Förlora inte. Prenumerera och få en länk till artikeln i ditt mejl.

Vad är en paradox? En paradox är två oförenliga och motsatta påståenden, som var och en har övertygande argument i sin egen riktning. Den mest uttalade formen av paradox är antinomi – resonemang som bevisar likvärdigheten av påståenden, varav det ena är en tydlig negation av det andra. Och paradoxer i de mest exakta och rigorösa vetenskaperna, som till exempel logik, förtjänar särskild uppmärksamhet.

Logik är som ni vet en abstrakt vetenskap. Den har ingen plats för experiment och några konkreta fakta i deras vanliga mening; det förutsätter alltid en analys av det verkliga tänkandet. Men diskrepanser i teorin om logik och praktiken av verkligt tänkande förekommer fortfarande. Och den mest uppenbara bekräftelsen på detta är de logiska paradoxerna, och ibland till och med den logiska antinomin, som personifierar inkonsekvensen i själva den logiska teorin. Det är just detta som förklarar betydelsen av logiska paradoxer och uppmärksamheten på dessa paradoxer inom logisk vetenskap. Nedan kommer vi att introducera dig till de mest slående exemplen på logiska paradoxer. Denna information kommer säkerligen att vara av intresse för både de som studerar logik på djupet och de som helt enkelt gillar att lära sig ny och intressant information.

Låt oss börja med paradoxerna som sammanställts av den antika grekiske filosofen Zeno av Elea, som levde på 500-talet f.Kr. Hans paradoxer kallas "Aporias of Zeno" och har till och med sin egen tolkning.

Aporia Zeno

Zenos aporier är utåt sett paradoxala argument om rörelse och mångfald. Totalt nämndes mer än 40 aporier av Zenos samtida (förresten, ordet "aporia" från det antika grekiska språket översätts som "svårighet") för hans författarskap, men bara nio av dem har överlevt till denna dag. Om du vill kan du bekanta dig med dem i Aristoteles, Diogenes Laertius, Platon, Themistius, Philopon, Aelius och Sipmlikias skrifter. Vi kommer att ge exempel på de tre mest kända.

Akilles och sköldpaddan

Föreställ dig att Akilles springer tio gånger sköldpaddans hastighet och är tusen steg bakom honom. Medan Akilles springer tusen steg, tar sköldpaddan bara hundra. Medan Akilles kommer att övervinna ytterligare hundra, kommer sköldpaddan att hinna göra tio, och så vidare. Och den här processen kommer att fortsätta i oändlighet och Achilles kommer aldrig ikapp sköldpaddan.

Dikotomi

För att övervinna en viss väg måste man till en början övervinna hälften av den, och för att övervinna hälften måste man övervinna hälften av denna hälften, och så vidare. Utifrån detta kommer rörelsen aldrig att starta.

flygande pil

En flygande pil stannar alltid på plats, eftersom. vid varje given tidpunkt är den i vila, och eftersom den är i vila vid varje given tidpunkt, är den alltid i vila.

Här blir det på sin plats att ta med ytterligare en paradox.

Lögnarparadox

Författarskapet till denna paradox tillskrivs den antika grekiska prästen och siaren Epimenides. Paradoxen låter så här: "Det jag för närvarande säger är en lögn", dvs. det visar sig: antingen "Jag ljuger" eller "Mitt uttalande är falskt." Detta betyder att om påståendet är sant, så är det, baserat på dess innehåll, falskt, men om detta påstående initialt är falskt är det och påståendet falskt. Det visar sig att detta påstående är falskt. Därför är påståendet sant - denna slutsats för oss tillbaka till början av vårt resonemang.

Nuförtiden anses lögnarparadoxen vara en av formuleringarna av Russells paradox.

Russells paradox

Russells paradox upptäcktes 1901 av den brittiske filosofen Bertrand Russell och återupptäcktes senare självständigt av den tyske matematikern Ernst Zermelo (ibland kallad "Russell-Zermelo-paradoxen"). Denna paradox visar inkonsekvensen i Freges logiska system, där matematik reduceras till logik. Russells paradox har flera formuleringar:

• Allmaktens paradox - är en allsmäktig att kunna skapa vad som helst som kan begränsa dess allmakt?
• Anta att något bibliotek har satt uppgiften att sammanställa en stor bibliografisk katalog, som bör omfatta alla och endast de bibliografiska kataloger som inte innehåller referenser till dem själva. F: Behöver jag inkludera en länk till den i den här katalogen?
• Till exempel, i något land antogs en lag som säger att borgmästare i alla städer är förbjudna att bo i sin stad och får bara bo i "borgmästarnas stad". Var kommer då borgmästaren i denna stad att bo?
• Paradoxen med frisören är att det bara finns en barberare i byn, och han får order om att raka alla som inte rakar sig, och inte raka de som rakar sig själva. F: Vem ska raka frisören?

Inte mindre intressanta och underhållande är följande paradoxer.

Burali-Forti-paradoxen

Antagandet att idén om möjligheten av en uppsättning ordningstal kan leda till motsägelser, vilket innebär att teorin om mängder, där konstruktionen av en uppsättning ordningstal är möjlig, kommer att vara motsägelsefull.

Kantors paradox

Antagandet om möjligheten av en mängd av alla mängder kan leda till motsägelser, vilket innebär att teorin enligt vilken en sådan mängd kan konstrueras också kommer att vara motsägelsefull.

Hilberts paradox

Tanken att om alla rum på ett hotell med ett oändligt antal rum är upptagna så kan fler människor bo i det ändå, och deras antal kan vara oändligt. Denna paradox förklarar att logikens lagar är absolut oacceptabla för oändlighetens egenskaper.

Falsk slutsats Monte Carlo

Slutsatsen är att när du spelar roulette kan du säkert satsa på rött om svart har fallit ut tio gånger i rad. Denna slutsats anses vara falsk av det skälet att, enligt sannolikhetsteorin, förekomsten av någon efterföljande händelse inte påverkas av den händelse som föregår den.

