Keplerio 1-ojo dėsnio formuluotė. Keplerio dėsniai. Judėjimas gravitaciniame lauke

Jis turėjo nepaprastų matematinių sugebėjimų. XVII amžiaus pradžioje, daugelį metų stebėdamas planetų judėjimą, taip pat remdamasis Tycho Brahe astronominių stebėjimų analize, Kepleris atrado tris dėsnius, kurie vėliau buvo pavadinti jo vardu.

Pirmasis Keplerio dėsnis(elipsės dėsnis). Kiekviena planeta juda elipsėje, viename židinyje Saulė.

Antrasis Keplerio dėsnis(lygių plotų dėsnis). Kiekviena planeta juda plokštuma, einančia per Saulės centrą, ir per vienodą laiko tarpą spindulio vektorius, jungiantis Saulę ir planetą, nubraukia vienodus plotus.

Trečiasis Keplerio dėsnis(harmonijos dėsnis). Planetų orbitos aplink Saulę periodų kvadratai yra proporcingi jų elipsinių orbitų pusiau didžiausių ašių kubeliams.

Pažvelkime atidžiau į kiekvieną iš įstatymų.

Pirmasis Keplerio dėsnis (elipsės dėsnis)

Kiekviena Saulės sistemos planeta sukasi elipsėje, kurios viename iš židinių yra Saulė.

Pirmasis dėsnis apibūdina planetų orbitų trajektorijų geometriją. Įsivaizduokite kūgio šoninio paviršiaus atkarpą plokštuma, kampu į pagrindą, o ne per pagrindą. Gauta figūra bus elipsė. Elipsės forma ir jos panašumo į apskritimą laipsnis apibūdinamas santykiu e = c / a, kur c yra atstumas nuo elipsės centro iki jos židinio (židinio nuotolis), a yra pusiau didžioji ašis. Dydis e vadinamas elipsės ekscentriškumu. Kai c = 0, taigi e = 0, elipsė virsta apskritimu.

Arčiausiai Saulės esantis trajektorijos taškas P vadinamas periheliu. Taškas A, toliausiai nuo Saulės, yra afelis. Atstumas tarp afelio ir perihelio yra pagrindinė elipsės orbitos ašis. Atstumas tarp afelio A ir perihelio P sudaro pagrindinę elipsės orbitos ašį. Pusė pagrindinės ašies ilgio, a ašis, yra vidutinis atstumas nuo planetos iki Saulės. Vidutinis atstumas nuo Žemės iki Saulės vadinamas astronominiu vienetu (AU) ir yra lygus 150 milijonų km.

Antrasis Keplerio dėsnis (plotų dėsnis)

Kiekviena planeta juda plokštumoje, einančioje per Saulės centrą, ir per vienodą laiko tarpą spindulio vektorius, jungiantis Saulę ir planetą, užima vienodus plotus.

Antrasis dėsnis apibūdina planetų judėjimo aplink Saulę greičio kitimą. Su šiuo dėsniu siejamos dvi sąvokos: perihelion – arčiausiai Saulės esantis orbitos taškas ir afelis – tolimiausias orbitos taškas. Planeta aplink Saulę juda netolygiai, jos linijinis greitis perihelyje yra didesnis nei afelyje. Paveiksle mėlynai paryškintų sektorių plotai yra lygūs ir atitinkamai laikas, per kurį planeta praplaukia kiekvieną sektorių, taip pat yra vienodas. Žemė praeina perihelį sausio pradžioje ir afelį liepos pradžioje. Antrasis Keplerio dėsnis, plotų dėsnis, rodo, kad jėga, valdanti planetų judėjimą orbitoje, yra nukreipta į Saulę.

Trečiasis Keplerio įstatymas (harmoninis įstatymas)

Planetų orbitos aplink Saulę periodų kvadratai yra proporcingi jų elipsinių orbitų pusiau didžiausių ašių kubeliams. Tai galioja ne tik planetoms, bet ir jų palydovams.

Trečiasis Keplerio dėsnis leidžia palyginti planetų orbitas tarpusavyje. Kuo toliau planeta yra nuo Saulės, tuo ilgesnis jos orbitos perimetras, o judant išilgai jos visas apsisukimas trunka ilgiau. Be to, didėjant atstumui nuo Saulės, mažėja tiesinis planetos judėjimo greitis.

čia T 1, T 2 yra planetos 1 ir 2 apsisukimo aplink Saulę periodai; a 1 > a 2 – planetų 1 ir 2 orbitų pusiau pagrindinių ašių ilgiai. Pusašis – vidutinis atstumas nuo planetos iki Saulės.

Vėliau Niutonas atrado, kad trečiasis Keplerio dėsnis nebuvo visiškai tikslus; iš tikrųjų jis apėmė planetos masę:

kur M yra Saulės masė, o m 1 ir m 2 yra 1 ir 2 planetų masė.

Kadangi nustatyta, kad judėjimas ir masė yra susiję, šis Keplerio harmonikos dėsnio ir Niutono gravitacijos dėsnio derinys naudojamas planetų ir palydovų masei nustatyti, jei žinomos jų orbitos ir orbitos periodai. Taip pat žinodami planetos atstumą iki Saulės, galite apskaičiuoti metų trukmę (visiško apsisukimo aplink Saulę laikas). Ir atvirkščiai, žinodami metų trukmę, galite apskaičiuoti planetos atstumą iki Saulės.

Trys planetų judėjimo dėsniai atrastas Kepleris, tiksliai paaiškino netolygų planetų judėjimą. Pirmasis dėsnis apibūdina planetų orbitų trajektorijų geometriją. Antrasis dėsnis apibūdina planetų judėjimo aplink Saulę greičio kitimą. Trečiasis Keplerio dėsnis leidžia palyginti planetų orbitas tarpusavyje. Keplerio atrasti dėsniai vėliau buvo pagrindas Niutonui sukurti gravitacijos teoriją. Niutonas matematiškai įrodė, kad visi Keplerio dėsniai yra gravitacijos dėsnio pasekmės.

