Trigonometrinis funkcijas periodiškai, tai yra, jie kartojasi po tam tikro laikotarpio. Dėl to pakanka ištirti šio intervalo funkciją ir išplėsti atrastas savybes į visus kitus periodus.

Instrukcijos

1. Jei jums duota primityvi išraiška, kurioje yra tik viena trigonometrinė funkcija (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), o funkcijos viduje esantis kampas nėra dauginamas iš jokio skaičiaus, o pats jis nėra pakeltas į jokį galia – naudokite apibrėžimą. Išraiškose, kuriose yra sin, cos, sec, cosec, drąsiai nustatykite periodą į 2P, o jei lygtyje yra tg, ctg, tada P. Tarkime, funkcijai y=2 sinx+5 periodas bus lygus 2P .

2. Jei kampas x po trigonometrinės funkcijos ženklu padauginamas iš kokio nors skaičiaus, tai norėdami rasti šios funkcijos periodą, tipinį periodą padalinkite iš šio skaičiaus. Tarkime, kad jums duota funkcija y = sin 5x. Tipiškas sinuso periodas yra 2P, padalijus jį iš 5, gauname 2P/5 – tai norimas šios išraiškos periodas.

3. Norėdami rasti laipsniu pakeltos trigonometrinės funkcijos periodą, įvertinkite laipsnio paritetą. Kad laipsnis būtų lygus, įprastą laikotarpį sumažinkite per pusę. Tarkime, jei jums duota funkcija y = 3 cos^2x, tada tipinis periodas 2P sumažės 2 kartus, taigi periodas bus lygus P. Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos tg, ctg yra periodinės P kiekvienai laipsnį.

4. Jei jums pateikiama lygtis, kurioje yra dviejų trigonometrinių funkcijų sandauga arba koeficientas, pirmiausia raskite visų jų laikotarpį atskirai. Po to suraskite mažiausią skaičių, kuriame būtų abiejų taškų sveikasis skaičius. Tarkime, kad duota funkcija y=tgx*cos5x. Tangento periodas yra P, kosinuso 5x periodas yra 2P/5. Minimalus skaičius, kuriame gali būti apgyvendinti abu šie laikotarpiai, yra 2P, taigi norimas laikotarpis yra 2P.

5. Jei jums sunku tai padaryti siūlomu būdu arba abejojate rezultatu, pabandykite tai padaryti pagal apibrėžimą. Paimkite T kaip funkcijos periodą; jis didesnis už nulį. Į lygtį pakeiskite išraišką (x + T), o ne x, ir išspręskite gautą lygybę taip, lyg T būtų parametras arba skaičius. Dėl to atrasite trigonometrinės funkcijos reikšmę ir galėsite rasti mažiausią periodą. Tarkime, dėl palengvėjimo gausite tapatybės nuodėmę (T/2) = 0. Mažiausia T reikšmė, kuriai ji atliekama, yra 2P, tai bus užduoties rezultatas.

Periodinė funkcija yra funkcija, kuri pakartoja savo reikšmes po tam tikro ne nulio laikotarpio. Funkcijos periodas yra skaičius, kurį pridėjus prie funkcijos argumento funkcijos reikšmė nekeičiama.

Jums reikės

• Elementariosios matematikos žinios ir pagrindinės apžvalgos žinios.

Instrukcijos

1. Funkcijos f(x) periodą pažymėkime skaičiumi K. Mūsų užduotis – atrasti šią K reikšmę. Norėdami tai padaryti, įsivaizduokime, kad funkcija f(x), naudodamiesi periodinės funkcijos apibrėžimu, sulyginsime f(x+K)=f(x).

2. Išsprendžiame gautą lygtį dėl nežinomo K, tarsi x būtų konstanta. Priklausomai nuo K reikšmės, bus keletas variantų.

3. Jei K>0 – tai jūsų funkcijos periodas Jei K=0 – tai funkcija f(x) nėra periodinė. Jei lygties f(x+K)=f(x) sprendinys neegzistuoja jei bet kuris K nėra lygus nuliui, tada tokia funkcija vadinama aperiodine ir ji taip pat neturi periodo.

Video tema

Pastaba!
Visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės, o visos daugianario funkcijos, kurių laipsnis didesnis nei 2, yra aperiodinės.

Naudingas patarimas
Funkcijos periodas, susidedantis iš 2 periodinių funkcijų, yra mažiausias universalus šių funkcijų periodų kartotinis.

Trigonometrinės lygtys yra lygtys, kuriose yra nežinomo argumento trigonometrinės funkcijos (pvz.: 5sinx-3cosx =7). Norėdami išmokti juos išspręsti, turite žinoti keletą būdų, kaip tai padaryti.

Instrukcijos

1. Tokių lygčių sprendimas susideda iš 2 etapų, kurių pirmasis yra reformuoti lygtį, kad ji įgytų paprasčiausią formą. Paprasčiausios trigonometrinės lygtys yra: Sinx=a; Cosx=a ir kt.

2. Antrasis yra gautos paprasčiausios trigonometrinės lygties sprendimas. Yra pagrindiniai šio tipo lygčių sprendimo būdai: Algebrinis sprendimas. Šis metodas yra gerai žinomas iš mokyklos, iš algebros kurso. Kitaip vadinamas kintamųjų pakeitimo ir pakeitimo metodu. Naudodami redukcijos formules transformuojame, atliekame pakaitalus ir tada randame šaknis.

3. Lygties faktorinavimas. Pirmiausia visus terminus perkeliame į kairę ir suskaičiuojame.

4. Lygtį redukuojant į vienalytę. Lygtys vadinamos vienarūšėmis lygtimis, jei visi nariai yra vienodo laipsnio, o sinusas ir kosinusas vienodo kampo Tam, kad tai išspręstumėte, turėtumėte: pirmiausia visus jo narius perkelti iš dešinės pusės į kairę pusę; perkelti visus universalius veiksnius iš skliaustų; koeficientus ir skliaustus prilyginti nuliui; sulyginti skliaustai suteikia homogeninę žemesnio laipsnio lygtį, kuri turėtų būti padalinta iš cos (arba sin) iki aukščiausio laipsnio; išspręskite gautą algebrinę lygtį dėl įdegio.

