معنى الرقم لا يعتمد على موقعه في الرقم. تمثيل المعلومات العددية باستخدام أنظمة الأرقام. نظام التشغيل هو...

المفاهيم الأساسية لأنظمة الأعداد

نظام الأرقام عبارة عن مجموعة من القواعد والتقنيات لكتابة الأرقام باستخدام مجموعة من الأحرف الرقمية. يُطلق على عدد الأرقام المطلوبة لكتابة رقم في النظام اسم قاعدة نظام الأرقام. قاعدة النظام مكتوبة على الجانب الأيمن من الرقم بالخط السفلي: ; ; إلخ.

هناك نوعان من أنظمة الأرقام:

الموضعية، عندما يتم تحديد قيمة كل رقم من الرقم من خلال موضعه في سجل الأرقام؛

غير موضعية، عندما لا تعتمد قيمة الرقم في الرقم على مكانه في تدوين الرقم.

مثال على نظام الأرقام غير الموضعية هو النظام الروماني: الأرقام IX، IV، XV، إلخ. مثال على نظام الأرقام الموضعية هو النظام العشري المستخدم كل يوم.

يمكن كتابة أي عدد صحيح في النظام الموضعي في شكل متعدد الحدود:

حيث S هو أساس نظام الأرقام؛

أرقام من رقم مكتوب في نظام أرقام معين؛

n هو عدد أرقام الرقم.

مثال. رقم سيتم كتابتها في شكل متعدد الحدود على النحو التالي:

أنواع أنظمة الأعداد

نظام الأرقام الروماني هو نظام غير موضعي. ويستخدم حروف الأبجدية اللاتينية لكتابة الأرقام. في هذه الحالة، الحرف I يعني دائمًا واحدًا، والحرف V يعني خمسة، وX يعني عشرة، وL يعني خمسين، وC يعني مائة، وD يعني خمسمائة، وM يعني ألف، وما إلى ذلك. على سبيل المثال، يتم كتابة الرقم 264 كـ CCLXIV. عند كتابة الأرقام في نظام الأرقام الروماني، فإن قيمة الرقم هي المجموع الجبري للأرقام الموجودة فيه. في هذه الحالة، تكون الأرقام الموجودة في سجل الأرقام، كقاعدة عامة، بترتيب تنازلي لقيمها، ولا يُسمح بكتابة أكثر من ثلاثة أرقام متطابقة جنبًا إلى جنب. عندما يتبع رقم ذو قيمة أكبر رقم ذو قيمة أصغر، فإن مساهمته في قيمة الرقم ككل تكون سلبية. ترد في الجدول أمثلة نموذجية توضح القواعد العامة لكتابة الأرقام في نظام الأرقام الرومانية.

الجدول 2. كتابة الأرقام في نظام الأرقام الرومانية

عيب النظام الروماني هو عدم وجود قواعد رسمية لكتابة الأرقام، وبالتالي العمليات الحسابية بأرقام متعددة الأرقام. نظرا للإزعاج والتعقيد الكبير، يتم استخدام نظام الأرقام الرومانية حاليا حيث يكون مناسبا حقا: في الأدب (ترقيم الفصول)، في تصميم المستندات (سلسلة جوازات السفر، الأوراق المالية، وما إلى ذلك)، لأغراض الديكور على قرص الساعة وفي عدد من الحالات الأخرى.

يعد نظام الأرقام العشرية هو الأكثر شهرة واستخدامًا حاليًا. يعد اختراع نظام الأعداد العشرية أحد أهم إنجازات الفكر الإنساني. وبدونها، لا يمكن للتكنولوجيا الحديثة أن توجد، ناهيك عن أن تنشأ. السبب وراء قبول نظام الأرقام العشري بشكل عام ليس رياضيًا على الإطلاق. اعتاد الناس على العد بنظام الأرقام العشرية لأن لديهم 10 أصابع في أيديهم.

الصورة القديمة للأرقام العشرية (الشكل 1) ليست عرضية: كل رقم يمثل رقمًا بعدد الزوايا فيه. على سبيل المثال، 0 - لا توجد زوايا، 1 - زاوية واحدة، 2 - زاويتان، إلخ. لقد شهدت كتابة الأعداد العشرية تغيرات كبيرة. تم إنشاء النموذج الذي نستخدمه في القرن السادس عشر.