Einstein-Podolsky-Rosen paradox

Frågan är om processer och händelser som utvecklas långt ifrån varandra har förmåga att påverka varandra? Till exempel, påverkar födelsen av en supernova i en avlägsen galax på något sätt vädret i Moskva? Följande kan citeras som ett svar: baserat på kvantmekanikens lagar är en sådan påverkan omöjlig på grund av det faktum att både ljusets hastighet och hastigheten för informationsöverföring är ändliga storheter, och universum är oändligt.

Tvillingparadox

Fråga: kommer resenärtvillingen, som återvände från rymdresor på ett superluminalt rymdskepp, att vara yngre än sin bror, som har stannat kvar på jorden hela denna tid? Om vi ​​utgår från relativitetsteorin så har det gått mer tid på jorden (enligt jordens tidsförlopp) än i ett rymdskepp som flyger i superluminal hastighet, vilket innebär att resenärtvillingen blir yngre.

Den döde farfars paradox

Föreställ dig att du var i det förflutna och dödade din farfar innan han träffade din mormor. Slutsatsen följer att du inte kommer att födas och inte kommer att kunna gå tillbaka i tiden för att döda din farfar. Den presenterade paradoxen visar tydligt omöjligheten av att resa in i det förflutna.

Predestinationens paradox

En person befinner sig till exempel i det förflutna, har sexuell kontakt med sin gammelmormor och blir gravid med sin son, d.v.s. hans farfar. Detta orsakar en följd av ättlingar, inklusive föräldrarna till denna person, såväl som honom själv. Det visar sig att om denna person inte hade rest in i det förflutna, skulle han aldrig ha fötts alls.

Dessa är bara några av de logiska paradoxerna som upptar många människors sinnen idag. Det kommer inte att vara svårt för en nyfiken hjärna att hitta mer än ett dussin liknande (till exempel). En avsevärd mängd tid och ansträngning kan ägnas åt att studera, vederlägga eller bevisa var och en av dem. Och, ganska troligt, om varje paradox kan du bilda dina egna personliga ursprungliga slutsatser. Men detta säger oss att trots övervägande av logikens lagar och orsak-och-verkan relationer i våra liv, beror inte allt i vårt liv på dem. Ibland uppstår motsättningar som liknar logiska paradoxer i varje persons dagliga liv. Oavsett vilket är det här bra att tänka på och att tänka på.

Förresten, när det gäller reflektioner: det finns en mycket intressant bok om ämnet logiska paradoxer som heter Gödel, Escher och Bach. Dess författare är den amerikanske fysikern och datavetaren Douglas Hofstadter.

Kära läsare, det skulle vara bra om du i dina kommentarer gav några exempel på logiska paradoxer som du känner till. Och vi skulle också vara intresserade av din åsikt om logikens betydelse i våra liv - Rösta på ett av påståendena nedan.

Sofistik bör särskiljas logiska paradoxer(från grekiska. paradoxer -"oväntat, konstigt"). Paradox i ordets vida bemärkelse är något ovanligt och överraskande, något som strider mot de vanliga förväntningarna, sunt förnuft och livserfarenhet. En logisk paradox är en så ovanlig och fantastisk situation när två motsägelsefulla bedömningar inte bara är sanna samtidigt (vilket är omöjligt på grund av de logiska lagarna för motsägelse och den uteslutna mitten), utan också följer av varandra, orsakar varandra. Om sofism alltid är något slags trick, ett avsiktligt logiskt fel som kan upptäckas, avslöjas och elimineras, då är en paradox en olöslig situation, ett slags mental återvändsgränd, en "stötkloss" i logiken: genom hela dess historia har många olika sätt har föreslagits för att övervinna och eliminera paradoxer, men inget av dem är fortfarande uttömmande, slutgiltigt och allmänt erkänt.

Den mest kända logiska paradoxen är "lögnarparadoxen". Han omnämns ofta som "kungen av logiska paradoxer". Det upptäcktes i antikens Grekland. Enligt legenden lovade filosofen Diodorus Kronos att inte äta förrän han löst denna paradox och svalt ihjäl utan att uppnå något; och en annan tänkare, Philetus från Kos, blev förtvivlad över omöjligheten att hitta en lösning på "lögnarparadoxen" och begick självmord genom att kasta sig från en klippa i havet. Det finns flera olika formuleringar av denna paradox. Det är mest kortfattat och enkelt formulerat i en situation där en person uttalar en enkel fras: Jag är en lögnare. Analys av detta elementära och geniala uttalande vid första anblicken leder till ett fantastiskt resultat. Som du vet kan alla påståenden (inklusive ovanstående) vara sanna eller falska. Låt oss betrakta båda fallen i tur och ordning, i det första av vilket detta påstående är sant, och i det andra - falskt.

Låt oss säga frasen Jag är en lögnare sant, det vill säga personen som uttalade det berättade sanningen, men i det här fallet är han verkligen en lögnare, därför ljög han efter att ha uttalat den här frasen. Anta nu att frasen Jag är en lögnareär falsk, det vill säga personen som uttalade det ljög, men i det här fallet är han inte en lögnare, utan en sanningssökare, därför, efter att ha uttalat denna fras, berättade han sanningen. Det visar sig något fantastiskt och till och med omöjligt: ​​om en person berättade sanningen, då ljög han; och om han ljög, då berättade han sanningen (två motstridiga domar är inte bara sanna på samma gång, utan följer också av varandra).

En annan välkänd logisk paradox, upptäckt i början av 1900-talet av den engelske logikern och filosofen

Bertrand Russell, är paradoxen för "lantbarberaren". Föreställ dig att det i en viss by bara finns en frisör som rakar de av hennes invånare som inte rakar sig själva. En analys av denna okomplicerade situation leder till en extraordinär slutsats. Låt oss fråga oss själva: kan en bybarberare raka sig? Överväg båda alternativen, i den första rakar han sig själv och i den andra rakar han sig inte.

