الشكل الرباعي المحدب هو شكل يتكون من أربعة جوانب متصلة ببعضها البعض عند الرؤوس ، وتشكل أربع زوايا مع الجوانب ، بينما يكون المربع نفسه دائمًا في نفس المستوى بالنسبة للخط المستقيم الذي يقع عليه أحد جوانبه. بمعنى آخر ، الشكل بأكمله موجود على جانب واحد من أي جانب من جوانبه.

في تواصل مع

كما ترى ، التعريف سهل التذكر.

الخصائص والأنواع الأساسية

يمكن أن تُعزى جميع الأشكال المعروفة لدينا تقريبًا ، والتي تتكون من أربع زوايا وجوانب ، إلى أشكال رباعية محدبة. يمكن تمييز ما يلي:

1. متوازي الاضلاع؛
2. ميدان؛
3. مستطيل؛
4. شبه منحرف؛
5. معين.

كل هذه الشخصيات متحدة ليس فقط من خلال حقيقة أنها رباعي الزوايا ، ولكن أيضًا من خلال حقيقة أنها محدبة أيضًا. ما عليك سوى إلقاء نظرة على الرسم التخطيطي:

يوضح الشكل شبه منحرف محدب. هنا يمكنك أن ترى أن شبه المنحرف على نفس المستوى أو على جانب واحد من القطعة. إذا قمت بتنفيذ إجراءات مماثلة ، يمكنك معرفة أنه في حالة جميع الجوانب الأخرى ، يكون شبه المنحرف محدبًا.

هل متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب؟

أعلاه صورة متوازي الأضلاع. كما يتضح من الشكل ، متوازي الأضلاع محدب أيضًا. إذا نظرت إلى الشكل فيما يتعلق بالخطوط التي تقع عليها المقاطع AB و BC و CD و AD ، يتضح أنها دائمًا على نفس المستوى من هذه الخطوط. تتمثل السمات الرئيسية لمتوازي الأضلاع في أن أضلاعه متوازية ومتساوية في الزوج بنفس الطريقة التي تتساوى بها الزوايا المتقابلة مع بعضها البعض.

الآن ، تخيل مربعًا أو مستطيلًا. وفقًا لخصائصها الرئيسية ، فهي أيضًا متوازية الأضلاع ، أي أن جميع جوانبها مرتبة في أزواج على التوازي. فقط في حالة المستطيل ، يمكن أن يكون طول الأضلاع مختلفًا ، والزوايا قائمة (تساوي 90 درجة) ، والمربع هو مستطيل تتساوى فيه جميع الأضلاع والزوايا قائمة أيضًا ، بينما الأطوال يمكن أن تكون جوانب وزوايا متوازي الأضلاع مختلفة.

نتيجة لذلك ، مجموع الزوايا الأربع للشكل الرباعي يجب أن تكون مساوية لـ 360 درجة. أسهل طريقة لتحديد ذلك هي باستخدام مستطيل: جميع الزوايا الأربع للمستطيل قائمة ، أي تساوي 90 درجة. مجموع هذه الزوايا 90 درجة يعطي 360 درجة ، بمعنى آخر ، إذا أضفت 90 درجة 4 مرات ، ستحصل على النتيجة المرجوة.

خاصية أقطار الشكل الرباعي المحدب

تتقاطع أقطار الشكل الرباعي المحدب. في الواقع ، يمكن ملاحظة هذه الظاهرة بصريًا ، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الشكل:

يوضح الشكل الموجود على اليسار شكل رباعي أو رباعي غير محدب. كما تتمنا. كما ترى ، لا تتقاطع الأقطار ، على الأقل ليس جميعها. على اليمين شكل رباعي محدب. هنا لوحظ بالفعل خاصية الأقطار للتقاطع. يمكن اعتبار نفس الخاصية علامة على تحدب الرباعي.

خصائص وعلامات التحدب الأخرى للشكل الرباعي

على وجه التحديد ، وفقًا لهذا المصطلح ، من الصعب جدًا تسمية أي خصائص وميزات محددة. من الأسهل عزل وفقًا لأنواع مختلفة من الأشكال الرباعية من هذا النوع. يمكنك أن تبدأ مع متوازي الأضلاع. نعلم بالفعل أن هذا شكل رباعي الزوايا ، أضلاعه متوازية ومتساوية. في الوقت نفسه ، يتضمن هذا أيضًا خاصية أقطار متوازي الأضلاع لتتقاطع مع بعضها البعض ، بالإضافة إلى علامة تحدب الشكل نفسه: يكون متوازي الأضلاع دائمًا في نفس المستوى وعلى جانب واحد بالنسبة لأي من جوانبها.