„Jis gyveno epochoje, kai vis dar nebuvo pasitikėjimo, kad egzistuoja koks nors bendras visų gamtos reiškinių modelis...

Koks gilus buvo jo tikėjimas tokiu modeliu, jei dirbdamas vienas, niekieno nepalaikomas ir nesuprantamas, jis ilgus dešimtmečius iš jo sėmėsi jėgų sunkiam ir kruopščiam empiriniam planetų judėjimo ir šio judėjimo matematinių dėsnių tyrimui!

Šiandien, kai šis mokslinis veiksmas jau atliktas, niekas negali iki galo įvertinti, kiek išradingumo, kiek sunkaus darbo ir kantrybės prireikė šiems dėsniams atrasti ir taip tiksliai juos išreikšti“ (Albertas Einšteinas apie Keplerį).

Johannesas Kepleris pirmasis atrado Saulės sistemos planetų judėjimo dėsnį. Tačiau jis tai padarė remdamasis Tycho Brahe astronominių stebėjimų analize. Taigi pirmiausia pakalbėkime apie jį.

Tycho Brahe (1546–1601)

Tycho Brahe - Danų astronomas, astrologas ir Renesanso alchemikas. Kepleris pirmasis Europoje pradėjo vykdyti sistemingus ir didelio tikslumo astronominius stebėjimus, kuriais remdamasis Kepleris išvedė planetų judėjimo dėsnius.

Dar vaikystėje susidomėjo astronomija, atliko savarankiškus stebėjimus, sukūrė kai kuriuos astronominius instrumentus. Vieną dieną (1572 m. lapkričio 11 d.), grįžęs namo iš chemijos laboratorijos, jis Kasiopėjos žvaigždyne pastebėjo neįprastai ryškią žvaigždę, kurios anksčiau ten nebuvo. Jis iškart suprato, kad tai ne planeta, ir puolė matuoti jos koordinates. Žvaigždė danguje švietė dar 17 mėnesių; Iš pradžių jis buvo matomas net dieną, bet pamažu jo blizgesys blėso. Tai buvo pirmasis supernovos sprogimas mūsų galaktikoje per 500 metų. Šis įvykis sujaudino visą Europą, buvo daugybė šio „dangaus ženklo“ interpretacijų - buvo prognozuojamos nelaimės, karai, epidemijos ir net pasaulio pabaiga. Taip pat pasirodė mokslinių traktatų, kuriuose buvo klaidingų teiginių, kad tai buvo kometa arba atmosferos reiškinys. 1573 m. buvo išleista pirmoji jo knyga „Apie naująją žvaigždę“. Jame Brahe pranešė, kad šiam objektui nebuvo aptiktas paralaksas (tariamos objekto padėties pokyčiai tolimojo fono atžvilgiu, priklausomai nuo stebėtojo padėties), ir tai įtikinamai įrodo, kad naujasis šviesulys yra žvaigždė, ir tai. yra ne šalia Žemės, bet bent jau planetų atstumu. Pasirodžius šiai knygai, Tycho Brahe buvo pripažintas pirmuoju Danijos astronomu. 1576 m. Danijos ir Norvegijos karaliaus Frydricho II dekretu Tycho Brahe buvo suteikta Veno sala visam gyvenimui. Hven), esančią 20 km nuo Kopenhagos, o observatorijos statybai ir jos priežiūrai buvo skirtos nemažos sumos. Tai buvo pirmasis pastatas Europoje, specialiai pastatytas astronominiams stebėjimams. Tycho Brahe savo observatoriją pavadino „Uraniborgu“ astronomijos mūzos Uranijos garbei (pavadinimas kartais verčiamas kaip „Pilis danguje“). Pastato projektą parengė pats Tycho Brahe. 1584 m. šalia Uraniborgo buvo pastatyta dar viena observatorijos pilis – Stjerneborg (iš danų kalbos išvertus „Žvaigždžių pilis“). Netrukus Uraniborgas tapo geriausiu pasaulyje astronomijos centru, kuriame buvo derinami stebėjimai, mokoma studentų ir publikuojami moksliniai darbai. Tačiau vėliau, dėl karaliaus pasikeitimo. Tycho Brahe prarado finansinę paramą, o tada saloje buvo uždrausta užsiimti astronomija ir alchemija. Astronomas paliko Daniją ir sustojo Prahoje.

Netrukus Uraniborgas ir visi su juo susiję pastatai buvo visiškai sunaikinti (mūsų laikais jie buvo iš dalies atkurti).

Per šį įtemptą laiką Brahe padarė išvadą, kad jam reikia jauno, talentingo matematiko padėjėjo, kuris apdorotų per 20 metų sukauptus duomenis. Sužinojęs apie Johaneso Keplerio, kurio nepaprastus matematinius sugebėjimus jis jau įvertino iš jų susirašinėjimo, persekiojimą, Tycho pakvietė jį pas save. Mokslininkai susidūrė su užduotimi: iš stebėjimų išvesti naują pasaulio sistemą, kuri turėtų pakeisti tiek Ptolemajo, tiek Koperniko sistemą. Kepleriui jis patikėjo pagrindinę planetą: Marsą, kurio judėjimas stipriai netilpo ne tik į Ptolemėjaus schemą, bet ir į paties Brahės modelius (jo skaičiavimais, Marso ir Saulės orbitos susikirto).

1601 m. Tycho Brahe ir Kepleris pradėjo kurti naujas, patobulintas astronomines lenteles, kurios imperatoriaus garbei buvo pavadintos „Rudolfu“; jie buvo baigti 1627 m. ir tarnavo astronomams bei jūreiviams iki XIX amžiaus pradžios. Tačiau Tycho Brahe tik sugebėjo lentelėms suteikti pavadinimą. Spalį jis netikėtai susirgo ir mirė nuo nežinomos ligos.

Kruopščiai ištyręs Tycho Brahe duomenis, Kepleris atrado planetų judėjimo dėsnius.