Låt oss anta att bybarberaren rakar sig, men då hänvisar han till de bybor som rakar sig och inte rakas av barberaren, därför rakar han sig inte i det här fallet. Anta nu att bybarberaren inte rakar sig själv, men då är han en av de bybor som inte rakar sig och blir rakad av barberaren, så i det här fallet rakar han sig själv. Som du kan se visar det sig otroligt: ​​om en byfrisör rakar sig, så rakar han sig inte; och om han inte rakar sig, så rakar han sig själv (två motstridiga bedömningar är både sanna och ömsesidigt betingar varandra).

Paradoxerna "lögnare" och "bybarberare", tillsammans med andra liknande paradoxer, kallas också antinomier(från grekiska. antinomia-"motsägelse i lagen"), det vill säga argument där det bevisas att två påståenden som förnekar varandra följer efter varandra. Antinomier anses vara den mest extrema formen av paradoxer. Men ganska ofta betraktas termerna "logisk paradox" och "antinomi" som synonymer.

En mindre överraskande formulering, men inte mindre känd än "lögnarens" och "bybarberarens" paradoxer, har paradoxen "Protagoras och Euathlus", som dök upp, liksom "lögnaren", tillbaka i antikens Grekland. Den är baserad på en till synes opretentiös historia, som ligger i det faktum att sofisten Protagoras hade en elev Euathlus, som tog lektioner av honom i logik och retorik

(i detta fall politisk och rättslig vältalighet). Läraren och eleven kom överens om att Euathlus bara skulle betala Protagoras studieavgift om han vann sin första rättegång. Men efter avslutad utbildning deltog Euathlus inte i någon process och betalade naturligtvis inte pengar till läraren. Protagoras hotade honom att han skulle stämma honom och då skulle Euathlus få betala ändå. "Du kommer antingen att dömas att betala en avgift eller inte tilldelas," sa Protagoras till honom, "om du döms att betala, måste du betala enligt domstolens dom; om du inte döms att betala, då måste du, som vinnare av din första rättegång, betala enligt vårt avtal. Till detta svarade Euathlus honom: ”Det stämmer: jag kommer antingen att dömas att betala en avgift eller inte tilldelas; om jag åläggs att betala, så kommer jag som förlorare av min första rättegång inte att betala enligt vårt avtal; om jag inte döms att betala, då betalar jag inte enligt domstolens dom. Därmed är frågan om Euathlus ska betala en avgift till Protagoras eller inte olöslig. Överenskommelsen mellan lärare och elev, trots att den är helt oskyldig utseende, är internt, eller logiskt, motsägelsefullt, eftersom det kräver att en omöjlig handling utförs: Euathlus måste både betala undervisningen och inte betala samtidigt. På grund av detta är själva överenskommelsen mellan Protagoras och Euathlus, liksom frågan om deras rättstvister, inget annat än en logisk paradox.

En separat grupp av paradoxer är aporia(från grekiska. aporia-"Svårighet, förvirring") - resonemang som visar motsättningarna mellan det vi uppfattar med sinnena (vi ser, hör, rör, etc.) och det som kan mentalt analyseras (med andra ord, motsättningarna mellan det synliga och det tänkbara) . De mest kända aporierna lades fram av den antika grekiske filosofen Zeno av Elea, som hävdade att rörelsen som vi observerar överallt inte kan göras till föremål för mental analys, det vill säga rörelse kan ses, men inte kan tänkas. En av hans aporier kallas "Dikotomi" (grek. dikotomi-"tudelning"). Anta att någon kropp behöver passera från punkten MEN till paragraf PÅ. Det råder ingen tvekan om att vi kan se hur kroppen, lämnar en punkt, efter en tid når en annan. Men låt oss inte lita på våra ögon, som talar om för oss att kroppen rör sig, och låt oss försöka uppfatta rörelsen inte med våra ögon, utan med våra tankar, låt oss försöka att inte se den, utan att tänka. I det här fallet får vi följande. Innan du går hela vägen ut ur stycket MEN till paragraf PÅ, kroppen måste gå halva vägen, för om den inte går halvvägs, så kommer den naturligtvis inte att gå hela vägen. Men innan kroppen går halvvägs måste den gå 1/4 av vägen. Men innan den har färdats denna 1/4 av banan, måste den ha färdats 1/8 av banan; och ännu tidigare måste han gå 1/16 av banan, och innan det - 1/32 av delen, och innan det - 1/64 av delen, och innan det - 1/128 av delen, och så i oändlighet. Betyder att passera från punkt A till paragraf PÅ, kroppen måste gå igenom ett oändligt antal segment av denna väg. Är det möjligt att gå igenom oändligheten? Omöjlig! Därför kan kroppen aldrig gå sin egen väg. Alltså vittnar ögonen om att stigen kommer att passeras, och tanken tvärtom förnekar detta (det synliga motsäger det tänkbara).

En annan välkänd aporia av Zeno av Elea - "Akilles och sköldpaddan" - antyder att vi mycket väl kan se hur snabbfotad Akilles kommer ikapp och tar om sköldpaddan som sakta kryper framför honom; Men mental analys leder oss till den ovanliga slutsatsen att Akilles aldrig kan komma ikapp sköldpaddan, även om han rör sig 10 gånger snabbare än den. När han övervinner avståndet till sköldpaddan kommer den på samma tid (trots allt också rör sig) att passera 10 gånger mindre (eftersom den rör sig 10 gånger långsammare), nämligen 1/10 av vägen som Akilles reste, och vidare denna 1/10 kommer att ligga före honom.

När Akilles har tillryggalagt denna 1/10 del av banan, då kommer sköldpaddan att tillryggalägga 10 gånger mindre sträcka på samma tid, det vill säga 1/100 av banan och denna 1/100 del kommer att ligga före Akilles. När han passerar 1/100 av vägen som skiljer honom och sköldpaddan, kommer den samtidigt att passera 1/1000 av vägen, fortfarande före Akilles, och så vidare i oändlighet. Så vi är återigen övertygade om att ögonen berättar om en sak, och tanken på något helt annat (det synliga förnekas av det tänkbara).

