ஒரு சமன்பாட்டின் விளைவு பற்றிய கருத்து. வெளிப்புற வேர்கள். விளக்கக்காட்சி "சமன்பாடுகளின் சமன்பாடு. சமன்பாடு %U2013 விளைவு" எந்த சமன்பாடு மற்றொன்றின் விளைவாகும்

இன்றைய தலைப்பைப் படிக்க, எந்தச் சமன்பாடு இணைச் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, எந்தக் கோட்பாடுகள் "தொந்தரவு" மற்றும் எந்த சமன்பாட்டின் தீர்வு எந்த நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை மீண்டும் மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

வரையறை. x இலிருந்து ef சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு மூலமும் x இலிருந்து சமமாக இருந்தால் (அதை எண் ஒன்றால் குறிக்கிறோம்) அதே நேரத்தில் x இலிருந்து pe சமன்பாட்டின் வேர், x இலிருந்து கோடரிக்கு சமமாக இருக்கும் (நாம் அதைக் குறிக்கிறோம் எண் இரண்டு), பின்னர் இரண்டு சமன்பாடு ஒன்று சமன்பாட்டின் விளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் நான்கு. x இலிருந்து ef சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் x இலிருந்து சமமாக இருந்தால், x இலிருந்து ஒரே வெளிப்பாடு கோடரியால் பெருக்கப்படுகிறது:

முதலாவதாக, x இல் உள்ள சமன்பாட்டின் eff, x க்கு சமமான வரையறையின் டொமைனில் (ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் களத்தில்) எல்லா இடங்களிலும் இது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது.

இரண்டாவதாக, இந்தப் பகுதியில் எங்கும் மறைந்துவிடாது, பின்னர் x இலிருந்து eff சமன்பாடு, x இலிருந்து சாம்பலால் பெருக்கப்படும் சமன்பாடு x இலிருந்து சமம், x இலிருந்து கோடரியால் பெருக்கப்படுகிறது, அதன் ODZ இல் கொடுக்கப்பட்டதற்குச் சமம்.

விளைவு கோட்பாடுகள் நான்குமற்றொரு "அமைதியான" கூற்று: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் ஒரே பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால் அல்லது வகுக்கப்பட்டால், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்.

தேற்றம் ஐந்து. சமன்பாட்டின் இருபுறமும் இருந்தால்

eff இலிருந்து x க்கு சமம் ix என்பது ODS சமன்பாட்டில் எதிர்மறையாக இல்லை, பின்னர் அதன் இரண்டு பகுதிகளையும் ஒரே சம சக்தி nக்கு உயர்த்திய பிறகு, x இலிருந்து nth சக்தி வரையிலான சமன்பாடு nth சக்திக்கு சமம் அதன் o de ze இல் சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது.

தேற்றம் ஆறு. a பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவும், ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லாமல் இருக்கட்டும், மற்றும் எஃப் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவும் இருக்கட்டும்.

x இலிருந்து zhe பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது, மடக்கை சமன்பாடு மடக்கை ef x இலிருந்து அடிப்படை a வரை, மடக்கை zhe x இலிருந்து அடிப்படை a வரை,

x இலிருந்து ef சமன்பாட்டிற்கு சமமானது x இலிருந்து சமம் .

நாம் ஏற்கனவே கூறியது போல், எந்த சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பது மூன்று நிலைகளில் நிகழ்கிறது:

முதல் நிலை தொழில்நுட்பமானது. அசல் சமன்பாட்டிலிருந்து மாற்றங்களின் சங்கிலியைப் பயன்படுத்தி, நாம் மிகவும் எளிமையான சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம், அதை நாம் தீர்த்து, வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இரண்டாவது நிலை தீர்வு பகுப்பாய்வு ஆகும். நாங்கள் செய்த மாற்றங்களை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்து, அவை சமமானதா என்பதைக் கண்டறியவும்.

மூன்றாவது நிலை சரிபார்ப்பு ஆகும். இணைச் சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கும் மாற்றங்களைச் செய்யும்போது, ​​கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அனைத்து வேர்களையும் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம் அவற்றைச் சரிபார்ப்பது கட்டாயமாகும்.

இந்தப் பாடத்தில், என்ன மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தும்போது, ​​இந்த சமன்பாடு ஒரு இணைச் சமன்பாடாக மாறுகிறது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். பின்வரும் பணிகளைக் கவனியுங்கள்.

உடற்பயிற்சி 1

எந்த சமன்பாடு சமன்பாட்டின் x கழித்தல் மூன்று சமம் இரண்டு?

தீர்வு

சமன்பாடு x கழித்தல் மூன்று சமம் இரண்டு ஒரு ஒற்றை ரூட் உள்ளது - x சமம் ஐந்து. இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x மைனஸ் ஆறு என்ற வெளிப்பாட்டால் பெருக்கி, ஒத்த சொற்களைச் சேர்த்து, இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம் x சதுரம் மைனஸ் பதினொரு x கூட்டல் முப்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம். அதன் வேர்களைக் கணக்கிடுவோம்: x முதல் ஐந்து சமம்; x வினாடி ஆறுக்கு சமம். இது ஏற்கனவே இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. சமன்பாடு x சதுரம் கழித்தல் பதினொன்று x கூட்டல் முப்பது சமம் பூஜ்ஜியம் ஒரு ஒற்றை ரூட் கொண்டுள்ளது - x ஐந்து சமம்; சமன்பாடு x கழித்தல் மூன்று சமம் இரண்டு, எனவே x ஸ்கொயர் மைனஸ் லெவன் x கூட்டல் முப்பது என்பது சமன்பாட்டின் விளைவாகும் x கழித்தல் மூன்று சமம் இரண்டு.

