Цифрийн утга нь тухайн тоон дахь байрлалаас хамаардаггүй. Тооны системийг ашиглан тоон мэдээллийг дүрслэх. Үйлдлийн систем нь...

Тооны системийн үндсэн ойлголтууд

Тооны систем гэдэг нь тоон тэмдэгтүүдийн багцыг ашиглан тоо бичих дүрэм, арга техник юм. Системд тоо бичихэд шаардлагатай цифрүүдийн тоог тооллын системийн суурь гэнэ. Системийн суурь нь тоонуудын баруун талд доод үсэгт бичигдэнэ: ; ; гэх мэт.

Хоёр төрлийн тооллын систем байдаг:

байрлалын, тухайн тооны цифр бүрийн утгыг тоон бичлэг дэх байрлалаар нь тодорхойлох;

байрлалын бус, тоон дахь цифрийн утга нь тухайн тооны тэмдэглэгээнд байгаа байрнаас хамаарахгүй тохиолдолд.

Байршлын бус тооны системийн жишээ бол Ромын тоо юм: IX, IV, XV гэх мэт. Байршлын тооллын системийн жишээ бол өдөр бүр хэрэглэдэг аравтын систем юм.

Байршлын систем дэх аливаа бүхэл тоог олон гишүүнт хэлбэрээр бичиж болно.

S нь тооллын системийн суурь;

Өгөгдсөн тооны системд бичигдсэн тооны цифрүүд;

n нь тухайн тооны цифрүүдийн тоо юм.

Жишээ. Тоо олон гишүүнт хэлбэрээр дараах байдлаар бичнэ.

Тооны системийн төрлүүд

Ромын тооллын систем нь байрлалын бус систем юм. Энэ нь тоо бичихдээ латин цагаан толгойн үсгийг ашигладаг. Энэ тохиолдолд I үсэг нь дандаа нэг, V үсэг нь тав, X нь арав, L нь тавин, С нь зуу, D нь таван зуу, М нь мянга гэх мэт. Жишээлбэл, 264 тоог CCLXIV гэж бичдэг. Ромын тооллын системд тоо бичихдээ тухайн тооны утга нь түүнд орсон цифрүүдийн алгебрийн нийлбэр юм. Энэ тохиолдолд дугаарын бүртгэл дэх цифрүүд нь дүрмийн дагуу утгынхаа буурах дарааллаар байх бөгөөд гурваас илүү ижил цифрийг зэрэгцүүлэн бичихийг хориглоно. Илүү их утгатай цифрийн араас бага утгатай цифр ороход нийт тооны утгад оруулах хувь нэмэр сөрөг байна. Ром тооллын системд тоо бичих ерөнхий дүрмийг харуулсан ердийн жишээг хүснэгтэд үзүүлэв.

Хүснэгт 2. Ром тооны системд тоо бичих

Ромын системийн сул тал бол тоо бичих албан ёсны дүрэм байхгүй, үүний дагуу олон оронтой тоонуудтай арифметик үйлдлүүд юм. Тохиромжгүй, маш нарийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан Ромын тооллын системийг одоогийн байдлаар үнэхээр тохиромжтой газар ашиглаж байна: уран зохиолд (бүлгийн дугаарлалт), баримт бичгийн загвар (паспортын цуврал, үнэт цаас гэх мэт), цагны зүүлт дээр гоёл чимэглэлийн зориулалтаар ашиглаж байна. болон бусад хэд хэдэн тохиолдолд.

Аравтын тооллын систем нь одоогоор хамгийн алдартай бөгөөд ашиглагдаж байна. Аравтын тооллын системийг зохион бүтээсэн нь хүн төрөлхтний сэтгэлгээний гол ололтуудын нэг юм. Үүнгүйгээр орчин үеийн технологи оршин тогтнох боломжгүй, бүр ч бага. Аравтын тооллын системийг нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн шалтгаан нь математикийн хувьд огтхон ч биш юм. Хүмүүс гартаа 10 хуруутай тул аравтын бутархай тооллын системд тоолж дассан.

Аравтын бутархайн цифрүүдийн эртний дүрс (Зураг 1) нь санамсаргүй биш юм: цифр бүр нь өнцгийн тоогоор тоог илэрхийлдэг. Жишээлбэл, 0 - булангүй, 1 - нэг булан, 2 - хоёр булан гэх мэт. Аравтын бутархай тоог бичихэд ихээхэн өөрчлөлт орсон. Бидний хэрэглэж буй хэлбэр нь 16-р зуунд бий болсон.

