Här ger vi detaljerade lösningar på tre exempel på att integrera följande rationella bråk:
, , .

Exempel 1

Beräkna integralen:
.

Lösning

Här, under integraltecknet, finns det en rationell funktion, eftersom integranden är en bråkdel av polynom. Nämnarpolynomgrad ( 3 ) är mindre än graden av täljarpolynomet ( 4 ). Därför måste du först välja hela delen av fraktionen.

1. Låt oss välja hela delen av bråket. Dela x 4 av x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Härifrån
.

2. Låt oss faktorisera bråkets nämnare. För att göra detta måste du lösa kubikekvationen:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Låt oss ersätta x = 1 :
.

1 . Dividera med x - 1 :

Härifrån
.
Lösa en andragradsekvation.
.
Rötterna till ekvationen är: , .
Sedan
.

3. Låt oss bryta ner bråket i dess enklaste form.

.

Så vi hittade:
.
Låt oss integrera.

Svar

Exempel 2

Beräkna integralen:
.

Lösning

Här är bråktalets täljare ett polynom med grad noll ( 1 = x 0). Nämnaren är ett polynom av tredje graden. Eftersom den 0 < 3 , då är bråket korrekt. Låt oss dela upp det i enkla bråkdelar.

1. Låt oss faktorisera bråkets nämnare. För att göra detta måste du lösa tredjegradsekvationen:
.
Låt oss anta att den har minst en hel rot. Då är det en divisor av talet 3 (medlem utan x). Det vill säga, hela roten kan vara ett av talen:
1, 3, -1, -3 .
Låt oss ersätta x = 1 :
.

Så vi har hittat en rot x = 1 . Dela x 3 + 2 x - 3 på x - 1 :

Så,
.

Lösa andragradsekvationen:
x 2 + x + 3 = 0.
Hitta diskriminanten: D = 1 2 - 4 3 = -11. Sedan D< 0 , då har ekvationen inga riktiga rötter. Således fick vi faktoriseringen av nämnaren:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Låt oss ersätta x = 1 . Sedan x - 1 = 0 ,
.

Låt oss byta in (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Låt oss likställa med (2.1) koefficienter för x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Låt oss integrera.
(2.2) .
För att beräkna den andra integralen väljer vi derivatan av nämnaren i täljaren och reducerar nämnaren till summan av kvadrater.

;
;
.

Räkna ut I 2 .


.
Eftersom ekvationen x 2 + x + 3 = 0 har inga riktiga rötter, då x 2 + x + 3 > 0. Därför kan modultecknet utelämnas.

Vi levererar till (2.2) :
.

Svar

Exempel 3

Beräkna integralen:
.

Lösning

Här under integraltecknet finns en bråkdel av polynom. Därför är integranden en rationell funktion. Graden av polynomet i täljaren är lika med 3 . Graden av polynomet av bråkets nämnare är lika med 4 . Eftersom den 3 < 4 , då är bråket korrekt. Därför kan det sönderdelas i enkla fraktioner. Men för att göra detta måste du faktorisera nämnaren.

1. Låt oss faktorisera bråkets nämnare. För att göra detta måste du lösa ekvationen för fjärde graden:
.
Låt oss anta att den har minst en hel rot. Då är det en divisor av talet 2 (medlem utan x). Det vill säga, hela roten kan vara ett av talen:
1, 2, -1, -2 .
Låt oss ersätta x = -1 :
.

Så vi har hittat en rot x = -1 . Dividera med x - (-1) = x + 1:


Så,
.

Nu måste vi lösa tredjegradsekvationen:
.
Om vi ​​antar att denna ekvation har en heltalsrot, så är den en divisor av talet 2 (medlem utan x). Det vill säga, hela roten kan vara ett av talen:
1, 2, -1, -2 .
Låt oss ersätta x = -1 :
.

Så vi hittade en annan rot x = -1 . Det skulle vara möjligt, som i föregående fall, att dividera polynomet med , men vi kommer att gruppera termerna:
.