Keplerio planetų judėjimo dėsniai

Iš pradžių Kepleris planavo tapti protestantų kunigu, tačiau dėl savo nepaprastų matematinių sugebėjimų 1594 m. buvo pakviestas skaityti matematikos paskaitas Graco universitete (dabar Austrija). Kepleris Grace praleido 6 metus. Čia 1596 m. buvo išleista pirmoji jo knyga „Pasaulio paslaptis“. Jame Kepleris bandė rasti slaptą Visatos harmoniją, dėl kurios palygino įvairius „platoniškus kietuosius kūnus“ (reguliarius daugiakampius) su penkių tuomet žinomų planetų orbitomis (ypač išskyrė Žemės sferą). Jis pristatė Saturno orbitą kaip apskritimą (dar ne elipsę) ant rutulio paviršiaus, apriboto aplink kubą. Į kubą savo ruožtu buvo įrašytas rutulys, kuris turėjo pavaizduoti Jupiterio orbitą. Šiame rutulyje buvo įrašytas tetraedras, apjuostas aplink rutulį, vaizduojantį Marso orbitą ir tt Šis kūrinys, po tolesnių Keplerio atradimų, prarado savo pirminę prasmę (jei tik dėl to, kad planetų orbitos pasirodė ne apskritos) ; Nepaisant to, Kepleris iki savo gyvenimo pabaigos tikėjo paslėptos matematinės Visatos harmonijos egzistavimu ir 1621 m. iš naujo išleido „Pasaulio paslaptį“, daug pakeitęs ir papildęs.

Būdamas puikus stebėtojas, Tycho Brahe daugelį metų parengė didelį darbą apie planetų ir šimtų žvaigždžių stebėjimą, o jo matavimų tikslumas buvo žymiai didesnis nei visų jo pirmtakų. Kad padidintų tikslumą, Brahe naudojo ir techninius patobulinimus, ir specialią stebėjimo klaidų neutralizavimo techniką. Ypač vertingas buvo matavimų sistemingumas.

Per kelerius metus Kepleris atidžiai ištyrė Brahe duomenis ir, atlikęs kruopščią analizę, padarė išvadą, kad Marso trajektorija yra ne apskritimas, o elipsė, kurios viename iš židinių yra Saulė – padėtis šiandien žinoma kaip Pirmasis Keplerio dėsnis.

Pirmasis Keplerio dėsnis (elipsės dėsnis)

Kiekviena Saulės sistemos planeta sukasi elipsėje, kurios viename iš židinių yra Saulė.

Elipsės forma ir jos panašumo į apskritimą laipsnis apibūdinamas santykiu , kur yra atstumas nuo elipsės centro iki jos židinio (pusė tarpžidinio atstumo), ir yra pusiau didžioji ašis. Dydis vadinamas elipsės ekscentriškumu. Kai , Ir todėl elipsė virsta apskritimu.

Tolesnė analizė veda prie antrojo dėsnio. Spindulio vektorius, jungiantis planetą ir Saulę, nusako vienodus plotus vienodu laiku. Tai reiškė, kad kuo toliau planeta yra nuo Saulės, tuo lėčiau ji juda.

Antrasis Keplerio dėsnis (plotų dėsnis)

Kiekviena planeta juda plokštuma, einančia per Saulės centrą, ir vienodais laikotarpiais spindulio vektorius, jungiantis Saulę ir planetą, nusako vienodus plotus.

Su šiuo įstatymu susijusios dvi sąvokos: perihelio- orbitos taškas, esantis arčiausiai Saulės, ir afelis- tolimiausias orbitos taškas. Taigi iš antrojo Keplerio dėsnio išplaukia, kad planeta aplink Saulę juda netolygiai, jos linijinis greitis perihelyje yra didesnis nei afelyje.

Kiekvienais metais sausio pradžioje Žemė, eidama per perihelį, juda greičiau, todėl tariamas Saulės judėjimas išilgai ekliptikos į rytus taip pat vyksta greičiau nei vidutiniškai per metus. Liepos pradžioje Žemė, eidama pro afelį, juda lėčiau, todėl Saulės judėjimas išilgai ekliptikos sulėtėja. Plotų dėsnis rodo, kad jėga, valdanti planetų judėjimą orbitoje, yra nukreipta į Saulę.

Trečiasis Keplerio įstatymas (harmoninis įstatymas)

Planetų apsisukimo aplink Saulę periodų kvadratai yra susiję kaip planetų orbitų pusiau didžiausių ašių kubai. Tai galioja ne tik planetoms, bet ir jų palydovams.

Kur ir yra dviejų planetų apsisukimų aplink Saulę laikotarpiai ir ir yra jų orbitų pusiau pagrindinių ašių ilgiai.

Vėliau Niutonas nustatė, kad trečiasis Keplerio dėsnis nėra visiškai tikslus – jis apima ir planetos masę: , kur yra Saulės masė ir ir yra planetų masės.

Kadangi nustatyta, kad judėjimas ir masė yra susiję, šis Keplerio harmonikos dėsnio ir Niutono gravitacijos dėsnio derinys naudojamas planetų ir palydovų masei nustatyti, jei žinomos jų orbitos ir orbitos periodai.

Keplerio atradimų reikšmė astronomijoje

Atrado Kepleris trys planetų judėjimo dėsniai visiškai ir tiksliai paaiškino akivaizdų šių judesių netolygumą. Vietoj daugybės išgalvotų epiciklų Keplerio modelis apima tik vieną kreivę – elipsę. Antrasis dėsnis nustatė, kaip keičiasi planetos greitis tolstant ar artėjant prie Saulės, o trečiasis leidžia apskaičiuoti šį greitį ir apsisukimo aplink Saulę laikotarpį.

Nors istoriškai Keplerio pasaulio sistema remiasi Koperniko modeliu, iš tikrųjų jie turi labai mažai bendro (tik kasdienis Žemės sukimasis). Planetas nešančių sferų žiediniai judesiai išnyko, atsirado planetinės orbitos samprata. Koperniko sistemoje Žemė vis dar užėmė šiek tiek ypatingą padėtį, nes ji buvo vienintelė be epiciklų. Pasak Keplerio, Žemė yra įprasta planeta, kurios judėjimui galioja trys bendrieji dėsniai. Visos dangaus kūnų orbitos yra elipsės, bendras orbitų židinys yra Saulė.

Kepleris taip pat išvedė „Keplerio lygtį“, naudojamą astronomijoje dangaus kūnų padėčiai nustatyti.

Keplerio atrasti dėsniai vėliau pasitarnavo Niutonui gravitacijos teorijos kūrimo pagrindas. Niutonas matematiškai įrodė, kad visi Keplerio dėsniai yra gravitacijos dėsnio pasekmės.

Tačiau Kepleris netikėjo Visatos begalybe ir kaip argumentą pasiūlė fotometrinis paradoksas(šis pavadinimas atsirado vėliau): jei žvaigždžių skaičius begalinis, tai bet kuria kryptimi žvilgsnis susidurtų su žvaigžde, o danguje nebūtų tamsių sričių. Kepleris, kaip ir pitagoriečiai, pasaulį laikė tam tikros skaitinės harmonijos, tiek geometrinės, tiek muzikinės, įgyvendinimu; atskleidus šios harmonijos struktūrą, būtų atsakyta į giliausius klausimus.

Kiti Keplerio pasiekimai

Matematikoje jis rado būdą, kaip nustatyti įvairių apsisukimų kūnų tūrius, pasiūlė pirmuosius integralinio skaičiavimo elementus, detaliai išanalizavo snaigių simetriją, Keplerio darbai simetrijos srityje vėliau rado pritaikymą kristalografijoje ir kodavimo teorijoje. Jis sudarė vieną iš pirmųjų logaritmų lentelių ir pirmą kartą pristatė svarbiausią sąvoką be galo tolimas taškaspristatė koncepciją kūgio pjūvio židinys ir peržiūrėta projekcinės kūginių pjūvių transformacijos, įskaitant keičiančias jų tipą.

Fizikojesugalvojo terminą inercija kaip įgimta kūnų savybė atsispirti taikomai išorinei jėgai, priartėjo prie gravitacijos dėsnio atradimo, nors ir nebandė jo išreikšti matematiškai, pirmasis, beveik šimtu metų anksčiau nei Niutonas, iškėlė hipotezę, potvynių ir atoslūgių priežastis – Mėnulio įtaka viršutiniams vandenynų sluoksniams.

Optikoje: optika kaip mokslas prasideda nuo jo darbų. Jis aprašo šviesos lūžį, lūžį ir optinio vaizdo sampratą, bendrąją lęšių ir jų sistemų teoriją. Kepleris išsiaiškino lęšio vaidmenį ir teisingai apibūdino trumparegystės ir toliaregystės priežastis.

KAM astrologija Kepleris turėjo dviprasmišką požiūrį. Šiuo klausimu cituojami du jo pareiškimai. Pirmas: " Žinoma, ši astrologija yra kvaila dukra, bet, Dieve, kur dingtų jos mama, labai išmintinga astronomija, jei ji neturėtų kvailos dukters! Pasaulis yra dar kvailesnis ir toks kvailas, kad šios senos protingos motinos labui kvaila dukra turi plepėti ir meluoti. O matematikų atlyginimas toks menkas, kad mama tikriausiai badautų, jei dukra nieko neuždirbtų“ Ir antra: " Žmonės klysta manydami, kad žemiški reikalai priklauso nuo dangaus kūnų“ Tačiau vis dėlto Kepleris sudarė horoskopus sau ir savo artimiesiems.

Mikrokosmose elementariųjų dalelių – atomų, molekulių – sąveikos metu dominuoja branduolinė ir elektromagnetinė sąveika. Stebėti elementariųjų dalelių gravitacinę sąveiką beveik neįmanoma. Mokslininkai turi griebtis labai didelių gudrybių, norėdami išmatuoti šimtus, tūkstančius kilogramų sveriančių kūnų gravitacinę sąveiką. Tačiau kosminiu mastu visos kitos sąveikos, išskyrus gravitacinę, praktiškai nepastebimos. Planetų, palydovų, asteroidų, kometų, žvaigždžių judėjimas galaktikoje yra visiškai aprašytas gravitacine sąveika.

Jis pasiūlė Žemę pastatyti Visatos centre, o planetų judėjimą apibūdino dideli ir maži apskritimai, kurie buvo vadinami Ptolemėjo epiciklais.

Tik XVI amžiuje Kopernikas pasiūlė Ptolemėjo geocentrinį pasaulio modelį pakeisti heliocentriniu. Tai yra, pastatykite Saulę į Visatos centrą ir manykite, kad visos planetos ir Žemė kartu su jomis juda aplink Saulę (2 pav.).

Ryžiai. 2. N. Koperniko heliocentrinis modelis ()

XVII amžiaus pradžioje vokiečių astronomas Johannesas Kepleris, apdorojęs didžiulį kiekį astronominės informacijos, kurią gavo danų astronomas Tycho Brahe, pasiūlė savo empirinius dėsnius, kurie nuo to laiko buvo vadinami Keplerio dėsniais.

Visos Saulės sistemos planetos juda tam tikromis kreivėmis, vadinamomis elipsėmis. Elipsė yra viena iš paprasčiausių matematinių kreivių, vadinamoji antros eilės kreivė. Viduramžiais jos buvo vadinamos kūginėmis sankryžomis – perkirtę kūgį ar cilindrą su tam tikra plokštuma gausite tokią pat kreivę, kuria juda Saulės sistemos planetos.

Ryžiai. 3. Planetos judėjimo kreivė ()

Ši kreivė (3 pav.) turi du paryškintus taškus, kurie vadinami židiniais. Kiekviename elipsės taške atstumų nuo jo iki židinių suma yra vienoda. Saulės centras (F) yra viename iš šių židinių; arčiausiai Saulės esantis kreivės taškas (P) vadinamas periheliu, o tolimiausias taškas (A) vadinamas afeliu. Atstumas nuo perihelio iki elipsės centro vadinamas pusiau didžiąja ašimi, o vertikalus atstumas nuo elipsės centro iki elipsės yra pusiau mažoji elipsės ašis.

