Cum să scazi o altă rădăcină dintr-o rădăcină. Regula pentru adăugarea rădăcinilor pătrate. Formule de rădăcină. Proprietățile rădăcinilor pătrate

Formule de rădăcină. proprietățile rădăcinilor pătrate.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară, ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care sunt formule pentru rădăcini, ce sunt proprietățile rădăciniiși ce se poate face cu toate acestea.

Formule rădăcină, proprietăți rădăcină și reguli pentru acțiunile cu rădăcini- în esență este același lucru. Există surprinzător de puține formule pentru rădăcini pătrate. Ceea ce, desigur, mulțumește! Mai degrabă, puteți scrie o mulțime de tot felul de formule, dar doar trei sunt suficiente pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți se rătăcesc în cele trei formule ale rădăcinilor, da...

Să începem cu cel mai simplu. Iat-o:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

M-am uitat din nou la farfurie... Și, să mergem!

Să începem cu unul simplu:

Așteptaţi un minut. asta, ceea ce înseamnă că îl putem scrie astfel:

Am înţeles? Iată următorul pentru tine:

Rădăcinile numerelor rezultate nu sunt extrase exact? Nu vă faceți griji, iată câteva exemple:

Dar dacă nu există doi multiplicatori, ci mai mulți? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinii funcționează cu orice număr de factori:

Acum complet independent:

Raspunsuri: Foarte bine! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoști tabla înmulțirii!

Diviziune rădăcină

Ne-am dat seama de înmulțirea rădăcinilor, acum să trecem la proprietatea împărțirii.

Permiteți-mi să vă reamintesc că formula în general arată astfel:

Și asta înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Ei bine, să ne uităm la exemple:

Asta e toată știința. Și iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Ce se întâmplă dacă expresia arată astfel:

Trebuie doar să aplicați formula invers:

Și iată un exemplu:

Puteți vedea și această expresie:

Totul este la fel, doar că aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, uitați-vă la subiect și reveniți!). Amintit? Acum decidem!

Sunt sigur că ai făcut față cu totul, cu totul, acum hai să încercăm să construim rădăcini într-o anumită măsură.

Exponentiatie

Ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, amintiți-vă semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.

Deci, dacă pătratăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală, atunci ce obținem?

Ei bine, desigur,!

Să ne uităm la exemple:

Totul este simplu, nu? Și dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!

Rămâneți la aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu puteri.

Citiți teoria pe tema „” și totul vă va deveni extrem de clar.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterii și factorizați totul:

Cu aceasta, totul pare să fie clar, dar cum să extragi rădăcina dintr-un număr într-un grad? Iată, de exemplu, acesta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Apoi rezolvă propriile exemple:

Și iată răspunsurile:

Introducere sub semnul rădăcinii

Ceea ce pur și simplu nu am învățat să facem cu rădăcinile! Rămâne doar să exersăm introducerea numărului sub semnul rădăcinii!

Este destul de ușor!

Să presupunem că avem un număr

Ce putem face cu el? Ei bine, desigur, ascunde triplul sub rădăcină, amintindu-ți totodată că triplul este rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de ea? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Face viața mult mai ușoară? Pentru mine, asa este! Numai trebuie să ne amintim că nu putem introduce decât numere pozitive sub semnul rădăcinii pătrate.

Încercați acest exemplu pentru dvs.:
Ai reușit? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Foarte bine! Ai reușit să introduci un număr sub semnul rădăcină! Să trecem la ceva la fel de important - luați în considerare cum să comparați numerele care conțin o rădăcină pătrată!

Comparație rădăcină

De ce ar trebui să învățăm să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresiile mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (vă amintiți ce este? Am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe linia de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare problema: nu există un calculator la examen și, fără el, cum să ne imaginăm ce număr este mai mare și care este mai mic? Asta e!

De exemplu, determinați care este mai mare: sau?

Nu vei spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea analizată de a adăuga un număr sub semnul rădăcină?

Apoi înainte:

Ei bine, evident, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Acestea. dacă înseamnă .

De aici concluzionăm ferm că Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de asta, am introdus un factor sub semnul rădăcinii, dar cum să-l scoatem? Trebuie doar să-l factorizezi și să extragi ceea ce este extras!

Era posibil să mergem pe altă cale și să ne descompunem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum vă simțiți confortabil.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați astfel de sarcini non-standard precum aceasta:

Nu ne speriam, actionam! Descompunem fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Și acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Nu ne oprim la jumătate!