Аравтын систем анх Энэтхэгт МЭ 6-р зуунд гарч ирсэн. Энэтхэгийн дугаарлалт нь хоосон байрлалыг илэрхийлэхийн тулд есөн тооны тэмдэгт, тэгийг ашигласан. Бидэнд ирсэн эртний Энэтхэгийн гар бичмэлүүдэд тоонуудыг урвуу дарааллаар бичсэн байдаг - хамгийн чухал тоог баруун талд байрлуулсан байв. Гэвч удалгүй ийм дугаарыг зүүн талд байрлуулдаг дүрэм болжээ. Байршлын тэмдэглэгээний системд нэвтрүүлсэн тэг тэмдэгт онцгой ач холбогдол өгсөн. Энэтхэгийн дугаарлалт, түүний дотор тэг нь өнөөг хүртэл хадгалагдан үлджээ. Европт 13-р зууны эхээр аравтын бутархай арифметикийн Хинду арга өргөн тархсан. Италийн математикч Леонардо Пизагийн (Фибоначчи) ажлын ачаар. Европчууд Энэтхэгийн тооны системийг арабуудаас зээлж, араб гэж нэрлэжээ. Энэхүү түүхэн буруу нэршил өнөөг хүртэл үргэлжилсээр байна.

Аравтын бутархайн систем нь 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 гэсэн арван цифр, мөн тооны тэмдгийг заахдаа "+" ба "-" тэмдгийг ашигладаг. бүхэл болон аравтын тоог тусгаарлах таслал эсвэл цэг.

Компьютерууд хоёртын тооллын системийг ашигладаг бөгөөд түүний суурь нь 2. Энэ системд тоо бичихийн тулд зөвхөн хоёр оронтой тоо ашигладаг - 0 ба 1. Түгээмэл буруу ойлголтоос ялгаатай нь хоёртын тооллын системийг компьютерийн дизайны инженерүүд зохион бүтээгээгүй, харин 17-19-р зууны үед компьютер гарч ирэхээс өмнө математикч, философичид. Хоёртын тооллын системийн тухай анхны хэвлэгдсэн хэлэлцүүлгийг Испанийн санваартан Хуан Карамуэль Лобковиц (1670) хийсэн. Германы математикч Готфрид Вильгельм Лейбницийн 1703 онд хэвлэгдсэн нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах хоёртын үйлдлүүдийг тайлбарласан өгүүлэл энэ системд ерөнхий анхаарлыг татсан юм. Лейбниц энэ системийг практик тооцоололд ашиглахыг зөвлөдөггүй боловч онолын судалгаанд чухал ач холбогдолтойг онцолсон. Цаг хугацаа өнгөрөх тусам хоёртын тооллын систем сайн танигдаж, хөгжиж байна.

Компьютерийн технологид ашиглах хоёртын системийг сонгох нь компьютерийн чипийг бүрдүүлдэг электрон элементүүд - триггерүүд нь зөвхөн хоёр үйлдлийн төлөвт байж болно гэдгийг тайлбарлаж байна.

Хоёртын кодчилолын системийг ашигласнаар та ямар ч өгөгдөл, мэдлэгийг олж авах боломжтой. Хэрэв бид Морзын кодыг ашиглан мэдээллийг кодлох, дамжуулах зарчмыг эргэн санах юм бол үүнийг ойлгоход хялбар болно. Энэ цагаан толгойн зөвхөн хоёр тэмдэгт - цэг, зураасыг ашигладаг телеграф оператор бараг ямар ч текстийг дамжуулж чаддаг.

Хоёртын систем нь компьютерт тохиромжтой боловч хүний ​​хувьд тохиромжгүй байдаг: тоонууд нь урт бөгөөд бичих, санахад хэцүү байдаг. Мэдээжийн хэрэг, та тоог аравтын бутархай систем рүү хөрвүүлж, энэ хэлбэрээр бичиж болно, дараа нь буцааж хөрвүүлэх шаардлагатай үед, гэхдээ эдгээр бүх орчуулга нь хөдөлмөр их шаарддаг. Тиймээс хоёртын тоон системтэй холбоотой тооллын системийг ашигладаг - наймтын болон арван зургаан тоот. Эдгээр системд тоо бичихийн тулд 8 ба 16 оронтой тоо шаардлагатай. Арван арван тоот системд эхний 10 цифр нийтлэг байдаг ба дараа нь том латин үсгийг ашигладаг. Аравтын бутархай A нь 10-ын тоо, 11-ийн аравтын тоотой В-ийн тоо 11 гэх мэт. Эдгээр системийг ашиглах нь эдгээр системийн аль нэгэнд тоог хоёртын тэмдэглэгээнээс нь бичихэд шилжих нь маш энгийн байдагтай холбон тайлбарладаг. Өөр өөр системд бичигдсэн тоонуудын хоорондын захидал харилцааны хүснэгтийг доор харуулав.