En annan aporia av Zenon - "Arrow" - inbjuder oss att mentalt överväga en pils flygning från en punkt i rymden till en annan. Våra ögon indikerar naturligtvis att pilen flyger eller rör sig. Men vad kommer att hända om vi försöker, distrahera från det visuella intrycket, att tänka på dess flykt? För att göra detta, låt oss ställa oss själva en enkel fråga: var är den flygande pilen nu? Om vi ​​som svar på denna fråga säger t.ex. Hon är här nu eller Hon är här nu eller Hon är där nu då kommer alla dessa svar inte att betyda pilens flykt, utan bara dess orörlighet, för att vara här, eller här, eller där - betyder att vila, inte att röra sig. Hur kan vi svara på frågan - var är den flygande pilen nu - på ett sådant sätt att svaret speglar dess flykt, och inte orörlighet? Det enda möjliga svaret i detta fall bör vara: Hon är nu överallt och ingenstans. Men är det möjligt att vara överallt och ingenstans samtidigt? Så när vi försökte tänka på en pils flygning stötte vi på en logisk motsägelse, en absurditet - pilen är överallt och ingenstans. Det visar sig att rörelsen av en pil kan ses ganska bra, men den kan inte föreställas, vilket resulterar i att det är omöjligt, som alla rörelser i allmänhet. Med andra ord, att röra sig, ur tankesynpunkt, och inte sensoriska uppfattningar, innebär att vara på en viss plats och inte samtidigt vara i den, vilket naturligtvis är omöjligt.

I sina aporier kolliderade Zeno vid en "öge mot ansikte-konfrontation" sinnenas data (talar om mångfalden, delbarheten och rörelsen av allt som existerar, vilket försäkrar oss att den snabbfotade Akilles kommer ikapp den långsamma sköldpaddan , och pilen kommer att nå målet) och spekulation (som inte kan tänka på rörelse eller mångfald av objekt i världen utan att falla i motsägelse).

En gång, när Zeno bevisade rörelsens ofattbara och omöjliga vid en folksamling, fanns filosofen Diogenes av Sinop, inte mindre känd i det antika Grekland, bland hans lyssnare. Utan att säga något reste han sig och började gå i takt, och trodde att han genom att göra det bevisade bättre än något ord rörelsens verklighet. Zenon var dock inte förvirrad och svarade: "Gå inte och vifta inte med händerna, utan försök lösa detta svåra problem med ditt sinne." Angående denna situation finns det till och med följande dikt av A. S. Pushkin:

Det finns ingen rörelse, sa den skäggige vismannen,

Den andre var tyst och började gå framför honom.

Han kunde inte ha motsatt sig starkare;

Alla berömde det krångliga svaret.

Men mina herrar, det här är ett roligt fall

Ett annat exempel kommer att tänka på:

När allt kommer omkring går solen framför oss varje dag,

Den envise Galileo har dock rätt.

Visserligen ser vi ganska tydligt att solen rör sig över himlen varje dag från öst till väst, men i själva verket är den orörlig (i förhållande till jorden). Så varför skulle vi inte anta att andra objekt vi ser röra sig faktiskt kan vara stationära, och skynda oss till slutsatsen att den eleatiska tänkaren hade fel?

Som redan nämnts har det inom logiken skapats många sätt att lösa och övervinna paradoxer. Ingen av dem är dock utan invändningar och är inte allmänt accepterad. Att överväga dessa metoder är en lång och tråkig teoretisk procedur, som i detta fall förblir bortom vår uppmärksamhet. En nyfiken läsare kommer att kunna bekanta sig med olika tillvägagångssätt för att lösa problemet med logiska paradoxer i ytterligare litteratur. Logiska paradoxer är bevis för det faktum att logik, som all annan vetenskap, inte är komplett, utan ständigt utvecklas. Tydligen pekar paradoxer på några djupa problem med logisk teori, lyfter slöjan över något som fortfarande inte är riktigt känt och begripligt, skisserar nya horisonter i logikens utveckling.

Logik. Handledning Gusev Dmitry Alekseevich

4.10. Paradoxer-antinomier

4.10. Paradoxer-antinomier

Sofistik bör särskiljas logiska paradoxer(Grekiska paradoxer - oväntat, konstigt). Paradox i ordets vida bemärkelse är något ovanligt och överraskande, något som strider mot de vanliga förväntningarna, sunt förnuft och livserfarenhet. En logisk paradox är en så ovanlig och fantastisk situation när två motsägelsefulla bedömningar inte bara är sanna samtidigt (vilket är omöjligt på grund av de logiska lagarna för motsägelse och den uteslutna mitten), utan också följer av varandra, orsakar varandra. Om sofism alltid är något slags knep, ett avsiktligt logiskt fel, som i alla fall kan upptäckas, avslöjas och elimineras, så är paradoxen en olöslig situation, ett slags mental återvändsgränd, en "stötkloss" i logiken: genomgående dess historia har det föreslagits att det finns många olika sätt att övervinna och eliminera paradoxer, men ingen av dem är hittills uttömmande, slutgiltig och allmänt erkänd.

Den mest kända logiska paradoxen är "lögnarparadoxen". Han omnämns ofta som "kungen av logiska paradoxer". Det upptäcktes i antikens Grekland. Enligt legenden lovade filosofen Diodorus Kronos att inte äta förrän han löst denna paradox och svalt ihjäl utan att uppnå något; och en annan tänkare, Philetus från Kos, blev förtvivlad över omöjligheten att hitta en lösning på "lögnarparadoxen" och begick självmord genom att kasta sig från en klippa i havet. Det finns flera olika formuleringar av denna paradox. Det är mest kortfattat och enkelt formulerat i en situation där en person uttalar en enkel fras: "Jag är en lögnare." Analys av detta elementära och geniala uttalande vid första anblicken leder till ett fantastiskt resultat. Som du vet kan alla påståenden (inklusive ovanstående) vara sanna eller falska. Tänk på båda fallen i sin tur, i det första påståendet "Jag är en lögnare" är sant, och i det andra - falskt.