لذا، الميزات والخصائص الرئيسية معروفة:

1. مجموع زوايا الشكل الرباعي 360 درجة ؛
2. تتقاطع أقطار الأشكال عند نقطة واحدة.

مستطيل. هذا الشكل له نفس خصائص وميزات متوازي الأضلاع ، لكن جميع زواياه تساوي 90 درجة. ومن هنا الاسم ، المستطيل.

مربع ، نفس متوازي الأضلاعلكن زواياه على اليمين مثل المستطيل. لهذا السبب ، نادرًا ما يُطلق على المربع اسم مستطيل. لكن السمة المميزة الرئيسية للمربع ، بالإضافة إلى تلك المذكورة أعلاه ، هي أن جميع جوانبها الأربعة متساوية.

شبه المنحرف هو شخصية مثيرة للاهتمام للغاية.. هذا أيضًا شكل رباعي ومحدب أيضًا. في هذه المقالة ، تم بالفعل اعتبار شبه المنحرف باستخدام مثال الرسم. من الواضح أنها محدبة أيضًا. الاختلاف الرئيسي ، وبالتالي ، علامة شبه منحرف هو أن جوانبها لا يمكن أن تتساوى تمامًا مع بعضها البعض في الطول ، وكذلك زواياها من حيث القيمة. في هذه الحالة ، يظل الشكل دائمًا على نفس المستوى فيما يتعلق بأي من الخطوط المستقيمة التي تربط أي رأسين من رؤوسه على طول المقاطع التي تشكل الشكل.

المعين هو شخصية مثيرة للاهتمام بنفس القدر. يمكن اعتبار المعين جزئيًا مربعًا. علامة المعين هي حقيقة أن أقطارها لا تتقاطع فقط ، بل تقسم أيضًا زوايا المعين إلى نصفين ، وتتقاطع الأقطار نفسها بزوايا قائمة ، أي أنها عمودية. إذا كانت أطوال جانبي المعين متساوية ، فسيتم تقسيم الأقطار أيضًا إلى نصفين عند التقاطع.

دالتويد أو معينات محدبة (المعينات)قد يكون لها أطوال جانبية مختلفة. ولكن في الوقت نفسه ، لا تزال الخصائص والميزات الرئيسية للمعين نفسه وخصائص وخصائص التحدب محفوظة. أي يمكننا ملاحظة أن الأقطار تقسم الزوايا وتتقاطع بزوايا قائمة.

كانت مهمة اليوم هي دراسة وفهم ماهية الأشكال الرباعية المحدبة ، وما هي وخصائصها وخصائصها الرئيسية. انتباه! تجدر الإشارة مرة أخرى إلى أن مجموع زوايا الشكل الرباعي المحدب يساوي 360 درجة. محيط الأشكال ، على سبيل المثال ، يساوي مجموع أطوال جميع الأجزاء التي تشكل الشكل. ستتم مناقشة الصيغ لحساب محيط ومساحة الأشكال الرباعية في المقالات التالية.

أنواع الأشكال الرباعية المحدبة

مفهوم المضلع

التعريف 1

مضلعيسمى الشكل الهندسي في المستوى ، والذي يتكون من مقاطع زوجية مترابطة ، لا تقع المجاورة لها على خط مستقيم واحد.

في هذه الحالة ، يتم استدعاء المقاطع جوانب المضلع، ونهاياتهم رؤوس المضلع.

التعريف 2

المضلع $ n $ - مضلع برؤوس $ n $.

أنواع المضلعات

التعريف 3

إذا كان المضلع يقع دائمًا على جانب واحد من أي خط يمر عبر جوانبه ، فسيتم استدعاء المضلع محدب(رسم بياني 1).

الشكل 1. الشكل 1. مضلع محدب

التعريف 4

إذا كان المضلع يقع على جوانب متقابلة لخط مستقيم واحد على الأقل يمر عبر جوانبه ، فإن المضلع يسمى غير محدب (الشكل 2).

