Сложение противоположно направленных векторов. Урок "откладывание вектора от данной точки". Какие векторы являются равными

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Определение 1

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Определение 2

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Определение 3

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Определение 4

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

Для неколлинеарных векторов:

Для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Определение 6

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Определение 7

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и - b → .

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
- если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
- если 0 < k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
- если k < 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- если k = 1 , то вектор остается прежним;
- если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = - 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Пример 1

Задача: упростить выражение a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Решение
- используя второе распределительное свойство, получим: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 · a →
- используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → - 2 · b → - 6 · a → = a → - 6 · a → - 2 · b →
- затем по первому распределительному свойству получаем: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Ответ: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Некоторые физические величины, например, сила или скорость характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными: F ⃗ – сила, v ⃗ – скорость.
Дадим геометрическое определение вектора.
Вектором называется отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.
На чертежах вектор изображается отрезком со стрелкой, указывающей конец вектора. Вектор обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними. Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец.

Вектор можно обозначить и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней.

Длиной вектора называется длина отрезка, который изображает этот вектор. Для обозначения длины вектора используют вертикальные скобки.
Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нулевым вектором. Нулевой вектор изображается точкой и обозначается двумя одинаковыми буквами или нулём со стрелкой над ним. Длина нулевого вектора равна нулю: |0 ⃗|= 0.

Введём понятие коллинеарных векторов. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Если ненулевые коллинеарные векторы имеют одинаковое направление, то такие векторы будут сонаправленными. Если их направления противоположны – они называются противоположно направленными.
Для обозначения сонаправленных и противоположно направленных векторов существуют специальные обозначения:
- m ⃗ р ⃗, если векторы m ⃗ и р ⃗ сонаправлены;
- m ⃗ ↓ n ⃗ , если векторы m ⃗ и n ⃗ противоположно направлены.
Рассмотрим движение автомобиля. Скорость каждой его точки является векторной величиной и изображается направленным отрезком. Так как все точки автомобиля движутся с одинаковой скоростью, то все направленные отрезки, изображающие скорости разных точек, имеют одинаковое направление и их длины равны. Этот пример даёт нам подсказку, как определить равенство векторов.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Равенство векторов можно записать с помощью знака равно: a ⃗ = b ⃗, KH ⃗ = OE ⃗
Если точка Р начало вектора р ⃗, то считают, что вектор р ⃗ отложен от точки Р .

Докажем, что от любой точки О можно отложить вектор, равный данному вектору р ⃗, и притом только один.

Доказательство:
1) Если р ⃗ – нулевой вектор, то ОО ⃗ = р ⃗.
2) Если вектор р ⃗ ненулевой, точка Р – начало этого вектора, а точка Т – конец.
Проведём через точку О прямую, параллельную РТ . На построенной прямой отложим отрезки ОА 1 и ОА 2 , равные отрезку РТ .

Выберем из векторов ОА 1 и ОА 2 вектор, который сонаправлен с вектором р ⃗. На нашем чертеже это вектор ОА 1 . Этот вектор будет равен вектору р ⃗. Из построения следует, что такой вектор единственный.

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно рассматривать как перемещение точки из положения \(A\) (начало движения) в положение \(B\) (конец движения). То есть траектория движения в этом случае не важна, важны только начало и конец!

\(\blacktriangleright\) Два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на двух параллельных прямых.
В противном случае векторы называются неколлинеарными.

\(\blacktriangleright\) Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
Если их направления противоположны, то они называются противоположно направленными.

Правила сложения коллинеарных векторов:

сонаправленных конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow{b}\) :

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).

Нужно от конца вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\) . Тогда сумма – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overrightarrow {a}\) , а конец – с концом вектора \(\overrightarrow {b}\) .

\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).

Нужно от начала вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\) . Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – вектор, совпадающей с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow {b}\) (начало которого совпадает с началом обоих векторов).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти разность двух векторов \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow{b}\) , нужно найти сумму векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(-\overrightarrow{b}\) : \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\) (рис. 5).

Задание 1 #2638

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\) , точка \(O\) – центр описанной около данного треугольника окружности. Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}=\{1;1\}\) , \(\overrightarrow{AC}=\{-1;1\}\) . Найдите сумму координат вектора \(\overrightarrow{OC}\) .

Т.к. треугольник \(ABC\) - прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. \(O\) - середина \(BC\) .

Заметим, что \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\) , следовательно, \(\overrightarrow{BC}=\{-1-1;1-1\}=\{-2;0\}\) .

Т.к. \(\overrightarrow{OC}=\dfrac12 \overrightarrow{BC}\) , то \(\overrightarrow{OC}=\{-1;0\}\) .

Значит, сумма координат вектора \(\overrightarrow{OC}\) равна \(-1+0=-1\) .

Ответ: -1

Задание 2 #674

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCD\) – четырёхугольник, на сторонах которого отложены векторы \(\overrightarrow{AB}\) , \(\overrightarrow{BC}\) , \(\overrightarrow{CD}\) , \(\overrightarrow{DA}\) . Найдите длину вектора \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}\) .