Asta e tot, nu e chiar atât de înfricoșător, nu?

S-a întâmplat? Bravo, ai dreptate!

Acum încearcă acest exemplu:

Și un exemplu este o nucă greu de spart, așa că nu vă puteți da seama imediat cum să o abordați. Dar, desigur, suntem în dinți.

Ei bine, hai să începem factoring, da? Imediat, observăm că puteți împărți un număr la (amintiți-vă semnele de divizibilitate):

Și acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, a funcționat? Bravo, ai dreptate!

Rezumând

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal.
   .
2. Dacă luăm doar rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat nenegativ.
3. Proprietățile rădăcinii aritmetice:
4. Când se compară rădăcinile pătrate, trebuie amintit că, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum îți place rădăcina pătrată? Tot clar?

Am încercat să vă explicăm fără apă tot ce trebuie să știți la examen despre rădăcina pătrată.

E randul tau. Scrieți-ne dacă acest subiect vă este dificil sau nu.

Ai învățat ceva nou sau totul era deja atât de clar.

Scrie in comentarii si mult succes la examene!

Bună pisicuțe! Ultima dată am analizat în detaliu ce sunt rădăcinile (dacă nu vă amintiți, vă recomand să citiți). Concluzia principală a acelei lecții: există o singură definiție universală a rădăcinilor, pe care trebuie să o cunoașteți. Restul este o prostie și o pierdere de timp.

Astăzi mergem mai departe. Vom învăța să înmulțim rădăcini, vom studia câteva probleme asociate cu înmulțirea (dacă aceste probleme nu sunt rezolvate, atunci pot deveni fatale la examen) și vom exersa corespunzător. Așa că aprovizionați-vă cu floricele de porumb, faceți-vă confortabil - și vom începe. :)

Încă nu ai fumat, nu-i așa?

Lecția s-a dovedit a fi destul de mare, așa că am împărțit-o în două părți:

1. În primul rând, ne vom uita la regulile de înmulțire. Capul pare să sugereze: atunci când există două rădăcini, există un semn „multiplicare” între ele - și vrem să facem ceva cu el.
2. Apoi vom analiza situația inversă: există o rădăcină mare și am fost nerăbdători să o prezentăm ca un produs a două rădăcini într-un mod mai simplu. Cu ce ​​frică este necesară este o întrebare separată. Vom analiza doar algoritmul.

Pentru cei care abia așteaptă să intre direct în partea 2, sunteți bineveniți. Să începem cu restul în ordine.

Regula de bază a înmulțirii

Să începem cu cele mai simple - rădăcini pătrate clasice. Cele care sunt notate cu $\sqrt(a)$ și $\sqrt(b)$. Pentru ei, totul este în general clar:

regula înmulțirii. Pentru a înmulți o rădăcină pătrată cu alta, trebuie doar să înmulțiți expresiile radicale ale acestora și să scrieți rezultatul sub radicalul comun:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Nu se impun restricții suplimentare pentru numerele din dreapta sau din stânga: dacă există rădăcini multiplicatoare, atunci există și produsul.

Exemple. Luați în considerare patru exemple cu numere simultan:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, sensul principal al acestei reguli este de a simplifica expresiile iraționale. Și dacă în primul exemplu am fi extras rădăcinile din 25 și 4 fără reguli noi, atunci staniul începe: $\sqrt(32)$ și $\sqrt(2)$ nu se numără de la sine, ci produsul lor se dovedește a fi un pătrat exact, deci rădăcina lui este egală cu un număr rațional.

Separat, aș dori să notez ultimul rând. Acolo, ambele expresii radicale sunt fracții. Datorită produsului, mulți factori se anulează, iar întreaga expresie se transformă într-un număr adecvat.

Desigur, nu totul va fi întotdeauna atât de frumos. Uneori, sub rădăcini vor fi prostii complete - nu este clar ce să faci cu ea și cum să se transforme după înmulțire. Puțin mai târziu, când începi să studiezi ecuațiile și inegalitățile iraționale, vor exista tot felul de variabile și funcții în general. Și de foarte multe ori, compilatorii problemelor contează doar pe faptul că veți găsi niște termeni sau factori de contractare, după care sarcina va fi mult simplificată.