5. Kitas būdas yra pereiti į pusę kampo. Tarkime, išspręskite lygtį: 3 sin x – 5 cos x = 7. Pereikime prie pusės kampo: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 nuodėmė ? (x / 2) = 7 nuodėmė? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , po to visus narius sumažiname į vieną dalį (geriausia dešinę) ir išsprendžiame lygtį.

6. Pagalbinio kampo įėjimas. Kai pakeičiame sveikojo skaičiaus reikšmę cos(a) arba sin(a). Ženklas „a“ yra pagalbinis kampas.

7. Produkto pertvarkymo į sumą metodas. Čia reikia pritaikyti atitinkamas formules. Tarkime, duota: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. Išspręskite kairę pusę paversdami suma, tai yra: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.

8. Galutinis metodas vadinamas daugiafunkciu pakeitimu. Transformuojame išraišką ir atliekame pakeitimą, tarkime Cos(x/2)=u, o tada išsprendžiame lygtį su parametru u. Perkant bendrą sumą, vertę konvertuojame į priešingą.

Video tema

Jei apsvarstysime apskritimo taškus, tai taškai x, x + 2π, x + 4π ir kt. sutampa vienas su kitu. Taigi, trigonometrinis funkcijas tiesioje linijoje periodiškai pakartoti jų reikšmę. Jei laikotarpis garsus funkcijas, galima sukurti funkciją šiam laikotarpiui ir pakartoti ją kitiems.

Instrukcijos

1. Taškas yra toks skaičius T, kad f(x) = f(x+T). Norėdami rasti periodą, išspręskite atitinkamą lygtį, kaip argumentą pakeisdami x ir x+T. Šiuo atveju funkcijoms naudojami jau gerai žinomi laikotarpiai. Sinuso ir kosinuso funkcijų periodas yra 2π, o liestinės ir kotangentinės funkcijos yra π.

2. Tegu duota funkcija f(x) = sin^2(10x). Apsvarstykite išraišką sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Norėdami sumažinti laipsnį, naudokite formulę: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Tada gausite 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) arba cos 20x = cos (20x+20T). Žinant, kad kosinuso periodas yra 2π, 20T = 2π. Tai reiškia, kad T = π/10. T yra minimalus teisingas laikotarpis, o funkcija bus kartojama po 2T ir po 3T, ir kita kryptimi išilgai ašies: -T, -2T ir kt.

Naudingas patarimas
Naudokite formules, kad sumažintumėte funkcijos laipsnį. Jei jau žinote kai kurių funkcijų periodus, pabandykite esamą funkciją sumažinti iki žinomų.

Funkcijos lygumo ir nelygumo tyrimas padeda sudaryti funkcijos grafiką ir suprasti jos elgesio pobūdį. Šiam tyrimui reikia palyginti šią funkciją, parašytą argumentui „x“ ir argumentui „-x“.

Instrukcijos

1. Užrašykite funkciją, kurią norite ištirti forma y=y(x).

2. Funkcijos argumentą pakeiskite „-x“. Pakeiskite šį argumentą funkcine išraiška.

3. Supaprastinkite išraišką.

4. Taigi jūs turite tą pačią funkciją, parašytą argumentams „x“ ir „-x“. Pažvelkite į šiuos du įrašus. Jei y(-x)=y(x), tai yra lyginė funkcija. Jei y(-x)=-y(x), tai yra nelyginė funkcija. Jei neįmanoma apie funkciją pasakykite, kad y (-x)=y(x) arba y(-x)=-y(x), tada pagal pariteto savybę tai yra universalios formos funkcija. Tai yra, jis nėra nei lyginis, nei nelyginis.

5. Užsirašykite savo atradimus. Dabar galite juos naudoti kurdami funkcijos grafiką arba atlikdami analitinį funkcijos savybių tyrimą.

6. Apie funkcijos lygumą ir nelygumą galima kalbėti ir tuo atveju, kai funkcijos grafikas jau pateiktas. Tarkime, kad grafikas buvo fizinio eksperimento rezultatas. Jei funkcijos grafikas yra simetriškas ordinačių ašiai, tai y(x) yra lyginė funkcija. Jei funkcijos grafikas yra simetriškas abscisių ašiai, tada x(y) yra lyginė funkcija. x(y) yra funkcija, atvirkštinė funkcijai y(x) Jei funkcijos grafikas yra simetriškas nuo pradžios (0,0), tai y(x) yra nelyginė funkcija. Atvirkštinė funkcija x(y) taip pat bus nelyginė.

7. Svarbu atsiminti, kad funkcijos lygumo ir nelygumo idėja turi tiesioginį ryšį su funkcijos apibrėžimo sritimi. Jei, tarkime, lyginė ar nelyginė funkcija neegzistuoja ties x=5, tai ji neegzistuoja ties x=-5, ko negalima pasakyti apie universalios formos funkciją. Nustatydami lyginį ir nelyginį paritetą, atkreipkite dėmesį į funkcijos sritį.

8. Funkcijos radimas lygumui ir nelygumui koreliuoja su funkcijos reikšmių rinkinio radimu. Norint rasti lyginės funkcijos reikšmių rinkinį, pakanka pažvelgti į pusę funkcijos, į dešinę arba į kairę nuo nulio. Jei ties x>0 lyginė funkcija y(x) įgyja reikšmes nuo A iki B, tada ji įgis tokias pačias reikšmes ties x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 nelyginė funkcija y(x) paima reikšmių diapazoną nuo A iki B, tada ties x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

„Trigonometrinėmis“ kažkada pradėta vadinti funkcijomis, kurias lemia stačiojo trikampio smailių kampų priklausomybė nuo jo kraštinių ilgių. Tokioms funkcijoms visų pirma priskiriamas sinusas ir kosinusas, antra, atvirkštinė šių funkcijų sekantė ir kosekantė, jų išvestinės tangentas ir kotangentas, taip pat atvirkštinės funkcijos arcsinusas, arkosinusas ir kt. Teigiau kalbėti ne apie tokių funkcijų „sprendimą“, o apie jų „apskaičiavimą“, tai yra apie skaitinės reikšmės radimą.