الشكل 2. غير مضلع محدب

مجموع زوايا المضلع

نقدم نظرية في مجموع زوايا a -gon.

نظرية 1

يتم تعريف مجموع زوايا الشكل المحدب على النحو التالي

\ [(n-2) \ cdot (180) ^ 0 \]

دليل - إثبات.

لنحصل على مضلع محدب $ A_1A_2A_3A_4A_5 \ dots A_n $. قم بتوصيل رأسه $ A_1 $ بجميع الرؤوس الأخرى للمضلع المحدد (الشكل 3).

الشكل 3

مع هذا الاتصال ، نحصل على مثلثات $ n-2 $. بتجميع زواياهم ، نحصل على مجموع زوايا الشكل المعطى -gon. نظرًا لأن مجموع زوايا المثلث هو $ (180) ^ 0 ، نحصل على أن مجموع زوايا الشكل المحدب يتحدد بالصيغة

\ [(n-2) \ cdot (180) ^ 0 \]

لقد تم إثبات النظرية.

مفهوم الرباعي

باستخدام تعريف $ 2 ، من السهل تقديم تعريف رباعي الأضلاع.

التعريف 5

الشكل الرباعي هو مضلع برؤوسه $ 4 (الشكل 4).

الشكل 4. الشكل الرباعي

بالنسبة للرباعي ، يتم تعريف مفهومي الشكل الرباعي المحدب والرباعي غير المحدب بشكل مشابه. الأمثلة الكلاسيكية للمربع المحدب هي مربع ، مستطيل ، شبه منحرف ، معين ، متوازي أضلاع (الشكل 5).

الشكل 5. الأشكال الرباعية المحدبة

نظرية 2

مجموع زوايا الشكل الرباعي المحدب هو $ (360) ^ 0 $

دليل - إثبات.

من خلال النظرية $ 1 $ ، نعلم أن مجموع زوايا الشكل المحدب -gon تحدده الصيغة

\ [(n-2) \ cdot (180) ^ 0 \]

إذن ، مجموع زوايا الشكل الرباعي المحدب هو

\ [\ يسار (4-2 \ يمين) \ cdot (180) ^ 0 = (360) ^ 0 \]

لقد تم إثبات النظرية.

في الصف الثامن ، في دروس الهندسة في المدرسة ، يتعرف الطلاب لأول مرة على مفهوم المضلع المحدب. قريبا جدا سوف يتعلمون أن هذا الرقم له خاصية مثيرة للاهتمام للغاية. بغض النظر عن مدى تعقيده ، فإن مجموع جميع الزوايا الداخلية والخارجية لمضلع محدب يأخذ قيمة محددة بدقة. في هذه المقالة ، يتحدث مدرس الرياضيات والفيزياء عن مجموع زوايا المضلع المحدب.

مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب

كيف تثبت هذه الصيغة؟

قبل الشروع في إثبات هذه العبارة ، نتذكر أي مضلع يسمى محدب. يسمى المضلع محدب إذا كان يقع بالكامل على جانب واحد من الخط يحتوي على أي من جوانبه. على سبيل المثال ، الذي يظهر في هذه الصورة:

إذا كان المضلع لا يفي بالشرط المشار إليه ، فإنه يسمى غير محدب. على سبيل المثال ، مثل هذا:

مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب هو ، حيث عدد جوانب المضلع.

يعتمد إثبات هذه الحقيقة على نظرية مجموع الزوايا في المثلث ، وهي معروفة جيدًا لجميع أطفال المدارس. أنا متأكد من أنك على دراية بهذه النظرية. مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو.

الفكرة هي تقسيم المضلع المحدب إلى مثلثات متعددة. يمكن القيام بذلك بطرق مختلفة. اعتمادًا على الطريقة التي نختارها ، سيكون الدليل مختلفًا قليلاً.

1. قسّم مضلعًا محدبًا إلى مثلثات بواسطة جميع الأقطار الممكنة المستمدة من بعض الرؤوس. من السهل أن نفهم أنه بعد ذلك سيتم تقسيم n-gon إلى مثلثات:

علاوة على ذلك ، فإن مجموع زوايا كل المثلثات الناتجة يساوي مجموع زوايا n-gon. بعد كل شيء ، كل زاوية في المثلثات الناتجة هي زاوية جزئية في المضلع المحدب. أي أن المبلغ المطلوب يساوي.