பணி 2

x-3=2 சமன்பாட்டின் விளைவாக வேறு என்ன சமன்பாடு உள்ளது?

தீர்வு

சமன்பாட்டில் x கழித்தல் மூன்று சமம் இரண்டு, இருபுறமும் சதுரப்படுத்துவோம், வித்தியாசத்தின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம், ஒத்த சொற்களைச் சேர்த்து, இருபடிச் சமன்பாடு x சதுரம் கழித்தல் ஆறு x கூட்டல் ஐந்து பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம்.

அதன் வேர்களைக் கணக்கிடுவோம்: x முதல் ஐந்து சமம், x இரண்டாவது சமம் ஒன்று.

ரூட் x சமம் ஒன்று சமன்பாட்டிற்கு புறம்பானது x கழித்தல் மூன்று சமம் இரண்டு. அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் சதுரமாக இருந்ததால் இது நடந்தது (ஒரு சம சக்தி). ஆனால் அதே நேரத்தில், அதன் இடது பக்கம் - x கழித்தல் மூன்று - எதிர்மறையாக இருக்கலாம் (நிபந்தனைகள் மீறப்படுகின்றன கோட்பாடுகள் ஐந்து) அதாவது x சதுரம் கழித்தல் ஆறு x கூட்டல் ஐந்து சமன் பூஜ்யம் சமன்பாடு x கழித்தல் மூன்று சமம் இரண்டு சமன்பாட்டின் விளைவாகும்.

பணி 3

சமன்பாட்டிற்கான இணைச் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

x கூட்டல் ஒன்று முதல் மூன்று அடிப்படை வரையிலான மடக்கைக் கூட்டல் x கூட்டல் மூன்றின் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம்.

தீர்வு

மூன்றின் மடக்கை முதல் மூன்றின் அடிப்பகுதி வரை உள்ள மடக்கை என்று கற்பனை செய்து, மடக்கைச் சமன்பாட்டை ஆற்றி, பெருக்கத்தைச் செய்து, ஒத்த சொற்களைச் சேர்த்து, இருபடிச் சமன்பாடு x சதுரம் கூட்டல் நான்கு x பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம். அதன் வேர்களைக் கணக்கிடுவோம்: முதல் x பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், இரண்டாவது x கழித்தல் நான்கு. x என்ற மைனஸ் நான்கு என்பது மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்குப் புறம்பானது, ஏனெனில் மடக்கைச் சமன்பாட்டில் அதை மாற்றும் போது, ​​எக்ஸ் ப்ளஸ் ஒன் மற்றும் x பிளஸ் த்ரீ ஆகிய வெளிப்பாடுகள் எதிர்மறை மதிப்புகளைப் பெறுகின்றன - நிபந்தனைகள் மீறப்படுகின்றன. கோட்பாடுகள் ஆறு.

அதாவது சமன்பாடு x ஸ்கொயர் மற்றும் நான்கு x சமன் பூஜ்ஜியம் இந்த சமன்பாட்டின் விளைவாகும்.

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வின் அடிப்படையில், நாம் செய்யலாம் முடிவுரை:சமன்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனை விரிவாக்குவதன் மூலம் இந்த சமன்பாட்டிலிருந்து இணைச் சமன்பாடு பெறப்படுகிறது. மற்றும் இது போன்ற மாற்றங்களைச் செய்வதன் மூலம் இது சாத்தியமாகும்

1) மாறி மதிப்பைக் கொண்ட வகுப்பினரை அகற்றுதல்;

2) சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே சம சக்திக்கு உயர்த்துதல்;

3) மடக்கை அடையாளங்களிலிருந்து விடுதலை.

ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் சமன்பாட்டின் வரையறையின் களம் விரிவாக்கப்பட்டிருந்தால், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அனைத்து வேர்களையும் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

பணி 4

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் x கழித்தல் மூன்றை x கழித்தல் ஐந்தால் வகுத்தல் மற்றும் ஒன்று x ஆல் வகுத்தல் சமம் x கூட்டல் ஐந்து x பெருக்கல் x கழித்தல் ஐந்து வகுத்தல்.

தீர்வு

முதல் நிலை தொழில்நுட்பமானது.

மாற்றங்களின் சங்கிலியை மேற்கொள்வோம், எளிமையான சமன்பாட்டைப் பெற்று அதைத் தீர்ப்போம். இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பின்னங்களின் பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்குகிறோம், அதாவது x வெளிப்பாட்டின் மூலம் x கழித்தல் ஐந்தால் பெருக்கப்படுகிறது.