Eftersom ekvationen x 2 + 2 = 0 har inga riktiga rötter, då får vi faktoriseringen av nämnaren:
.

2. Låt oss bryta ner bråket i dess enklaste form. Vi söker en expansion i formen:
.
Vi gör oss av med bråkets nämnare, multiplicera med (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Låt oss ersätta x = -1 . Sedan x + 1 = 0 ,
.

Låt oss skilja (3.1) :

;

.
Låt oss ersätta x = -1 och ta hänsyn till att x + 1 = 0 :
;
; .

Låt oss byta in (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Låt oss likställa med (3.1) koefficienter för x 3 :
;
1 = B + C;
.

Så vi har hittat sönderdelningen i enkla fraktioner:
.

3. Låt oss integrera.


.

Integration av en bråk-rationell funktion.
Osäker koefficientmetod

Vi fortsätter att arbeta med att integrera bråk. Vi har redan tittat på integraler av vissa typer av bråk i lektionen, och denna lektion kan på sätt och vis betraktas som en fortsättning. För att framgångsrikt förstå materialet krävs grundläggande integrationsfärdigheter, så om du precis har börjat studera integraler, det vill säga du är nybörjare, måste du börja med artikeln Obestämd integral. Exempel på lösningar.

Märkligt nog, nu kommer vi inte att syssla med att hitta integraler, utan... med att lösa linjära ekvationssystem. I detta avseende enträget Jag rekommenderar att du går på lektionen Du måste nämligen vara väl bevandrad i substitutionsmetoden (”skolans”-metoden och metoden för term-för-term addition (subtraktion) av systemekvationer.

Vad är en bråkrationell funktion? Med enkla ord är en bråkrationell funktion ett bråk vars täljare och nämnare innehåller polynom eller produkter av polynom. Dessutom är fraktionerna mer sofistikerade än de som diskuteras i artikeln Integrera några bråk.

Integrering av en korrekt bråk-rationell funktion

Omedelbart ett exempel och en typisk algoritm för att lösa integralen av en bråk-rationell funktion.

Exempel 1

Steg 1. Det första vi ALLTID gör när vi löser en integral av en rationell bråkfunktion är att klargöra följande fråga: är bråket korrekt? Detta steg utförs muntligt, och nu ska jag förklara hur:

Först tittar vi på täljaren och tar reda på det senior examen polynom:

Den ledande makten för täljaren är två.

Nu tittar vi på nämnaren och tar reda på det senior examen nämnare. Det uppenbara sättet är att öppna parenteserna och ta med liknande termer, men du kan göra det enklare, i varje hitta den högsta graden inom parentes

och mentalt multiplicera: - alltså är den högsta graden av nämnaren lika med tre. Det är ganska uppenbart att om vi faktiskt öppnar parentesen så får vi inte en grad större än tre.

Slutsats: Stor grad av täljare STRIKTär mindre än den högsta potensen av nämnaren, vilket betyder att bråket är korrekt.

Om täljaren i detta exempel innehöll polynomet 3, 4, 5, etc. grader, då skulle bråkdelen vara fel.

Nu kommer vi bara att överväga de korrekta rationella bråkfunktionerna. Fallet när graden av täljaren är större än eller lika med graden av nämnaren kommer att diskuteras i slutet av lektionen.

Steg 2. Låt oss faktorisera nämnaren. Låt oss titta på vår nämnare:

Generellt sett är detta redan en produkt av faktorer, men ändå frågar vi oss själva: är det möjligt att expandera något annat? Objektet för tortyr kommer utan tvekan att vara det kvadratiska trinomialet. Lösa andragradsekvationen:

Diskriminanten är större än noll, vilket betyder att trinomialet verkligen kan faktoriseras:

Allmän regel: ALLT som KAN räknas in i nämnaren – faktorisera det

Låt oss börja formulera en lösning:

Steg 3. Med metoden för obestämda koefficienter expanderar vi integranden till en summa av enkla (elementära) bråk. Nu blir det tydligare.