2. يمكنك أيضًا تحديد نقطة داخل المضلع المحدب وتوصيله بجميع القمم. ثم سيتم تقسيم n-gon إلى مثلثات:

علاوة على ذلك ، فإن مجموع زوايا المضلع في هذه الحالة سيكون مساويًا لمجموع كل زوايا كل هذه المثلثات مطروحًا منه الزاوية المركزية ، والتي تساوي. وهذا يعني أن المبلغ المطلوب يساوي مرة أخرى.

مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب

دعونا الآن نسأل أنفسنا السؤال: "ما هو مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب؟" يمكن الإجابة على هذا السؤال بالطريقة التالية. كل زاوية خارجية مجاورة للزاوية الداخلية المقابلة. لذلك فهي تساوي:

ثم مجموع كل الزوايا الخارجية. أي أنها تساوي.

هذه نتيجة مضحكة جدا إذا وضعنا جانبًا بالتسلسل واحدًا تلو الآخر جميع الزوايا الخارجية لأي محدب n-gon ، فنتيجة لذلك سيتم ملء المستوى بأكمله بالضبط.

يمكن توضيح هذه الحقيقة المثيرة للاهتمام على النحو التالي. فلنقلص جميع جوانب بعض المضلع المحدب بشكل متناسب حتى يندمج في نقطة. بعد أن يحدث هذا ، سيتم وضع كل الزوايا الخارجية جانبًا عن الأخرى وبالتالي تملأ المستوى بأكمله.

حقيقة مثيرة للاهتمام ، أليس كذلك؟ وهناك الكثير من هذه الحقائق في الهندسة. لذا تعلموا الهندسة أيها الطلاب الأعزاء!

أعد سيرجي فاليريفيتش المادة التي تساوي مجموع زوايا المضلع المحدب

مفهوم المضلع

التعريف 1

مضلعيسمى الشكل الهندسي في المستوى ، والذي يتكون من مقاطع زوجية مترابطة ، لا تقع المجاورة لها على خط مستقيم واحد.

في هذه الحالة ، يتم استدعاء المقاطع جوانب المضلع، ونهاياتهم رؤوس المضلع.

التعريف 2

المضلع $ n $ - مضلع برؤوس $ n $.

أنواع المضلعات

التعريف 3

إذا كان المضلع يقع دائمًا على جانب واحد من أي خط يمر عبر جوانبه ، فسيتم استدعاء المضلع محدب(رسم بياني 1).

الشكل 1. الشكل 1. مضلع محدب

التعريف 4

إذا كان المضلع يقع على جوانب متقابلة لخط مستقيم واحد على الأقل يمر عبر جوانبه ، فإن المضلع يسمى غير محدب (الشكل 2).

الشكل 2. غير مضلع محدب

مجموع زوايا المضلع

نقدم نظرية في مجموع زوايا a -gon.

نظرية 1

يتم تعريف مجموع زوايا الشكل المحدب على النحو التالي

\ [(n-2) \ cdot (180) ^ 0 \]

دليل - إثبات.

لنحصل على مضلع محدب $ A_1A_2A_3A_4A_5 \ dots A_n $. قم بتوصيل رأسه $ A_1 $ بجميع الرؤوس الأخرى للمضلع المحدد (الشكل 3).

الشكل 3

مع هذا الاتصال ، نحصل على مثلثات $ n-2 $. بتجميع زواياهم ، نحصل على مجموع زوايا الشكل المعطى -gon. نظرًا لأن مجموع زوايا المثلث هو $ (180) ^ 0 ، نحصل على أن مجموع زوايا الشكل المحدب يتحدد بالصيغة

\ [(n-2) \ cdot (180) ^ 0 \]

لقد تم إثبات النظرية.

مفهوم الرباعي

باستخدام تعريف $ 2 ، من السهل تقديم تعريف رباعي الأضلاع.

التعريف 5

الشكل الرباعي هو مضلع برؤوسه $ 4 (الشكل 4).

الشكل 4. الشكل الرباعي

بالنسبة للرباعي ، يتم تعريف مفهومي الشكل الرباعي المحدب والرباعي غير المحدب بشكل مشابه. الأمثلة الكلاسيكية للمربع المحدب هي مربع ، مستطيل ، شبه منحرف ، معين ، متوازي أضلاع (الشكل 5).