இருபடி சமன்பாடு x ஸ்கொயர் மைனஸ் மூன்று x கழித்தல் பத்து சமமான பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுகிறோம். வேர்களைக் கணக்கிடுவோம்: x முதல் ஐந்து சமம், x இரண்டாவது மைனஸ் இரண்டுக்கு சமம்.

இரண்டாவது நிலை தீர்வு பகுப்பாய்வு ஆகும்.

ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, ​​ஒரு மாறியைக் கொண்ட ஒரு வெளிப்பாட்டின் மூலம் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குகிறோம். இதன் பொருள் சமன்பாட்டின் நோக்கம் விரிவடைந்துள்ளது. எனவே, வேர்களை சரிபார்ப்பது கட்டாயமாகும்.

மூன்றாவது நிலை சரிபார்ப்பு ஆகும்.

x என்பது மைனஸ் இரண்டிற்குச் சமமாக இருக்கும் போது, ​​பொதுப் பிரிவு பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லாது. அதாவது x சமன் மைனஸ் இரண்டு இந்த சமன்பாட்டின் வேர்.

x ஐந்திற்குச் சமமானால், பொதுப் பிரிவு பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும். எனவே, x ஐந்திற்கு சமம் - ஒரு புறம்பான வேர்.

பதில்: இரண்டு கழித்தல்.

பணி 5

x கழித்தல் ஆறு சமன்பாட்டின் வர்க்க மூலத்தை நான்கு கழித்தல் x இன் வர்க்க மூலத்தை தீர்க்கவும்.

தீர்வு

முதல் நிலை தொழில்நுட்பமானது .

ஒரு எளிய சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கும் அதைத் தீர்ப்பதற்கும், மாற்றங்களின் சங்கிலியைச் செய்கிறோம்.

இந்த சமன்பாட்டின் இருபுறமும் சதுரம் (ஒரு சம சக்தி), சமன்பாட்டின் x ஐ இடது பக்கமாகவும், எண்களை வலது பக்கமாகவும் நகர்த்தவும், ஒத்த சொற்களைச் சேர்க்கவும், நாம் பெறுகிறோம்: இரண்டு x கள் பத்து சமம். X என்பது ஐந்து.

இரண்டாவது நிலை தீர்வு பகுப்பாய்வு ஆகும்.

நிறைவு செய்யப்பட்ட மாற்றங்களைச் சரிபார்ப்போம்.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​இருபுறமும் ஸ்கொயர் செய்தோம். இதன் பொருள் சமன்பாட்டின் நோக்கம் விரிவடைந்துள்ளது. எனவே, வேர்களை சரிபார்ப்பது கட்டாயமாகும்.

மூன்றாவது நிலை சரிபார்ப்பு ஆகும்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்.

x ஐந்திற்குச் சமம் எனில், நான்கு கழித்தல் xன் வெளிப்பாட்டின் வர்க்கமூலம் வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே x ஐந்திற்குச் சமம் என்பது ஒரு புறம்பான மூலமாகும். இதன் பொருள் இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்: சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பணி 6

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு

முதல் நிலை தொழில்நுட்பமானது .

மாற்றங்களின் சங்கிலியை மேற்கொள்வோம், எளிமையான சமன்பாட்டைப் பெற்று அதைத் தீர்ப்போம். இதைச் செய்ய, ஆற்றலைப் பெறுவோம்

சமன்பாடு, அனைத்து சொற்களையும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்துகிறோம், ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வருகிறோம், ஒரு இருபடி சமன்பாடு x சதுரம் மற்றும் x கழித்தல் ஆறு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். வேர்களைக் கணக்கிடுவோம்: x முதல் இரண்டுக்கு சமம், x இரண்டாவது கழித்தல் மூன்றிற்கு சமம்.

இரண்டாவது நிலை தீர்வு பகுப்பாய்வு ஆகும்.

நிறைவு செய்யப்பட்ட மாற்றங்களைச் சரிபார்ப்போம்.

இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் செயல்பாட்டில், மடக்கைகளின் அறிகுறிகளில் இருந்து நம்மை விடுவித்துக் கொண்டோம். இதன் பொருள் சமன்பாட்டின் நோக்கம் விரிவடைந்துள்ளது. எனவே, வேர்களை சரிபார்ப்பது கட்டாயமாகும்.

மூன்றாவது நிலை சரிபார்ப்பு ஆகும்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்.

x இரண்டுக்கு சமம் என்றால், ஒன்றின் இயற்கை மடக்கைக்கு சமமான ஒன்றின் இயற்கை மடக்கைப் பெறுகிறோம் -

உண்மையான சமத்துவம்.

அதாவது x சமம் இரண்டு என்பது இந்த சமன்பாட்டின் வேர்.

x என்பது மைனஸ் மூன்றிற்குச் சமமாக இருந்தால், வெளிப்பாட்டின் இயற்கை மடக்கை x சதுரம் கூட்டல் இரண்டு x கழித்தல் ஏழு மற்றும் வெளிப்பாட்டின் இயற்கை மடக்கை x கழித்தல் ஒன்று ஆகியவை வரையறுக்கப்படவில்லை. அதாவது x சமம் கழித்தல் மூன்று என்பது ஒரு புறம்பான வேர்.