Хүснэгт 3. Өөр өөр тооны системд бичигдсэн тоонуудын харилцан хамаарал

Тоонуудыг нэг тооллын системээс нөгөөд шилжүүлэх дүрэм

Тоонуудыг нэг тооллын системээс нөгөөд хөрвүүлэх нь машины арифметикийн чухал хэсэг юм. Орчуулгын үндсэн дүрмийг авч үзье.

1. Хоёртын тоог аравтын бутархай болгон хувиргахын тулд тухайн тооны цифрүүдийн үржвэрүүд болон харгалзах 2-ын зэрэглэлийн үржвэрээс бүрдсэн олон гишүүнт хэлбэрээр бичиж, дүрмийн дагуу тооцоолох шаардлагатай. аравтын арифметик:

Орчуулахдаа хоёрын чадлын хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой.

Хүснэгт 4. 2-р тооны эрх мэдэл

Жишээ. Тоог аравтын тооллын систем рүү хөрвүүл.

2. Найман тоог аравтын бутархай болгохын тулд тухайн тооны цифрүүдийн үржвэр болон 8-ын тооны харгалзах хүчнээс бүрдэх олон гишүүнт болгон бичээд аравтын бутархайн дүрмээр тооцох шаардлагатай. арифметик:

Орчуулахдаа найман хүчний хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой.

Хүснэгт 5. 8-ын тооны эрх

Дүрэм: (ихэвчлэн) бага орон (зөвхөн нэг!) дээд цифрийн зүүн талд байгаа бол нийлбэрээс хасагдана (хэсэгчлэн байрлалын бус!) Жишээ нь: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

3999) шинэ цифр оруулах шаардлагатай (V, X, L, C, D, M) бутархай тоог хэрхэн бичих вэ? арифметик үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэх: CCCLIX + CLXXIV =? Хаана ашигласан: номын бүлгийн дугаар: зууны тэмдэглэгээ: "XX зууны дээрэмчид" title=" Сул тал: их тоо (>3999) бичихийн тулд шинэ цифрүүд (V, X, L, C, D, M ) арифметик үйлдлийг хэрхэн яаж бичих вэ: CCCLIX + CLXXIV = Хаана ашигласан: номын бүлгийн дугаар: "XX зууны дээрэмчид"" class="link_thumb"> 9 !}Сул тал: их тоо (>3999) бичихийн тулд шинэ цифр оруулах шаардлагатай (V, X, L, C, D, M) бутархай тоог хэрхэн бичих вэ? арифметик үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэх: CCCLIX + CLXXIV =? Хаана ашигласан: номын бүлгийн дугаар: зууны тэмдэг: "20-р зууны далайн дээрэмчид" цаг 3999) шинэ цифр оруулах шаардлагатай (V, X, L, C, D, M) бутархай тоог хэрхэн бичих вэ? арифметик үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэх: CCCLIX + CLXXIV =? Хаана хэрэглэгдэх вэ? арифметик үйлдлүүд: CCCLIX + CLXXIV = хаана ашигласан: номын бүлгийн дугаар: зууны тэмдэглэгээ: "20-р зууны далайн дээрэмчид" цагны товчлуур"> 3999) шинэ цифр оруулах шаардлагатай (V, X, L, C, D) , M) бутархай тоог хэрхэн бичих вэ? арифметик үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэх: CCCLIX + CLXXIV =? Хаана ашигласан: номын бүлгийн дугаар: зууны тэмдэглэгээ: "XX зууны дээрэмчид" title=" Сул тал: их тоо (>3999) бичихийн тулд шинэ цифрүүд (V, X, L, C, D, M ) арифметик үйлдлийг хэрхэн яаж бичих вэ: CCCLIX + CLXXIV = Хаана ашигласан: номын бүлгийн дугаар: "XX зууны дээрэмчид""> title="Сул тал: их тоо (>3999) бичихийн тулд шинэ цифр оруулах шаардлагатай (V, X, L, C, D, M) бутархай тоог хэрхэн бичих вэ? арифметик үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэх: CCCLIX + CLXXIV =? Хаана ашигласан: номын бүлгийн дугаар: зууны тэмдэглэгээ: “Дээрэмчид XX"> !}