الشكل 5. الأشكال الرباعية المحدبة

نظرية 2

مجموع زوايا الشكل الرباعي المحدب هو $ (360) ^ 0 $

دليل - إثبات.

من خلال النظرية $ 1 $ ، نعلم أن مجموع زوايا الشكل المحدب -gon تحدده الصيغة

\ [(n-2) \ cdot (180) ^ 0 \]

إذن ، مجموع زوايا الشكل الرباعي المحدب هو

\ [\ يسار (4-2 \ يمين) \ cdot (180) ^ 0 = (360) ^ 0 \]

لقد تم إثبات النظرية.

خط متقطع

تعريف

خط متقطعأو أقصر خط متقطع، يسمى تسلسل محدود من المقاطع ، بحيث يكون أحد طرفي المقطع الأول بمثابة نهاية الجزء الثاني ، ويعمل الطرف الآخر من المقطع الثاني كنهاية للجزء الثالث ، وهكذا. في هذه الحالة ، لا تقع الأجزاء المجاورة على نفس الخط المستقيم. تسمى هذه الأجزاء روابط متعددة الخطوط.

أنواع الخط المتقطع

يسمى الخط المتقطع مغلقإذا تزامنت بداية المقطع الأول مع نهاية المقطع الأخير.

يمكن للخط المكسور أن يتقاطع مع نفسه ويلامس نفسه ويتكئ على نفسه. إذا لم تكن هناك مثل هذه التفردات ، فسيتم استدعاء هذا الخط المتقطع بسيط.

المضلعات

تعريف

يسمى شكل متعدد الخطوط مغلق بسيط ، مع جزء من المستوى الذي يحده مضلع.

تعليق

في كل رأس من رأس المضلع ، تحدد جوانبه بعض زاوية المضلع. يمكن أن يكون إما أقل من نشر أو أكثر من نشر.

ملكية

كل مضلع له زاوية أقل من 180 $ ^ \ circ $.

دليل - إثبات

دعونا نعطي المضلع $ P $.

لنرسم خطًا مستقيمًا لا يتقاطع معه. سنقوم بتحريكه بالتوازي مع جانب المضلع. في مرحلة ما ، نحصل لأول مرة على سطر $ a $ يحتوي على نقطة مشتركة واحدة على الأقل مع المضلع $ P $. يقع المضلع على جانب واحد من هذا الخط (علاوة على ذلك ، تقع بعض نقاطه على الخط $ a $).

يحتوي السطر $ a $ على رأس واحد على الأقل من المضلع. يتقارب ضلعه ، ويقع على نفس الجانب من الخط $ a $ (بما في ذلك الحالة عندما يقع أحدهما على هذا الخط). إذن ، عند هذا الرأس ، تكون الزاوية أصغر من الزاوية المطورة.

تعريف

يسمى المضلع محدبإذا كان يقع على جانب واحد من كل خط يحتوي على جانبه. إذا لم يكن المضلع محدبًا ، فسيتم استدعاؤه غير محدب.

تعليق

المضلع المحدب هو تقاطع أنصاف المستويات التي تحدها خطوط تحتوي على جوانب المضلع.

خصائص المضلع المحدب

كل زوايا المضلع المحدب أقل من 180 $ ^ \ circ $.

يحتوي هذا المضلع على قطعة مستقيمة تربط أي نقطتين في مضلع محدب (على وجه الخصوص ، أي من أقطارها).

دليل - إثبات

دعنا نثبت الخاصية الأولى

خذ أي ركن من أركان $ A $ لمضلع محدب $ P $ وجانبه $ a $ قادمًا من الرأس $ A $. لنفترض أن $ l $ عبارة عن سطر يحتوي على الجانب $ a $. نظرًا لأن المضلع $ P $ محدب ، فإنه يقع على جانب واحد من الخط $ l $. لذلك ، فإن زاويته $ A $ تقع أيضًا في نفس الجانب من هذا الخط. ومن هنا تكون الزاوية $ A $ أقل من الزاوية المستقيمة ، أي أقل من 180 $ ^ \ circ $.

دعنا نثبت الخاصية الثانية

خذ أي نقطتين $ A $ و $ B $ من المضلع المحدب $ P $. المضلع $ P $ هو تقاطع عدة أنصاف مستويات. الجزء $ AB $ موجود في كل من هذه المستويات النصفية. لذلك ، فهو موجود أيضًا في المضلع $ P $.