ظهر النظام العشري لأول مرة في الهند حوالي القرن السادس الميلادي. يستخدم الترقيم الهندي تسعة أحرف رقمية وصفر للإشارة إلى موضع فارغ. في المخطوطات الهندية المبكرة التي وصلت إلينا، تمت كتابة الأرقام بترتيب عكسي - تم وضع الرقم الأكثر أهمية على اليمين. ولكن سرعان ما أصبح وضع مثل هذا الرقم على الجانب الأيسر هو القاعدة. تم إيلاء أهمية خاصة لرمز الصفر، الذي تم تقديمه لنظام التدوين الموضعي. الترقيم الهندي، بما في ذلك الصفر، بقي حتى يومنا هذا. وفي أوروبا، انتشرت الأساليب الهندوسية للحساب العشري في بداية القرن الثالث عشر. بفضل عمل عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو بيزا (فيبوناتشي). استعار الأوروبيون نظام الأرقام الهندي من العرب، وأطلقوا عليه اسم اللغة العربية. ولا تزال هذه التسمية التاريخية الخاطئة مستمرة حتى يومنا هذا.

يستخدم النظام العشري عشرة أرقام - 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، و9 - بالإضافة إلى الرموز "+" و"-" للإشارة إلى علامة الرقم، و فاصلة أو نقطة للفصل بين الأعداد الصحيحة والعشرية.

تستخدم أجهزة الكمبيوتر نظام الأرقام الثنائية، قاعدته هي الرقم 2. لكتابة الأرقام في هذا النظام، يتم استخدام رقمين فقط - 0 و 1. على عكس الاعتقاد الخاطئ الشائع، لم يتم اختراع نظام الأرقام الثنائية من قبل مهندسي تصميم الكمبيوتر، ولكن من قبل علماء الرياضيات والفلاسفة قبل وقت طويل من ظهور أجهزة الكمبيوتر، في القرنين السابع عشر والتاسع عشر. أول مناقشة منشورة لنظام الأرقام الثنائية كانت من قبل الكاهن الأسباني خوان كارامويل لوبكويتز (1670). لفت الانتباه العام إلى هذا النظام مقالة كتبها عالم الرياضيات الألماني جوتفريد فيلهلم لايبنتز، نُشرت عام 1703. وقد شرح فيها العمليات الثنائية المتمثلة في الجمع والطرح والضرب والقسمة. لم ينصح لايبنتز باستخدام هذا النظام في الحسابات العملية، لكنه أكد على أهميته للبحث النظري. مع مرور الوقت، أصبح نظام الأرقام الثنائية معروفًا ويتطور.

يتم تفسير اختيار النظام الثنائي للاستخدام في تكنولوجيا الكمبيوتر من خلال حقيقة أن العناصر الإلكترونية - المشغلات التي تشكل شرائح الكمبيوتر - لا يمكن أن تكون إلا في حالتين تشغيليتين.

باستخدام نظام الترميز الثنائي، يمكنك تسجيل أي بيانات ومعرفة. من السهل أن نفهم هذا إذا تذكرنا مبدأ تشفير ونقل المعلومات باستخدام شفرة مورس. يمكن لمشغل التلغراف، باستخدام رمزين فقط من هذه الأبجدية - النقاط والشرطات، إرسال أي نص تقريبًا.

النظام الثنائي مناسب للكمبيوتر، ولكنه غير مريح للشخص: الأرقام طويلة ويصعب كتابتها وتذكرها. بالطبع، يمكنك تحويل الرقم إلى النظام العشري وكتابته بهذا النموذج، وبعد ذلك، عندما تحتاج إلى تحويله مرة أخرى، ولكن كل هذه الترجمات تتطلب عمالة مكثفة. لذلك، يتم استخدام أنظمة الأرقام المتعلقة بالثنائي - الثماني والست عشري. لكتابة الأرقام في هذه الأنظمة، يلزم وجود 8 و16 رقمًا على التوالي. في النظام السداسي العشري، تكون الأرقام العشرة الأولى شائعة، ثم يتم استخدام الأحرف اللاتينية الكبيرة. يتوافق الرقم السداسي العشري A مع الرقم العشري 10، والرقم السداسي العشري B مع الرقم العشري 11، وما إلى ذلك. ويفسر استخدام هذه الأنظمة من خلال حقيقة أن الانتقال إلى كتابة رقم في أي من هذه الأنظمة من تدوينه الثنائي بسيط للغاية. يوجد أدناه جدول المراسلات بين الأرقام المكتوبة في أنظمة مختلفة.