Planetai judant išilgai elipsės spindulio vektorius, jungiantis Saulės centrą su šia planeta, apibūdina tam tikrą sritį. Pavyzdžiui, per laiką ∆t planeta judėjo iš vieno taško į kitą, spindulio vektorius apibūdino tam tikrą sritį ∆S.

Ryžiai. 4. Antrasis Keplerio dėsnis ()

Antrasis Keplerio dėsnis teigia: per vienodus laiko tarpus planetų spindulio vektoriai apibūdina vienodus plotus.

4 paveiksle parodytas kampas ∆Θ, tai yra spindulio vektoriaus sukimosi kampas per tam tikrą laiką ∆t ir planetos impulsas (), nukreiptas liestine trajektorijai, suskaidytas į du komponentus - impulso komponentą išilgai spindulio vektoriaus () ir impulso komponentas kryptimi , statmena spindulio vektoriui (⊥).

Atlikime skaičiavimus, susijusius su antruoju Keplerio dėsniu. Keplerio teiginys, kad vienodi plotai kertami vienodais intervalais, reiškia, kad šių dydžių santykis yra pastovus. Šių dydžių santykis dažnai vadinamas sektoriniu greičiu; tai yra spindulio vektoriaus padėties kitimo greitis. Koks yra plotas ∆S, kurį spindulio vektorius nubraukia per laiką ∆t? Tai yra trikampio plotas, kurio aukštis yra maždaug lygus spindulio vektoriui, o pagrindas yra maždaug lygus r ∆ω, naudodamiesi šiuo teiginiu, reikšmę ∆S įrašome ½ aukščio pavidalu. vienai bazei ir padalijus iš ∆t, gauname išraišką:

, tai kampo kitimo greitis, tai yra kampinis greitis.

Galutinis rezultatas:

,

Atstumo iki Saulės centro kvadratas, padaugintas iš kampinio judėjimo greičio tam tikru laiko momentu, yra pastovi reikšmė.

Bet jei išraišką r 2 ω padauginsime iš kūno masės m, gausime reikšmę, kuri gali būti pavaizduota kaip spindulio vektoriaus ilgio ir impulso, nukreipto skersine spindulio vektoriui, sandauga:

Šis dydis, lygus spindulio vektoriaus ir statmeno impulso komponento sandaugai, vadinamas „kampiniu momentu“.

Antrasis Keplerio dėsnis yra teiginys, kad kampinis impulsas gravitaciniame lauke yra išsaugotas dydis. Tai veda prie paprasto, bet labai svarbaus teiginio: mažiausio ir didžiausio atstumo iki Saulės centro, tai yra afelio ir perihelio, taškuose greitis nukreipiamas statmenai spindulio vektoriui, todėl spindulio vektoriaus sandauga. o greitis viename taške yra lygus šiai sandaugai kitame taške.

Trečiasis Keplerio dėsnis teigia, kad planetos apsisukimo aplink Saulę periodo kvadrato ir pusiau didžiosios ašies kubo santykis yra vienodas visoms Saulės sistemos planetoms.

Ryžiai. 5. Savavališkos planetų trajektorijos ()

5 paveiksle pavaizduotos dvi savavališkos planetų trajektorijos. Vienas turi aiškią elipsės formą, kurios ilgis yra pusiau ašis (a), antrasis turi apskritimo formą, kurio spindulys (R), sukimosi išilgai bet kurios iš šių trajektorijų laikas, tai yra laikotarpis. apsisukimo, yra susijęs su pusašio ilgiu arba su spinduliu. O jei elipsė virsta apskritimu, tai pusiau didžioji ašis tampa šio apskritimo spinduliu. Trečiasis Keplerio dėsnis teigia, kad tuo atveju, kai pusiau didžiosios ašies ilgis yra lygus apskritimo spinduliui, planetų apsisukimo aplink Saulę periodai bus vienodi.

Apskritimo atveju šis santykis gali būti apskaičiuojamas naudojant antrąjį Niutono dėsnį ir kūno judėjimo apskritime dėsnį, ši konstanta yra 4π 2 padalyta iš visuotinės gravitacijos konstantos (G) ir Saulės masės ( M).

Taigi aišku, kad jei apibendrintume gravitacines sąveikas, kaip darė Niutonas, ir darome prielaidą, kad gravitacinėje sąveikoje dalyvauja visi kūnai, Keplerio dėsniai gali būti išplėsti į palydovų judėjimą aplink Žemę, į palydovų judėjimą aplink bet kurią kitą planetą. ir netgi palydovų Mėnulio judėjimui aplink Mėnulio centrą. Tik dešinėje šios formulės pusėje raidė M reikš palydovus traukiančio kūno masę. Visi tam tikro kosminio objekto palydovai turės tokį patį orbitos periodo kvadrato (T 2) santykį su pusiau didžiosios ašies kubu (a 3). Šis dėsnis gali būti taikomas visiems Visatos kūnams ir net žvaigždėms, kurios sudaro mūsų galaktiką.

Dvidešimtojo amžiaus antroje pusėje buvo pastebėta, kad kai kurios žvaigždės, esančios gana toli nuo mūsų Galaktikos centro, nepaklūsta šiam Keplerio dėsniui. Tai reiškia, kad mes ne viską žinome apie tai, kaip gravitacija veikia visoje mūsų galaktikos dydžiu. Vienas iš galimų paaiškinimų, kodėl tolimos žvaigždės juda greičiau, nei reikalauja trečiasis Keplerio dėsnis, yra toks: mes nematome visos Galaktikos masės. Nemažą jos dalį gali sudaryti medžiaga, kuri nėra stebima mūsų prietaisais, nesąveikauja elektromagnetiškai, nespinduliuoja ir nesugeria šviesos ir dalyvauja tik gravitacinėje sąveikoje. Ši medžiaga buvo vadinama paslėpta mase arba tamsiąja medžiaga. Tamsiosios medžiagos problemos yra viena iš pagrindinių XXI amžiaus fizikos problemų.