1. Antag att frasen "Jag är en lögnare" är sann, det vill säga personen som sa det, berättade sanningen, men i det här fallet är han verkligen en lögnare, därför, genom att säga denna fras, han ljög.

2. Antag att frasen "Jag är en lögnare" är falsk, det vill säga personen som sa det, ljög, men i det här fallet är han ingen knas, men sanningssökare, därför, genom att säga denna fras, talade han sanningen. Det visar sig något fantastiskt och till och med omöjligt: ​​om en person berättade sanningen, då ljög han; och om han ljög, då han berättade sanningen(två motstridiga bedömningar är inte bara samtidigt sanna, utan följer också av varandra).

En annan välkänd logisk paradox, upptäckt i början av 1900-talet av den engelske logikern och filosofen Bertrand Russell, är "bybarberarens" paradox. Föreställ dig att det i en viss by bara finns en frisör som rakar de av hennes invånare som inte rakar sig själva. En analys av denna okomplicerade situation leder till en extraordinär slutsats. Låt oss fråga oss själva: kan en bybarberare raka sig? Överväg båda alternativen, i den första rakar han sig själv och i den andra rakar han sig inte.

1. Låt oss säga att byns frisör rakar sig, men då hänvisar det till de bybor som rakar sig och inte rakas av frisören, därför, i det här fallet, han rakar sig inte.

2. Låt oss säga att byn frisör rakar sig inte, men då hänvisar han till de bybor som inte rakar sig och blir rakade av en frisör, därför, i det här fallet, rakar sig. Som du kan se visar det sig otroligt: ​​om en byfrisör rakar sig, så rakar han sig inte; och om han inte rakar sig, så rakar han sig själv (två motstridiga bedömningar är både sanna och ömsesidigt betingar varandra).

Paradoxerna "lögnare" och "bybarberare", tillsammans med andra liknande paradoxer, kallas också antinomier(grekiska antinomia - en motsägelse i lagen), d.v.s. argument där det bevisas att två påståenden som förnekar varandra följer efter varandra. Antinomier anses vara den skarpaste formen av paradoxer. Men ganska ofta betraktas termerna "logisk paradox" och "antinomi" som synonymer.

4.12. Aporiparadoxer En separat grupp av paradoxer är aporier (grekiska aporia - svårighet, förvirring) - resonemang som visar på motsättningar mellan det vi uppfattar med sinnena (se, hör, rör etc.) och vad som kan vara mentalt.

Tidens paradoxer Det föregående kapitlet ägnades faktiskt åt problemet med världens existens i rymden, men låt oss nu uppmärksamma dess existens i tiden. Vad är tid egentligen? Uppenbart svar: kvantifiera flödet av händelser

Moralens paradoxer Autonom moral, med dess anspråk på absoluthet, förvandlas oundvikligen till en paradox. Att besitta primordialitet i förhållande till medveten (lämplig) mänsklig aktivitet och därmed vara dess gräns, kan moral inte avslöjas.

III. Kants kritik av bedömningsförmågan. Paradoxer är schematiserade i antinomi I vår analys<Салоны>Diderot representerade elementet av upplyst smak och var<образом культуры>upplysningstidens århundrade, som vi sökte förstå.<Критика способности суждения>

PARADOXER "... Sanningen uppstår ändå av misstag snarare än från förvirring ..." F. Bacon "Logiska paradoxer har förbryllat oss sedan de upptäcktes och kommer förmodligen att förbrylla oss för alltid. Vi borde, tycker jag, se på dem inte så mycket som på problem som väntar på att lösas,

Paradoxer och list I det antika Grekland var historien om en krokodil och en mamma mycket populär. Krokodilen ryckte sitt barn från en kvinna som stod på flodstranden. På hennes vädjan att lämna tillbaka barnet svarade krokodilen, som alltid fällde en krokodiltår: - Din olycka

Medvetandets paradoxer Man kan anta att alla människor har medvetande, men det betyder inte alls att de alla är medvetna om detta. Hela detta område innebär inte fullständig homogenitet. Vi vet inte hur medvetandet föds och uppstår, vi vet inte heller vad det har för samband med

2.4. Paradoxer i det historiska skapandet Låt oss nu återgå till problemen med att skilja ekonomisk makt från politisk makt. Det påpekas med rätta att, efter att ha gjort denna uppdelning, fick Europa i sina händer en faktor i utvecklingen av makt utan motstycke. Den individuella typen av varelse betyder

DEMOKRATIENS PARADOXER Den amerikanska demokratimodellen, som tog form på 1700- och 1800-talen, var i själva verket en minoritetsdemokrati, kännetecknad av den vita, protestantiska husägaren. Så kallat politiskt deltagande - anspråket att vara

Förord ​​Anteckning Paradoxer Saken är en konstig sak. Det förefaller oss säkert, givet en gång för alla - en stol, en tegelsten, ett ark skrivpapper. Vanliga, begripliga saker, ingen tvetydighet. Och ändå ... Du kan se i denna sak, så förståeligt för dig

PARADOXER AV ONEXAKTHET De säger att det viktigaste i alla företag är att fånga ögonblicket. Det gäller kanske saker som reflektion och resonemang. Men här är "ögonblicket" särskilt svårt att fånga, och felaktiga begrepp spelar en viktig roll i detta. - En pojke

Kapitel 7 PARADOXER OCH LOGIK "KUNGEN AV LOGISKA PARADOXER" Den mest kända och kanske mest intressanta av alla logiska paradoxer är "lögnarparadoxen". Det var han som förhärligade namnet på den redan nämnda Eubulides från Milet, som upptäckte det.Det finns många

Forskare och tänkare har länge varit förtjusta i att underhålla sig själva och sina kollegor genom att ställa upp olösliga problem och formulera alla möjliga paradoxer. Vissa av dessa tankeexperiment förblir relevanta i tusentals år, vilket tyder på ofullkomligheten hos många populärvetenskapliga modeller och "hål" i allmänt accepterade teorier som länge har ansetts vara grundläggande.