الجدول 3. مراسلات الأرقام المكتوبة في أنظمة أرقام مختلفة

قواعد تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

يعد تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر جزءًا مهمًا من حساب الآلة. دعونا نفكر في القواعد الأساسية للترجمة.

1. لتحويل رقم ثنائي إلى رقم عشري، من الضروري كتابته على شكل كثيرة حدود، تتكون من حاصل ضرب أرقام الرقم والقوة المقابلة للرقم 2، وحسابها وفقًا لقواعد الحساب العشري:

عند الترجمة، من المناسب استخدام جدول قوى العدد اثنين:

الجدول 4. صلاحيات الرقم 2

مثال. تحويل الرقم إلى نظام الأرقام العشري.

2. لتحويل رقم ثماني إلى رقم عشري، من الضروري كتابته على شكل متعدد الحدود يتكون من منتجات أرقام الرقم والقوة المقابلة للرقم 8، وحسابه وفقًا لقواعد الرقم العشري علم الحساب:

عند الترجمة، من المناسب استخدام جدول قوى العدد ثمانية:

الجدول 5. صلاحيات الرقم 8

القواعد: (عادة) لا تضع أكثر من ثلاثة أرقام متطابقة في صف واحد إذا كان الرقم المنخفض (واحد فقط!) على يسار الرقم الأعلى، يتم طرحه من المجموع (غير موضعي جزئيًا!) أمثلة: MDCXLIV = - - = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

3999) من الضروري إدخال أرقام جديدة (V، X، L، C، D، M) كيفية كتابة الأرقام الكسرية؟ كيفية إجراء العمليات الحسابية: CCCLIX + CLXXIV =؟ مكان الاستخدام: أرقام الفصول في الكتب: تسمية القرون: "Pirates of the XX" title = " العيوب: لكتابة أرقام كبيرة (> 3999) تحتاج إلى إدخال أرقام جديدة (V، X، L، C، D، M) كيفية كتابة الأعداد الكسرية؟ كيفية إجراء العمليات الحسابية: CCCLIX + CLXXIV = أين تستخدم: أرقام الفصول في الكتب: تسمية القرون: "قراصنة XX"" class="link_thumb"> 9 !}العيوب: لكتابة أرقام كبيرة (> 3999) تحتاج إلى إدخال أرقام جديدة (V، X، L، C، D، M) كيفية كتابة أرقام كسرية؟ كيفية إجراء العمليات الحسابية: CCCLIX + CLXXIV =؟ مكان الاستخدام: أرقام الفصول في الكتب: تسمية القرون: قرص الساعة "قراصنة القرن العشرين". 3999) من الضروري إدخال أرقام جديدة (V، X، L، C، D، M) كيفية كتابة الأرقام الكسرية؟ كيفية إجراء العمليات الحسابية: CCCLIX + CLXXIV =؟ حيث يتم استخدامه: أرقام الفصول في الكتب: تسمية القرون: "القراصنة XX"> 3999) من الضروري إدخال أرقام جديدة (V، X، L، C، D، M) كيفية كتابة أرقام كسرية؟ كيفية الأداء العمليات الحسابية: CCCLIX + CLXXIV =؟ مكان الاستخدام: أرقام الفصول في الكتب: تسمية القرون: قرص الساعة "قراصنة القرن العشرين"> 3999) من الضروري إدخال أرقام جديدة (V، X، L، C، D) ، م) كيفية كتابة الأعداد الكسرية؟ كيفية إجراء العمليات الحسابية: CCCLIX + CLXXIV =؟ مكان الاستخدام: أرقام الفصول في الكتب: تسمية القرون: "Pirates of the XX" title = " العيوب: لكتابة أرقام كبيرة (> 3999) تحتاج إلى إدخال أرقام جديدة (V، X، L، C، D، M) كيفية كتابة الأعداد الكسرية؟ كيفية إجراء العمليات الحسابية: CCCLIX + CLXXIV = أين تستخدم: أرقام الفصول في الكتب: تسمية القرون: "قراصنة XX""> title="العيوب: لكتابة أرقام كبيرة (> 3999) تحتاج إلى إدخال أرقام جديدة (V، X، L، C، D، M) كيفية كتابة أرقام كسرية؟ كيفية إجراء العمليات الحسابية: CCCLIX + CLXXIV =؟ مكان الاستخدام: أرقام الفصول في الكتب: تسمية القرون: "القراصنة XX"> !}

في نظام الأرقام الموضعية، تعتمد القيمة الكمية للرقم على موضعه في الرقم. موضع الرقم يسمى الرقم. يزداد رقم الرقم من اليمين إلى اليسار. في الرقم 555، الرقم 5 الأول في موضع المئات، والرقم الثاني 5 في موضع العشرات، والرقم 5 الثالث في موضع الآحاد (555=).

أ) = 5* * *10 0 ب) = 1*2 2 +0*2 1 +1*2 0

عدد محدود من الأحرف لكتابة الأرقام؛ سهولة إجراء العمليات الحسابية. أساس نظام الأرقام الموضعية (ف) هو عدد الرموز المستخدمة لكتابة رقم. المهمة: كم وما هي الأرقام المطلوبة لكتابة أي رقم في نظام الأرقام الخماسية، في نظام الأرقام الثماني، في نظام الأرقام السداسية العشرية.

الخيار الأول. 1. هل صحيح أنه يمكن كتابة الرقم في نظام الأرقام الثنائية؟ 2. هل صحيح أن أنظمة الأرقام الأبجدية غير موضعية؟ 3. هل صحيح أن أجهزة الكمبيوتر تستخدم نظام الأرقام الرومانية؟ 4. هل صحيح أنه من المناسب بالنسبة للحسابات الحسابية المعقدة استخدام نظام الأرقام الرومانية؟ 5. هل صحيح أن هناك رقم 2 في نظام الأرقام الثنائية؟ الخيار الثاني. 1. هل صحيح أنه يمكن كتابة العدد بنظام الأعداد الرباعي؟ 2. هل صحيح أن الأرقام العربية مناسبة لإجراء العمليات الحسابية المعقدة؟ 3. هل صحيح أن ذاكرة الكمبيوتر تستخدم نظام الأرقام العشرية؟ 4. هل صحيح أن جميع أنظمة الأعداد تنقسم إلى مجموعتين كبيرتين؟ 5. هل صحيح أن نظام الأعداد العشرية هو نظام موضعي؟

أرقام إجابة الاختيار نعم لا 2 نعم لا نعم جدول فحص نتائج الاختبار "5" - لا توجد أخطاء "4" - خطأ واحد "3" - خطأان "2" - ثلاثة أخطاء معايير التقييم:
يعلم العالم كله أن تقويم المايا ينتهي في 21 ديسمبر 2012. لكن لا أحد يعرف السبب. لنبدأ بحقيقة أنه ليس التقويم هو الذي ينتهي فعليًا، ولكن ما يسمى بالدورة الكبرى. أو "الشمس الخامسة" في مصطلحات المايا، وتدوم 5126 سنة. آخر يوم في هذه الدورة هو 21 ديسمبر 2012. ولكن هذه ليست نهاية العالم. وبعد عام 2012، تبدأ الدورة التالية. وبحسب حسابات العلماء فإن "الشمس الخامسة" بدأت في 13 أغسطس 3113 قبل الميلاد. لماذا اذن؟ ما الحدث الذي كان مرتبطًا به؟ لا أحد يعرف. ومن غير المعروف أيضًا أين حصل المايا القدماء على نظامهم المتطور لحساب الوقت وتقسيمه إلى دورات.