Байршлын тооллын системд цифрийн тоон утга нь тухайн тоон дахь байрлалаас хамаарна. Цифрийн байрлалыг цифр гэж нэрлэдэг. Тооны орон баруунаас зүүн тийш өснө. 555 тоонд эхний 5 нь зуутын байрлалд, хоёр дахь 5 нь аравтын байрлалд, гурав дахь 5 нь нэгжийн байрлалд (555=) байна.

A) = 5* * *10 0 b) = 1*2 2 +0*2 1 +1*2 0

Тоо бичих тэмдэгтийн тоо хязгаарлагдмал; Арифметик үйлдлүүдийг хийхэд хялбар. Байршлын тооллын системийн суурь (q) нь тоог бичихэд ашигладаг тэмдгийн тоо юм. Даалгавар: дөрвөлжин тооллын систем, наймт тооллын систем, арван арван тооллын системд дурын тоог бичихэд хэдэн, ямар цифр шаардлагатай вэ.

1-р сонголт. 1. Хоёртын тооллын системд тоог бичиж болно гэдэг үнэн үү? 2. Үсгийн тооллын систем нь байрлалгүй байдаг гэдэг үнэн үү? 3. Компьютерууд Ромын тооны системийг ашигладаг нь үнэн үү? 4. Нарийн төвөгтэй арифметик тооцоололд Ромын тооны системийг ашиглах нь тохиромжтой гэж үнэн үү? 5. Хоёртын тооллын системд 2 оронтой гэсэн үнэн үү? 2-р сонголт. 1. Дөрөвдөгч тооллын системд тоог бичиж болно гэдэг үнэн үү? 2. Араб тоо нь нарийн төвөгтэй арифметик тооцоолол хийхэд тохиромжтой гэж үнэн үү? 3. Компьютерийн санах ойд аравтын тооллын системийг ашигладаг нь үнэн үү? 4. Бүх тооны системийг хоёр том бүлэгт хуваасан нь үнэн үү? 5. Аравтын бутархай тооллын систем нь байрлалтай гэж үнэн үү?

СонголтХариултын тоо тийм үгүй ​​2 тийм noes Туршилтын үр дүнг шалгах хүснэгт “5” - алдаа байхгүй “4” - нэг алдаа “3” - хоёр алдаа “2” - гурван алдаа Үнэлгээний шалгуур:
Маяачуудын тоолол 2012 оны арванхоёрдугаар сарын 21-нд дуусдаг гэдгийг дэлхий нийт мэднэ. Гэхдээ яагаад гэдгийг хэн ч мэдэхгүй. Чухамдаа хуанли биш, Их цикл гэгчээр төгсдөг гэдгээс яриагаа эхэлцгээе. Эсвэл 5126 жил үргэлжилсэн Майячуудын нэр томъёогоор "Тав дахь нар". Энэ мөчлөгийн сүүлчийн өдөр бол 2012 оны 12-р сарын 21. Гэхдээ энэ бол дэлхийн төгсгөл биш юм. 2012 оноос хойш дараагийн мөчлөг эхэлнэ. Эрдэмтдийн тооцоогоор "Тав дахь нар" МЭӨ 3113 оны наймдугаар сарын 13-нд эхэлсэн. Тэгвэл яагаад? Энэ нь ямар үйл явдалтай холбоотой байв? Хэн ч мэдэхгүй. Эртний Майячууд цагийг тоолж, мөчлөгт хуваах боловсронгуй системийг хаанаас авсан нь тодорхойгүй байна.

