Геометрический критерий линейной зависимости трех векторов. Необходимое условие линейной зависимости n функций. Свойства линейно зависимых векторов

Заметим, что в дальнейшем, не нарушая общности, будем рассматривать случай векторов в трехмерном пространстве. На плоскости рассмотрение векторов производится аналогично. Как уже отмечалось выше, все результаты, известные из курса линейной алгебры для алгебраических векторов можно перенести на частный случай геометрических векторов. Так и поступим.

Пусть зафиксированы векторы .

Определение. Сумма , где - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов . При этом указанные числа будем называть коэффициентами линейной комбинации.

Нас будет интересовать вопрос о возможности равенства линейной комбинации нулевому вектору. В соответствии со свойствами и аксиомами векторных пространств, становится очевидным, что для любой системы векторов существует тривиальный (нулевой) набор коэффициентов , для которого это равенство выполняется:

Возникает вопрос о существовании для данной системы векторов нетривиального набора коэффициентов (среди которых есть хотя бы один ненулевой коэффициент), для которого выполняется упомянутое равенство. В соответствии с этим будем различать линейно зависимые и независимые системы.

Определение. Система векторов называется линейно независимой, если существует такой набор чисел , среди которых есть хотя бы одно ненулевое, такое что соответствующая линейная комбинация равна нулевому вектору:

Система векторов называется линейно независимой, если равенство

возможно лишь в случае тривиального набора коэффициентов:

Перечислим доказываемые в курсе линейной алгебры основные свойства линейно зависимых и независимых систем.

1. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой.

2. Пусть в системе векторов есть линейно зависимая подсистема. Тогда и вся система также является линейно зависимой.

3. Если система векторов является линейно независимой, то любая ее подсистема также является линейно независимой.

4. Если в системе векторов есть два вектора, один из которых получается из другого умножением на некоторое число, то вся система является линейно зависимой.

Теорема (критерий линейной зависимости). Система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы представим в виде линейной комбинации остальных векторов системы.

С учетом критерия коллинеарности двух векторов можно утверждать, что критерием их линейной зависимости является их коллинеарность. Для трех векторов в пространстве справедливо следующее утверждение.

Теорема (критерий линейной зависимости трех геометрических векторов). Три вектора , и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство.

Необходимость. Пусть векторы , и линейно зависимы. Докажем их компланарность. Тогда по общему критерию линейной зависимости алгебраических векторов утверждаем, что один из указанных векторов представим в виде линейной комбинации остальных векторов. Пусть, например,

Если все три вектора , и приложить к общему началу , то вектор совпадет с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Но это означает, что векторы , и лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.

Достаточность. Пусть векторы , и компланарны. Покажем, что они линейно зависимы. В первую очередь рассмотрим случай, когда какая-нибудь пара из указанных векторов коллинеарна. В этом случае согласно предыдущей теореме система векторов , , содержит линейно зависимую подсистему и, следовательно, сама является линейно зависимой согласно свойству 2 линейно зависимых и независимых систем векторов. Пусть теперь ни одна пара рассматриваемых векторов не коллинеарна. Перенесем все три вектора на одну плоскость и приведем их к общему началу . Проведем через конец вектора прямые параллельные векторам и . Обозначим буквой точку пересечения прямой, параллельной вектору , с прямой, на которой лежит вектор , а буквой точку пересечения прямой, параллельной вектору , с прямой, на которой лежит вектор . По определению суммы векторов получаем:

.

Так как вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует действительное число такое, что

Из аналогичных соображений вытекает существование действительного числа такого, что

В результате будем иметь:

Тогда из общего критерия линейной зависимости алгебраических векторов получаем, что векторы , , линейно зависимы. ■

Теорема (линейная зависимость четырех векторов). Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. В первую очередь, рассмотрим случай, когда какая-нибудь тройка из указанных четырех векторов компланарна. В этом случае эта тройка линейно зависима в соответствии с предыдущей теоремой. Следовательно, в соответствии со свойством 2 линейно зависимых и независимых систем векторов, и вся четверка линейно зависима.

Пусть теперь среди рассматриваемых векторов никакая тройка векторов не компланарна. Приведем все четыре вектора , , , к общему началу и проведем через конец вектора плоскости, параллельные плоскостям, определяемыми парами векторов , ; , ; , . Точки пересечения указанных плоскостей с прямыми, на которых лежат векторы , и , обозначим соответственно буквами , и . Из определения суммы векторов следует, что

которое с учетом общего критерия линейной зависимости алгебраических векторов говорит о том, что все четыре вектора линейно зависимы. ■

Опр. Система элементов x 1 ,…,x m лин. пр-ва V наз-ся линейно зависимой, если ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) такие, что λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ.