تمثيل المعلومات العددية باستخدام أنظمة الأرقام

تُستخدم الأرقام لتسجيل معلومات حول عدد الكائنات. تتم كتابة الأرقام باستخدام أنظمة إشارة خاصة تسمى أنظمة الأرقام. تتكون أبجدية أنظمة الأرقام من رموز تسمى أرقامًا. على سبيل المثال، في نظام الأرقام العشرية، تتم كتابة الأرقام باستخدام عشرة أرقام معروفة: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9.

الرموزهو نظام إشارات تتم فيه كتابة الأرقام وفقًا لقواعد معينة باستخدام رموز أبجدية معينة تسمى الأرقام.

تنقسم جميع أنظمة الأعداد إلى مجموعتين كبيرتين: الموضعيةو غير موضعيأنظمة الأرقام. في أنظمة الأعداد الموضعية، تعتمد قيمة الرقم على موضعه في العدد، أما في أنظمة الأعداد غير الموضعية فلا تعتمد على ذلك.

نظام الأرقام الرومانية غير الموضعية.أكثر أنظمة الأرقام غير الموضعية شيوعًا هي الرومانية. الأرقام المستخدمة فيه هي: I (1)، V (5)، X (10)، L (50)، C (100)، D (500)، M (1000).

معنى الرقم لا يعتمد على موقعه في الرقم. على سبيل المثال، في الرقم XXX (30)، يظهر الرقم X ثلاث مرات وفي كل حالة يشير إلى نفس القيمة - الرقم 10، ثلاثة أرقام من 10 تضيف ما يصل إلى 30.

يتم تعريف حجم الرقم في نظام الأرقام الرومانية على أنه مجموع أو اختلاف الأرقام في الرقم. إذا كان الرقم الأصغر على يسار الرقم الأكبر، فإنه يطرح، وإذا كان على اليمين يضاف. على سبيل المثال، كتابة الرقم العشري 1998 في نظام الأرقام الرومانية سيبدو كما يلي:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5 + 1 + 1 + 1.

أنظمة الأرقام الموضعية.تم اختراع أول نظام للأرقام الموضعية في بابل القديمة، وكان الترقيم البابلي هو الستيني، أي أنه يستخدم ستين رقمًا! ومن المثير للاهتمام أننا لا نزال نستخدم الأساس 60 عند قياس الوقت (دقيقة واحدة تحتوي على 60 ثانية، وساعة واحدة تحتوي على 60 دقيقة).

في القرن التاسع عشر، انتشر نظام الأرقام الاثني عشري على نطاق واسع. حتى الآن، غالبًا ما نستخدم العشرات (الرقم 12): هناك عشرين ساعة في اليوم، وتحتوي الدائرة على ثلاثين درجة، وهكذا.

تعتمد القيمة الكمية للرقم على موضعه في الرقم.

أنظمة الأرقام الموضعية الأكثر شيوعًا اليوم هي النظام العشري والثنائي والثماني والست عشري. كل نظام موضعي لديه محدد الأبجدية من الأرقامو قاعدة.

في أنظمة الأرقام الموضعيةقاعدة النظام تساوي عدد الأرقام (العلامات الموجودة في أبجديته) وتحدد عدد مرات اختلاف قيم الأرقام المتماثلة في المواضع المجاورة للرقم.

يحتوي نظام الأرقام العشرية على أبجدية من الأرقام، والتي تتكون من عشرة أرقام معروفة، تسمى باللغة العربية، وقاعدة مكونة من 10، ثنائية - رقمين وقاعدة 2، ثماني - ثمانية أرقام وقاعدة 8، سداسي عشري - ستة عشر الأرقام (كما يتم استخدام حروف الأبجدية اللاتينية أيضًا) والقاعدة 16 (الجدول 1.2).

نظام الأعداد العشرية.لنأخذ الرقم العشري 555 كمثال. يظهر الرقم 5 ثلاث مرات، حيث يمثل الرقم 5 الموجود في أقصى اليمين خمسة آحاد، والثاني من اليمين يمثل خمس عشرات، وأخيرًا الرقم الثالث من اليمين يمثل خمس مئات.

يسمى موضع الرقم في الرقم تسريح. يزداد رقم الرقم من اليمين إلى اليسار، ومن الأرقام المنخفضة إلى الأرقام الأعلى. في النظام العشري، يشير الرقم الموجود في أقصى الموضع (الرقم) إلى عدد الوحدات، ويتحول الرقم إلى موضع واحد إلى اليسار - عدد العشرات، وحتى إلى اليسار - المئات، ثم الآلاف، وما إلى ذلك. وبناء على ذلك، لدينا رقم الآحاد، ورقم العشرات، وهكذا.

الرقم 555 مكتوب بالصيغة المألوفة توالتاستمارة. لقد اعتدنا على هذا النوع من التدوين لدرجة أننا لم نعد نلاحظ كيف نقوم عقليًا بضرب أرقام أحد الأرقام في مختلف قوى الرقم 10.

في موسعفي شكل رقم، تتم كتابة هذا الضرب بشكل صريح. لذا، في الصورة الموسعة، ستبدو كتابة الرقم 555 في النظام العشري كما يلي:

555 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0.

كما يتبين من المثال، تتم كتابة الرقم في نظام الأرقام الموضعية كمجموع سلسلة أرقام من القوى أسباب(في هذه الحالة 10)، معاملاتها هي أرقام هذا الرقم.

يتم استخدام الأسس السالبة لكتابة الكسور العشرية. على سبيل المثال، يتم كتابة الرقم 555.55 بالشكل الموسع كما يلي:

555.55 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0 + 5 × 10 -1 + 5 × 10 -2.

بشكل عام، في نظام الأرقام العشرية، تبدو كتابة الرقم A 10، الذي يحتوي على أرقام صحيحة n وأرقام كسرية m، كما يلي:

أ 10 = أ ن-1 × 10 ن-1 + ... + أ 0 × 10 0 + أ -1 × 10 -1 + ... + أ -م × 10 -م

المعاملات a i في هذا الترميز هي أرقام الرقم العشري، والتي يتم كتابتها في شكل مطوي على النحو التالي:

أ 10 = أ ن-1 أ ن-2 ... أ 0، أ -1 ... أ -م.

يتضح من الصيغ السابقة أن ضرب أو قسمة عدد عشري على 10 (قيمة الأساس) يؤدي إلى حركة العلامة العشرية التي تفصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري مكان واحد إلى اليمين أو إلى اليسار، على التوالي . على سبيل المثال:

555.55 10 × 10 = 5555.5 10;
555,55 10: 10 = 55,555 10 .

نظام الأرقام الثنائية.في نظام الأرقام الثنائية، الأساس هو 2، وتتكون الأبجدية من رقمين (0 و1). وبالتالي، تتم كتابة الأرقام في النظام الثنائي في شكل موسع كمجموع قوى الأساس 2 مع المعاملات، وهي الأرقام 0 أو 1.

على سبيل المثال، قد يبدو الرقم الثنائي الموسع كما يلي:

أ 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 -1 + 1 × 2 -2.

النموذج المطوي لنفس الرقم:

أ 2 = 101.01 2.

بشكل عام، في النظام الثنائي، تبدو كتابة الرقم A 2، الذي يحتوي على أرقام صحيحة n وأرقام كسرية m، كما يلي:

أ 2 = أ ن-1 × 2 ن-1 + أ ن-2 × 2 ن-2 + ... + أ 0 × 2 0 + أ -1 × 2 -1 + ... + أ -م × 2 -م

المعاملات a i في هذا الترميز هي الأرقام (0 أو 1) من الرقم الثنائي، والتي يتم كتابتها في شكل مطوي على النحو التالي:

أ 2 = أ ن-1 أ ن-2 ... أ 0 ، أ -1 أ -2 ... أ -م

يتضح من الصيغ أعلاه أن ضرب أو قسمة عدد ثنائي على 2 (القيمة الأساسية) يؤدي إلى حركة الفاصلة التي تفصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري برقم واحد إلى اليمين أو اليسار، على التوالي. على سبيل المثال:

101.01 2 × 2 = 1010.1 2;
101,01 2: 2 = 10,101 2 .