Vi inbjuder dig att reflektera över de mest intressanta och fantastiska paradoxerna, som, som de säger nu, "sprängde hjärnan" hos mer än en generation av logiker, filosofer och matematiker.

1. Aporia "Akilles och sköldpaddan"

Paradoxen med Akilles och sköldpaddan är en av paradoxerna (logiskt korrekta, men motsägelsefulla påståenden) som formulerades av den antika grekiske filosofen Zeno av Elea på 500-talet f.Kr. Dess kärna är följande: den legendariska hjälten Achilles bestämde sig för att tävla i att springa med en sköldpadda. Som ni vet skiljer sig inte sköldpaddor i snabbhet, så Akilles gav motståndaren ett försprång på 500 m. När sköldpaddan övervinner detta avstånd börjar hjälten jaga med en hastighet som är 10 gånger högre, det vill säga medan sköldpaddan kryper 50 m. , lyckas Achilles springa de givna 500 m försprånget . Sedan övervinner löparen de kommande 50 m, men vid denna tidpunkt kryper sköldpaddan ytterligare 5 m, det verkar som om Akilles är på väg att komma ikapp den, men motståndaren är fortfarande före och medan han springer 5 m, lyckas hon avancera ytterligare en halv meter och så vidare. Avståndet mellan dem minskas oändligt, men i teorin lyckas hjälten aldrig komma ikapp den långsamma sköldpaddan, det är inte mycket, men alltid före honom.

© www.student31.ru

Naturligtvis, ur fysikens synvinkel, är paradoxen inte vettig - om Akilles rör sig mycket snabbare kommer han att bryta framåt ändå, men Zeno ville först och främst visa med sitt resonemang att de idealiserade matematiska begreppen av "punkt i rymden" och "tidsögonblick" är inte alltför lämpliga för korrekt applicering på verklig rörelse. Aporian avslöjar diskrepansen mellan den matematiskt sunda idén att intervaller av rum och tid som inte är noll kan delas upp på obestämd tid (så att sköldpaddan alltid måste ligga före) och verkligheten där hjälten, naturligtvis, vinner loppet.

2. Time loop paradox

The New Time Traveler av David Toomey

Paradoxerna som beskriver tidsresor har länge varit en inspirationskälla för science fiction-författare och skapare av science fiction-filmer och tv-program. Det finns flera varianter av tidsloopparadoxer, ett av de enklaste och mest illustrativa exemplen på ett sådant problem gavs i hans bok The New Time Travellers av David Toomey, professor vid University of Massachusetts.

Föreställ dig att en tidsresenär har köpt ett exemplar av Shakespeares Hamlet från en bokhandel. Sedan åkte han till England under jungfrudrottning Elizabeth I:s tid och, efter att ha hittat William Shakespeare, räckte han en bok till honom. Han skrev om den och publicerade den som sitt eget verk. Hundratals år går, Hamlet översätts till dussintals språk, trycks i oändlighet, och ett av exemplaren hamnar i själva bokhandeln där tidsresenären köper den och ger den till Shakespeare, som gör en kopia, och så vidare... Vem ska räknas i det här fallet, författaren till en odödlig tragedi?

3. Paradoxen med en flicka och en pojke

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

I sannolikhetsteorin kallas denna paradox också för "Mr Smiths barn" eller "Mrs Smiths problem". Den formulerades först av den amerikanske matematikern Martin Gardner i ett av numren av tidskriften Scientific American. Forskare har argumenterat om paradoxen i årtionden, och det finns flera sätt att lösa den. Efter att ha funderat över problemet kan du erbjuda din egen version.

Familjen har två barn och man vet med säkerhet att en av dem är en pojke. Vad är sannolikheten att det andra barnet också är en man? Vid första anblicken är svaret ganska uppenbart - 50 till 50, antingen han verkligen är en pojke eller en flicka, chanserna borde vara lika. Problemet är att det för tvåbarnsfamiljer finns fyra möjliga kombinationer av barns kön – två flickor, två pojkar, en äldre pojke och en yngre flicka, och vice versa – en äldre flicka och en yngre pojke. Det första kan uteslutas, eftersom ett av barnen definitivt är en pojke, men i det här fallet finns det tre möjliga alternativ, inte två, och sannolikheten att det andra barnet också är en pojke är en chans av tre.

4. Jourdains kortparadox

Problemet som den brittiske logikern och matematikern Philippe Jourdain föreslog i början av 1900-talet kan betraktas som en av varianterna av den berömda lögnarparadoxen.

Philippe Jourdain

Föreställ dig - du håller ett vykort i dina händer, som säger: "Utståendet på baksidan av vykortet är sant." Att vända på kortet avslöjar frasen "påståendet på andra sidan är falskt." Som du förstår finns det en motsägelse: om det första påståendet är sant, så är det andra också sant, men i det här fallet måste det första vara falskt. Om den första sidan av vykortet är falsk, så kan inte heller frasen på den andra anses vara sann, vilket betyder att det första påståendet blir sant igen ... En ännu mer intressant version av lögnarens paradox finns i nästa stycke.

5. Sofism "Krokodil"

En mamma med ett barn står på flodstranden, plötsligt simmar en krokodil fram till dem och drar barnet i vattnet. Den otröstliga mamman ber att få lämna tillbaka sitt barn, vilket krokodilen svarar att han går med på att ge tillbaka i god behag om kvinnan svarar rätt på hans fråga: "Kommer han att lämna tillbaka hennes barn?" Det är klart att en kvinna har två svar – ja eller nej. Om hon hävdar att krokodilen kommer att ge henne barnet, beror allt på djuret - med tanke på att svaret är sant, kommer kidnapparen att låta barnet gå, men om han säger att mamman hade fel, kommer hon inte att se barnet, enligt avtalets alla regler.