Тооны системийг ашиглан тоон мэдээллийг илэрхийлэх

Тоонууд нь объектын тооны талаарх мэдээллийг бүртгэхэд ашиглагддаг. Тоонуудыг тооллын систем гэж нэрлэдэг тусгай дохионы систем ашиглан бичдэг. Тооллын системийн цагаан толгой нь цифр гэж нэрлэгддэг тэмдэгтүүдээс бүрдэнэ. Жишээлбэл, аравтын тооллын системд тоонууд нь сайн мэддэг арван цифрийг ашиглан бичдэг: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ТэмдэглэгээЭнэ нь тоо гэж нэрлэгддэг тодорхой цагаан толгойн тэмдэгтүүдийг ашиглан тоонуудыг тодорхой дүрмийн дагуу бичдэг дохионы систем юм.

Бүх тооны системийг хоёр том бүлэгт хуваадаг. байр суурьтайТэгээд албан тушаалын бустооллын системүүд. Байршлын тооллын системд цифрийн утга нь тоон дахь байрлалаас хамаардаг бол байрлалын бус тооллын системд энэ нь хамаарахгүй.

Ромын байрлалын бус тооны систем.Байршлын бус тооллын системүүдээс хамгийн түгээмэл нь Ром систем юм. Үүнд ашигласан тоонууд нь: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).

Цифрийн утга нь тухайн тоон дахь байрлалаас хамаардаггүй. Жишээлбэл, XXX (30) тоонд X тоо гурван удаа гарч ирдэг бөгөөд тохиолдол бүрт ижил утгыг илэрхийлдэг - 10 тоо, 10-ын гурван тоог 30 хүртэл нэмнэ.

Ром тооллын систем дэх тооны хэмжээг тухайн тооны цифрүүдийн нийлбэр буюу зөрүүгээр тодорхойлдог. Хэрэв жижиг тоо нь том тооноос зүүн талд байвал хасна, баруун талд байвал нэмнэ. Жишээлбэл, аравтын бутархай 1998 тоог Ром тооллын системд бичвэл дараах байдалтай байна.

MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5 + 1 + 1 + 1.

Байршлын тооллын систем.Анхны байрлалын тооллын системийг Эртний Вавилонд зохион бүтээсэн бөгөөд Вавилоны дугаарлалт нь сексиаль буюу жаран оронтой байсан! Сонирхолтой нь, бид цагийг хэмжихдээ 60-ын суурийг ашигладаг хэвээр байна (1 минутанд 60 секунд, 1 цагт 60 минут багтана).

19-р зуунд арван хоёр аравтын тооллын систем нэлээд өргөн тархсан. Өнөөг хүртэл бид арваад (12 тоо) ихэвчлэн ашигладаг: өдөрт хоёр арван цаг байдаг, тойрог нь гучин арван градус гэх мэт.

Цифрийн тоон утга нь тоон доторх байрлалаас хамаарна.

Өнөө үед хамгийн түгээмэл байрлалын тооллын системүүд нь аравтын, хоёртын, наймтын, арван зургаатын тооллын систем юм. Байршлын систем бүр өөрийн гэсэн онцлогтой тооны цагаан толгойТэгээд суурь.

IN байрлалын тооллын системсистемийн суурь нь цифрүүдийн тоотой (цагаан толгойн үсэг) тэнцүү бөгөөд тухайн тооны зэргэлдээ байрлал дахь ижил цифрүүдийн утгууд хэд дахин ялгаатай болохыг тодорхойлдог.

Аравтын тооллын систем нь араб гэж нэрлэгддэг арав, орон тоо, суурь нь 10, хоёртын тоо - хоёр орон, суурь 2, наймтын тоо - найман орон ба 8 суурь, арван зургаан тооноос бүрддэг тооны цагаан толгойтой. цифрүүд (Латин цагаан толгойн үсгүүдийг бас ашигладаг) ба 16 суурь (Хүснэгт 1.2).

Аравтын тооллын систем. 555-ын аравтын тоог жишээ болгон авч үзье, хамгийн баруун талын 5 нь таван нэгийг, баруун талын хоёр дахь нь таван аравыг, эцэст нь баруун талын гурав дахь нь таван зууг илэрхийлдэг.

Тоон дахь цифрийн байрлалыг дуудна гадагшлуулах. Тооны орон нь баруунаас зүүн тийш, багааас өндөр орон руу нэмэгддэг. Аравтын бутархайн системд хамгийн баруун талд байрлах орон (цифр) нь нэгжийн тоог заана, цифр нь нэг байрлалыг зүүн тийш шилжүүлсэн - аравтын тоо, бүр цаашлаад зүүн тийш - зуу, дараа нь мянга гэх мэт. Үүний дагуу бид нэгжийн оронтой, аравтын оронтой гэх мэт.