Kitos pamokos tema: materialių taškų sistemos, masės centras, masės centro judėjimo dėsnis.

Bibliografija

1. Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. Fizika (pagrindinis lygis) - M.: Mnemosyne, 2012 m.
2. Kabardinas O.F., Orlovas V.A., Evenčikas E.E. Fizika-10. M.: Švietimas, 2010 m.
3. Atvira fizika ()

1. Elementy.ru ().
2. Physics.ru ().
3. Ency.info().

Namų darbai

1. Apibrėžkite pirmąjį Keplerio dėsnį.
2. Apibrėžkite antrąjį Keplerio dėsnį.
3. Apibrėžkite trečiąjį Keplerio dėsnį.

Planetos juda aplink Saulę pailgomis elipsinėmis orbitomis, o Saulė yra viename iš dviejų elipsės židinio taškų.

Tiesi linija, jungianti Saulę ir planetą, per vienodą laiką atskiria vienodus plotus.

Planetų apsisukimo aplink Saulę periodų kvadratai yra susieti su jų orbitų pusiau didžiausių ašių kubeliais.

Johannesas Kepleris turėjo grožio jausmą. Visą savo suaugusiojo gyvenimą jis bandė įrodyti, kad Saulės sistema yra kažkoks mistinis meno kūrinys. Iš pradžių jis bandė susieti jos įrenginį su penkiais taisyklingas daugiabriaunis klasikinė senovės graikų geometrija. (Taisyklingas daugiakampis yra trimatė figūra, kurios visi paviršiai yra vienodi taisyklingi daugiakampiai.) Keplerio laikais buvo žinomos šešios planetos, kurios, kaip manoma, yra ant besisukančių „kristalinių sferų“. Kepleris teigė, kad šios sferos yra išdėstytos taip, kad taisyklingi daugiakampiai tiksliai tilptų tarp gretimų sferų. Tarp dviejų išorinių sferų – Saturno ir Jupiterio – jis įdėjo į išorinę sferą įrašytą kubą, į kurį, savo ruožtu, yra įrašyta vidinė sfera; tarp Jupiterio ir Marso sferu - tetraedras (taisyklingasis tetraedras) ir pan. Šešios planetų sferos, tarp jų įrašyti penki taisyklingi daugiakampiai - atrodytų, kad pats tobulumas?

Deja, palyginęs savo modelį su stebimomis planetų orbitomis, Kepleris buvo priverstas pripažinti, kad tikrasis dangaus kūnų elgesys netelpa į jo išdėstytą harmoningą sistemą. Kaip taikliai pažymėjo šiuolaikinis britų biologas J. B. S. Haldane'as, „ideja apie Visatą kaip geometriškai tobulą meno kūrinį pasirodė dar viena graži hipotezė, sugriauta bjaurių faktų“. Vienintelis šimtmečius išgyvenusio Keplerio jaunatviško impulso rezultatas buvo paties mokslininko pagamintas Saulės sistemos modelis, įteiktas kaip dovana jo globėjui kunigaikščiui Frederickui von Württemburg. Šiame gražiai atliktame metaliniame artefakte visos planetų orbitos sferos ir jose įrašyti taisyklingi daugiakampiai yra tuščiaviduriai tarpusavyje nesusisiekiantys indai, kurie švenčių dienomis turėjo būti pripildyti įvairiais gėrimais kunigaikščio svečiams pavaišinti.

Tik persikėlęs į Prahą ir tapęs garsaus danų astronomo Tycho Brahe (1546-1601) asistentu, Kepleris susidūrė su idėjomis, kurios tikrai įamžino jo vardą mokslo metraščiuose. Tycho Brahe visą savo gyvenimą rinko astronominių stebėjimų duomenis ir sukaupė milžiniškus kiekius informacijos apie planetų judėjimą. Po jo mirties jie pateko į Keplerio nuosavybę. Šie įrašai, beje, tuo metu turėjo didelę komercinę vertę, nes pagal juos buvo galima sudaryti rafinuotus astrologinius horoskopus (šiandien mokslininkai apie šią ankstyvosios astronomijos skyrių nori tylėti).

Apdorojant Tycho Brahe stebėjimų rezultatus, Kepleris susidūrė su problema, kuri net ir naudojant šiuolaikinius kompiuterius kažkam gali pasirodyti neįveikiama, todėl Kepleriui neliko nieko kito, kaip visus skaičiavimus atlikti rankomis. Žinoma, kaip ir dauguma to meto astronomų, Kepleris jau buvo susipažinęs su Koperniko heliocentrine sistema. cm. Koperniko principas) ir žinojo, kad Žemė sukasi aplink Saulę, kaip rodo aukščiau aprašytas Saulės sistemos modelis. Bet kaip tiksliai sukasi Žemė ir kitos planetos? Įsivaizduokime problemą taip: esate planetoje, kuri, pirma, sukasi aplink savo ašį, antra, sukasi aplink Saulę jums nežinoma orbita. Žvelgdami į dangų matome kitas planetas, kurios taip pat juda mums nežinomomis orbitomis. Mūsų užduotis yra, remiantis stebėjimų duomenimis apie mūsų gaublį, besisukantį aplink savo ašį aplink Saulę, nustatyti kitų planetų orbitų geometriją ir judėjimo greitį. Būtent tai Kepleriui galiausiai pavyko padaryti, o po to, remdamasis gautais rezultatais, jis išvedė tris savo dėsnius!