Instrukcijos

1. Jei trigonometrinės funkcijos argumentas nežinomas, tada jo reikšmę galima apskaičiuoti netiesioginiu metodu, remiantis šių funkcijų apibrėžimais. Norėdami tai padaryti, turite žinoti trikampio kraštinių ilgius, kurių vieno iš kampų trigonometrinę funkciją reikia apskaičiuoti. Tarkime, pagal apibrėžimą stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos šiam kampui kojos ilgio ir hipotenuzės ilgio santykis. Iš to išplaukia, kad norint rasti kampo sinusą, pakanka žinoti šių dviejų kraštinių ilgius. Panašus apibrėžimas teigia, kad smailiojo kampo sinusas yra kojos, esančios greta šio kampo, ilgio ir hipotenuzės ilgio santykis. Smagiojo kampo liestinė gali būti apskaičiuojama priešingos kojos ilgį padalijus iš gretimos ilgio, o kotangentui reikia padalyti gretimos kojos ilgį iš priešingos kojos ilgio. Norėdami apskaičiuoti ūmaus kampo sekantą, turite rasti hipotenuzės ilgio ir kojos, esančios greta reikiamo kampo, ilgio santykį, o kosekantas nustatomas pagal hipotenuzės ilgio ir ilgio santykį. priešingos kojos.

2. Jei trigonometrinės funkcijos argumentas yra teisingas, tada jums nereikia žinoti trikampio kraštinių ilgių - galite naudoti reikšmių lenteles arba trigonometrinių funkcijų skaičiuotuvus. Toks skaičiuotuvas yra įtrauktas į standartines Windows operacinės sistemos programas. Norėdami jį paleisti, galite paspausti Win + R klavišų kombinaciją, įveskite komandą calc ir spustelėkite mygtuką „Gerai“. Programos sąsajoje turėtumėte išplėsti skyrių „View“ ir pasirinkti elementą „Inžinierius“ arba „Mokslininkas“. Po to galima įvesti trigonometrinės funkcijos argumentą. Norėdami apskaičiuoti funkcijas sinusus, kosinusas ir tangentas, verčiau įvedę reikšmę spustelėkite atitinkamą sąsajos mygtuką (sin, cos, tg), o norėdami rasti jų atvirkštinį arcsinusą, arkosinusą ir arctangentą, iš anksto pažymėkite langelį Inv.

3. Taip pat yra alternatyvių metodų. Vienas iš jų – nueiti į paieškos sistemos Nigma arba Google svetainę ir įvesti norimą funkciją bei jos argumentą kaip paieškos užklausą (tarkim, sin 0,47). Šiose paieškos sistemose yra įmontuoti skaičiuotuvai, todėl išsiuntę tokią užklausą gausite įvestos trigonometrinės funkcijos reikšmę.

Video tema

7 patarimas: kaip sužinoti trigonometrinių funkcijų vertę

Trigonometrinės funkcijos pirmą kartą pasirodė kaip įrankiai abstrakčiams matematiniams stačiakampio trikampio smailių kampų verčių priklausomybių nuo jo kraštinių ilgių skaičiavimams. Dabar jie plačiai naudojami tiek mokslinėje, tiek techninėje žmogaus veiklos srityse. Utilitariniams trigonometrinių funkcijų skaičiavimams pagal pateiktus argumentus galite naudoti įvairius įrankius - keli iš jų, kurie yra ypač prieinami, yra aprašyti toliau.

Instrukcijos

1. Naudokite, tarkime, su operacine sistema pagal numatytuosius nustatymus įdiegtą skaičiuoklės programą. Jis atidaromas pasirinkus elementą „Skaičiuoklė“ aplanke „Paslauga“ iš poskyrio „Tipiška“, esančio skiltyje „Visos programos“. Šį skyrių galite rasti atidarę pagrindinį operacinės sistemos meniu spustelėdami mygtuką „Pradėti“. Jei naudojate „Windows 7“ versiją, greičiausiai pagrindinio meniu lauke „Atraskite programas ir failus“ tiesiog įveskite žodį „Skaičiuotuvas“ ir spustelėkite atitinkamą nuorodą paieškos rezultatuose.

2. Įveskite kampo reikšmę, kuriai norite apskaičiuoti trigonometrinę funkciją, tada spustelėkite mygtuką, atitinkantį šią funkciją - sin, cos arba tan. Jei nerimaujate dėl atvirkštinių trigonometrinių funkcijų (arksinuso, lanko kosinuso arba lanko tangento), pirmiausia spustelėkite mygtuką, pažymėtą Inv.

3. Ankstesnėse OS versijose (tarkime, „Windows XP“), norėdami pasiekti trigonometrines funkcijas, skaičiuotuvo meniu turite atidaryti skyrių „View“ ir pasirinkti eilutę „Inžinerija“. Be to, vietoj mygtuko Inv senesnių programos versijų sąsajoje yra žymimasis laukelis su tuo pačiu užrašu.

4. Jei turite interneto prieigą, galite išsiversti be skaičiuoklės. Internete yra daug paslaugų, siūlančių įvairiais būdais sutvarkytus trigonometrinius funkcijų skaičiuotuvus. Viena iš ypač patogių parinkčių integruota į Nigma paieškos sistemą. Eidami į pagrindinį puslapį, paieškos užklausos lauke tiesiog įveskite jums nerimą keliančią reikšmę – tarkime, „arc tangent 30 laipsnių“. Paspaudus mygtuką „Aptikti!“. Paieškos sistema paskaičiuos ir parodys skaičiavimo rezultatą – 0.482347907101025.

Video tema

Trigonometrija yra matematikos šaka, skirta suprasti funkcijas, kurios išreiškia skirtingas stačiojo trikampio kraštinių priklausomybes nuo smailių kampų verčių hipotenuzėje. Tokios funkcijos buvo vadinamos trigonometrinėmis, o darbui su jomis palengvinti buvo išvestos trigonometrinės funkcijos tapatybės .