© Corax från Syracuse

Kvinnans negativa svar komplicerar saken avsevärt – om det visar sig stämma måste kidnapparen uppfylla villkoren i affären och släppa barnet, men på så sätt kommer mammans svar inte att stämma överens med verkligheten. För att säkerställa falskheten i ett sådant svar måste krokodilen lämna tillbaka barnet till mamman, men detta strider mot kontraktet, eftersom hennes misstag borde lämna barnet med krokodilen.

Det är värt att notera att affären som krokodilen erbjuder innehåller en logisk motsägelse, så hans löfte kan inte uppfyllas. Oratorn, tänkaren och politikern Corax från Syrakusa, som levde på 500-talet f.Kr., anses vara författaren till denna klassiska sofism.

6. Aporia "Dichotomy"

© www.student31.ru

En annan paradox från Zeno av Elea, som visar felaktigheten i den idealiserade matematiska rörelsemodellen. Problemet kan uttryckas så här - låt oss säga att du bestämmer dig för att gå igenom någon gata i din stad från början till slut. För att göra detta måste du övervinna den första hälften av den, sedan hälften av den återstående hälften, sedan hälften av nästa segment och så vidare. Med andra ord - du går hälften av hela sträckan, sedan en fjärdedel, en åttondel, en sextondel - antalet minskande segment av banan tenderar till oändligheten, eftersom alla återstående delar kan delas i två, vilket innebär att det är omöjligt att gå hela vägen. Genom att formulera en något långsökt paradox vid första anblicken ville Zeno visa att matematiska lagar motsäger verkligheten, för i själva verket kan du enkelt täcka hela sträckan spårlöst.

7. Aporia "Flying Arrow"

Den berömda paradoxen av Zeno av Elea berör de djupaste motsägelserna i vetenskapsmäns idéer om rörelsens och tidens natur. Aporia formuleras enligt följande: en pil som avfyras från en båge förblir orörlig, eftersom den när som helst vilar utan att röra sig. Om pilen vid varje tidpunkt är i vila, så är den alltid i vila och rör sig inte alls, eftersom det inte finns något ögonblick i tiden då pilen rör sig i rymden.

© www.academic.ru

Mänsklighetens enastående sinnen har i århundraden försökt lösa paradoxen med en flygande pil, men ur en logisk synvinkel är det helt korrekt. För att motbevisa det är det nödvändigt att förklara hur ett ändligt tidsintervall kan bestå av ett oändligt antal ögonblick – till och med Aristoteles, som övertygande kritiserade Zenons aporia, lyckades inte bevisa detta. Aristoteles påpekade med rätta att en tidsperiod inte kan betraktas som summan av några odelbara isolerade ögonblick, men många forskare tror att hans tillvägagångssätt inte skiljer sig på djupet och inte motbevisar existensen av en paradox. Det är värt att notera att genom att ställa problemet med en flygande pil, försökte Zeno inte att motbevisa möjligheten till rörelse, som sådan, utan att avslöja motsägelser i idealistiska matematiska begrepp.

8. Galileos paradox

Galileo Galilei / © Wikimedia

I sina konversationer och matematiska bevis angående två nya vetenskapsgrenar föreslog Galileo Galilei en paradox som visar de märkliga egenskaperna hos oändliga mängder. Forskaren formulerade två motstridiga bedömningar. För det första finns det tal som är kvadraterna av andra heltal, som 1, 9, 16, 25, 36 och så vidare. Det finns andra nummer som inte har denna egenskap - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 och liknande. Alltså måste det totala antalet perfekta kvadrater och vanliga tal vara större än enbart antalet perfekta kvadrater. Andra bedömningen: för varje naturligt tal finns dess exakta kvadrat, och för varje kvadrat finns en heltals kvadratrot, det vill säga antalet kvadrater är lika med antalet naturliga tal.

Baserat på denna motsägelse drog Galileo slutsatsen att resonemang om antalet element endast tillämpas på ändliga mängder, även om senare matematiker introducerade begreppet kraften hos en mängd - med dess hjälp bevisades riktigheten av Galileos andra bedömning även för oändliga mängder .

9. Potatissäcksparadox

© nieidealne-danie.blogspot.com

Anta att en viss bonde har en påse potatis som väger exakt 100 kg. Efter att ha undersökt innehållet upptäcker bonden att påsen förvarades i fukt - 99 % av dess massa är vatten och 1 % av de återstående ämnena i potatis. Han bestämmer sig för att torka potatisen lite så att vattenhalten sjunker till 98 % och flyttar påsen till en torr plats. Dagen efter visar det sig att en liter (1 kg) vatten verkligen har avdunstat, men vikten på påsen har minskat från 100 till 50 kg, hur kan detta vara? Låt oss beräkna - 99% av 100 kg är 99 kg, vilket betyder att förhållandet mellan massan av torr rest och massan av vatten ursprungligen var 1/99. Efter torkning innehåller vatten 98 % av påsens totala massa, vilket innebär att förhållandet mellan massan torr rest och vattenmassan nu är 1/49. Eftersom restmassan inte har förändrats väger det kvarvarande vattnet 49 kg.

Naturligtvis kommer en uppmärksam läsare omedelbart att upptäcka ett grovt matematiskt fel i beräkningarna - den imaginära komiska "paradoxen med en påse potatis" kan betraktas som ett utmärkt exempel på hur, vid första anblicken, "logiska" och "vetenskapligt underbyggda" resonemang kan bokstavligen bygga en teori från grunden som strider mot sunt förnuft.