أنظمة الأرقام الموضعية ذات قاعدة عشوائية.من الممكن استخدام مجموعة متنوعة من أنظمة الأعداد الموضعية، التي يكون أساسها يساوي أو أكبر من 2. في أنظمة الأعداد ذات الأساس q (نظام الأعداد q-ary)، تتم كتابة الأرقام في شكل موسع كمجموع لقوى القاعدة q مع المعاملات وهي الأرقام 0، 1، q - 1:

أ ف = أ ن-1 × ف ن-1 + أ ن-2 × ف ن-2 + ... + أ 0 × ف 0 + أ -1 × ف -1 + ... + أ -م × ف -م

المعاملات a i في هذا الإدخال هي أرقام الرقم المكتوب في نظام الأرقام q-ary.

وهكذا، في النظام الثماني القاعدة تساوي ثمانية (ف = 8). عندها سيبدو الرقم الثماني A 8 = 673.2 8 المكتوب بشكل مطوي بشكل موسع كما يلي:

أ 8 = 6 × 8 2 + 7 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1.

في النظام السداسي العشري، الأساس هو ستة عشر (ف = 16)، ثم الرقم السداسي العشري A 16 = 8A,F 16 المكتوب بشكل مطوي سيبدو كما يلي:

أ 16 = 8 × 16 1 + أ × 16 0 + و × 16 -1.

إذا عبرنا عن الأرقام السداسية العشرية من خلال قيمها العشرية (A=10، F=15)، فسيأخذ الرقم الشكل:

أ 16 = 8 × 16 1 + 10 × 16 0 + 15 × 16 -1.

أسئلة للنظر فيها

1. كيف تختلف أنظمة الأرقام الموضعية عن الأنظمة غير الموضعية؟

2. هل يمكن استخدام رمز الحرف كرقم؟

3. كم عدد الأرقام المستخدمة في نظام الأرقام q-ary؟

مهام

1.6. أكتب الأرقام 19.99 10 ; 10.10 2; 64.5 8؛ 39،F 16 في شكل موسع.

1.7. كم مرة ستزداد الأعداد 10.1 10؟ 10.1 2 ; 64.5 8؛ 39,F 16 عند تحريك العلامة العشرية مكان واحد إلى اليمين؟

1.8. عند تحريك العلامة العشرية خانتين إلى اليمين، يزداد الرقم 11.11× 4 مرات. ما هو x يساوي؟

1.9. ما هو الحد الأدنى للأساس الذي يمكن أن يحتوي عليه نظام الأرقام إذا كان يحتوي على الرقمين 23 و67؟

1.10. اكتب الرقم 1999 10 بنظام الأرقام الرومانية.

مقدمة لأنظمة الأرقام

1. مفهوم نظام الأرقام (SS)

2. SS غير الموضعي

3. SS الموضعي

4. مثال على SS العاشر

تُستخدم اللغات الطبيعية (الروسية والإنجليزية والألمانية وغيرها) لتبادل المعلومات بين الأشخاص. تستخدم اللغات الطبيعية رموزًا تختلف في التهجئة لبناء الكلمات. من الرموز، وفقا لقواعد معينة، يتم بناء الكلمات والجمل التي يفهمها الإنسان.

لتمثيل المعلومات الرقمية (حول عدد الكائنات)، يتم أيضًا استخدام لغات خاصة تصف الرموز (في هذه الحالة، الأرقام) وقواعد بناء الأرقام من الأرقام (الرموز)، والتي تحدد الترتيب الذي تتم به كتابة الأرقام في العدد والعمليات على الأعداد أي قواعد الجمع والطرح والضرب وغيرها وتسمى هذه اللغات الخاصة أنظمة الأرقام .

تنقسم جميع أنظمة الأعداد إلى مجموعتين كبيرتين: الموضعية وغير الموضعيةأنظمة الأرقام. في أنظمة الأعداد الموضعية، تعتمد قيمة الرقم على موضعه في العدد، أما في أنظمة الأعداد غير الموضعية فلا تعتمد على ذلك.

في أنظمة الأعداد غير الموضعيةوزن الرقم (أي المساهمة التي يقدمها في قيمة الرقم) لا يعتمد على موقفهافي كتابة الرقم .

الأكثر شيوعا من أنظمة الأرقام غير الموضعية هو روماني. الأرقام المستخدمة فيه هي: I (1)، V (5)، X (10)، L (50)، C (100)، D (500)، M (1000).