555 тоо нь танил хэлбэрээр бичигдсэн байдаг эргүүлэвхэлбэр. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэрт бид маш их дассан тул тооны цифрүүдийг 10-ын тооны янз бүрийн хүчээр оюун ухаанаараа хэрхэн үржүүлж байгаагаа анзаарахаа больсон.

IN өргөтгөсөнтооны хэлбэр, ийм үржүүлэх нь тодорхой бичигдсэн байдаг. Тиймээс, өргөтгөсөн хэлбэрээр 555 тоог аравтын бутархайн системд бичих нь дараах байдалтай байна.

555 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0.

Жишээнээс харахад байрлалын тооллын систем дэх тоог хэд хэдэн зэрэглэлийн нийлбэр гэж бичдэг. үндэслэл(энэ тохиолдолд 10), коэффициентүүд нь энэ тооны цифрүүд юм.

Сөрөг илтгэгчийг аравтын бутархай бичихэд ашигладаг. Жишээлбэл, өргөтгөсөн хэлбэрээр 555.55 тоог дараах байдлаар бичнэ.

555.55 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0 + 5 × 10 -1 + 5 × 10 -2.

Ерөнхийдөө аравтын бутархай тооллын системд n бүхэл тоо, m бутархай цифр агуулсан А 10 тоог бичихдээ дараах байдалтай байна.

A 10 = a n-1 × 10 n-1 + ... + a 0 × 10 0 + a -1 × 10 -1 + ... + a -m × 10 -м

Энэ тэмдэглэгээнд байгаа a i коэффициентүүд нь аравтын бутархайн тооны цифрүүд бөгөөд хумигдсан хэлбэрээр дараах байдлаар бичигдэнэ.

A 10 = a n-1 a n-2 ... a 0, a -1 ... a -m.

Дээрх томъёоноос харахад аравтын бутархайг 10-аар (суурийн утга) үржүүлэх буюу хуваах нь бутархайн бутархай хэсгээс бүхэл тооны бутархайг нэг газар баруун эсвэл зүүн тийш тусгаарлах хөдөлгөөнд хүргэдэг нь тодорхой байна. . Жишээлбэл:

555.55 10 × 10 = 5555.5 10;
555,55 10: 10 = 55,555 10 .

Хоёртын тооллын систем.Хоёртын тооллын системд суурь нь 2, цагаан толгой нь хоёр цифрээс (0 ба 1) бүрдэнэ. Иймээс өргөтгөсөн хэлбэрээр хоёртын систем дэх тоонуудыг 0 эсвэл 1 гэсэн коэффициент бүхий 2-р суурийн чадлын нийлбэр хэлбэрээр бичдэг.

Жишээлбэл, өргөтгөсөн хоёртын тоо дараах байдалтай байж болно.

A 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 -1 + 1 × 2 -2.

Ижил тооны хумигдсан хэлбэр:

A 2 = 101.01 2.

Ерөнхийдөө хоёртын системд n бүхэл тоо, m бутархай цифр агуулсан А 2 тоог бичих нь дараах байдалтай байна.

A 2 = a n-1 × 2 n-1 + a n-2 × 2 n-2 + ... + a 0 × 2 0 + a -1 × 2 -1 + ... + a -m × 2 -м

Энэ тэмдэглэгээнд байгаа a i коэффициентүүд нь хоёртын тооны цифрүүд (0 эсвэл 1) бөгөөд тэдгээрийг задалсан хэлбэрээр дараах байдлаар бичнэ.

A 2 = a n-1 a n-2 ... a 0 , a -1 a -2 ... a -m

Дээрх томъёоноос харахад хоёртын тоог 2-оор (үндсэн утга) үржүүлэх буюу хуваах нь бүхэл тоон хэсгийг бутархай хэсгээс нэг цифрээр тусгаарлах таслалыг баруун эсвэл зүүн тийш тус тус шилжүүлэхэд хүргэдэг нь тодорхой байна. Жишээлбэл:

101.01 2 × 2 = 1010.1 2;
101,01 2: 2 = 10,101 2 .