Låt oss titta på vår integrand funktion:

Och du vet, på något sätt dyker en intuitiv tanke upp att det skulle vara trevligt att förvandla vår stora del till flera små. Till exempel, så här:

Frågan uppstår, är det ens möjligt att göra detta? Låt oss andas ut, säger motsvarande teorem för matematisk analys – DET ÄR MÖJLIGT. En sådan nedbrytning finns och är unik.

Det finns bara en hake, oddsen är Hejdå Vi vet inte, därav namnet - metoden för obestämda koefficienter.

Som du gissade, efterföljande kroppsrörelser är sådana, skaka inte! kommer att syfta till att bara KÄNDA IGEN dem - för att ta reda på vad de är lika med.

Var försiktig, jag kommer att förklara i detalj bara en gång!

Så låt oss börja dansa från:

På vänster sida reducerar vi uttrycket till en gemensam nämnare:

Nu kan vi säkert bli av med nämnare (eftersom de är samma):

På vänster sida öppnar vi parenteserna, men rör inte de okända koefficienterna för tillfället:

Samtidigt upprepar vi skolregeln att multiplicera polynom. När jag var lärare lärde jag mig att uttala denna regel med rakt ansikte: För att multiplicera ett polynom med ett polynom måste du multiplicera varje term i ett polynom med varje term i det andra polynomet.

Ur en tydlig förklarings synvinkel är det bättre att sätta koefficienterna inom parentes (även om jag personligen aldrig gör detta för att spara tid):

Vi komponerar ett system av linjära ekvationer.
Först letar vi efter seniorexamina:

Och vi skriver in motsvarande koefficienter i systemets första ekvation:

Kom ihåg följande punkt väl. Vad skulle hända om det inte fanns några s på höger sida alls? Låt oss säga, skulle det bara visa upp sig utan någon kvadrat? I det här fallet, i systemets ekvation skulle det vara nödvändigt att sätta en nolla till höger: . Varför noll? Men eftersom du på höger sida alltid kan tilldela samma kvadrat med noll: Om det på höger sida inte finns några variabler och/eller en fri term, så sätter vi nollor på höger sida av motsvarande ekvationer i systemet.

Vi skriver in motsvarande koefficienter i systemets andra ekvation:

Och slutligen, mineralvatten, vi väljer gratis medlemmar.

Eh...jag skojade typ. Skämt åsido - matematik är en seriös vetenskap. I vår institutgrupp var det ingen som skrattade när adjunkten sa att hon skulle strö ut termerna längs tallinjen och välja de största. Låt oss bli seriösa. Fast... den som lever för att se slutet av den här lektionen kommer fortfarande att le tyst.

Systemet är klart:

Vi löser systemet:

(1) Från den första ekvationen uttrycker vi och ersätter den i systemets andra och tredje ekvationer. Det var faktiskt möjligt att uttrycka (eller en annan bokstav) från en annan ekvation, men i det här fallet är det fördelaktigt att uttrycka det från den 1:a ekvationen, eftersom det minsta odds.

(2) Vi presenterar liknande termer i 2:a och 3:e ekvationerna.

(3) Vi lägger till de andra och tredje ekvationerna term för term, och erhåller likheten , av vilken det följer att

(4) Vi byter in i den andra (eller tredje) ekvationen, varifrån vi finner det

(5) Ersätt och in i den första ekvationen, erhåll .

Om du har några svårigheter med metoderna för att lösa systemet, öva på dem i klassen. Hur löser man ett system av linjära ekvationer?

Efter att ha löst systemet är det alltid användbart att kontrollera - ersätt de hittade värdena varje systemets ekvation, som ett resultat bör allt "konvergera".