Spektaklis tapatybės matematikoje tai reiškia lygybę, kuri tenkinama visoms į ją įtrauktų funkcijų argumentų reikšmėms. Trigonometrinis tapatybės yra trigonometrinių funkcijų lygybės, patvirtintos ir priimtos supaprastinti darbą su trigonometrinėmis formulėmis Trigonometrinė funkcija – tai elementarioji stačiojo trikampio vienos iš kraštelių priklausomybės nuo smailiojo kampo reikšmės hipotenuzėje. Šešios dažniausiai naudojamos trigonometrinės funkcijos yra sin (sinusas), cos (kosinusas), tg (tangentas), ctg (kotangentas), sec (sekantas) ir cosec (kosekantas). Šios funkcijos vadinamos tiesioginėmis funkcijomis, yra ir atvirkštinių funkcijų, tarkime, sinusas – arcsinusas, kosinusas – arkosinusas ir t.t.. Iš pradžių trigonometrinės funkcijos atsispindėjo geometrijoje, vėliau jos išplito į kitas mokslo sritis: fiziką, chemiją, geografiją, t. optika, tikimybių teorija, taip pat akustika, muzikos teorija, fonetika, kompiuterinė grafika ir daugelis kitų. Šiais laikais sunku įsivaizduoti matematinius skaičiavimus be šių funkcijų, nors tolimoje praeityje jos buvo naudojamos tik astronomijoje ir architektūroje. tapatybės naudojami darbui su ilgomis trigonometrinėmis formulėmis supaprastinti ir jas sumažinti iki virškinamos formos. Yra šešios pagrindinės trigonometrinės tapatybės, kurios yra susijusios su tiesioginėmis trigonometrinėmis funkcijomis: tg ? = nuodėmė?/cos?; nuodėmė^2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = sin ?. Šie tapatybės lengva patvirtinti iš stačiakampio kraštinių ir kampų santykio savybių: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = b/a Pirmoji tapatybė tg ? = nuodėmė ?/cos ? išplaukia iš trikampio kraštinių santykio ir kraštinės c (hipotenūzos) išskyrimo, kai nuodėmės dalijamos iš cos. Tapatybės ctg ? apibrėžiamas taip pat. = cos ?/sin ?, nes ctg ? = 1/tg ?.Pagal Pitagoro teoremą a^2 + b^2 = c^2. Padalinkime šią lygybę iš c^2, gausime antrąją tapatybę: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Trečia ir ketvirta tapatybės gaunamas atitinkamai padalijus iš b^2 ir a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? arba 1 + ctg^2? = 1/sin^2 ?. Penktasis ir šeštas bazinis tapatybėsįrodomi nustatant stačiojo trikampio smailiųjų kampų sumą, lygią 90° arba?/2. Sunkesnis trigonometrinis tapatybės: argumentų pridėjimo, dvigubų ir trigubų kampų, laipsnių mažinimo, funkcijų sumos arba sandaugos reformavimo formulės, taip pat trigonometrinio pakeitimo formulės, būtent pagrindinių trigonometrinių funkcijų išraiškos per pusės kampo tg: sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Būtinybė rasti minimumą prasmė matematinės funkcijas yra iš tikrųjų suinteresuotas sprendžiant taikomąsias problemas, tarkime, ekonomikoje. Didelis prasmė verslo veiklai labai svarbu sumažinti nuostolius.

Instrukcijos

1. Norint atrasti minimumą prasmė funkcijas, reikia nustatyti, kokiai argumento x0 reikšmei bus įvykdyta nelygybė y(x0)? y(x), kur x? x0. Kaip įprasta, ši problema išsprendžiama per tam tikrą intervalą arba kiekviename verčių diapazone funkcijas, jei jis nenurodytas. Vienas iš sprendimo aspektų yra fiksuotų taškų paieška.

2. Stacionarus taškas vadinamas prasmė argumentas, kuriame išvestinė funkcijas eina į nulį. Pagal Ferma teoremą, jei diferencijuojama funkcija įgauna ekstremalią prasmė tam tikru momentu (šiuo atveju vietinis minimumas), tada šis taškas yra nejudantis.

3. Minimumas prasmė funkcija dažnai įgyja būtent šį tašką, bet jo negalima nustatyti nuolat. Be to, ne visada galima tiksliai pasakyti, kas yra minimumas funkcijas arba jis priima be galo mažą prasmė. Tada, kaip įprasta, jie randa ribą, iki kurios ji linksta mažėjant.

4. Norint nustatyti minimumą prasmė funkcijas, turite atlikti veiksmų seką, susidedančią iš keturių etapų: apibrėžimo srities radimas funkcijas, fiksuotų taškų įgijimas, vertybių apžvalga funkcijasšiuose taškuose ir tarpo galuose nustatant minimumą.

5. Pasirodo, kad tam tikra funkcija y(x) duota intervale, kurio ribos yra taškuose A ir B. Raskite jos apibrėžimo sritį ir sužinokite, ar intervalas yra jo poaibis.

6. Apskaičiuokite išvestinę funkcijas. Gautą išraišką prilyginkite nuliui ir suraskite lygties šaknis. Patikrinkite, ar šie nejudantys taškai patenka į tarpą. Jei ne, tolesniame etape į juos neatsižvelgiama.

7. Ištirkite ribų tipą: atvira, uždara, sudėtinė ar neišmatuojama. Tai lemia, kaip ieškote minimumo prasmė. Tarkime, atkarpa [A, B] yra uždaras intervalas. Prijunkite juos prie funkcijos ir apskaičiuokite reikšmes. Tą patį padarykite su stacionariu tašku. Pasirinkite mažiausią sumą.

8. Su atvirais ir neišmatuojamais intervalais situacija yra šiek tiek sunkesnė. Čia turėsite ieškoti vienpusių ribų, kurios ne visada duoda vienareikšmį rezultatą. Tarkime, intervalui su viena uždara ir viena pertraukta riba [A, B) reikia rasti funkciją, kai x = A, ir vienpusę ribą lim y ties x? B-0.

Argumentas x, tada jis vadinamas periodiniu, jei yra toks skaičius T, kad bet kuriam x F(x + T) = F(x). Šis skaičius T vadinamas funkcijos periodu.

Gali būti keli laikotarpiai. Pavyzdžiui, funkcija F = const įgauna tą pačią reikšmę bet kuriai argumento reikšmei, todėl bet koks skaičius gali būti laikomas jo periodu.

Paprastai jus domina mažiausias nenulinis funkcijos periodas. Trumpumui tai tiesiog vadinama tašku.

Klasikinis periodinių funkcijų pavyzdys yra trigonometrinės: sinusas, kosinusas ir tangentė. Jų periodas yra toks pat ir lygus 2π, tai yra sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) ir pan. Tačiau, žinoma, trigonometrinės funkcijos nėra vienintelės periodinės.

Paprastų pagrindinių funkcijų atveju vienintelis būdas nustatyti, ar jos yra periodinės, ar neperiodinės, yra skaičiavimas. Tačiau sudėtingoms funkcijoms jau yra keletas paprastų taisyklių.

Jei F(x) yra su periodu T, o jam apibrėžta išvestinė, tai ši išvestinė f(x) = F′(x) taip pat yra periodinė funkcija su periodu T. Juk išvestinės reikšmė taške x yra lygus jo antidarinės grafiko liestinės kampo šiame taške prie x ašies, o kadangi antidarinė kartojasi periodiškai, išvestinė taip pat turi kartotis. Pavyzdžiui, funkcijos sin(x) išvestinė yra lygi cos(x), ir ji yra periodinė. Paėmus cos(x) išvestinę, gaunama –sin(x). Dažnis išlieka nepakitęs.

Tačiau ne visada yra priešingai. Taigi funkcija f(x) = const yra periodinė, bet jos antidarinė F(x) = const*x + C – ne.

Jei F(x) yra periodinė funkcija su periodu T, tai G(x) = a*F(kx + b), kur a, b ir k yra konstantos, o k nelygu nuliui – taip pat yra periodinė funkcija. , o jo laikotarpis yra T/k. Pavyzdžiui, sin(2x) yra periodinė funkcija, o jos periodas yra π. Tai galima vizualiai pavaizduoti taip: padauginus x iš kažkokio skaičiaus, atrodo, kad funkcijos grafiką horizontaliai suspaudžiate būtent tiek kartų

Jei F1(x) ir F2(x) yra periodinės funkcijos, o jų periodai atitinkamai lygūs T1 ir T2, tai šių funkcijų suma taip pat gali būti periodinė. Tačiau jo laikotarpis nebus paprasta laikotarpių T1 ir T2 suma. Jei padalijimo T1/T2 rezultatas yra racionalusis skaičius, tai funkcijų suma yra periodinė, o jos periodas lygus periodų T1 ir T2 mažiausiajam bendrajam kartotiniui (LCM). Pavyzdžiui, jei pirmosios funkcijos periodas yra 12, o antrosios - 15, tada jų sumos periodas bus lygus LCM (12, 15) = 60.

Tai galima vizualiai pavaizduoti taip: funkcijos būna su skirtingais „žingsnių pločiais“, tačiau jei jų pločių santykis yra racionalus, tada anksčiau ar vėliau (tiksliau, per žingsnių LCM) jos vėl taps lygios ir jų suma prasidės naujas laikotarpis.

Tačiau jei periodų santykis yra neracionalus, tai suminė funkcija visai nebus periodinė. Pavyzdžiui, tegul F1(x) = x mod 2 (likutis, kai x dalijamas iš 2), o F2(x) = sin(x). T1 čia bus lygus 2, o T2 bus lygus 2π. Laikotarpių santykis lygus π – neracionaliam skaičiui. Todėl funkcija sin(x) + x mod 2 nėra periodinė.

tenkinant nelygybių sistemą:

b) Apsvarstykite skaičių tiesėje skaičių aibę, kuri tenkina nelygybių sistemą:

Raskite atkarpų, sudarančių šią rinkinį, ilgių sumą.

§ 7. Paprasčiausios formulės

3 dalyje nustatėme tokią smailių kampų α formulę:

			sin2 α + cos2 α = 1.
				Ta pati formulė			kada,
				kai α yra bet koks			iš tikrųjų
				le, tegul M yra trigonometrijos taškas
				ikalinis apskritimas, atitinkantis
				skaičius α (7.1 pav.). Tada		M turi kartu
				ordinatės x = cos α, y
				Tačiau kiekvienas taškas (x; y) guli
				vieneto spindulio apskritimas su centru
				trome ištakoje, tenkina
				tenkina lygtį x2 + y2		1, iš kur
				cos2 α + sin2 α = 1, kaip reikia.

Taigi, formulė cos2 α + sin2 α = 1 išplaukia iš apskritimo lygties. Gali atrodyti, kad taip pateikėme naują šios smailių kampų formulės įrodymą (palyginti su tuo, kas nurodyta § 3, kur naudojome Pitagoro teoremą). Tačiau skirtumas yra grynai išorinis: išvedant apskritimo x2 + y2 = 1 lygtį, naudojama ta pati Pitagoro teorema.

Pavyzdžiui, smailiesiems kampams taip pat gavome kitas formules

Pagal simbolį dešinė pusė visada yra ne neigiama, o kairė gali būti neigiama. Kad formulė būtų teisinga visiems α, ji turi būti pakelta kvadratu. Gaunama lygybė: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Įrodykime, kad ši formulė teisinga visiems α:1

1/(1 + tan2			sin2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

7.1 problema. Iš apibrėžimų išveskite visas toliau pateiktas formules ir formulę sin2 α + cos2 α = 1 (kai kurias iš jų jau įrodėme):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tan2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + cotg2 α

nuodėmė2

Šios formulės leidžia, žinant vienos iš tam tikro skaičiaus trigonometrinių funkcijų reikšmę, beveik rasti visas likusias.

naujas Pavyzdžiui, žinokime, kad nuodėmė x = 1/2. Tada cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, taigi cos x yra arba 3/2, arba − 3/2. Norint sužinoti, kuriam iš šių dviejų skaičių cos x yra lygus, reikia papildomos informacijos.

7.2 problema. Pavyzdžiais parodykite, kad galimi abu aukščiau išvardyti atvejai.

7.3 problema. a) Tegul tan x = −1. Raskite nuodėmę x. Kiek atsakymų turi ši problema?

b) Tegu, be punkto a) sąlygų, žinome, kad nuodėmė x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Kurių tan α yra apibrėžtas, t. y. cos α 6 = 0.