Дурын суурьтай байрлалын тооллын системүүд.Суурь нь 2-той тэнцүү буюу түүнээс их янз бүрийн байрлалын тооллын системийг ашиглах боломжтой. q суурьтай тооллын системд (q-ary тооллын систем) өргөтгөсөн хэлбэрээр тоонууд нь -ийн зэрэглэлийн нийлбэр хэлбэрээр бичигддэг. 0, 1, q - 1 тоонууд болох коэффициент бүхий q суурь:

A q = a n-1 × q n-1 + a n-2 × q n-2 + ... + a 0 × q 0 + a -1 × q -1 + ... + a -m × q -м

Энэ оруулга дахь a i коэффициентүүд нь q-ary тооллын системд бичигдсэн тооны цифрүүд юм.

Тиймээс наймтын системд суурь нь наймтай тэнцүү байна (q = 8). Дараа нь өргөтгөсөн хэлбэрээр буулгасан хэлбэрээр бичсэн наймт тоо A 8 = 673.2 8 дараах байдалтай байна.

A 8 = 6 × 8 2 + 7 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1.

Арван аравтын системд суурь нь арван зургаа (q = 16), дараа нь нурсан хэлбэрээр бичсэн арван зургаат тоо A 16 = 8A, F 16 дараах байдалтай байна.

A 16 = 8 × 16 1 + A × 16 0 + F × 16 -1.

Хэрэв бид аравтын тоонуудыг аравтын бутархайн утгаараа (A=10, F=15) илэрхийлбэл тоо нь дараах хэлбэртэй болно.

A 16 = 8 × 16 1 + 10 × 16 0 + 15 × 16 -1.

Анхаарах асуултууд

1. Байршлын тооллын систем нь байрлалын бус системээс юугаараа ялгаатай вэ?

2. Үсгийн тэмдгийг тоо болгон ашиглаж болох уу?

3. Q-ary тооллын системд хэдэн орон ашигладаг вэ?

Даалгаврууд

1.6. 19.99 10 тоонуудыг бичнэ үү; 10.10 2; 64.5 8; Өргөтгөсөн хэлбэрээр 39,F 16.

1.7. 10.1 10 тоо хэд дахин нэмэгдэх вэ? 10.1 2; 64.5 8; 39,F 16 аравтын бутархайг баруун тийш нэг газар шилжүүлэхэд?

1.8. Аравтын бутархайг баруун тийш хоёр газар шилжүүлэхэд 11.11 x тоо 4 дахин нэмэгдэнэ. x нь хэдтэй тэнцүү вэ?

1.9. 23 ба 67 тоонуудыг агуулсан тооллын системд хамгийн бага суурь хэд байх вэ?

1.10. 1999 10 тоог Ромын тооны системээр бич.

Тооны системийн танилцуулга

1. Тооны системийн тухай ойлголт (СС)

2. Байршилгүй SS

3. Байрлалын SS

4. 10-р SS-ийн жишээ

Байгалийн хэлийг (Орос, Англи, Герман гэх мэт) хүмүүс хооронд мэдээлэл солилцоход ашигладаг. Байгалийн хэл нь үг зохиохдоо үсгийн хувьд ялгаатай тэмдэгтүүдийг ашигладаг. Тэмдэглэгээнээс тодорхой дүрмийн дагуу хүнд ойлгомжтой үг, өгүүлбэрийг бүтээдэг.

Тоон мэдээллийг (объектуудын тооны тухай) илэрхийлэхийн тулд тэмдэгтүүд (энэ тохиолдолд тоонууд) болон цифрүүдийн дарааллыг тодорхойлдог тоонуудаас (тэмдэг) тоо бүтээх дүрмийг тодорхойлсон тусгай хэлийг ашигладаг. тоо болон тоон дээрх үйлдлүүд, өөрөөр хэлбэл нэмэх, хасах, үржүүлэх гэх мэт дүрмүүд. Эдгээр тусгай хэлийг нэрлэдэг. тооллын системүүд .

Бүх тооны системийг хоёр том бүлэгт хуваадаг. албан тушаалын болон албан тушаалын бустооллын системүүд. Байршлын тооллын системд цифрийн утга нь тоон доторх байрлалаас хамаардаг бол байрлалын бус тооллын системд энэ нь хамаарахгүй.

Байршлын бус тооллын системдцифрийн жин (өөрөөр хэлбэл, тухайн тооны утгад оруулсан хувь нэмэр) түүний байр сууринаас хамаарахгүйдугаарыг бичгээр.

Байршлын бус тооллын системүүдээс хамгийн түгээмэл нь Роман. Үүнд ашигласан тоонууд нь: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).

Цифрийн утга нь тухайн тоон дахь байрлалаас хамаардаггүй. Жишээлбэл, XXX (30) тоонд X тоо гурван удаа гарч ирдэг бөгөөд тохиолдол бүрт ижил утгыг илэрхийлдэг - 10 тоо, 10-ын гурван тоог 30 хүртэл нэмнэ.

Ром тооллын систем дэх тооны хэмжээг тухайн тооны цифрүүдийн нийлбэр буюу зөрүүгээр тодорхойлдог. Хэрэв жижиг тоо нь том тооноос зүүн талд байвал хасна, баруун талд байвал нэмнэ. Жишээлбэл, аравтын бутархай 1998 тоог Ром тооллын системд бичвэл дараах байдалтай байна.

MSMХСVIII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Ромын систем дэх 15 тоо нь XV = 10 + 5 юм

Мөн 8 тоог дараах байдлаар илэрхийлж болно: VIII = 5 + 1 + 1 + 1

Байршлын тооллын системд цифрийн тоон утга нь тухайн тоон дахь байрлалаас хамаарна.

Өнөө үед хамгийн түгээмэл байрлалын тооллын системүүд нь аравтын, хоёртын, наймтын, арван зургаатын тооллын систем юм. Байршлын систем бүр өөрийн гэсэн онцлогтой тоо ба суурийн цагаан толгой.

Байршлын тооллын системд системийн суурь нь цифрүүдийн тоотой (цагаан толгойн үсэг) тэнцүү бөгөөд тухайн тооны зэргэлдээ байрлал дахь ижил цифрүүдийн утгууд хэд дахин ялгаатай болохыг тодорхойлдог.

Аливаа натурал тоог системийн суурь болгон авч болно - хоёр, гурав, дөрөв гэх мэт. Тиймээс тоо томшгүй олон байрлалын систем боломжтой: хоёртын, гурвалсан, дөрөвдөгч гэх мэт. Тооллын систем бүрт суурьтай тоо бичих qилэрхийллийн товчлол гэсэн үг

an-1 qn-1 + an-2 qn-2 + ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m,

Хаана ai - тооллын системийн тоо;

n Тэгээд м - бүхэл ба бутархай цифрүүдийн тоо.

АравтынТооллын систем нь араб тоо гэж нэрлэгддэг арван тоо, суурь нь 10-аас бүрдэх тооны цагаан толгойтой.

Хоёртын– хоёр оронтой ба суурь 2.

Найм– найман оронтой ба суурь 8.

Арван арван тоот– арван зургаан орон (Латин цагаан толгойн үсгийг мөн тоо болгон ашигладаг) ба 16 суурь.

10-р SS-д тоо бичих жишээ

Эрт дээр үеэс хуруугаараа тоолж ирсэн, хөлийн арван хуруутай учраас хүмүүс аравтын системийг илүүд үздэг болов уу. Хүмүүс үргэлж, хаа сайгүй аравтын тооллын системийг ашигладаггүй. Тухайлбал, Хятадад таван оронтой тооллын системийг удаан хугацаанд ашигласан.

555-ын аравтын тоог жишээ болгон авч үзье гадагшлуулах.Тооны орон нь баруунаас зүүн тийш, багааас өндөр орон руу нэмэгддэг. Аравтын бутархайн системд хамгийн баруун талд байрлах орон (цифр) нь нэгжийн тоог заана, цифр нь нэг байрлалыг зүүн тийш шилжүүлсэн - аравтын тоо, бүр цаашлаад зүүн тийш - зуу, дараа нь мянга гэх мэт.

Аравтын бутархай байрлалын тооллын систем дэх тоог суурийн (10) хэд хэдэн зэрэглэлийн нийлбэрээр бичдэг бөгөөд өгөгдсөн тооны цифрүүд нь коэффициентийн үүрэг гүйцэтгэдэг.

555 тоог аравтын бутархайн системд бичвэл дараах байдлаар харагдана: 55510 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100.

Сөрөг илтгэгчийг аравтын бутархай бичихэд ашигладаг.

Жишээ нь: 555.5510 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100 + 5 *10-1 + 5 *10-2

Тоонуудын хувьд 10 индекс (555 10 болон 555.55 10 ) нь тухайн тоо бичигдсэн тооллын системийн суурийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ жишээнд энэ нь аравтын бутархай SS юм.

Өөр өөр тооллын систем дэх тоонуудын харилцан хамаарал