Nästan där. Koefficienterna hittades, och:

Det färdiga jobbet ska se ut ungefär så här:

Som du kan se var uppgiftens största svårighet att komponera (korrekt!) och lösa (korrekt!) ett system av linjära ekvationer. Och i slutskedet är allt inte så svårt: vi använder linjäritetsegenskaperna för den obestämda integralen och integrerar. Observera att under var och en av de tre integralerna har vi en "gratis" komplex funktion. Jag pratade om funktionerna i dess integration i lektionen Variabel ändringsmetod i obestämd integral.

Kontrollera: Differentiera svaret:

Den ursprungliga integrandfunktionen har erhållits, vilket betyder att integralen har hittats korrekt.
Under verifieringen var vi tvungna att reducera uttrycket till en gemensam nämnare, och det är ingen tillfällighet. Metoden med obestämda koefficienter och reducering av ett uttryck till en gemensam nämnare är ömsesidigt omvända åtgärder.

Exempel 2

Hitta den obestämda integralen.

Låt oss återgå till bråket från det första exemplet: . Det är lätt att märka att i nämnaren är alla faktorer OLIKA. Frågan uppstår, vad man ska göra om till exempel följande bråkdel ges: ? Här har vi grader i nämnaren, eller, matematiskt, multiplar. Dessutom finns det en kvadratisk trinomial som inte kan faktoriseras (det är lätt att verifiera att ekvationens diskriminant är negativ, så trinomialet kan inte faktoriseras). Vad ska man göra? Expansionen till en summa av elementära bråk kommer att se ut ungefär som med okända koefficienter i toppen eller något annat?

Exempel 3

Introducera en funktion

Steg 1. Kollar om vi har en riktig bråkdel
Huvudtäljare: 2
Högsta grad av nämnare: 8
, vilket betyder att bråket är korrekt.

Steg 2.Är det möjligt att räkna in något i nämnaren? Uppenbarligen inte, allt är redan upplagt. Det kvadratiska trinomiumet kan inte utökas till en produkt av de skäl som anges ovan. Huva. Mindre jobb.

Steg 3. Låt oss föreställa oss en bråk-rationell funktion som summan av elementära bråk.
I det här fallet har expansionen följande form:

Låt oss titta på vår nämnare:
När man sönderdelar en bråk-rationell funktion till en summa av elementära bråk, kan tre grundläggande punkter särskiljas:

1) Om nämnaren innehåller en "ensam" faktor till första potensen (i vårt fall), så sätter vi en obestämd koefficient överst (i vårt fall). Exemplen nr 1, 2 bestod endast av sådana "ensamma" faktorer.

2) Om nämnaren har flera olika multiplikator, då måste du dekomponera den så här:
- det vill säga, gå igenom alla grader av "X" sekventiellt från första till n:e graden. I vårt exempel finns det två flera faktorer: och , ta en titt på expansionen jag gav och se till att de expanderas exakt enligt denna regel.

3) Om nämnaren innehåller ett oupplösligt polynom av andra graden (i vårt fall), måste du när du sönderdelar i täljaren skriva en linjär funktion med obestämda koefficienter (i vårt fall med obestämda koefficienter och ).

Faktum är att det finns ett annat fjärde fall, men jag kommer att vara tyst om det, eftersom det i praktiken är extremt sällsynt.

Exempel 4

Introducera en funktion som summan av elementära bråk med okända koefficienter.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.
Följ algoritmen strikt!

Om du förstår principerna för att expandera en bråk-rationell funktion till en summa, kan du tugga igenom nästan vilken integral som helst av den typ som avses.

Exempel 5

Hitta den obestämda integralen.

Steg 1. Uppenbarligen är bråket korrekt:

Steg 2.Är det möjligt att räkna in något i nämnaren? Burk. Här är summan av kuber . Faktorisera nämnaren med hjälp av den förkortade multiplikationsformeln

Steg 3. Med metoden för obestämda koefficienter expanderar vi integranden till en summa av elementära bråk:

Observera att polynomet inte kan faktoriseras (kontrollera att diskriminanten är negativ), så överst lägger vi en linjär funktion med okända koefficienter, och inte bara en bokstav.