7.4 problema. Tegu sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Raskite tg x.

7.5 problema. Tegul tan x = 3, cos x > sin x. Raskite cos x, sin x.

7.6 problema. Tegul tg x = 3/5. Raskite sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

7.7 problema. Įrodykite tapatybes:

tan α − sin α

c) sin α + cos α cot α + sin α tan α + cos α =

7.8 problema. Supaprastinkite posakius:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sin α(2 + cot α)(2 cot α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Trigonometrinių funkcijų laikotarpiai

Skaičiai x, x+2π, x−2π atitinka tą patį trigonometrinio apskritimo tašką (jei nueisite papildomą ratą išilgai trigonometrinio apskritimo, grįšite ten, kur buvote). Tai reiškia šias tapatybes, kurios jau buvo aptartos 5 dalyje:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

Ryšium su šiomis tapatybėmis mes jau vartojome terminą „laikotarpis“. Dabar pateiksime tikslius apibrėžimus.

Apibrėžimas. Skaičius T 6= 0 vadinamas funkcijos f periodu, jei visoms x lygybės f(x − T) = f(x + T) = f(x) yra teisingos (manoma, kad x + T ir x − T yra įtraukti į funkcijos apibrėžimo sritį, jei ji apima x). Funkcija vadinama periodine, jei ji turi tašką (bent vieną).

Periodinės funkcijos natūraliai atsiranda aprašant svyravimo procesus. Vienas iš tokių procesų jau buvo aptartas § 5. Štai daugiau pavyzdžių:

1) Tegul ϕ = ϕ(t) yra laikrodžio siūbavimo švytuoklės nuokrypio nuo vertikalės kampas momentu t. Tada ϕ yra periodinė t funkcija.

2) Įtampa („potencialų skirtumas“, kaip pasakytų fizikas) tarp dviejų kintamosios srovės lizdo lizdų,

ar ji laikoma laiko funkcija, yra periodinė funkcija1.

3) Išgirskime muzikinį garsą. Tada oro slėgis tam tikrame taške yra periodinė laiko funkcija.

Jei funkcija turi periodą T, tai šios funkcijos periodai taip pat bus skaičiai −T, 2T, −2T. . . - vienu žodžiu, visi skaičiai nT, kur n yra sveikas skaičius, kuris nėra lygus nuliui. Iš tiesų, pavyzdžiui, patikrinkime, ar f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Apibrėžimas. Mažiausias teigiamas funkcijos f periodas, atsižvelgiant į pažodinę žodžių reikšmę, yra teigiamas skaičius T, toks, kad T yra f periodas ir joks teigiamas skaičius, mažesnis už T, nėra f periodas.

Nereikalaujama, kad periodinė funkcija turėtų mažiausią teigiamą periodą (pavyzdžiui, funkcija, kuri yra pastovi, turi bet kokio skaičiaus periodą, todėl ji neturi mažiausio teigiamo periodo). Taip pat galime pateikti nepastovių periodinių funkcijų, kurios neturi mažiausio teigiamo periodo, pavyzdžių. Nepaisant to, daugeliu įdomių atvejų egzistuoja mažiausias teigiamas periodinių funkcijų periodas.

1 Kai jie sako, kad "įtampa tinkle yra 220 voltų", jie turi omenyje jo "vidutinę kvadratinę vertę", apie kurią kalbėsime § 21. Pati įtampa nuolat keičiasi.

Ryžiai. 8.1. Tangento ir kotangento laikotarpis.

Visų pirma, mažiausias teigiamas sinuso ir kosinuso periodas yra 2π. Įrodykime tai, pavyzdžiui, funkcijai y = sin x. Tegul, priešingai nei mes teigiame, sinusas turi tokį periodą T, kad 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Mažiausias teigiamas svyravimus apibūdinančios funkcijos periodas (kaip mūsų 1–3 pavyzdžiuose) tiesiog vadinamas šių svyravimų periodu.

Kadangi 2π yra sinuso ir kosinuso periodas, tai taip pat bus liestinės ir kotangento laikotarpis. Tačiau šioms funkcijoms 2π nėra mažiausias periodas: mažiausias teigiamas liestinės ir kotangento periodas bus π. Iš tikrųjų taškai, atitinkantys skaičius x ir x + π trigonometriniame apskritime, yra diametraliai priešingi: nuo taško x iki taško x + 2π reikia nuvažiuoti atstumą π, tiksliai lygų pusei apskritimo. Dabar, jei liestinės ir kotangento apibrėžimu naudosime liestinių ir kotangentų ašis, išaiškės lygybės tg(x + π) = tan x ir ctg(x + π) = ctg x (8.1 pav.). Nesunku patikrinti (siūlysime tai padaryti uždaviniuose), ar π iš tiesų yra mažiausias teigiamas liestinės ir kotangento periodas.

Viena pastaba apie terminologiją. Žodžiai „funkcijos laikotarpis“ dažnai vartojami kaip „mažiausias teigiamas laikotarpis“. Taigi, jei egzamino metu jūsų klausia: „Ar 100π yra sinuso funkcijos periodas?“, neskubėkite atsakyti, o pasitikslinkite, ar turite omenyje mažiausią teigiamą periodą, ar tik vieną iš periodų.

Trigonometrinės funkcijos yra tipiškas periodinių funkcijų pavyzdys: bet kuri „nelabai bloga“ periodinė funkcija tam tikra prasme gali būti išreikšta trigonometrinėmis.

8.1 problema. Raskite mažiausius teigiamus funkcijų periodus:

				c) y = cos πx;

d) y = cos x + cos(1,01x).

8.2 problema. Įtampos kintamos srovės tinkle priklausomybė nuo laiko pateikiama formule U = U0 sin ωt (čia t – laikas, U – įtampa, U0 ir ω – konstantos). Kintamosios srovės dažnis yra 50 hercų (tai reiškia, kad įtampa daro 50 virpesių per sekundę).

a) Raskite ω, darant prielaidą, kad t matuojamas sekundėmis;

b) Raskite (mažiausią teigiamą) U periodą kaip t funkciją.

8.3 problema. a) Įrodykite, kad mažiausias teigiamas kosinuso periodas yra 2π;

b) Įrodykite, kad mažiausias teigiamas liestinės periodas yra lygus π.