În plus, nu este necesar să se înmulțească exact două rădăcini. Puteți înmulți trei deodată, patru - da chiar și zece! Acest lucru nu va schimba regula. Aruncă o privire:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Și din nou o mică remarcă asupra celui de-al doilea exemplu. După cum puteți vedea, în al treilea multiplicator, există o fracție zecimală sub rădăcină - în procesul de calcule, o înlocuim cu una obișnuită, după care totul este ușor de redus. Deci: vă recomand cu căldură să scăpați de fracțiile zecimale din orice expresii iraționale (adică care conțin cel puțin o pictogramă radicală). Acest lucru vă va economisi mult timp și nervi în viitor.

Dar a fost o digresiune lirică. Acum să luăm în considerare un caz mai general - când exponentul rădăcină conține un număr arbitrar $n$, și nu doar cei doi „clasici”.

Cazul unui indicator arbitrar

Deci, ne-am dat seama de rădăcinile pătrate. Și ce să faci cu cuburile? Sau, în general, cu rădăcini de grad arbitrar $n$? Da, totul este la fel. Regula rămâne aceeași:

Pentru a înmulți două rădăcini de grad $n$, este suficient să înmulțim expresiile radicale ale acestora, după care rezultatul se scrie sub un radical.

In general, nimic complicat. Cu excepția cazului în care volumul calculelor poate fi mai mare. Să ne uităm la câteva exemple:

Exemple. Calculați produse:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Și din nou atenție la a doua expresie. Înmulțim rădăcinile cubice, scăpăm de fracția zecimală și, ca rezultat, obținem produsul numerelor 625 și 25 la numitor. Acesta este un număr destul de mare - personal, nu voi calcula imediat ce este egal. la.

Prin urmare, am selectat pur și simplu cubul exact în numărător și numitor și apoi am folosit una dintre proprietățile cheie (sau, dacă doriți, definiția) rădăcinii gradului $n$:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\dreapta|. \\ \end(align)\]

Astfel de „escrocherii” vă pot economisi mult timp la un examen sau test, așa că rețineți:

Nu vă grăbiți să înmulțiți numerele din expresia radicală. În primul rând, verificați: ce se întâmplă dacă gradul exact al oricărei expresii este „criptat” acolo?

Cu toată evidenta acestei remarci, trebuie să recunosc că majoritatea studenților nepregătiți nu văd exact gradele. În schimb, înmulțesc totul înainte și apoi se întreabă: de ce au obținut numere atât de brutale? :)

Totuși, toate acestea sunt o joacă de copii în comparație cu ceea ce vom studia acum.

Înmulțirea rădăcinilor cu exponenți diferiți

Ei bine, acum putem înmulți rădăcini cu aceiași exponenți. Ce se întâmplă dacă scorurile sunt diferite? Spune, cum înmulți un $\sqrt(2)$ obișnuit cu niște prostii ca $\sqrt(23)$? Este chiar posibil să faci asta?

Da, sigur că poți. Totul se face după această formulă:

Regula înmulțirii rădăcinilor. Pentru a înmulți $\sqrt[n](a)$ cu $\sqrt[p](b)$, faceți următoarea transformare:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cu toate acestea, această formulă funcționează numai dacă expresiile radicale sunt nenegative. Aceasta este o remarcă foarte importantă, la care vom reveni puțin mai târziu.

Deocamdată, să ne uităm la câteva exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, nimic complicat. Acum să ne dăm seama de unde provine cerința de non-negativitate și ce se va întâmpla dacă o încălcăm. :)

De ce expresiile radicale trebuie să fie nenegative?

Desigur, puteți deveni ca profesorii de școală și puteți cita un manual cu un aspect inteligent:

Cerința de non-negativitate este asociată cu diferite definiții ale rădăcinilor de grade pare și impare (respectiv, domeniile lor de definiție sunt și ele diferite).

Ei bine, a devenit mai clar? Personal, când am citit această prostie în clasa a VIII-a, am înțeles pentru mine ceva de genul: „Cerința de non-negativitate este legată de *#&^@(*#@^#)~%” - pe scurt, eu nu am inteles nimic la vremea aia. :)

Așa că acum voi explica totul într-un mod normal.