Vi tar bråket till en gemensam nämnare:

Låt oss komponera och lösa systemet:

(1) Vi uttrycker från den första ekvationen och ersätter den med den andra ekvationen i systemet (detta är det mest rationella sättet).

(2) Vi presenterar liknande termer i den andra ekvationen.

(3) Vi adderar den andra och tredje ekvationen av systemet term för term.

Alla ytterligare beräkningar är i princip muntliga, eftersom systemet är enkelt.

(1) Vi skriver ner summan av bråk i enlighet med de funna koefficienterna.

(2) Vi använder linjäritetsegenskaperna för den obestämda integralen. Vad hände i den andra integralen? Du kan bekanta dig med denna metod i det sista stycket av lektionen. Integrera några bråk.

(3) Återigen använder vi linjäritetens egenskaper. I den tredje integralen börjar vi isolera hela kvadraten (näst sista stycket i lektionen Integrera några bråk).

(4) Vi tar den andra integralen, i den tredje väljer vi hela kvadraten.

(5) Ta den tredje integralen. Redo.

Materialet som presenteras i detta ämne är baserat på informationen som presenteras i ämnet "Rationella fraktioner. Nedbrytning av rationella fraktioner till elementära (enkla) fraktioner". Jag rekommenderar starkt att du åtminstone skummar igenom detta ämne innan du går vidare till att läsa det här materialet. Dessutom kommer vi att behöva en tabell med obestämda integraler.

Låt mig påminna dig om ett par termer. De diskuterades i motsvarande ämne, så här kommer jag att begränsa mig till en kort formulering.

Förhållandet mellan två polynom $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ kallas en rationell funktion eller rationell bråkdel. Det rationella bråket kallas korrekt, om $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется fel.

Elementära (enklaste) rationella bråk är rationella bråk av fyra typer:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Notera (önskvärt för en mer fullständig förståelse av texten): visa\dölj

Varför behövs villkoret $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Till exempel, för uttrycket $x^2+5x+10$ får vi: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Sedan $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Förresten, för denna kontroll är det inte alls nödvändigt att koefficienten före $x^2$ är lika med 1. Till exempel, för $5x^2+7x-3=0$ får vi: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Eftersom $D > 0$ är uttrycket $5x^2+7x-3$ faktoriserbart.

Exempel på rationella bråk (egen och olämpliga), samt exempel på nedbrytning av en rationell bråk till elementära kan hittas. Här kommer vi bara att vara intresserade av frågor om deras integration. Låt oss börja med integrationen av elementära bråk. Så var och en av de fyra typerna av elementära bråk ovan är lätt att integrera med formlerna nedan. Låt mig påminna dig om att vid integration av bråkdelar av typerna (2) och (4), antas $n=2,3,4,\ldots$. Formlerna (3) och (4) kräver att villkoret $p^2-4q är uppfyllt< 0$.

\begin(ekvation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(ekvation) \begin(ekvation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(ekvation) \begin(ekvation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ekvation)

För $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ görs substitutionen $t=x+\frac(p)(2)$, varefter det resulterande intervallet är uppdelad i två. Den första kommer att beräknas genom att skriva in under differentialtecknet, och den andra kommer att ha formen $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Denna integral tas med hjälp av återfallsrelationen

\begin(ekvation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(ekvation)

Beräkningen av en sådan integral diskuteras i exempel nr 7 (se den tredje delen).

Schema för beräkning av integraler av rationella funktioner (rationella bråk):

1. Om integranden är elementär, använd sedan formlerna (1)-(4).
2. Om integranden inte är elementär, representera den som summan av elementära bråk, och integrera sedan med formlerna (1)-(4).