تعريف

مضلع قطرييسمى المقطع الذي يربط بين الرؤوس غير المجاورة.

نظرية (حول عدد الأقطار في n-gon)

يتم حساب عدد الأقطار المحدبة $ n $ -gon بواسطة الصيغة $ \ dfrac (n (n-3)) (2) $.

دليل - إثبات

من كل رأس في n-gon ، يمكن للمرء رسم أقطار $ n-3 $ (لا يمكن للمرء رسم قطري للرؤوس المجاورة وإلى هذا الرأس نفسه). إذا قمنا بحساب كل هذه الأجزاء الممكنة ، فسيكون هناك $ n \ cdot (n-3) $ ، نظرًا لوجود رؤوس $ n $. لكن كل قطري سيُحسب مرتين. وبالتالي ، فإن عدد الأقطار في n-gon هو $ \ dfrac (n (n-3)) (2) $.

نظرية (على مجموع زوايا n-gon)

مجموع زوايا الشكل المحدب $ n $ -gon هو 180 $ ^ \ circ (n-2) $.

دليل - إثبات

ضع في اعتبارك $ n $ -gon $ A_1A_2A_3 \ ldots A_n $.

خذ نقطة عشوائية $ O $ داخل هذا المضلع.

مجموع زوايا كل المثلثات $ A_1OA_2 $ ، $ A_2OA_3 $ ، $ A_3OA_4 $ ، \ ldots ، $ A_ (n-1) OA_n $ هو $ 180 ^ \ circ \ cdot n $.

من ناحية أخرى ، هذا المجموع هو مجموع كل الزوايا الداخلية للمضلع والزاوية الكلية $ \ angle O = \ angle 1+ \ angle 2+ \ angle 3+ \ ldots = 30 ^ \ circ $.

إذن مجموع زوايا الشكل المدروس $ n $ يساوي 180 $ ^ \ circ \ cdot n-360 ^ \ circ = 180 ^ \ circ \ cdot (n-2) $.

عاقبة

مجموع زوايا الشكل غير المحدب $ n $ -gon هو 180 $ ^ \ circ (n-2) $.

دليل - إثبات

ضع في اعتبارك المضلع $ A_1A_2 \ ldots A_n $ الذي تكون زاويته الوحيدة $ \ الزاوية A_2 $ غير محدبة ، أي $ \ زاوية A_2> 180 ^ \ circ $.

دعنا نشير إلى مجموع صيده $ S $.

اربط النقاط $ A_1A_3 $ واعتبر المضلع $ A_1A_3 \ ldots A_n $.

مجموع زوايا هذا المضلع هو:

180 دولارًا أمريكيًا ^ \ دائرة \ cdot (n-1-2) = S- \ زاوية A_2 + \ زاوية 1+ \ زاوية 2 = S- \ زاوية A_2 + 180 ^ \ دائرة- \ زاوية A_1A_2A_3 = S + 180 ^ \ circ- ( \ زاوية A_1A_2A_3 + \ زاوية A_2) = S + 180 ^ \ circ-360 ^ \ circ $.

لذلك ، $ S = 180 ^ \ circ \ cdot (n-1-2) + 180 ^ \ circ = 180 ^ \ circ \ cdot (n-2) $.

إذا كان المضلع الأصلي يحتوي على أكثر من زاوية غير محدبة ، فيمكن إجراء العملية الموضحة أعلاه مع كل زاوية ، مما يؤدي إلى إثبات التأكيد.

نظرية (على مجموع الزوايا الخارجية ل n-gon محدب)

مجموع الزوايا الخارجية للمحدب $ n $ -gon هو 360 $ ^ \ circ $.

دليل - إثبات

الزاوية الخارجية عند الرأس $ A_1 $ هي 180 دولارًا ^ \ circ- \ angle A_1 $.

مجموع كل الزوايا الخارجية هو:

$ \ sum \ limits_ (n) (180 ^ \ circ- \ angle A_n) = n \ cdot180 ^ \ circ - \ sum \ limits_ (n) A_n = n \ cdot180 ^ \ circ - 180 ^ \ circ \ cdot (n -2) = 360 ^ \ circ $.