8.4 problema. Tegu funkcijos f mažiausias teigiamas periodas yra T. Įrodykite, kad kai kurių sveikųjų skaičių n visi kiti jo periodai yra nT formos.

8.5 problema. Įrodykite, kad šios funkcijos nėra periodinės.

Tikslas: apibendrinti ir susisteminti studentų žinias tema „Funkcijų periodiškumas“; ugdyti periodinės funkcijos savybių taikymo, mažiausio teigiamo funkcijos periodo radimo, periodinių funkcijų grafikų sudarymo įgūdžius; skatinti domėjimąsi matematikos studijomis; ugdyti pastabumą ir tikslumą.

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, užduočių kortelės, skaidrės, laikrodžiai, ornamentų lentelės, liaudies amatų elementai

„Matematika yra tai, ką žmonės naudoja norėdami valdyti gamtą ir save“.
A.N. Kolmogorovas

Per užsiėmimus

I. Organizacinis etapas.

Mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas. Praneškite apie pamokos temą ir tikslus.

II. Namų darbų tikrinimas.

Namų darbus tikriname naudodami pavyzdžius ir aptariame sunkiausius dalykus.

III. Žinių apibendrinimas ir sisteminimas.

1. Žodinis frontalinis darbas.

Teoriniai klausimai.

1) Suformuokite funkcijos laikotarpio apibrėžimą
2) Įvardykite mažiausią teigiamą funkcijų y=sin(x), y=cos(x) periodą.
3). Koks yra mažiausias funkcijų y=tg(x), y=ctg(x) teigiamas periodas
4) Naudodami apskritimą įrodykite ryšių teisingumą:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Kaip nubraižyti periodinę funkciją?

Burnos pratimai.

1) Įrodykite šiuos ryšius

a) nuodėmė (740º) = nuodėmė (20º)
b) cos(54º) = cos (-1026º)
c) nuodėmė (-1000º) = nuodėmė (80º)

2. Įrodykite, kad 540º kampas yra vienas iš funkcijos y= cos(2x) periodų.

3. Įrodykite, kad 360º kampas yra vienas iš funkcijos y=tg(x) periodų.

4. Transformuokite šias išraiškas taip, kad jose esantys kampai absoliučia verte neviršytų 90º.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Kur aptikote žodžius PERIODAS, PERIODiškumas?

Studentas atsako: Laikotarpis muzikoje – tai struktūra, kurioje pateikiama daugiau ar mažiau išbaigta muzikinė mintis. Geologinis laikotarpis yra eros dalis ir yra padalintas į epochas, kurių laikotarpis yra nuo 35 iki 90 milijonų metų.

Radioaktyviosios medžiagos pusinės eliminacijos laikas. Periodinė trupmena. Periodiniai leidiniai yra spausdinti leidiniai, kurie pasirodo griežtai apibrėžtais terminais. Mendelejevo periodinė sistema.

6. Paveiksluose parodytos periodinių funkcijų grafikų dalys. Nustatykite funkcijos laikotarpį. Nustatykite funkcijos laikotarpį.

Atsakymas: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Kur gyvenime susidūrėte su pasikartojančių elementų konstravimu?

Mokinio atsakymas: Ornamentų elementai, liaudies menas.

IV. Kolektyvinis problemų sprendimas.

(Problemų sprendimas skaidrėse.)

Panagrinėkime vieną iš būdų, kaip tirti funkciją periodiškumui.

Šis metodas leidžia išvengti sunkumų, susijusių su įrodinėjimu, kad tam tikras periodas yra mažiausias, taip pat pašalina poreikį liesti klausimus apie periodinių funkcijų aritmetines operacijas ir sudėtingos funkcijos periodiškumą. Samprotavimas grindžiamas tik periodinės funkcijos apibrėžimu ir tokiu faktu: jei T yra funkcijos periodas, tai nT(n?0) yra jos periodas.

1 uždavinys. Raskite funkcijos f(x)=1+3(x+q>5) mažiausią teigiamą periodą

Sprendimas: Tarkime, kad šios funkcijos T periodas. Tada f(x+T)=f(x) visiems x € D(f), t.y.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Įdėkime x=-0,25 gausime

(T) = 0<=>T=n, n € Z

Gavome, kad visi nagrinėjamos funkcijos periodai (jei jie yra) yra tarp sveikųjų skaičių. Iš šių skaičių pasirinkime mažiausią teigiamą skaičių. Tai 1 . Pažiūrėkime, ar tai tikrai bus laikotarpis 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Kadangi (T+1)=(T) bet kuriam T, tai f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), t.y. 1 – laikotarpis f. Kadangi 1 yra mažiausias iš visų teigiamų sveikųjų skaičių, tai T=1.

2 uždavinys. Parodykite, kad funkcija f(x)=cos 2 (x) yra periodinė ir suraskite jos pagrindinį periodą.

3 uždavinys. Raskite pagrindinį funkcijos periodą

f(x)=sin(1,5x)+5cos (0,75x)

Tarkime, kad funkcijos T periodas, tada bet kuriai X santykis galioja

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jei x = 0, tada

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jei x = -T, tada

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5 = – nuodėmė (1,5 T) + 5 cos (0,75 T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Sudėjus, gauname:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Iš visų „įtartinų“ laikotarpio skaičių parinksime mažiausią teigiamą skaičių ir patikrinkime, ar tai yra f periodas. Šis skaičius

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Tai reiškia, kad tai yra pagrindinis funkcijos f periodas.

4 uždavinys. Patikrinkime, ar funkcija f(x)=sin(x) yra periodinė

Tegu T yra funkcijos f periodas. Tada bet kokiam x

sin|x+Т|=sin|x|

Jei x=0, tai sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Tarkime. Kad kai kuriems n skaičius π n yra periodas

nagrinėjama funkcija π n>0. Tada sin|π n+x|=sin|x|

Tai reiškia, kad n turi būti lyginis ir nelyginis skaičius, bet tai neįmanoma. Todėl ši funkcija nėra periodinė.