Mai întâi, să aflăm de unde vine formula de înmulțire de mai sus. Pentru a face acest lucru, permiteți-mi să vă reamintesc o proprietate importantă a rădăcinii:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Cu alte cuvinte, putem ridica în siguranță expresia rădăcinii la orice putere naturală $k$ - în acest caz, indicele rădăcinii va trebui înmulțit cu aceeași putere. Prin urmare, putem reduce cu ușurință orice rădăcină la un indicator comun, după care ne înmulțim. De aici provine formula de înmulțire:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Dar există o problemă care limitează sever aplicarea tuturor acestor formule. Luați în considerare acest număr:

Conform formulei tocmai oferite, putem adăuga orice grad. Să încercăm să adăugăm $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Am scos minusul tocmai pentru ca patratul arde minusul (ca orice alt grad par). Și acum să facem transformarea inversă: „reducem” cele două în exponent și grad. La urma urmei, orice egalitate poate fi citită atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Dar apoi se întâmplă ceva nebunesc:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Acest lucru nu se poate datora faptului că $\sqrt(-5) \lt 0$ și $\sqrt(5) \gt 0$. Aceasta înseamnă că pentru puteri par și numere negative, formula noastră nu mai funcționează. După care avem două opțiuni:

1. A lupta împotriva zidului pentru a afirma că matematica este o știință stupidă, unde „există niște reguli, dar acest lucru este inexact”;
2. Introduceți restricții suplimentare în baza cărora formula va deveni 100% funcțională.

În prima opțiune, va trebui să prindem în mod constant cazuri „nefuncționale” - acest lucru este dificil, lung și, în general, fu. Prin urmare, matematicienii au preferat a doua opțiune. :)

Dar nu-ți face griji! În practică, această restricție nu afectează în niciun fel calculele, deoarece toate problemele descrise se referă doar la rădăcinile unui grad impar, iar minusurile pot fi scoase din ele.

Prin urmare, formulăm o altă regulă care se aplică în general tuturor acțiunilor cu rădăcini:

Înainte de a multiplica rădăcinile, asigurați-vă că expresiile radicale nu sunt negative.

Exemplu. În numărul $\sqrt(-5)$, puteți scoate minusul de sub semnul rădăcină - atunci totul va fi bine:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt((((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Simte diferenta? Dacă lăsați un minus sub rădăcină, atunci când expresia radicală este pătrată, va dispărea și va începe prostiile. Și dacă scoți mai întâi un minus, atunci poți chiar să ridici/elimini un pătrat până când vei fi albastru în față - numărul va rămâne negativ. :)

Astfel, cel mai corect și mai fiabil mod de a înmulți rădăcinile este următorul:

1. Eliminați toate minusurile de sub radicali. Minusurile sunt doar în rădăcinile multiplicității impare - pot fi plasate în fața rădăcinii și, dacă este necesar, reduse (de exemplu, dacă există două dintre aceste minusuri).
2. Efectuați înmulțirea conform regulilor discutate mai sus în lecția de astăzi. Dacă indicii rădăcinilor sunt aceiași, pur și simplu înmulțiți expresiile rădăcinilor. Și dacă sunt diferite, folosim formula rea ​​\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Ne bucurăm de rezultat și de notele bune. :)

Bine? Să exersăm?

Exemplul 1. Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Aceasta este cea mai simplă opțiune: indicatorii rădăcinilor sunt aceiași și ciudați, problema este doar în minusul celui de-al doilea multiplicator. Îndurăm acest minus nafig, după care totul este ușor de luat în considerare.

Exemplul 2. Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( alinia)\]

Aici, mulți ar fi confuzi de faptul că rezultatul s-a dovedit a fi un număr irațional. Da, se întâmplă: nu am putut scăpa complet de rădăcină, dar cel puțin am simplificat semnificativ expresia.

Exemplul 3. Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Acesta este ceea ce aș dori să vă atrag atenția. Există două puncte aici:

1. Sub rădăcină nu se află un anumit număr sau grad, ci variabila $a$. La prima vedere, acest lucru este puțin neobișnuit, dar în realitate, atunci când rezolvați probleme matematice, cel mai adesea va trebui să vă ocupați de variabile.
2. În final, am reușit să „reducem” exponentul și gradul rădăcinii în expresia radicală. Acest lucru se întâmplă destul de des. Și asta înseamnă că a fost posibil să simplificați semnificativ calculele dacă nu utilizați formula principală.

De exemplu, puteți face acest lucru:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

De fapt, toate transformările au fost efectuate numai cu al doilea radical. Și dacă nu pictați în detaliu toți pașii intermediari, atunci în cele din urmă cantitatea de calcule va scădea semnificativ.

De fapt, am întâlnit deja o sarcină similară mai sus când am rezolvat exemplul $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Acum se poate scrie mult mai ușor:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left((((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Ei bine, ne-am dat seama de înmulțirea rădăcinilor. Acum luați în considerare operația inversă: ce să faceți când există o lucrare sub rădăcină?