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) , \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\) , тогда
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} = \vec{0}\) .
Нулевой вектор имеет длину, равную \(0\) .

Вектор можно воспринимать как перемещение, тогда \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) – перемещение из \(A\) в \(B\) , а затем из \(B\) в \(C\) – в итоге это перемещение из \(A\) в \(C\) .

При такой трактовке становится очевидным, что \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\) , ведь в итоге здесь из точки \(A\) переместились в точку \(A\) , то есть длина такого перемещения равна \(0\) , значит, и сам вектор такого перемещения есть \(\vec{0}\) .

Ответ: 0

Задание 3 #1805

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\) . Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) . Пусть , , тогда \(\overrightarrow{OA} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\)

\[\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2}(-\vec{b} - \vec{a}) = - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = - \frac{1}{2}\) , \(y = - \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -1\) .

Ответ: -1

Задание 4 #1806

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\) . Точки \(K\) и \(L\) лежат на сторонах \(BC\) и \(CD\) соответственно, причем \(BK:KC = 3:1\) , а \(L\) – середина \(CD\) . Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) , \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\) , тогда \(\overrightarrow{KL} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\) , где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\) .

\[\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CL} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}\] \(\Rightarrow\) \(x = -\frac{1}{2}\) , \(y = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0,25\) .

Ответ: -0,25

Задание 5 #1807

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\) . Точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах \(AD\) и \(BC\) соответственно, причем \(AM:MD = 2:3\) , а \(BN:NC = 3:1\) . Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) , \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\) , тогда \(\overrightarrow{MN} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\)

\[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = - \frac{2}{5}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = -\frac{2}{5}\vec{b} + \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} = \vec{a} + \frac{7}{20}\vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = \frac{7}{20}\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0,35\) .

Ответ: 0,35

Задание 6 #1808

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\) . Точки \(P\) лежит на диагонали \(BD\) , точка \(Q\) лежит на стороне \(CD\) , причем \(BP:PD = 4:1\) , а \(CQ:QD = 1:9\) . Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) , \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\) , тогда \(\overrightarrow{PQ} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\) , где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x\cdot y\) .

\[\begin{gathered} \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DQ} = \frac{1}{5}\overrightarrow{BD} + \frac{9}{10}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} =\\ = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BA}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} + \frac{7}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{7}{10}\vec{a}\end{gathered}\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac{7}{10}\) , \(y = \frac{1}{5}\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0,14\) . и \(ABCO\) – параллелограмм; \(AF \parallel BE\) и \(ABOF\) – параллелограмм \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = \vec{a} + \vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 2\) .

Ответ: 2

Старшеклассники, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение достойных баллов, обязательно должны повторить тему «Правила сложения и вычитания нескольких векторов». Как видно из многолетней практики, подобные задания каждый год включаются в аттестационное испытание. Если у выпускника вызывают трудности задачи из раздела «Геометрия на плоскости», к примеру, в которых требуется применить правила сложения и вычитания векторов, ему обязательно стоит повторить или вновь разобраться в материале, чтобы успешно сдать ЕГЭ.

Образовательный проект «Школково» предлагает новый подход в подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс выстроен таким образом, чтобы учащиеся смогли выявить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.

Для того чтобы задачи ЕГЭ, в которых необходимо применить правила сложения и вычитания двух векторов, не вызывали затруднений, мы рекомендуем прежде всего освежить в памяти базовые понятия. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».

Если вы уже вспомнили правило вычитания векторов и основные определения по данной теме, предлагаем закрепить полученные знания, выполнив соответствующие упражнения, которые подобрали специалисты образовательного портала «Школково». Для каждой задачи на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ. В теме «Правила сложения векторов» представлены различные упражнения; выполнив два-три сравнительно легких задания, учащиеся могут последовательно переходить к более сложным.

Оттачивать собственные навыки по таким, например, заданиям, как школьники имеют возможность в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.

Знания и навыки, полученные на данном уроке, пригодятся обучающимся не только на уроках геометрии, но и на занятиях по другим наукам. В ходе урока школьники научатся откладывать вектор от заданной точки. Это может быть обычный урок геометрии, а также внеклассное или факультативное занятие по математике. Данная разработка поможет учителю сэкономить свое время на подготовку к уроку по теме «Откладывание вектора от данной точки». Ему будет достаточно воспроизвести видеоурок на занятии, а затем закрепить материал собственной подборкой упражнений.

Урок по продолжительности занимаем всего 1:44 минуты. Но этого достаточно, чтобы научить школьников откладывать вектор от заданной точки.

Урок начинается с демонстрации вектора, начало которого находится в некоторой точке. Говорят, что вектор от нее отложен. Затем автор предлагает доказать вместе с ним утверждение, согласно которому от любой точки можно отложить вектор, равный данному и, притом, единственный. В ходе доказательства автор подробно рассматривает каждый случай. Во-первых, он берет ситуацию, когда данный вектор нулевой, во-вторых, когда вектор - ненулевой. Во время доказательства используются иллюстрации в виде рисунков и построения, математическая запись, которые формируют у школьников математическую грамотность. Автор рассказывает, не торопясь, что позволяет обучающимся вести записи параллельно, пока идет комментирование. Построение, которое вел автор в ходе доказательства ранее сформулированного утверждения, показывает, как от некоторой точки можно построить вектор, равный данному.