5 užduotis. Patikrinkite, ar funkcija yra periodinė

f(x)=

Tada tegul T yra f periodas

, taigi sinT=0, Т=π n, n € Z. Tarkime, kad kai kuriems n skaičius π n iš tiesų yra šios funkcijos periodas. Tada skaičius 2π n bus periodas

Kadangi skaitikliai yra lygūs, jų vardikliai yra lygūs

Tai reiškia, kad funkcija f nėra periodinė.

Darbas grupėse.

Užduotys 1 grupei.

Užduotys 2 grupei.

Patikrinkite, ar funkcija f yra periodinė, ir suraskite jos pagrindinį periodą (jei jis egzistuoja).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Užduotys 3 grupei.

Darbo pabaigoje grupės pristato savo sprendimus.

VI. Apibendrinant pamoką.

Atspindys.

Mokytojas duoda mokiniams korteles su piešiniais ir prašo nuspalvinti dalį pirmojo piešinio pagal tai, kiek, jų manymu, įvaldė funkcijos tyrimo metodus periodiškumui, o dalį antrojo piešinio – pagal savo norus. indėlis į darbą pamokoje.

VII. Namų darbai

1). Patikrinkite, ar funkcija f yra periodinė, ir suraskite jos pagrindinį periodą (jei jis egzistuoja)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) turi periodą T=2 ir f(x)=x 2 +2x, kai x € [-2; 0]. Raskite reiškinio reikšmę -2f(-3)-4f(3.5)

Literatūra/

1. Mordkovičius A.G. Algebra ir analizės su giluminiu tyrimu pradžia.
2. Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui. Red. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Šeremetjeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra ir pradžios analizė 10-11 klasėms.

>> Funkcijų y = sin x, y = cos x periodiškumas

§ 11. Funkcijų y = sin x, y = cos x periodiškumas

Ankstesnėse pastraipose naudojome septynias savybes funkcijas: apibrėžimo sritis, lyginė ar nelyginė, monotoniškumas, ribotumas, didžiausia ir mažiausia reikšmės, tęstinumas, funkcijos reikšmių diapazonas. Šias ypatybes naudojome arba funkcijos grafikui sudaryti (taip atsitiko, pavyzdžiui, § 9), arba sudarytam grafikui perskaityti (taip atsitiko, pavyzdžiui, § 10). Dabar atėjo tinkamas momentas įvesti dar vieną (aštuntąją) funkcijų savybę, kuri aiškiai matoma aukščiau pateiktose konstrukcijose. grafikus funkcijos y = sin x (žr. 37 pav.), y = cos x (žr. 41 pav.).

Apibrėžimas. Funkcija vadinama periodine, jei yra skaičius T, kuris nėra nulis, todėl bet kuriam x rinkinyje galioja dviguba sąlyga: lygybė:

Skaičius T, kuris tenkina nurodytą sąlygą, vadinamas funkcijos y = f(x) periodu.
Iš to išplaukia, kad, kadangi bet kuriai x galioja lygybės:

tada funkcijos y = sin x, y = cos x yra periodinės ir skaičius yra 2 P tarnauja kaip laikotarpis abiem funkcijoms.
Funkcijos periodiškumas yra pažadėta aštuntoji funkcijų savybė.

Dabar pažvelkime į funkcijos y = sin x grafiką (37 pav.). Norint sukurti sinusinę bangą, pakanka nubraižyti vieną iš jos bangų (ant atkarpos ir po to šią bangą perstumti išilgai x ašies per. Dėl to naudojant vieną bangą sukursime visą grafiką.

Tuo pačiu požiūriu pažiūrėkime į funkcijos y = cos x grafiką (41 pav.). Matome, kad čia, norint nubraižyti grafiką, pakanka pirmiausia nubraižyti vieną bangą (pavyzdžiui, segmente

Tada perkelkite jį išilgai x ašies
Apibendrindami darome tokią išvadą.

Jei funkcija y = f(x) turi periodą T, tai norėdami sudaryti funkcijos grafiką, pirmiausia turite sukurti grafiko šaką (bangą, dalį) bet kuriame T ilgio intervale (dažniausiai imamas intervalas su galais taškuose ir tada perkelkite šią šaką išilgai x ašies į dešinę ir į kairę į T, 2T, ZT ir kt.
Periodinė funkcija turi be galo daug periodų: jei T yra periodas, tai 2T yra periodas, o ZT yra periodas, o -T yra periodas; Apskritai periodas yra bet koks KT formos skaičius, kur k = ±1, ±2, ± 3... Dažniausiai bandoma, jei įmanoma, išskirti mažiausią teigiamą periodą, jis vadinamas pagrindiniu periodu.
Taigi bet koks 2pk formos skaičius, kur k = ±1, ± 2, ± 3, yra funkcijų y = sinn x, y = cos x periodas; 2n yra pagrindinis abiejų funkcijų laikotarpis.

Pavyzdys. Raskite pagrindinį funkcijos laikotarpį:

A) Tegu T yra funkcijos y = sin x pagrindinis periodas. Padėkime

Kad skaičius T būtų funkcijos periodas, tapatumas Bet kadangi mes kalbame apie pagrindinio laikotarpio radimą, gauname
b) Tegu T yra funkcijos y = cos 0,5x pagrindinis periodas. Įdėkime f(x)=cos 0,5x. Tada f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).

Kad skaičius T būtų funkcijos periodas, turi galioti tapatybė cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

Tai reiškia, kad 0,5 t = 2 pp. Bet kadangi mes kalbame apie pagrindinio laikotarpio radimą, gauname 0,5T = 2 l, T = 4 l.

Pavyzdyje gautų rezultatų apibendrinimas yra toks teiginys: pagrindinis funkcijos laikotarpis

A.G. Mordkovičiaus algebra 10 klasė

Pamokos turinys pamokų užrašai remiančios kadrinės pamokos pristatymo pagreitinimo metodus interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratimai savikontrolės seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbai diskusija klausimai retoriniai mokinių klausimai Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir multimedija nuotraukos, paveikslėliai, grafika, lentelės, diagramos, humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai gudrybės smalsiems lopšiai vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje vadovėlio fragmento atnaujinimas, naujovių elementai pamokoje, pasenusių žinių keitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis metų planas, metodinės rekomendacijos, diskusijų programos Integruotos pamokos