În matematică, orice acțiune are propriul ei pereche-opus - în esență, aceasta este una dintre manifestările legii hegeliene a dialecticii: „unitatea și lupta contrariilor”. Una dintre acțiunile dintr-o astfel de „pereche” vizează creșterea numărului, iar cealaltă, opusă acesteia, este în scădere. De exemplu, acțiunea opusă adunării este scăderea, iar împărțirea corespunde înmulțirii. Ridicarea la putere are, de asemenea, o pereche dialectică proprie. Este vorba despre extragerea rădăcinilor.

A extrage rădăcina unui astfel de grad dintr-un număr înseamnă a calcula ce număr trebuie ridicat la puterea corespunzătoare pentru a ajunge la acest număr. Cele două grade au propriile nume separate: al doilea grad se numește „pătrat”, iar al treilea - „cubul”. În consecință, este plăcut să numim rădăcinile acestor puteri rădăcină pătrată și rădăcină cubică. Acțiunile cu rădăcini cubice sunt un subiect pentru o discuție separată, dar acum să vorbim despre adăugarea rădăcinilor pătrate.

Să începem cu faptul că în unele cazuri este mai ușor să extragi mai întâi rădăcini pătrate, apoi să adaugi rezultatele. Să presupunem că trebuie să găsim valoarea unei astfel de expresii:

La urma urmei, nu este deloc dificil să calculezi că rădăcina pătrată a lui 16 este 4 și a lui 121 - 11. Prin urmare,

√16+√121=4+11=15

Cu toate acestea, acesta este cel mai simplu caz - aici vorbim de pătrate pline, adică. despre numerele care se obțin prin pătrarea numerelor întregi. Dar acest lucru nu este întotdeauna cazul. De exemplu, numărul 24 nu este un pătrat perfect (nu există un astfel de număr întreg care, atunci când este ridicat la a doua putere, să rezulte în 24). Același lucru este valabil și pentru un număr ca 54... Ce se întâmplă dacă trebuie să adunăm rădăcinile pătrate ale acestor numere?

În acest caz, vom obține în răspuns nu un număr, ci o altă expresie. Maximul pe care îl putem face aici este să simplificăm cât mai mult expresia originală. Pentru a face acest lucru, va trebui să scoateți factorii de sub rădăcina pătrată. Să vedem cum se face acest lucru folosind numerele menționate ca exemplu:

Pentru început, factorizăm 24 - în așa fel încât unul dintre ele să poată fi luat cu ușurință ca rădăcină pătrată (adică, astfel încât să fie un pătrat perfect). Există un astfel de număr - acesta este 4:

Acum să facem același lucru cu 54. În compoziția sa, acest număr va fi 9:

Astfel, obținem următoarele:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Acum să extragem rădăcinile din ce le putem extrage: 2*√6+3*√6

Există un factor comun aici, pe care îl putem scoate din paranteze:

(2+3)* √6=5*√6

Acesta va fi rezultatul adăugării - nimic altceva nu poate fi extras aici.

Adevărat, puteți recurge la utilizarea unui calculator - totuși, rezultatul va fi aproximativ și cu un număr mare de zecimale:

√6=2,449489742783178

Rotunjind-o treptat, obținem aproximativ 2,5. Dacă totuși am dori să aducem soluția exemplului anterior la concluzia sa logică, putem înmulți acest rezultat cu 5 - și obținem 12,5. Un rezultat mai precis cu astfel de date inițiale nu poate fi obținut.

Adunarea și scăderea rădăcinilor- una dintre cele mai frecvente „pietre de poticnire” pentru cei care urmează un curs de matematică (algebră) în liceu. Cu toate acestea, învățarea cum să le adunăm și să le scădem corect este foarte importantă, deoarece exemple pentru suma sau diferența de rădăcini sunt incluse în programul Examenului de stat unificat de bază la disciplina „matematică”.

Pentru a stăpâni soluția unor astfel de exemple, aveți nevoie de două lucruri - să înțelegeți regulile, precum și să obțineți practică. După ce a rezolvat una sau două duzini de exemple tipice, studentul va aduce această abilitate la automatism, iar apoi nu va avea de ce să se teamă la examen. Este recomandat să începeți să stăpâniți operațiile aritmetice cu adunare, deoarece adăugarea lor este puțin mai ușoară decât scăderea lor.

Ce este o rădăcină

Cel mai simplu mod de a explica acest lucru este cu exemplul unei rădăcini pătrate. În matematică, există un termen bine stabilit „pătrat”. „Pătrat” înseamnă a înmulți un anumit număr cu el însuși o dată.. De exemplu, dacă pătrați 2, obțineți 4. Dacă pătrați 7, obțineți 49. Pătratul lui 9 este 81. Deci rădăcina pătrată a lui 4 este 2, a lui 49 este 7 și a lui 81 este 9.