معنى الرقم لا يعتمد على موقعه في الرقم. على سبيل المثال، في الرقم XXX (30)، يظهر الرقم X ثلاث مرات وفي كل حالة يشير إلى نفس القيمة - الرقم 10، ثلاثة أرقام من 10 تضيف ما يصل إلى 30.

يتم تعريف حجم الرقم في نظام الأرقام الرومانية على أنه مجموع أو اختلاف الأرقام في الرقم. إذا كان الرقم الأصغر على يسار الرقم الأكبر، فإنه يطرح، وإذا كان على اليمين يضاف. على سبيل المثال، كتابة الرقم العشري 1998 في نظام الأرقام الرومانية سيبدو كما يلي:

MSMХСVIII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

الرقم 15 في النظام الروماني هو XV = 10 + 5

ويمكن تمثيل الرقم 8 على النحو التالي: VIII = 5 + 1 + 1 + 1

في أنظمة الأعداد الموضعية، تعتمد القيمة الكمية للرقم على موضعه في الرقم.

أنظمة الأرقام الموضعية الأكثر شيوعًا اليوم هي النظام العشري والثنائي والثماني والست عشري. كل نظام موضعي لديه محدد الأبجدية من الأرقام والقاعدة.

في أنظمة الأرقام الموضعية، قاعدة النظام تساوي عدد الأرقام (العلامات الموجودة في أبجديته) وتحدد عدد مرات اختلاف قيم الأرقام المتطابقة في المواضع المجاورة للرقم.

يمكن اعتبار أي عدد طبيعي أساسًا للنظام - اثنان، ثلاثة، أربعة، إلخ. عدد لا يحصى من الأنظمة الموضعية الممكنة: ثنائي، ثلاثي، رباعي، الخ. كتابة الأعداد في كل نظام أرقام بقاعدة سيعني اختصار للتعبير

An-1 qn-1 + an-2 qn-2 + ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + أ-م-م،

أين بالنيابة - أرقام نظام الأرقام.

ن و م - عدد الأرقام الصحيحة والكسرية على التوالي.

عدد عشرييحتوي نظام الأرقام على أبجدية من الأرقام، والتي تتكون من عشرة أرقام عربية معروفة، وأساسها 10.

الثنائية- رقمين وقاعدة 2.

ثماني– ثمانية أرقام وقاعدتها 8.

السداسي عشري– ستة عشر رقمًا (تُستخدم حروف الأبجدية اللاتينية أيضًا كأرقام) وقاعدتها 16.

مثال على كتابة الأرقام في SS العاشر

يفضل الناس النظام العشري ربما لأنهم كانوا يعدون على أصابع أيديهم منذ القدم، كما أن الناس لديهم عشرة أصابع في أصابع اليدين والقدمين. لا يستخدم الناس دائمًا وليس في كل مكان نظام الأرقام العشرية. في الصين، على سبيل المثال، استخدموا نظام الأرقام المكون من خمسة أرقام لفترة طويلة.

لنأخذ الرقم العشري 555 كمثال تسريح.يزداد رقم الرقم من اليمين إلى اليسار، ومن الأرقام المنخفضة إلى الأرقام الأعلى. في النظام العشري، يشير الرقم الموجود في أقصى الموضع (الرقم) إلى عدد الوحدات، ويتحول الرقم إلى موضع واحد إلى اليسار - عدد العشرات، وحتى إلى اليسار - المئات، ثم الآلاف، وما إلى ذلك.

تتم كتابة الرقم في نظام الأرقام الموضعية العشري كمجموع سلسلة أرقام من قوى الأساس (10)، وتكون أرقام الرقم المحدد بمثابة معاملات.

كتابة الرقم 555 بالنظام العشري سيكون كالتالي: 55510 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100.

يتم استخدام الأسس السالبة لكتابة الكسور العشرية.

على سبيل المثال: 555.5510 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100 + 5 *10-1 + 5 *10-2

فهرس 10 للأرقام (555 10 و 555.55 10 ) يدل على أساس نظام الأرقام الذي كتب فيه الرقم، في هذا المثال، هو SS العشري.

المراسلات بين الأرقام في أنظمة الأرقام المختلفة