பதில்: இரண்டு.

ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது மூன்று நிலைகளை வேறுபடுத்துவது எப்போதும் அவசியமா? நான் வேறு எந்த வழியில் சரிபார்க்க முடியும்?

இந்தக் கேள்விகளுக்கான பதில்களை அடுத்த பாடத்தில் காண்போம்.

விளக்கக்காட்சியில் நாம் சமமான சமன்பாடுகள், கோட்பாடுகள் ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நிலைகளில் இன்னும் விரிவாக வாழ்வோம்.

தொடங்குவதற்கு, சமன்பாடுகளில் ஒன்று மற்றொன்றின் விளைவாக இருக்கும் நிலையை நினைவுபடுத்துவோம் (ஸ்லைடு 1). முன்னர் விவாதிக்கப்பட்ட சமமான சமன்பாடுகளில் சில கோட்பாடுகளை ஆசிரியர் மீண்டும் மேற்கோள் காட்டுகிறார்: சமன்பாட்டின் பகுதிகளை அதே மதிப்பு h (x) மூலம் பெருக்குவது; ஒரு சமன்பாட்டின் பகுதிகளை அதே சம சக்திக்கு உயர்த்துதல்; சமன்பாட்டிலிருந்து ஒரு சமமான சமன்பாட்டைப் பெறுதல் பதிவு a f(x) = log a g (x).

விளக்கக்காட்சியின் 5 வது ஸ்லைடு சமமான சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வசதியாக இருக்கும் முக்கிய படிகளை எடுத்துக்காட்டுகிறது:

சமமான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்;

தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்;

காசோலை.

உதாரணம் 1. x - 3 = 2 சமன்பாட்டின் விளைவைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம். x = 5 சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். சமமான சமன்பாட்டை (x - 3) (x - 6) = 2( x - 6), சமன்பாட்டின் பகுதிகளை (x - 6) மூலம் பெருக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி. x 2 - 11x +30 = 0 வடிவத்தில் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவதன் மூலம், x 1 = 5, x 2 = 6 என்ற வேர்களைக் காண்கிறோம். ஏனெனில் x - 3 = 2 சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு மூலமும் x 2 - 11x +30 = 0 சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாகும், பின்னர் x 2 - 11x +30 = 0 என்பது ஒரு இணைச் சமன்பாடு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டின் மற்றொரு விளைவைக் கண்டறியவும் x - 3 = 2. சமமான சமன்பாட்டைப் பெற, நாம் சம சக்திக்கு உயர்த்தும் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். விளைந்த வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்தி, x 2 - 6x +5 = 0 என்று எழுதுகிறோம். x 1 = 5, x 2 = 1 சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும். ஏனெனில் x = 5 (x - 3 = 2 சமன்பாட்டின் வேர்) x 2 - 6x +5 = 0 சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு தீர்வாகும், பின்னர் x 2 - 6x +5 = 0 சமன்பாடும் ஒரு இணைச் சமன்பாடு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3. சமன்பாடு பதிவு 3 (x + 1) + பதிவு 3 (x + 3) = 1 இன் விளைவைக் கண்டறிவது அவசியம்.

சமன்பாட்டில் 1 = பதிவு 3 3 ஐ மாற்றுவோம், பின்னர், தேற்றம் 6 இலிருந்து அறிக்கையைப் பயன்படுத்துகிறோம், சமமான சமன்பாட்டை (x + 1) (x +3) = 3 ஐ எழுதுகிறோம். 0, வேர்கள் x 1 = 0, x 2 = - 4. எனவே சமன்பாடு x 2 + 4x = 0 என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு பதிவு 3 (x + 1) + பதிவு 3 (x + 3) = 1 க்கான விளைவு ஆகும். .

எனவே, நாம் முடிவுக்கு வரலாம்: ஒரு சமன்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் விரிவாக்கப்பட்டால், ஒரு இணைச் சமன்பாடு பெறப்படுகிறது. இணைச் சமன்பாட்டைக் கண்டறியும் போது நிலையான செயல்களை முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

ஒரு மாறி கொண்டிருக்கும் வகைகளை அகற்றுதல்;

சமன்பாட்டின் பகுதிகளை அதே சம சக்திக்கு உயர்த்துதல்;

மடக்கை குறிகளிலிருந்து விடுதலை.

ஆனால் நினைவில் கொள்வது அவசியம்: சமன்பாட்டின் வரையறையின் களம் தீர்வின் போது விரிவடையும் போது, ​​​​கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அனைத்து வேர்களையும் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம் - அவை ODZ இல் விழுமா.

எடுத்துக்காட்டு 4. ஸ்லைடு 12 இல் வழங்கப்பட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். முதலில், x 1 = 5, x 2 = - 2 (முதல் நிலை) சமமான சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். வேர்களை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம் (இரண்டாம் நிலை). வேர்களைச் சரிபார்த்தல் (மூன்றாம் நிலை): x 1 = 5 என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பைச் சேர்ந்தது அல்ல, எனவே சமன்பாட்டில் x = - 2 மட்டுமே தீர்வு உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 5 இல், சமமான சமன்பாட்டின் கண்டறியப்பட்ட மூலமானது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் ODZ இல் சேர்க்கப்படவில்லை. எடுத்துக்காட்டு 6 இல், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரண்டு வேர்களில் ஒன்றின் மதிப்பு வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே இந்த ரூட் அசல் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு அல்ல.

வர்க்கம்: 11

காலம்: 2 பாடங்கள்.

பாடத்தின் நோக்கம்:

• (ஆசிரியருக்கு)பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் பற்றிய முழுமையான புரிதலை மாணவர்களிடையே உருவாக்குதல்.
• (மாணவர்களுக்கு)கணித சூழ்நிலைகளை அவதானிக்க, ஒப்பிட்டு, பொதுமைப்படுத்த மற்றும் பகுப்பாய்வு செய்யும் திறனின் வளர்ச்சி (ஸ்லைடு 2). ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வுக்கான தயாரிப்பு.

முதல் பாடத் திட்டம்(ஸ்லைடு 3)

1. அறிவைப் புதுப்பித்தல்
2. கோட்பாட்டின் பகுப்பாய்வு: ஒரு சம சக்திக்கு சமன்பாட்டை உயர்த்துதல்
3. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பட்டறை

இரண்டாவது பாடத் திட்டம்

1. "ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகள்" குழுக்களில் வேறுபட்ட சுயாதீனமான வேலை
2. பாடத்தின் சுருக்கம்
3. வீட்டு பாடம்

பாடங்களின் முன்னேற்றம்

I. அறிவைப் புதுப்பித்தல்

இலக்கு:பாடத்தின் தலைப்பை வெற்றிகரமாக மாஸ்டர் செய்ய தேவையான கருத்துக்களை மீண்டும் செய்யவும்.

முன் ஆய்வு.

- எந்த இரண்டு சமன்பாடுகள் சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

- சமன்பாட்டின் என்ன மாற்றங்கள் சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

- இந்த சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்திய மாற்றத்தின் விளக்கத்துடன் சமமான ஒன்றால் மாற்றவும்: (ஸ்லைடு 4)

a) x+ 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; ஈ) x = 32; ஈ) = -4.

– எந்த சமன்பாடு அசல் சமன்பாட்டின் இணைச் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

– ஒரு இணைச் சமன்பாட்டின் மூலச் சமன்பாட்டின் வேர் இல்லாத ஒரு மூலத்தைக் கொண்டிருக்க முடியுமா? இந்த வேர்கள் என்ன அழைக்கப்படுகின்றன?

- சமன்பாட்டின் என்ன மாற்றங்கள் இணைச் சமன்பாடுகளுக்கு இட்டுச் செல்கின்றன?

– எண்கணித வர்க்கமூலம் எனப்படுவது எது?

"ஒரு சமன்பாட்டை ஒரு சம சக்திக்கு உயர்த்துவது" என்ற மாற்றத்தில் இன்று நாம் இன்னும் விரிவாக வாழ்வோம்.

II. கோட்பாட்டின் பகுப்பாய்வு: ஒரு சமன்பாட்டை ஒரு சம சக்திக்கு உயர்த்துதல்

மாணவர்களின் செயலில் பங்கேற்புடன் ஆசிரியரின் விளக்கம்:

விடு 2மீ(மீN) என்பது ஒரு நிலையான இரட்டை இயல் எண். பின்னர் சமன்பாட்டின் விளைவுf(x) =g(x) என்பது சமன்பாடு (f(x)) = (g(எக்ஸ்)).

பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது இந்த அறிக்கை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வரையறை. மூல அடையாளத்தின் கீழ் தெரியாத ஒரு சமன்பாடு பகுத்தறிவற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​பின்வரும் முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: (ஸ்லைடு 5)

கவனம்! 2 மற்றும் 3 முறைகள் தேவை கட்டாயமாகும்காசோலைகள்.

ODZ எப்போதும் வெளிப்புற வேர்களை அகற்ற உதவாது.

முடிவுரை:பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​தொழில்நுட்பம், தீர்வு பகுப்பாய்வு, சரிபார்ப்பு (ஸ்லைடு 6) ஆகிய மூன்று நிலைகளைக் கடந்து செல்ல வேண்டியது அவசியம்.

III. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பட்டறை

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

ஒரு சமன்பாட்டை சமன்பாட்டின் மூலம் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று விவாதித்த பிறகு, சமமான அமைப்பிற்குச் சென்று தீர்க்கவும்.

முடிவுரை: முழு எண் வேர்களைக் கொண்ட எளிய சமன்பாடுகளை எந்த பழக்கமான முறையிலும் தீர்க்க முடியும்.

b) = x – 2

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே சக்திக்கு உயர்த்துவதன் மூலம், மாணவர்கள் x = 0, x = 3 -, x = 3 + என்ற வேர்களைப் பெறுகிறார்கள், அவை மாற்றீடு மூலம் சரிபார்க்க கடினமாகவும் நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும். (ஸ்லைடு 7). சமமான அமைப்புக்கு மாறுதல்

வெளிநாட்டு வேர்களை விரைவாக அகற்ற உங்களை அனுமதிக்கிறது. நிபந்தனை x ≥ 2 x ஆல் மட்டுமே திருப்தி அடையும்.

பதில்: 3 +

முடிவுரை: சமமான அமைப்பிற்குச் செல்வதன் மூலம் பகுத்தறிவற்ற வேர்களைச் சரிபார்ப்பது நல்லது.

c) = x – 3

இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில், நாம் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: 1 மற்றும் 4. இரண்டு வேர்களும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை திருப்திப்படுத்துகின்றன, ஆனால் x = 1 ஆனது எண்கணித வர்க்க மூலத்தின் வரையறை மீறப்படுகிறது. ODZ சமன்பாடு வெளிப்புற வேர்களை அகற்ற உதவாது. சமமான அமைப்புக்கு மாறுவது சரியான பதிலை அளிக்கிறது.

முடிவுரை:எண்கணித வர்க்க மூலத்தை நிர்ணயிப்பதற்கான அனைத்து நிபந்தனைகளின் நல்ல அறிவும் புரிதலும் செல்ல உதவுகிறதுசமமான மாற்றங்களைச் செய்கிறது.

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் ஸ்கொயர் செய்வதன் மூலம், சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

x + 13 - 8 + 16 = 3 + 2x - x, ரேடிக்கலை வலது பக்கத்தில் வைத்து, நாம் பெறுகிறோம்

26 – x + x = 8. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் சதுரமாக்குவதற்கு மேலும் செயல்களின் பயன்பாடு 4வது பட்டத்தின் சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கும். ODZ சமன்பாட்டிற்கான மாற்றம் ஒரு நல்ல முடிவை அளிக்கிறது:

ODZ சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:

x = 3.

சரிபார்க்கவும்: - 4 = , 0 = 0 சரி.

முடிவுரை:சில நேரங்களில் ODZ சமன்பாட்டின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும், ஆனால் சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு: ODZ சமன்பாடு: -2 – x ≥ 0 x ≤ -2.

x ≤ -2க்கு,< 0, а ≥ 0.

எனவே, சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் எதிர்மறையானது, வலது பக்கம் எதிர்மறையானது அல்ல; எனவே அசல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

முடிவுரை:சமன்பாட்டின் நிலையில் உள்ள வரம்புக்கு சரியான காரணத்தை உருவாக்குவதன் மூலம், நீங்கள் சமன்பாட்டின் வேர்களை எளிதாகக் கண்டறியலாம் அல்லது அவை இல்லை என்பதை நிறுவலாம்.

இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாட்டின் இரட்டை சதுரத்தைக் காட்டுங்கள், "தீவிரவாதிகளின் தனிமை" என்ற சொற்றொடரின் அர்த்தத்தையும், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை சரிபார்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தையும் விளக்கவும்.

h) + = 1.

இந்த சமன்பாடுகளின் தீர்வு அசல் மாறிக்கு திரும்பும் வரை மாறி மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது. அடுத்த கட்ட பணிகளை முன்கூட்டியே முடிப்பவர்களுக்கு தீர்வு வழங்குங்கள்.

கட்டுப்பாட்டு கேள்விகள்

• எளிமையான பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?
• சமன்பாட்டை ஒரு சம சக்திக்கு உயர்த்தும்போது நீங்கள் என்ன நினைவில் கொள்ள வேண்டும்? ( வெளிநாட்டு வேர்கள் தோன்றலாம்)
• பகுத்தறிவற்ற வேர்களை சரிபார்க்க சிறந்த வழி எது? ( சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் அறிகுறிகளின் தற்செயல் நிகழ்வுக்கான ODZ மற்றும் நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்துதல்)
• பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது கணித சூழ்நிலைகளை பகுப்பாய்வு செய்வது ஏன் அவசியம்? ( சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதற்கான சரியான மற்றும் விரைவான தேர்வுக்கு).

IV. "ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகள்" குழுக்களில் வேறுபட்ட சுயாதீனமான வேலை

பயிற்சியின் நிலைகளுக்கு ஏற்ப வகுப்பு குழுக்களாக (2-3 பேர்) பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, ஒவ்வொரு குழுவும் ஒரு பணியுடன் ஒரு விருப்பத்தைத் தேர்வுசெய்து, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பணிகளை விவாதித்து தீர்க்கிறது. தேவைப்பட்டால், ஆசிரியரிடம் ஆலோசனை பெறவும். அவர்களின் பதிப்பில் உள்ள அனைத்து பணிகளையும் முடித்து, ஆசிரியரின் பதில்களைச் சரிபார்த்த பிறகு, குழு உறுப்பினர்கள் தனித்தனியாக பாடத்தின் முந்தைய கட்டத்தின் g) மற்றும் h) சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதை முடிக்கிறார்கள். 4 மற்றும் 5 விருப்பங்களுக்கு (ஆசிரியரின் பதில்கள் மற்றும் தீர்வுகளை சரிபார்த்த பிறகு), கூடுதல் பணிகள் பலகையில் எழுதப்பட்டு தனித்தனியாக முடிக்கப்படும்.

பாடங்களின் முடிவில் சரிபார்ப்பிற்காக அனைத்து தனிப்பட்ட தீர்வுகளும் ஆசிரியரிடம் சமர்ப்பிக்கப்படுகின்றன.

விருப்பம் 1

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

a) = 6;
b) = 2;
c) = 2 – x;
ஈ) (x + 1) (5 – x) (+ 2 = 4.

விருப்பம் 5

1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

a) = ;
b) = 3 - 2x;

2. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

கூடுதல் பணிகள்:

வி. பாடத்தின் சுருக்கம்

USE பணிகளை முடிக்கும்போது நீங்கள் என்ன சிரமங்களை அனுபவித்தீர்கள்? இந்த சிரமங்களை சமாளிக்க என்ன தேவை?

VI. வீட்டு பாடம்

பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கோட்பாட்டை மீண்டும் செய்யவும், பாடப்புத்தகத்தில் பத்தி 8.2 ஐப் படிக்கவும் (எடுத்துக்காட்டு 3 க்கு கவனம் செலுத்துங்கள்).

தீர்வு எண். 8.8 (a, c), எண். 8.9 (a, c), No. 8.10 (a).

இலக்கியம்:

1. நிகோல்ஸ்கி எஸ்.எம்., பொட்டாபோவ் எம்.கே., என்.என். ரெஷெட்னிகோவ் என்.என்., ஷெவ்கின் ஏ.வி. இயற்கணிதம் மற்றும் கணித பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம் , பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 11 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல், எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனி, 2009.
2. மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது தொடர்பான சில வழிமுறை சிக்கல்களில். பள்ளியில் கணிதம். -2006. -எண் 3.
3. எம். ஷபுனின். சமன்பாடுகள். உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் மற்றும் விண்ணப்பதாரர்களுக்கான விரிவுரைகள். மாஸ்கோ, "Chistye Prudy", 2005. (நூலகம் "செப்டம்பர் முதல்")
4. இ.என். பாலயன். சிக்கல் தீர்க்கும் பட்டறை. பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகள், ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் அமைப்புகள். ரோஸ்டோவ்-ஆன்-டான், "பீனிக்ஸ்", 2006.
5. கணிதம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2011க்கான தயாரிப்பு. திருத்தியவர் எஃப்.எஃப். லைசென்கோ, எஸ்.யு. குலாபுகோவா லெஜியன்-எம், ரோஸ்டோவ்-ஆன்-டான், 2010.

நகராட்சி கல்வி நிறுவனம்

"நோவோகோலோவ்ஸ்கயா மேல்நிலைப் பள்ளி"

கிராஸ்னென்ஸ்கி மாவட்டம், பெல்கோரோட் பகுதி

11ம் வகுப்பில் அல்ஜீப்ரா பாடம்

"ஒரு இணைச் சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கும் பல மாற்றங்களின் பயன்பாடு"

தயாரித்து நடத்தப்பட்டது

கணித ஆசிரியர்

கார்கோவ்ஸ்கயா வாலண்டினா கிரிகோரிவ்னா

அல்ஜீப்ரா 11ம் வகுப்பு

பொருள்: இணைச் சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கும் பல மாற்றங்களின் பயன்பாடு.

இலக்கு: தலைப்பில் பொருள் ஒருங்கிணைப்பதற்கான நிபந்தனைகளை உருவாக்கவும்: "ஒரு சமன்பாடு-விளைவுக்கு வழிவகுக்கும் பல மாற்றங்களின் பயன்பாடு"; ஆர்சுதந்திரத்தை வளர்ப்பது, பேச்சு எழுத்தறிவை மேம்படுத்துதல்; மாணவர்களின் கணினி திறன்களை வளர்ப்பதற்கு; ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு நிலைக்கு தொடர்புடைய பணிகளை முடிக்கவும்.

உபகரணங்கள்: பாடப்புத்தகம், கணினி, அட்டைகள்

பாடம் வகை: ZUN இன் சிக்கலான பயன்பாடு பற்றிய பாடம்

வகுப்புகளின் போது

நிறுவன தருணம் (ஸ்லைடு 1)

நல்ல மதியம் நண்பர்களே! இந்தப் படங்களைப் பார்த்து, உங்களுக்கு மிகவும் பிடித்ததைத் தேர்வுசெய்யவும். நீங்களும் என்னைப் போலவே நல்ல மனநிலையில் வகுப்பிற்கு வந்ததை நான் காண்கிறேன், பாடம் முடியும் வரை அது அப்படியே இருக்கும் என்று நினைக்கிறேன். உங்களுக்கு பயனுள்ள வேலையை நான் விரும்புகிறேன்.

நண்பர்களே, நீங்கள் ஒவ்வொருவருக்கும் உங்கள் மேசையில் மதிப்பீட்டுத் தாள்கள் உள்ளன, அதில் பாடத்தின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் உங்களை நீங்களே மதிப்பிடுவீர்கள்.

வீட்டுப்பாடத்தைச் சரிபார்க்கிறது (ஸ்லைடு 2)

ஸ்லைடில் உள்ள தீர்வுகளை முன்னிலைப்படுத்தி, குழந்தைகள் தங்களுக்கு மதிப்பெண்களை வழங்குகிறார்கள்

சுய கட்டுப்பாட்டு தாள். பிழைகள் இல்லை - "5", 1 பிழை என்றால் - "4", 2

பிழைகள் - "3". 2 பெற்ற குழந்தைகளை அதிகம் பெற்றால்

தவறுகள், இந்த பணியை குழுவில் தீர்க்கவும்.

பாடத்தின் தலைப்பை அறிவிக்கிறது (ஸ்லைடு 3). பாட இலக்குகளை அமைத்தல்

எங்கள் பாடத்தின் தலைப்பை ஸ்லைடில் பார்க்கலாம். அதைவிட நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள்

இன்று வகுப்பில் உங்களுடன் படிக்கப் போகிறோமா?

சரி, நண்பர்களே, நாங்கள் உள்ளடக்கிய பொருளை நினைவில் கொள்வோம். .

வாய்வழி வேலையுடன் ஆரம்பிக்கலாம் :

வாய்வழி வேலை (ஸ்லைடு 4)

என்ன சமன்பாடுகள் இணைச் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன? (முதல் சமன்பாட்டின் எந்த மூலமும் இரண்டாவதாக இருந்தால், இரண்டாவது சமன்பாடு முதல் சமன்பாட்டின் விளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது);

இணைச் சமன்பாட்டிற்கு மாறுதல் என்று என்ன அழைக்கப்படுகிறது? (ஒரு சமன்பாட்டை மற்றொரு சமன்பாட்டுடன் மாற்றுவது, அதன் விளைவு);

என்ன மாற்றங்கள் இணைச் சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கும்? உதாரணங்கள் கொடுங்கள். (சமமான சக்திக்கு சமன்பாட்டை உயர்த்துதல்; மடக்கைச் சமன்பாட்டைச் சாத்தியமாக்குதல்; சமன்பாட்டை வகுப்பிலிருந்து விடுவித்தல்; சமன்பாட்டின் ஒத்த சொற்களைக் கொண்டுவருதல்; சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல்).

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும் (ஸ்லைடு 5)

(சமன்பாடுகள் திரையில் காட்டப்படும்):

1) = 6; (பதில்: 36)

2) = 3; (பதில்: 11)

3) = 4; (பதில்: 6)

4) = - 2; (பதில்: தீர்வுகள் இல்லை, ஏனெனில் சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும்)

5) = 9; (பதில்: -9 மற்றும் 9)

6) = -2; (பதில்: இரண்டின் கூட்டுத்தொகை என்பதால் தீர்வுகள் இல்லை

எதிர்மறை எண்கள் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது)

நண்பர்களே, வீட்டுப்பாடம் மற்றும் வாய்வழி வேலைகளைச் செய்யும்போது, ​​டெமோ பதிப்பு, விவரக்குறிப்பு மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு குறியாக்கி ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய பணிகளை நாங்கள் கண்டோம் என்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்கள் என்று நினைக்கிறேன்.

4.பணிகளை முடித்தல்

நண்பர்களே, எங்கள் குறிப்பேடுகளில் வேலை செய்வோம்:

№8.26 (அ) - கரும்பலகையில்

№8.14 (c) - கரும்பலகையில்

கண்களுக்கான உடற்பயிற்சி (இசை)

№8.8 (c) - பலகையில்

№8.9-(இ)-போர்டில்

5.சுதந்திர வேலை (ஸ்லைடு 6)

சுயாதீன வேலைக்கான தீர்வு (ஸ்லைடு 7)

6. வீட்டுப்பாடம்: முழுமையான எண். 8.14 (d), 21,23,25 விருப்பங்களில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு B5 பணி (ஸ்லைடு 8)

7. பாடச் சுருக்கம் (ஸ்லைடு 9)

8.பிரதிபலிப்பு (ஸ்லைடு 10)

கேள்வித்தாள்.

1. பாடத்தின் போது நான் வேலை செய்தேன்

2. I வகுப்பில் எனது பணியின் மூலம்

3. பாடம் எனக்கு தோன்றியது

4. பாடத்திற்கு ஐ

5. என் மனநிலை

6. என்னிடம் பாடம் பொருள் இருந்தது

7. தேர்வில் இதுபோன்ற பணிகளைச் சமாளிக்க முடியும் என்று நினைக்கிறீர்களா?

8. வீட்டுப்பாடம் எனக்குத் தோன்றுகிறது

செயலில் / செயலற்ற

திருப்தி/அதிருப்தி

குறுகிய / நீண்ட

சோர்வாக இல்லை / சோர்வாக இல்லை

அது நன்றாக / மோசமாகிவிட்டது

தெளிவான / தெளிவாக இல்லை

பயனுள்ள/பயனற்றது

சுவாரஸ்யமான / சலிப்பான

ஆம்/இல்லை/தெரியாது

எளிதானது / கடினம்

சுவாரஸ்யமான / ஆர்வமற்ற

பயன்படுத்தப்படும் வளங்கள்:

நிகோல்ஸ்கி எஸ்.எம்., பொட்டாபோவ் கே.எம்.,. இயற்கணிதம் மற்றும் கணித பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம், தரம் 11 எம்.: ப்ரோஸ்வேஷ்செனியே, 2010

கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராவதற்கான பணிகளின் சேகரிப்பு