Ovanstående algoritm för att integrera rationella fraktioner har en obestridlig fördel - den är universell. De där. med denna algoritm kan du integrera några rationell bråkdel. Det är därför nästan alla förändringar av variabler i en obestämd integral (Euler, Chebyshev, universell trigonometrisk substitution) görs på ett sådant sätt att vi efter denna förändring får en rationell bråkdel under intervallet. Och sedan tillämpa algoritmen på det. Vi kommer att analysera den direkta tillämpningen av denna algoritm med hjälp av exempel, efter att ha gjort en liten anteckning.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

I princip är denna integral lätt att erhålla utan mekanisk tillämpning av formeln. Om vi ​​tar konstanten $7$ ur integraltecknet och tar hänsyn till att $dx=d(x+9)$ får vi:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

För detaljerad information rekommenderar jag att du tittar på ämnet. Den förklarar i detalj hur sådana integraler löses. Förresten, formeln bevisas av samma transformationer som användes i detta stycke när man löste den "manuellt".

2) Återigen, det finns två sätt: använd den färdiga formeln eller klara dig utan den. Om du tillämpar formeln bör du ta hänsyn till att koefficienten framför $x$ (nummer 4) måste tas bort. För att göra detta, låt oss helt enkelt ta de här fyra från parentes:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Nu är det dags att tillämpa formeln:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\vänster(x+\frac(19)(4) \höger)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Du klarar dig utan att använda formeln. Och även utan att ta bort de konstanta $4$ från parentes. Om vi ​​tar hänsyn till att $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ får vi:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Detaljerade förklaringar för att hitta sådana integraler ges i ämnet "Integration genom substitution (substitution under differentialtecknet)".

3) Vi behöver integrera bråket $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Detta bråk har strukturen $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, där $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Men för att säkerställa att detta verkligen är en elementär bråkdel av den tredje typen måste du kontrollera att villkoret $p^2-4q är uppfyllt< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Låt oss lösa samma exempel, men utan att använda en färdig formel. Låt oss försöka isolera derivatan av nämnaren i täljaren. Vad betyder det här? Vi vet att $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Det är uttrycket $2x+10$ som vi måste isolera i täljaren. Än så länge innehåller täljaren endast $4x+7$, men detta kommer inte att vara länge. Låt oss tillämpa följande transformation på täljaren:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Nu visas det nödvändiga uttrycket $2x+10$ i täljaren. Och vår integral kan skrivas om enligt följande:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Låt oss dela upp integranden i två. Tja, och följaktligen är själva integralen också "delad":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \höger)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Låt oss först prata om den första integralen, dvs. ungefär $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Eftersom $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, så innehåller integrandens täljare nämnarens differential. Kort sagt, istället av uttrycket $( 2x+10)dx$ skriver vi $d(x^2+10x+34)$.

Låt oss nu säga några ord om den andra integralen. Låt oss välja en hel kvadrat i nämnaren: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Dessutom tar vi hänsyn till $dx=d(x+5)$. Nu kan summan av integraler vi erhöll tidigare skrivas om i en något annan form:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Om vi ​​i den första integralen gör ersättningen $u=x^2+10x+34$, kommer den att ha formen $\int\frac(du)(u)$ och kan erhållas genom att helt enkelt tillämpa den andra formeln från . När det gäller den andra integralen är ändringen $u=x+5$ genomförbar för den, varefter den kommer att ha formen $\int\frac(du)(u^2+9)$. Detta är den renaste elfte formeln från tabellen över obestämda integraler. Så om vi återgår till summan av integraler har vi:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Vi fick samma svar som när vi tillämpade formeln, vilket strängt taget inte är förvånande. I allmänhet bevisas formeln med samma metoder som vi använde för att hitta denna integral. Jag tror att den uppmärksamma läsaren kan ha en fråga här, så jag ska formulera den:

Fråga nr 1

Om vi ​​tillämpar den andra formeln från tabellen med obestämda integraler på integralen $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, får vi följande:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Varför fanns det ingen modul i lösningen?