Если обучающиеся будут внимательно смотреть урок и параллельно вести записи, то они легко усвоят материал. Тем более, что автор рассказывает подробно, размеренно и достаточно полно. Если по каким-то причинам что-то не услышали, то можно вернуться и посмотреть урок еще раз.

После просмотра видеоурока желательно приступить к закреплению материала. Учителю рекомендуется подобрать задания по данной теме, чтобы отработать навык откладывания вектора от данной точки.

Данный урок можно использовать для самостоятельного изучения темы школьниками. Но для закрепления необходимо обратиться к учителю, чтобы он подобрал соответствующие задания. Ведь без закрепления материала сложно добиться положительного результата в обучении.

Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Пусть точка А – начало вектора, а точка B – его конец, тогда вектор обозначается символом или . Вектор называется противоположным вектору и может быть обозначен .

Сформулируем ряд базовых определений.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается . Вектор нулевой длины (его суть - точка) называется нулевым и направления не имеет. Вектор единичной длины, называется единичным . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .

Векторы называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, записывают . Коллинеарные векторы могут иметь совпадающие или противоположные направления. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Векторы называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными , если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат 0xyz . Выделим на осях координат 0x , 0y , 0z единичные векторы (орты) и обозначим их через соответственно. Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат. Спроектируем вектор на координатные оси и обозначим проекции через a x , a y , a z соответственно. Тогда нетрудно показать, что

. (2.25)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей . Числа a x , a y , a z называются координатами вектора . Таким образом, координаты вектора являются его проекциями на оси координат. Векторное равенство (2.25) часто записывают в виде

Мы будем использовать обозначение вектора в фигурных скобках, чтобы визуально легче различать координаты вектора и координаты точки. С использованием формулы длины отрезка, известной из школьной геометрии, можно найти выражение для вычисления модуля вектора :

, (2.26)

то есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Обозначим углы между вектором и осями координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются для вектора направляющими , и для них выполняется соотношение: Верность данного равенства можно показать с помощью свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем пункте 4.

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть если

Данная формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.

Геометрически два вектора складываются по двум правилам:

а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого вектора; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;

б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.

2. Вычитание двух векторов производится покоординатно, аналогично сложению, то есть если , то

Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

Важным следствием вычитания векторов является тот факт, что если известны координаты начала и конца вектора, то для вычисления координат вектора необходимо из координат его конца вычесть координаты его начала . Действительно, любой вектор пространства может быть представлен в виде разности двух векторов, исходящих из начала координат: . Координаты векторов и совпадают с координатами точек А и В , так как начало координат О (0;0;0). Таким образом, по правилу вычитания векторов следует произвести вычитание координат точки А из координат точки В .

3. У множение вектора на число λ покоординатно: .

При λ> 0 – вектор сонаправлен ; λ< 0 – вектор противоположно направлен ; | λ|> 1 – длина вектора увеличивается в λ раз; | λ|< 1 – длина вектора уменьшается в λ раз.

4. Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l ), вектор задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l соответственно через A ’ и B ’ .

Проекцией вектора на ось l называется длина вектора , взятая со знаком «+», если вектор и ось l сонаправлены, и со знаком «–», если и l противоположно направлены .

Если в качестве оси l взять некоторый другой вектор , то получим проекцию вектора на векто р .

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций:

1)проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть ;

2.)проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой;

3)проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над векторами.

5. Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть

. (2.27)

Очевидно, что скалярный квадрат любого ненулевого вектора равен квадрату его длины, так как в этом случае угол , поэтому его косинус (в 2.27) равен 1.

Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения

Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть

Теорема 2.3. Скалярное произведение двух векторов , заданных своими координатами, равно сумме произведений их одноименных координат, то есть

(2.28)

С помощью скалярного произведения векторов можно вычислить угол между ними. Если заданы два ненулевых вектора своими координатами , то косинус угла φ между ними:

(2.29)

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

(2.30)

Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором , может осуществляться по формуле

(2.31)

С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы на прямолинейном участке пути.

Предположим, что под действием постоянной силы материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение B. Вектор силы образует угол φ с вектором перемещения (рис. 2.14). Физика утверждает, что работа силы при перемещении равна .

Пример 2.9. С помощью скалярного произведения векторов найти угол при вершине A параллелограмма ABCD , постро енного на векторах

Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение по теореме (2.3):

Отсюда согласно формуле (2.29) получим косинус искомого угла

Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).

Таблица 2.2

Тогда . Общая цена ресурсов , что представляет собой скалярное произведение векторов . Вычислим его по формуле (2.28) согласно теореме 2.3: