயக்கத்தின் உடனடி வேகத்தை தீர்மானிப்பது நேரத்தைப் பொறுத்து பாதையின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

2.2 வழித்தோன்றலின் வடிவியல் மதிப்பு

வரைபட ரீதியாக வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைக் கொள்வோம்
.

அரிசி. 1. வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்

என்றால்
, பின்னர் புள்ளி
, புள்ளியை நெருங்கி, வளைவுடன் நகரும்
.

எனவே
, அதாவது வாதத்தின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கான வழித்தோன்றலின் மதிப்பு அச்சின் நேர் திசையுடன் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் தொடுகோணத்தால் உருவான கோணத்தின் தொடுகோடுக்கு எண்ணியல் சமம்
.

2.3 அடிப்படை வேறுபாடு சூத்திரங்களின் அட்டவணை.

சக்தி செயல்பாடு

அதிவேக செயல்பாடு

மடக்கை செயல்பாடு

முக்கோணவியல் செயல்பாடு

தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடு

2.4 வேறுபாடு விதிகள்.

வழித்தோன்றல்

செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் (வேறுபாடு) வழித்தோன்றல்

இரண்டு செயல்பாடுகளின் விளைபொருளின் வழித்தோன்றல்

இரண்டு சார்புகளின் விகுதியின் வழித்தோன்றல்

2.5 சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும்
இது வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்

மற்றும்
, எங்கே மாறி என்பது ஒரு இடைநிலை வாதம்

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இடைநிலை வாதத்தைப் பொறுத்து கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புக்கும் x ஐப் பொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றலுக்கும் சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

எடுத்துக்காட்டு 2.

3. வேறுபட்ட செயல்பாடு.

இருக்கட்டும்
, சில இடைவெளியில் வேறுபடலாம்
அதை விடு மணிக்கு இந்த செயல்பாடு ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது

,

பிறகு எழுதலாம்

(1),

எங்கே - ஒரு எண்ணற்ற அளவு,

எப்போதிலிருந்து

சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் (1) ஆல் பெருக்குதல்
எங்களிடம் உள்ளது:

எங்கே
- பி.எம்.வி. உயர் வரிசை.

அளவு
செயல்பாட்டின் வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது

.

3.1 வேறுபாட்டின் வடிவியல் மதிப்பு.

செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும்
.

படம்.2. வேறுபாட்டின் வடிவியல் பொருள்.

.

வெளிப்படையாக, செயல்பாட்டின் வேறுபாடு
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் தொடுகோட்டின் ஆர்டினேட்டின் அதிகரிப்புக்கு சமம்.

3.2 பல்வேறு ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடுகள்.

அங்கு இருந்தால்
, பிறகு
முதல் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முதல் வழித்தோன்றலின் வழித்தோன்றல் இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் எழுதப்படுகிறது
.

செயல்பாட்டின் n வது வரிசையின் வழித்தோன்றல்
(n-1)வது வரிசை வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் எழுதப்பட்டுள்ளது:

.

ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் வேறுபாடு இரண்டாவது வேறுபாடு அல்லது இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

.

.

3.3 வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி உயிரியல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது.

பணி 1. நுண்ணுயிரிகளின் காலனியின் வளர்ச்சி சட்டத்திற்கு கீழ்ப்படிகிறது என்று ஆய்வுகள் காட்டுகின்றன
, எங்கே என் நுண்ணுயிரிகளின் எண்ணிக்கை (ஆயிரங்களில்), டி - நேரம் (நாட்கள்).

b) இந்த காலகட்டத்தில் காலனியின் மக்கள் தொகை அதிகரிக்குமா அல்லது குறையுமா?

பதில். காலனியின் அளவு அதிகரிக்கும்.

பணி 2. நோய்க்கிருமி பாக்டீரியாவின் உள்ளடக்கத்தை கண்காணிக்க ஏரியில் உள்ள நீர் அவ்வப்போது சோதிக்கப்படுகிறது. மூலம் டி சோதனைக்குப் பிறகு, பாக்டீரியாவின் செறிவு விகிதத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

.

ஏரியில் பாக்டீரியாவின் குறைந்தபட்ச செறிவு எப்போது இருக்கும் மற்றும் அதில் நீந்த முடியுமா?

தீர்வு: ஒரு செயல்பாடு அதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது அதிகபட்சம் அல்லது நிமிடத்தை அடைகிறது.

,

6 நாட்களில் அதிகபட்சம் அல்லது நிமிடம் என்பதை தீர்மானிப்போம். இதைச் செய்ய, இரண்டாவது வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்வோம்.

பதில்: 6 நாட்களுக்குப் பிறகு பாக்டீரியாவின் குறைந்தபட்ச செறிவு இருக்கும்.

மடக்கைகள், எந்த எண்களைப் போலவே, எல்லா வகையிலும் சேர்க்கலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் மாற்றலாம். ஆனால் மடக்கைகள் சாதாரண எண்கள் அல்ல என்பதால், இங்கே விதிகள் உள்ளன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய பண்புகள்.

இந்த விதிகளை நீங்கள் நிச்சயமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - அவை இல்லாமல், ஒரு தீவிர மடக்கை சிக்கலையும் தீர்க்க முடியாது. கூடுதலாக, அவற்றில் மிகக் குறைவு - நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே நாளில் கற்றுக்கொள்ளலாம். எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

ஒரே தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு மடக்கைகளைக் கவனியுங்கள்: பதிவு அ எக்ஸ்மற்றும் பதிவு அ ஒய். பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், மேலும்:

1. பதிவு அ எக்ஸ்+ பதிவு அ ஒய்= பதிவு அ (எக்ஸ் · ஒய்);
2. பதிவு அ எக்ஸ்- பதிவு அ ஒய்= பதிவு அ (எக்ஸ் : ஒய்).

எனவே, மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை உற்பத்தியின் மடக்கைக்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு பகுதியின் மடக்கைக்கு சமம். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இங்கே முக்கிய புள்ளி ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள். காரணங்கள் வேறுபட்டால், இந்த விதிகள் வேலை செய்யாது!

இந்த சூத்திரங்கள் மடக்கை வெளிப்பாட்டின் தனிப்பட்ட பகுதிகள் கருதப்படாவிட்டாலும் கணக்கிட உதவும் ("மடக்கை என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள் மற்றும் பார்க்கவும்:

பதிவு 6 4 + பதிவு 6 9.

மடக்கைகள் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்டிருப்பதால், கூட்டுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
பதிவு 6 4 + பதிவு 6 9 = பதிவு 6 (4 9) = பதிவு 6 36 = 2.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 2 48 - பதிவு 2 3.

அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, நாங்கள் வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
பதிவு 2 48 - பதிவு 2 3 = பதிவு 2 (48: 3) = பதிவு 2 16 = 4.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 3 135 - பதிவு 3 5.

மீண்டும் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே எங்களிடம் உள்ளது:
பதிவு 3 135 - பதிவு 3 5 = பதிவு 3 (135: 5) = பதிவு 3 27 = 3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் வெளிப்பாடுகள் "மோசமான" மடக்கைகளால் ஆனவை, அவை தனித்தனியாக கணக்கிடப்படவில்லை. ஆனால் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் பெறப்படுகின்றன. பல சோதனைகள் இந்த உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. ஆம், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து தீவிரத்தன்மையிலும் (சில நேரங்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லாமல்) சோதனை போன்ற வெளிப்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம். மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு பின்வரும் விதிகளின்படி மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

கடைசி விதி முதல் இரண்டைப் பின்பற்றுவதைப் பார்ப்பது எளிது. ஆனால் அதை எப்படியும் நினைவில் வைத்துக் கொள்வது நல்லது - சில சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்கும்.

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: அ > 0, அ ≠ 1, எக்ஸ்> 0. மேலும் ஒரு விஷயம்: எல்லா சூத்திரங்களையும் இடமிருந்து வலமாக மட்டுமல்லாமல், நேர்மாறாகவும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள், அதாவது. மடக்கை அடையாளத்திற்கு முன் உள்ள எண்களை மடக்கையிலேயே உள்ளிடலாம். இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 7 49 6 .

முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வாதத்தின் பட்டத்தை அகற்றுவோம்:
பதிவு 7 49 6 = 6 பதிவு 7 49 = 6 2 = 12

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

வகுப்பில் ஒரு மடக்கை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அதன் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள்: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. எங்களிடம் உள்ளது:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? கடைசி நிமிடம் வரை நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம். நாங்கள் அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

இப்போது முக்கிய பகுதியைப் பார்ப்போம். எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே எண் உள்ளது: பதிவு 2 7. பதிவு 2 7 ≠ 0 என்பதால், நாம் பின்னத்தை குறைக்கலாம் - 2/4 வகுப்பில் இருக்கும். எண்கணித விதிகளின்படி, நான்கையும் எண்ணுக்கு மாற்றலாம், அதுதான் செய்யப்பட்டது. இதன் விளைவாக பதில் வந்தது: 2.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கைகளைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பற்றி பேசுகையில், அவை ஒரே அடிப்படைகளுடன் மட்டுமே செயல்படுகின்றன என்பதை நான் குறிப்பாக வலியுறுத்தினேன். காரணங்கள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? அவை ஒரே எண்ணின் சரியான சக்திகளாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது?

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் மீட்புக்கு வருகின்றன. அவற்றை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்குவோம்:

மடக்கைப் பதிவு கொடுக்கப்படட்டும் அ எக்ஸ். பிறகு எந்த எண்ணுக்கும் cஅதுபோல் c> 0 மற்றும் c≠ 1, சமத்துவம் உண்மை:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

குறிப்பாக, நாம் வைத்தால் c = எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

இரண்டாவது சூத்திரத்திலிருந்து, மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை மாற்றலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் முழு வெளிப்பாடும் "திரும்பியது", அதாவது. மடக்கை வகுப்பில் தோன்றும்.

இந்த சூத்திரங்கள் சாதாரண எண் வெளிப்பாடுகளில் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன. மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும்போது மட்டுமே அவை எவ்வளவு வசதியானவை என்பதை மதிப்பீடு செய்ய முடியும்.

இருப்பினும், ஒரு புதிய அடித்தளத்திற்குச் செல்வதைத் தவிர தீர்க்க முடியாத பிரச்சினைகள் உள்ளன. இவற்றில் ஒன்றிரண்டு பார்ப்போம்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 5 16 பதிவு 2 25.

இரண்டு மடக்கைகளின் வாதங்களும் சரியான அதிகாரங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். குறிகாட்டிகளை வெளியே எடுப்போம்: பதிவு 5 16 = பதிவு 5 2 4 = 4log 5 2; பதிவு 2 25 = பதிவு 2 5 2 = 2log 2 5;

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

காரணிகளை மறுசீரமைக்கும்போது தயாரிப்பு மாறாது என்பதால், நாங்கள் அமைதியாக நான்கு மற்றும் இரண்டைப் பெருக்கி, பின்னர் மடக்கைகளைக் கையாள்வோம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 9 100 lg 3.

முதல் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள். இதை எழுதி குறிகாட்டிகளை அகற்றுவோம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

இப்போது புதிய தளத்திற்குச் செல்வதன் மூலம் தசம மடக்கையிலிருந்து விடுபடலாம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

பெரும்பாலும் தீர்வுச் செயல்பாட்டில், கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு ஒரு எண்ணை மடக்கையாகக் குறிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரங்கள் எங்களுக்கு உதவும்:

முதல் வழக்கில், எண் nவாதத்தில் நிற்கும் பட்டத்தின் குறிகாட்டியாகிறது. எண் nமுற்றிலும் எதுவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் இது ஒரு மடக்கை மதிப்பு மட்டுமே.

இரண்டாவது சூத்திரம் உண்மையில் ஒரு பாராபிராஸ்டு வரையறை. அதுதான் அழைக்கப்படுகிறது: அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்.

உண்மையில், எண் இருந்தால் என்ன நடக்கும் பிஎண் போன்ற ஒரு சக்தியை உயர்த்த பிஇந்த சக்திக்கு எண்ணைக் கொடுக்கிறது அ? அது சரி: இதே எண்ணைப் பெறுவீர்கள் அ. இந்தப் பத்தியை மீண்டும் கவனமாகப் படியுங்கள் - பலர் அதில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள்.

ஒரு புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரங்களைப் போலவே, அடிப்படை மடக்கை அடையாளம் சில சமயங்களில் சாத்தியமான ஒரே தீர்வு.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

பதிவு 25 64 = பதிவு 5 8 - மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்திலிருந்து சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒரே அடிப்படையுடன் சக்திகளை பெருக்குவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாம் பெறுகிறோம்:

[படத்திற்கான தலைப்பு]

யாருக்காவது தெரியாவிட்டால், இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் உண்மையான பணியாகும் :)

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

முடிவில், பண்புகள் என்று அழைக்கப்பட முடியாத இரண்டு அடையாளங்களை நான் தருகிறேன் - மாறாக, அவை மடக்கையின் வரையறையின் விளைவுகள். அவர்கள் தொடர்ந்து சிக்கல்களில் தோன்றுகிறார்கள், ஆச்சரியப்படும் விதமாக, "மேம்பட்ட" மாணவர்களுக்கு கூட சிக்கல்களை உருவாக்குகிறார்கள்.

1. பதிவு அ அ= 1 என்பது மடக்கை அலகு. ஒருமுறை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: எந்த தளத்திற்கும் மடக்கை அஇந்த அடித்தளத்திலிருந்து ஒன்றுக்கு சமம்.
2. பதிவு அ 1 = 0 என்பது மடக்கை பூஜ்ஜியம். அடித்தளம் அஎதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில் அ 0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

அவ்வளவுதான் சொத்துக்கள். அவற்றை நடைமுறைக்குக் கொண்டுவருவதைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்! பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள ஏமாற்று தாளைப் பதிவிறக்கம் செய்து, அதை அச்சிட்டு, சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும்.