Svar på fråga #1

Frågan är helt naturlig. Modulen saknades bara för att uttrycket $x^2+10x+34$ för alla $x\in R$ är större än noll. Detta är ganska lätt att visa på flera sätt. Till exempel, eftersom $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ och $(x+5)^2 ≥ 0$, sedan $(x+5)^2+9 > 0$ . Du kan tänka annorlunda, utan att använda valet av en komplett kvadrat. Sedan $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ för valfri $x\in R$ (om denna logiska kedja är överraskande, råder jag dig att titta på den grafiska metoden för att lösa kvadratiska ojämlikheter). I alla fall, eftersom $x^2+10x+34 > 0$, då $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, dvs. Istället för en modul kan du använda vanliga parenteser.

Alla punkter i exempel nr 1 är lösta, allt som återstår är att skriva ner svaret.

Svar:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Exempel nr 2

Hitta integralen $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Vid första anblicken är integrandbråket $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ mycket likt ett elementärt bråk av den tredje typen, d.v.s. av $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Det verkar som att den enda skillnaden är koefficienten $3$ framför $x^2$, men det tar inte lång tid att ta bort koefficienten (lägg den inom parentes). Denna likhet är dock uppenbar. För bråket $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ är villkoret $p^2-4q obligatoriskt< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Vår koefficient före $x^2$ är inte lika med ett, kontrollera därför villkoret $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, därför kan uttrycket $3x^2-5x-2$ faktoriseras. Detta betyder att bråket $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ inte är en elementär bråkdel av den tredje typen, och använd $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) till integralformeln 5x-2)dx$ är inte möjlig.

Tja, om det givna rationella bråket inte är ett elementärt bråk, måste det representeras som en summa av elementärt bråk och sedan integreras. Kort sagt, dra nytta av leden. Hur man bryter ner en rationell bråkdel till elementära är skriven i detalj. Låt oss börja med att faktorisera nämnaren:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Vi presenterar den subinterkala fraktionen i denna form:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Låt oss nu dekomponera bråket $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ till elementära:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\vänster(x+\frac(1)(3)\höger))(\vänster(x+ \frac(1)(3)\höger)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\vänster(x+\frac(1)( 3)\höger). $$

För att hitta koefficienterna $A$ och $B$ finns två standardsätt: metoden för obestämda koefficienter och metoden för substitution av partiella värden. Låt oss tillämpa metoden för ersättning av partiellt värde genom att ersätta $x=2$ och sedan $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\vänster(x+\frac(1)(3)\höger).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\vänster(2+\frac(1)(3)\höger); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\vänster(-\frac(1)(3)-2\höger)+B\vänster (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Eftersom koefficienterna har hittats återstår bara att skriva ner den färdiga expansionen:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

I princip kan du lämna denna post, men jag gillar ett mer exakt alternativ:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

För att återgå till den ursprungliga integralen, ersätter vi den resulterande expansionen i den. Sedan delar vi integralen i två och tillämpar formeln på var och en. Jag föredrar att omedelbart placera konstanterna utanför integraltecknet:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Svar: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Exempel nr 3

Hitta integralen $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Vi måste integrera bråket $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Täljaren innehåller ett polynom av andra graden, och nämnaren innehåller ett polynom av tredje graden. Eftersom graden av polynomet i täljaren är mindre än graden av polynomet i nämnaren, d.v.s. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Allt vi behöver göra är att dela upp den givna integralen i tre och tillämpa formeln på var och en. Jag föredrar att omedelbart placera konstanterna utanför integraltecknet:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Svar: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Fortsättning på analysen av exempel på detta ämne finns i den andra delen.

”En matematiker, precis som en konstnär eller poet, skapar mönster. Och om hans mönster är mer stabila är det bara för att de är sammansatta av idéer... En matematikers mönster, precis som en konstnärs eller en poet, måste vara vackra; Idéer, precis som färger eller ord, måste motsvara varandra. Skönhet är det första kravet: det finns ingen plats i världen för ful matematik».