Опр. Система элементов x 1 ,…,x m ∈ V наз-ся линейно независимой, если из равенства λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Опр. Элемент x ∈ V наз-ся линейной комбинацией элементов x 1 ,…,x m ∈ V, если ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ такие, что x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Теорема (критерий линейной зависимости): Система векторов x 1 ,…,x m ∈ V линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные.

Док-во. Необходимость: Пусть x 1 ,…,x m - линейно зависимы ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) такие, что λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. Допустим, λ m ≠ 0, тогда

x m = (- ) x 1 +…+ (- ) x m -1.

Достаточность : Пусть хотя бы один из векторов линейно выражается через остальные вектора: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - линейно независимы.

Дост. условие линейной зависимости:

Если система содержит нулевой элемент или линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – линейно зависимая система

1) Пусть x 1 = θ, тогда это равенство справедливо при λ 1 =1 и λ 1 =…= λ m =0.

2) Пусть λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 – линейно зависимая подсистема ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Тогда при λ 1 =0 также получаем, |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 – линейно зависимая система.

Базис линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Координаты сумм векторов и произведения вектора на число. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.

Определение: Упорядоченная система элементов e 1, …, e n линейного пространства V называется базисом этого пространства если:

А) e 1 …е n линейно независимы

Б) ∀ x ∈ α 1 … α n такие, что x= α 1 e 1 +…+ α n е n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – разложение элемента x в базисе e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ – координаты элемента x в базисе e 1, …, e n

Теорема: Если в линейном пространстве V задан базис e 1, …, e n то ∀ x ∈ V столбец координат x в базисе e 1, …, e n определяется однозначно (координаты определяются однозначно)

Доказательство: Пусть x=α 1 e 1 +…+ α n e n и x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, т. е. e 1, …, e n - линейно независимы, то - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n ч. т. д.

Теорема: пусть e 1, …, e n - базис линейного пространства V; x, y – произвольные элементы пространства V, λ ∈ ℝ - произвольное число. При сложении x и y их координаты складываются, при умножении x на λ координаты x так же умножаются на λ.

Доказательство: x= (e 1, …, e n) и y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Лемма1: (необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов)

Пусть e 1 …е n - базис пространства V. Система элементов f 1 , …, f k ∈ V является линейно зависимой тогда и только тогда, когда линейно зависимы столбцы координат этих элементов в базисе e 1, …, e n

Доказательство: разложим f 1 , …, f k по базису e 1, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] то есть λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = что и требовалось доказать.

13. Размерность линейного пространства. Теорема о связи размерности и базиса.
Определение: Линейное пространство V называют n-мерным пространством, если в V существуют n линейно независимых элементов, а система из любых n+1 элементов пространства V линейно зависима. В этом случае n называется размерностью линейного пространства V и обозначается dimV=n.

Линейное пространство называют бесконечномерным, если ∀N ∈ ℕ в пространстве V существует линейно независимая система содержащая N элементов.

Теорема: 1) Если V – n-мерное линейное пространство, то любая упорядоченная система из n линейно независимых элементов этого пространства образует базис. 2)Если в линейном пространстве V существует базис состоящий из n элементов, то размерность V равна n (dimV=n).

Доказательство: 1) Пусть dimV=n ⇒ в V ∃ n линейно независимых элементов e 1, …,e n . Докажем, что эти элементы образуют базис, то есть докажем что ∀ x ∈ V может быть разложен по e 1, …,e n . Присоединим к ним x: e 1, …,e n , x – эта система содержит n+1 вектор а значит она линейно зависима. Поскольку e 1, …,e n – линейно независима, то по теореме 2 x линейно выражается через e 1, …,e n т.е. ∃ ,…, такие, что x= α 1 e 1 +…+ α n е n . Итак e 1, …,e n – базис пространства V. 2)Пусть e 1, …,e n – базис V, итак в V ∃ n линейно независимых элементов. Возьмем произвольные f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 элементов. Покажем их линейную зависимость. Разложим их по базису:

f m =(e 1, …,e n) = где m = 1,…,n Составим матрицу из столбцов координат: A= Матрица содержит n строк ⇒ RgA≤n. Число столбцов n+1 > n ≥ RgA ⇒ Столбцы матрицы A (т.е. стобцы координат f 1 ,…,f n ,f n +1) – линейно зависимы. Из леммы 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 – линейно зависимы ⇒ dimV=n.

Следствие: Если какой-либо базис содержит n элементов, то и любой другой базис этого пространства содержит n элементов.

Теорема 2: Если система векторов x 1 ,… ,x m -1 , x m – линейно зависима, а ее подсистема x 1 ,… ,x m -1 – линейно независима, то x m - линейно выражается через x 1 ,… ,x m -1

Доказательство: Т.к. x 1 ,… ,x m -1 , x m – линейно зависима, то ∃ , …, , ,

, …, | , | такие, что . Если , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 – линейно независимы, чего быть не может. Значит m = (- ) x 1 +…+ (- ) x m -1.

Следующие дают несколько критериев линейной зависимости и соответственно линейной независимости систем векторов.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.)

Система векторов является зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:

где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть , .

Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на :

Обозначим: , где .

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие этой системы, ч.т.д.

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы:

Перенесем вектор в правую этого равенства:

Так как коэффициент при векторе равен , то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов , что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие.

1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.

2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть система линейно независимая. Допустим противное и существует вектор системы линейно выражающийся через другие вектора этой системы. Тогда по теореме система является линейно зависимой и мы приходим к противоречию.

Достаточность. Пусть ни один из векторов системы не выражается через другие. Допустим противное. Пусть система линейно зависимая, но тогда из теоремы следует, что существует вектор системы линейно выражающийся через другие векторы этой системы и мы опять приходим к противоречию.

2а) Пусть система содержит нулевой вектор. Допустим для определенности, что вектор :. Тогда очевидно равенство

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы. Из теоремы следует, что такая система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Заметим, что этот факт можно доказать непосредственно из линейно зависимой системы векторов.

Так как , то следующее равенство очевидно

Это нетривиальное представление нулевого вектора, а значит система является линейно зависимой.

2б) Пусть система имеет два равных вектора. Пусть для . Тогда очевидно равенство

Т.е. первый вектор линейно выражается через остальные векторы этой же системы. Из теоремы следует, что данная система линейно зависимая, ч.т.д.

Аналогично предыдущему это утверждение можно доказать и непосредственно определения линейно зависимой системы.

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух

векторов является их коллинеарность.

2. Скаля́рное произведе́ние - операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается каккоммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Свойства скалярного произведения:

3. Три вектора (или большее число) называются компланарными , если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости .

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трехвекторов является их компланарность.Любые четыре вектора линейно зависимы. Базисом в пространстве называется любаяупорядоченная тройка некомпланарных векторов. Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому векторуупорядоченную тройку чисел – коэффициенты представления этого вектора в виделинейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройкечисел при помощи базиса мы сопоставим вектор , еслисоставим линейную комбинацию Ортогональный базис называется ортонормированным , если еговекторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространствечасто используют обозначения . Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов естьсоответствующие ортогональные проекции этого вектора на направлениякоординатных векторов. Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой , если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c - левая тройка . Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными. Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. Вправосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси OY вверх, ось OX смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X "X и Y "Y , называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

если векторы и относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

4. Векторное произведение двух векторов а и b - это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой являетсявектор со следующими

свойствами:

Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах. Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа , которое удовлетворяет равенству .

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее - представлены вортонормированном базисе

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

5. Сме́шанное произведе́ние векторов - скалярное произведение вектора на векторное произведениевекторов и :

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр(точнее - псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

1. Условие компланарности векторов : три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

§ Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

§ Смешанное произведение компланарных векторов . Это - критерий компланарности трёх векторов.

§ Компланарные векторы - линейно зависимы. Это - тоже критерий компланарности.

§ Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или . Это - переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.

§ В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

§ 6. Общее уравнение (полное) плоскости

где и - постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где - радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор).Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным . При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответственно или ). При ( , или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).

§ Уравнение плоскости в отрезках:

где , , - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .

§ Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :

в векторной форме:

(смешанное произведение векторов), иначе

§ Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

§ Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

Если в векторной форме, то

§ Плоскости параллельны , если

Или (Векторное произведение)

§ Плоскости перпендикулярны , если

Или . (Скалярное произведение)

7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой :

8.Расстояние от точки до плоскости - это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, чторасстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

§ Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением

Если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно

§ Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

9. Пучок плоскостей - уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плоскостей

где α и β - любые числа, не равные одновременно нулю.

Для того чтобы три плоскости, заданные своими общими уравнениями A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 относительно ПДСК принадлежали одному пучку, собственному или несобственному, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен или двум, или единице.
Теорема 2. Пусть относительно ПДСК заданы две плоскости π 1 и π 2 своими общими уравнениями: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0. Для того чтобы плоскость π 3 , заданная относительно ПДСК своим общим уравнением A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, принадлежала пучку, образованному плоскостями π 1 и π 2 , необходимо и достаточно, чтобы левая часть уравнения плоскости π 3 представлялась как линейная комбинация левых частей уравнений плоскостей π 1 и π 2 .

10. Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где - радиус-вектор некоторой фиксированной точки M 0 , лежащей на прямой, - ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, - радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

M

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где - координаты некоторой фиксированной точки M 0 , лежащей на прямой; - координаты вектора,коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

Угол между направляющими векторами и будет равен углу между прямыми. Угол между векторами находят при помощи скалярного произведения. cosA=(ab)/IaI*IbI

Угол между прямой и плоскостью находят по формуле:

где (А;В;С;) координаты нормального вектора плоскости
(l;m;n;) координаты направляющего вектора прямой

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

12. В пространстве расстояние от точки до прямой, заданной параметрическим уравнением

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t этой точки может быть найден по формуле

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Необходимое условие линейной зависимости n функций.

Пусть функции , имеют производные предела (n-1).

Рассмотрим определитель: (1)

W(x) принято называть определителœем Вронского для функций .

Теорема 1. В случае если функции линœейно зависимы в интервале (a,b), то их вронскиан W(x) тождественно равен нулю в данном интервале.

Доказательство. По условию теоремы выполняется соотношение

, (2) где не всœе равны нулю. Пусть . Тогда

(3). Дифференцируем это тождество n-1 раз и,

подставляя вместо их полученные значения в определитель Вронского,

получаем:

В определителœе Вронского последний столбец является линœейной комбинацией предыдущих n-1 столбцов и в связи с этим равен нулю во всœех точках интервала (a,b).

Теорема 2. В случае если функции y 1 ,..., y n являются линœейно независимыми решениями уравнения L[y] = 0, всœе коэффициенты которого непрерывны в интервале (a,b), то вронскиан этих решений отличен от нуля в каждой точке интервала (a,b).

Доказательство. Допустим противное. Существует Х 0 , где W(Х 0)=0. Составим систему n уравнений

Очевидно, что система (5) имеет ненулевое решение. Пусть (6).

Составим линœейную комбинацию решений y 1 ,..., y n .

У(х) является решением уравнения L[y] = 0. Кроме этого . В силу теоремы единственности решения уравнения L[y] = 0 с нулевыми начальными условиями должна быть только нулевым, ᴛ.ᴇ. .

Мы получаем тождество , где не всœе равны нулю, а это означает, что y 1 ,..., y n линœейно зависимы, что противоречит условию теоремы. Следовательно, нет такой точки где W(Х 0)=0.

На базе теоремы 1 и теоремы 2 можно сформулировать следующее утверждение. Для того, чтобы n решений уравнения L[y] = 0 были линœейно независимы в интервале (a,b), крайне важно и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался в нуль ни в одной точке этого интервала.

Из доказанных теорем также следуют такие очевидные свойства вронскиана.

1. В случае если вронскиан n решений уравнения L[y] = 0 равен нулю в одной точке х = х 0 из интервала (a,b), в котором всœе коэффициенты р i (x) непрерывны, то он равен нулю во всœех точках этого интервала.
2. В случае если вронскиан n решений уравнения L[y] = 0 отличен от нуля в одной точке х = х 0 из интервала (a,b), то он отличен от нуля во всœех точках этого интервала.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, для линœейности n независимых решений уравнения L[y] = 0 в интервале (a,b), в котором коэффициенты уравнения р i (x) непрерывны, крайне важно и достаточно, чтобы их вронскиан был отличен от нуля хоть в одной точке этого интервала.

Необходимое условие линейной зависимости n функций. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Необходимое условие линейной зависимости n функций." 2017, 2018.

-

Судовые перегрузочные средства (On board cargo handling gear) Лекция №6 Тема: Грузовое устройство (Cargo gear) 6.1. Судовые перегрузочные средства (On board cargo handling gear). 6.2. Грузовые краны. 6.3. Аппарели. Перегрузка – это перемещение груза на или с транспортного средства. Многие... .

- Грузовые краны (Cargo cranes)

Сертификаты (Certificates) Разделение функций (Division of tasks) Инспекции, сертификация и ответственность разделены таким образом: &... .

- Ты знаешь его? Lo conoces?

Там – allá Здесь – aqui В кафе – en el cafe На работе – en el trabajo На море – en el mar 1. Ты не знаешь, где кафе? 2. Ты не знаешь, где Саша? 3. Ты не знаешь, где библиотека? 4. Ты не знаешь, где сейчас Оля? 5. Ты не знаешь, где сейчас Наташа? Добрый день! Меня... .

- Определение Zmin и Xmin из условия отсутствия подрезания

Рис.5.9. О подрезании зубьев колёс. Рассмотрим, как связан коэффициент сдвига x рейки с числом зубьев, которое может быть нарезано рейкой на колесе. Пусть рейка установлена в положении 1(рис.5.9.). В этом случае прямая головок рейки пересечёт линию зацепления N-N в т. и...