Pirmasis įstatymas aprašoma planetų orbitų trajektorijų geometrija. Iš savo mokyklos geometrijos kurso galite prisiminti, kad elipsė yra taškų rinkinys plokštumoje, atstumų, nuo kurių iki dviejų fiksuotų taškų, suma yra gudrybės— lygus konstantai. Jei jums tai per sudėtinga, yra kitas apibrėžimas: įsivaizduokite kūgio šoninio paviršiaus atkarpą plokštuma, kuri yra kampu su pagrindu, o ne per pagrindą - tai taip pat elipsė. Pirmasis Keplerio dėsnis teigia, kad planetų orbitos yra elipsės, kurių viename iš židinių yra Saulė. Ekscentriškumas(pailgėjimo laipsnis) orbitų ir jų atstumo nuo Saulės perihelio(taškas arčiausiai Saulės) ir apohelija(tolimiausias taškas) visos planetos yra skirtingos, tačiau visos elipsės orbitos turi vieną bendrą bruožą – Saulė yra viename iš dviejų elipsės židinių. Išanalizavęs Tycho Brahe stebėjimo duomenis, Kepleris padarė išvadą, kad planetų orbitos yra įdėtos elipsės. Iki jo to tiesiog nebuvo kilęs nė vienam astronomui.

Keplerio pirmojo dėsnio istorinės reikšmės negalima pervertinti. Prieš jį astronomai manė, kad planetos juda išskirtinai žiedinėmis orbitomis, o jei tai netilpo į stebėjimų rėmus, pagrindinis žiedinis judėjimas buvo papildytas mažais apskritimais, kuriuos planetos apibūdino aplink pagrindinės žiedinės orbitos taškus. Tai, sakyčiau, pirmiausia buvo filosofinė pozicija, savotiškas nekintantis faktas, nekeliantis abejonių ir patikrinimų. Filosofai teigė, kad dangaus struktūra, skirtingai nei žemiškoji, yra tobula savo harmonijoje, o kadangi tobuliausios geometrinės figūros yra apskritimas ir rutulys, tai reiškia, kad planetos juda ratu (ir dar šiandien turiu išsklaidyti šis klaidingas mano studentų supratimas vis dar ir vėl). Svarbiausia, kad, gavęs prieigą prie plačių Tycho Brahe stebėjimų duomenų, Johannesas Kepleris sugebėjo peržengti šį filosofinį prietarą, pamatęs, kad jis neatitinka faktų – lygiai taip pat, kaip Kopernikas išdrįso pašalinti Žemę iš centro. Visatos, susidūrusios su argumentais, kurie prieštarauja nuolatinėms geocentrinėms idėjoms, kurias taip pat sudarė „netinkamas planetų elgesys“ orbitose.

Antrasis įstatymas apibūdina planetų greičio pokytį aplink Saulę. Aš jau pateikiau jos formuluotę formalia forma, bet kad geriau suprastumėte jos fizinę prasmę, prisiminkite savo vaikystę. Tikriausiai yra tekę žaidimų aikštelėje suktis aplink stulpą, sugriebdami jį rankomis. Tiesą sakant, planetos aplink saulę skrieja panašiai. Kuo toliau elipsinė orbita nukelia planetą nuo Saulės, tuo lėtesnis jos judėjimas; kuo arčiau Saulės, tuo planeta juda greičiau. Dabar įsivaizduokite porą linijų atkarpų, jungiančių dvi planetos padėtis jos orbitoje su elipsės, kurioje yra Saulė, židiniu. Kartu su elipsės segmentu, esančiu tarp jų, jie sudaro sektorių, kurio plotas yra būtent „sritis, kurią atskiria tiesia linija“. Būtent apie tai kalba antrasis įstatymas. Kuo planeta arčiau Saulės, tuo segmentai trumpesni. Bet šiuo atveju, kad sektorius per vienodą laiką apimtų vienodą plotą, planeta savo orbita turi nukeliauti didesnį atstumą, vadinasi, didėja jos judėjimo greitis.

Pirmieji du dėsniai susiję su vienos planetos orbitos trajektorijų specifika. Trečiasis įstatymas Kepleris leidžia palyginti planetų orbitas tarpusavyje. Sakoma, kad kuo toliau planeta yra nuo Saulės, tuo ilgiau užtrunka pilnai apsisukti judant orbitoje ir atitinkamai ilgiau trunka „metai“ šioje planetoje. Šiandien žinome, kad tai lemia du veiksniai. Pirma, kuo toliau planeta yra nuo Saulės, tuo ilgesnis jos orbitos perimetras. Antra, didėjant atstumui nuo Saulės, mažėja ir linijinis planetos judėjimo greitis.

Savo įstatymuose Kepleris tiesiog konstatavo faktus, išstudijavęs ir apibendrinęs stebėjimų rezultatus. Jei būtum paklausęs, kas lėmė orbitų elipsiškumą ar sektorių plotų lygumą, jis tau nebūtų atsakęs. Tai tiesiog išplaukė iš jo analizės. Jei paklaustumėte jo apie planetų judėjimą orbitoje kitose žvaigždžių sistemose, jis taip pat neturėtų ką jums atsakyti. Jis turėtų pradėti viską iš naujo – kaupti stebėjimo duomenis, tada juos analizuoti ir bandyti nustatyti modelius. Tai yra, jis tiesiog neturėtų pagrindo manyti, kad kita planetų sistema paklūsta tiems patiems dėsniams kaip ir Saulės sistema.

Vienas didžiausių klasikinės Niutono mechanikos triumfų slypi būtent tame, kad ji suteikia esminį Keplerio dėsnių pagrindimą ir jų universalumą. Pasirodo, Keplerio dėsniai gali būti išvesti iš Niutono mechanikos dėsnių, Niutono visuotinės gravitacijos dėsnio ir kampinio momento išsaugojimo dėsnio atliekant griežtus matematinius skaičiavimus. Ir jei taip, galime būti tikri, kad Keplerio dėsniai vienodai taikomi bet kuriai planetų sistemai bet kurioje Visatoje. Astronomai, ieškantys naujų planetų sistemų erdvėje (ir nemažai jų jau buvo atrasta), karts nuo karto, kaip savaime suprantama, naudoja Keplerio lygtis tolimų planetų orbitų parametrams apskaičiuoti, nors negali jų tiesiogiai stebėti. .