G.H.Hardy

I det första kapitlet noterades att det finns antiderivator av ganska enkla funktioner som inte längre kan uttryckas genom elementära funktioner. I detta avseende får de klasser av funktioner om vilka vi exakt kan säga att deras antiderivat är elementära funktioner enorm praktisk betydelse. Denna klass av funktioner inkluderar rationella funktioner, som representerar förhållandet mellan två algebraiska polynom. Många problem leder till integrering av rationella fraktioner. Därför är det mycket viktigt att kunna integrera sådana funktioner.

2.1.1. Bråkdelar rationella funktioner

Rationell bråkdel(eller bråkdel rationell funktion) kallas relationen mellan två algebraiska polynom:

var och är polynom.

Låt oss påminna dig om det polynom (polynom, hela rationella funktion) ne graden kallas en funktion av formen

Var - riktiga nummer. Till exempel,

– polynom av första graden;

– polynom av fjärde graden, etc.

Det rationella bråket (2.1.1) kallas korrekt, om graden är lägre än graden , dvs. n<m, annars kallas bråket fel.

Vilket oegentligt bråk som helst kan representeras som summan av ett polynom (hela delen) och ett eget bråktal (bråkdelen). Separationen av hela och bråkdelar av en oegentlig bråkdel kan göras enligt regeln för att dividera polynom med ett "hörn".

Exempel 2.1.1. Identifiera hela och bråkdelar av följande olämpliga rationella bråk:

A) , b) .

Lösning . a) Med hjälp av "hörn" divisionsalgoritmen får vi

Således får vi

.

b) Här använder vi också divisionsalgoritmen "hörn":

Som ett resultat får vi

.

Låt oss sammanfatta. I det allmänna fallet kan den obestämda integralen av ett rationellt bråk representeras som summan av integralerna av polynomet och det egentliga rationella bråket. Att hitta antiderivator av polynom är inte svårt. Därför kommer vi i det följande huvudsakligen att överväga riktiga rationella bråk.

2.1.2. De enklaste rationella bråken och deras integration

Bland riktiga rationella fraktioner finns det fyra typer, som klassificeras som de enklaste (elementära) rationella bråken:

var är ett heltal, , dvs. kvadratisk trinomial har inga riktiga rötter.

Att integrera enkla bråkdelar av den första och andra typen ger inga stora svårigheter:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Låt oss nu överväga integrationen av enkla bråk av den 3:e typen, men vi kommer inte att överväga bråkdelar av den 4:e typen.

Låt oss börja med integraler av formen

.

Denna integral beräknas vanligtvis genom att isolera den perfekta kvadraten på nämnaren. Resultatet är en tabellintegral av följande form

eller .

Exempel 2.1.2. Hitta integralerna:

A) , b) .

Lösning . a) Välj en hel kvadrat från ett kvadratiskt trinomium:

Härifrån finner vi

b) Genom att isolera en komplett kvadrat från ett kvadratiskt trinomium får vi:

Således,

.

För att hitta integralen

du kan isolera derivatan av nämnaren i täljaren och expandera integralen till summan av två integraler: den första av dem genom substitution handlar om utseende

,

och den andra - till den som diskuterats ovan.

Exempel 2.1.3. Hitta integralerna:

.

Lösning . Lägg märke till att . Låt oss isolera derivatan av nämnaren i täljaren:

Den första integralen beräknas med hjälp av substitutionen :

I den andra integralen väljer vi den perfekta kvadraten i nämnaren

Äntligen får vi

2.1.3. Korrekt rationell bråkexpansion
för summan av enkla bråk

Vilken riktig rationell bråkdel som helst kan representeras på ett unikt sätt som en summa av enkla bråk. För att göra detta måste nämnaren faktoriseras. Från högre algebra är det känt att varje polynom med reella koefficienter