De regulă, predarea acestei teme în matematică începe cu rădăcini pătrate. Pentru a o determina imediat, un elev de liceu trebuie să cunoască pe de rost tabla înmulțirii. Pentru cei care nu cunosc bine acest tabel, trebuie să folosiți indicii. De obicei, procesul de extragere a pătratului rădăcină dintr-un număr este dat sub forma unui tabel pe coperțile multor caiete școlare de matematică.

Rădăcinile sunt de următoarele tipuri:

• pătrat;
• cubic (sau așa-numitul grad al treilea);
• gradul al patrulea;
• gradul al cincilea.

Reguli de adăugare

Pentru a rezolva cu succes un exemplu tipic, trebuie avut în vedere că nu toate numerele de rădăcină pot fi stivuite unele cu altele. Pentru a le putea pune împreună, trebuie aduse la un singur model. Dacă acest lucru nu este posibil, atunci problema nu are soluție. Astfel de probleme se găsesc adesea și în manualele de matematică ca un fel de capcană pentru elevi.

Adăugarea nu este permisă în teme când expresiile radicale diferă unele de altele. Acest lucru poate fi ilustrat cu un exemplu ilustrativ:

• elevul se confruntă cu sarcina: să adauge rădăcina pătrată a lui 4 și a lui 9;
• un elev neexperimentat care nu cunoaște regula scrie de obicei: „rădăcina lui 4 + rădăcina lui 9 \u003d rădăcina lui 13”.
• este foarte usor de demonstrat ca acest mod de rezolvare este gresit. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți rădăcina pătrată a lui 13 și să verificați dacă exemplul este rezolvat corect;
• folosind un microcalculator, puteți determina că este de aproximativ 3,6. Acum rămâne de verificat soluția;
• rădăcina lui 4=2 și a lui 9=3;
• Suma a doi și trei este cinci. Astfel, acest algoritm de soluție poate fi considerat incorect.

Dacă rădăcinile au același grad, dar expresii numerice diferite, se scoate din paranteze și suma a două expresii radicale. Astfel, este deja extras din această sumă.

Algoritm de adunare

Pentru a rezolva corect cea mai simplă problemă, este necesar:

1. Determinați exact ce necesită adăugare.
2. Aflați dacă este posibil să adăugați valori unul altuia, ghidându-vă după regulile existente în matematică.
3. Dacă nu pot fi adăugate, trebuie să le transformați în așa fel încât să poată fi adăugate.
4. După ce au efectuat toate transformările necesare, este necesar să se efectueze adunarea și să noteze răspunsul final. Adăugarea se poate face mental sau cu un calculator, în funcție de complexitatea exemplului.

Care sunt rădăcini asemănătoare

Pentru a rezolva corect un exemplu de adiție, este necesar, în primul rând, să ne gândim la modul în care poate fi simplificat. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre asemănarea.

Capacitatea de a le identifica pe altele asemănătoare ajută la rezolvarea rapidă a aceluiași tip de exemple de adăugare, aducându-le într-o formă simplificată. Pentru a simplifica un exemplu tipic de adăugare, trebuie să:

1. Găsiți unele similare și alocați-le unui grup (sau mai multor grupuri).
2. Rescrie exemplul existent în așa fel încât rădăcinile care au același indicator să se succedă clar (aceasta se numește „grupare”).
3. În continuare, ar trebui să scrieți din nou expresia, de data aceasta în așa fel încât altele asemănătoare (care au același indicator și aceeași cifră rădăcină) să se succedă și ele.

După aceea, un exemplu simplificat este de obicei ușor de rezolvat.

Pentru a rezolva corect orice exemplu de adăugare, trebuie să înțelegeți clar regulile de bază ale adunării și, de asemenea, să știți ce este o rădăcină și cum se întâmplă.

Uneori, astfel de sarcini par foarte complicate la prima vedere, dar de obicei sunt rezolvate cu ușurință prin gruparea unora similare. Cel mai important lucru este practica, iar apoi studentul va începe să „face clic pe sarcini precum nucile”. Adăugarea rădăcinilor este una dintre cele mai importante ramuri ale matematicii, așa că profesorii ar trebui să aloce suficient timp pentru a o studia.

Video

Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți ecuațiile cu rădăcini pătrate.