Trečiasis Keplerio dėsnis suvaidino ir vaidina svarbų vaidmenį šiuolaikinėje kosmologijoje. Stebėdami tolimas galaktikas, astrofizikai aptinka silpnus signalus, kuriuos skleidžia vandenilio atomai, skriejantys labai tolimomis orbitomis nuo galaktikos centro – daug toliau, nei paprastai būna žvaigždės. Naudodami Doplerio efektą šios spinduliuotės spektre, mokslininkai nustato galaktikos disko vandenilio periferijos sukimosi greitį, o iš jų - visų galaktikų kampinius greičius ( cm. taip pat tamsioji medžiaga). Džiaugiuosi, kad mokslininko, kuris tvirtai pastūmėjo mus į teisingą mūsų Saulės sistemos sandaros supratimo kelią, darbai ir šiandien, praėjus šimtmečiams po jo mirties, atlieka tokį svarbų vaidmenį tyrinėjant didžiųjų planetos struktūrą. Visata.

Tarp Marso ir Žemės sferų yra dodekaedras (dodekaedras); tarp Žemės ir Veneros sferų – ikosaedras (dvidešimties eedrų); tarp Veneros ir Merkurijaus sferų yra oktaedras (oktaedras). Gautą dizainą Kepleris pristatė skerspjūviu detaliame trimačiame brėžinyje (žr. pav.) savo pirmojoje monografijoje „Kosmografinė paslaptis“ (Mysteria Cosmographica, 1596).— Vertėjo pastaba.

Net senovėje buvo pastebėta, kad skirtingai nuo žvaigždžių, kurios šimtmečius nuolat išlaiko savo santykinę padėtį erdvėje, planetos apibūdina labai sudėtingas žvaigždžių trajektorijas. Norėdami paaiškinti kilpinį planetų judėjimą, senovės graikų mokslininkas K. Ptalomey (II a. po Kr.), manydamas, kad Žemė yra Visatos centre, pasiūlė kiekvienai iš planetų judėti mažu apskritimu (epiciklu). ), kurio centras tolygiai juda dideliu apskritimu, kurio centre yra Žemė. Ši koncepcija buvo vadinama Ptalomean arba geocentrine pasaulio sistema.

XVI amžiaus pradžioje lenkų astronomas N. Kopernikas (1473–1543) pagrindė heliocentrinę sistemą, pagal kurią dangaus kūnų judėjimas paaiškinamas Žemės (kaip ir kitų planetų) judėjimu aplink Saulę. ir kasdienis Žemės sukimasis. Koperniko stebėjimo teorija buvo suvokiama kaip linksma fantazija. XVI amžiuje šį teiginį bažnyčia laikė erezija. Žinoma, kad G. Bruno, atvirai palaikęs heliocentrinę Koperniko sistemą, buvo pasmerktas inkvizicijos ir sudegintas ant laužo.

Visuotinės gravitacijos dėsnį atrado Niutonas, remdamasis trimis Keplerio dėsniais.

Pirmasis Keplerio dėsnis. Visos planetos juda elipsėmis, viename iš židinių yra Saulė (7.6 pav.).

Ryžiai. 7.6

Antrasis Keplerio dėsnis. Planetos spindulio vektorius nusako vienodus plotus vienodais laikais (7.7 pav.).
Beveik visos planetos (išskyrus Plutoną) juda orbitomis, kurios yra artimos apskritimui. Apskritimuose orbitose pirmasis ir antrasis Keplerio dėsniai tenkinami automatiškai, o trečiasis tai teigia T 2 ~ R 3 (T– cirkuliacijos laikotarpis; R– orbitos spindulys).

Niutonas išsprendė atvirkštinę mechanikos problemą ir iš planetų judėjimo dėsnių gavo gravitacinės jėgos išraišką:

(7.5.2)

Kaip jau žinome, gravitacinės jėgos yra konservatyvios jėgos. Kai kūnas juda konservatyvių jėgų gravitaciniame lauke uždara trajektorija, darbas yra lygus nuliui.
Gravitacijos jėgų konservatyvumo savybė leido įvesti potencialios energijos sąvoką.

Potencinė energija kūno masė m, esantis per atstumą r iš didelio masės kūno M, Yra

Taigi pagal energijos tvermės dėsnį viso kūno energija gravitaciniame lauke išlieka nepakitusi.

Bendra energija gali būti teigiama arba neigiama arba lygi nuliui. Suminės energijos ženklas lemia dangaus kūno judėjimo pobūdį.

At E < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r 0 < r maks. Tokiu atveju dangaus kūnas juda kartu elipsės formos orbita(Saulės sistemos planetos, kometos) (7.8 pav.)

Ryžiai. 7.8

Dangaus kūno apsisukimo elipsės formos orbitoje laikotarpis yra lygus apsisukimo periodui apskritimo spindulio orbitoje R, Kur R– pusiau didžioji orbitos ašis.

At E= 0 kūnas juda paraboline trajektorija. Kūno greitis begalybėje lygus nuliui.

At E< 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Pirmasis kosminis greitis yra kūno judėjimo apskritimo orbita netoli Žemės paviršiaus greitis. Norėdami tai padaryti, kaip išplaukia iš antrojo Niutono dėsnio, išcentrinė jėga turi būti subalansuota gravitacijos jėga:

Iš čia

Antrasis pabėgimo greitis vadinamas kūno judėjimo paraboline trajektorija greičiu. Jis lygus minimaliam greičiui, kuris turi būti suteiktas kūnui Žemės paviršiuje, kad jis, įveikęs gravitaciją, taptų dirbtiniu Saulės (dirbtinės planetos) palydovu. Norint tai padaryti, būtina, kad kinetinė energija būtų ne mažesnė nei darbas, atliktas siekiant įveikti Žemės gravitaciją:

Iš čia
Trečiasis pabėgimo greitis– judėjimo greitis, kuriuo kūnas gali palikti Saulės sistemą, įveikdamas Saulės gravitaciją:

υ 3 = 16,7·10 3 m/s.

7.8 paveiksle pavaizduotos skirtingo kosminio greičio kūnų trajektorijos.