10 Raven Paradox

Carl Gustav Hempel / © Wikimedia

Problemet är också känt som Hempels paradox – det fick sitt andra namn för att hedra den tyske matematikern Carl Gustav Hempel, författaren till dess klassiska version. Problemet är ganska enkelt formulerat: varje korp är svart. Av detta följer att allt som inte är svart inte kan vara en korp. Denna lag kallas logisk motposition, det vill säga om en viss premiss "A" har en konsekvens "B", så är negationen av "B" ekvivalent med negationen av "A". Om en person ser en svart korp, förstärker detta hans tro att alla korpar är svarta, vilket är ganska logiskt, men i enlighet med kontraposition och induktionsprincipen är det logiskt att hävda att observation av icke-svarta föremål (säg till exempel). , röda äpplen) bevisar också att alla kråkor är målade svarta. Med andra ord, det faktum att en person bor i St Petersburg bevisar att han inte bor i Moskva.

Ur logikens synvinkel ser paradoxen perfekt ut, men den motsäger det verkliga livet - röda äpplen kan inte på något sätt bekräfta det faktum att alla kråkor är svarta.

Här hade vi redan ett urval av paradoxer med dig -, såväl som i synnerhet, och Originalartikeln finns på hemsidan InfoGlaz.rf Länk till artikeln från vilken denna kopia är gjord -

Om du som ett resultat av att du läser den här samlingen inte är helt förvirrad, tänker du inte tillräckligt klart.
Forskare och tänkare har länge varit förtjusta i att underhålla sig själva och sina kollegor genom att ställa upp olösliga problem och formulera alla möjliga paradoxer. Vissa av dessa tankeexperiment förblir relevanta i tusentals år, vilket tyder på ofullkomligheten hos många populärvetenskapliga modeller och "hål" i allmänt accepterade teorier som länge har ansetts vara grundläggande. Vi inbjuder dig att reflektera över de mest intressanta och fantastiska paradoxerna, som, som de säger nu, "sprängde hjärnan" hos mer än en generation av logiker, filosofer och matematiker.
Aporia "Akilles och sköldpaddan"
Paradoxen med Akilles och sköldpaddan är en av paradoxerna (logiskt korrekta, men motsägelsefulla påståenden) som formulerades av den antika grekiske filosofen Zeno av Elea på 500-talet f.Kr. Dess kärna är följande: den legendariska hjälten Achilles bestämde sig för att tävla i att springa med en sköldpadda. Som ni vet skiljer sig inte sköldpaddor i snabbhet, så Akilles gav motståndaren ett försprång på 500 m. När sköldpaddan övervinner detta avstånd börjar hjälten jaga med en hastighet som är 10 gånger högre, det vill säga medan sköldpaddan kryper 50 m. , lyckas Achilles springa de givna 500 m försprånget . Sedan övervinner löparen de kommande 50 m, men vid denna tidpunkt kryper sköldpaddan ytterligare 5 m, det verkar som om Akilles är på väg att komma ikapp den, men motståndaren är fortfarande före och medan han springer 5 m, lyckas hon avancera ytterligare en halv meter och så vidare. Avståndet mellan dem minskas oändligt, men i teorin lyckas hjälten aldrig komma ikapp den långsamma sköldpaddan, det är inte mycket, men alltid före honom.


Naturligtvis, ur fysikens synvinkel, är paradoxen inte vettig - om Akilles rör sig mycket snabbare kommer han att bryta framåt ändå, men Zeno ville först och främst visa med sitt resonemang att de idealiserade matematiska begreppen av "punkt i rymden" och "tidsögonblick" är inte alltför lämpliga för korrekt applicering på verklig rörelse. Aporian avslöjar diskrepansen mellan den matematiskt sunda idén att intervaller av rum och tid som inte är noll kan delas upp på obestämd tid (så att sköldpaddan alltid måste ligga före) och verkligheten där hjälten, naturligtvis, vinner loppet.
Time loop paradox
Paradoxerna som beskriver tidsresor har länge varit en inspirationskälla för science fiction-författare och skapare av science fiction-filmer och tv-program. Det finns flera varianter av tidsloopparadoxer, ett av de enklaste och mest illustrativa exemplen på ett sådant problem gavs i hans bok The New Time Travellers av David Toomey, professor vid University of Massachusetts.
Föreställ dig att en tidsresenär har köpt ett exemplar av Shakespeares Hamlet från en bokhandel. Sedan åkte han till England under jungfrudrottning Elizabeth I:s tid och, efter att ha hittat William Shakespeare, räckte han en bok till honom. Han skrev om den och publicerade den som sitt eget verk. Hundratals år går, Hamlet översätts till dussintals språk, trycks i oändlighet, och ett av exemplaren hamnar i själva bokhandeln där tidsresenären köper den och ger den till Shakespeare, som gör en kopia, och så vidare... Vem ska räknas i det här fallet, författaren till en odödlig tragedi?
Paradoxen med en flicka och en pojke
I sannolikhetsteorin kallas denna paradox också för "Mr Smiths barn" eller "Mrs Smiths problem". Den formulerades först av den amerikanske matematikern Martin Gardner i ett av numren av tidskriften Scientific American. Forskare har argumenterat om paradoxen i årtionden, och det finns flera sätt att lösa den. Efter att ha funderat över problemet kan du erbjuda din egen version.
Familjen har två barn och man vet med säkerhet att en av dem är en pojke. Vad är sannolikheten att det andra barnet också är en man? Vid första anblicken är svaret ganska uppenbart - 50 till 50, antingen han verkligen är en pojke eller en flicka, chanserna borde vara lika. Problemet är att det för tvåbarnsfamiljer finns fyra möjliga kombinationer av barns kön – två flickor, två pojkar, en äldre pojke och en yngre flicka, och vice versa – en äldre flicka och en yngre pojke. Det första kan uteslutas, eftersom ett av barnen definitivt är en pojke, men i det här fallet finns det tre möjliga alternativ, inte två, och sannolikheten att det andra barnet också är en pojke är en chans av tre.
Jourdains paradox med ett kort
Problemet som den brittiske logikern och matematikern Philippe Jourdain föreslog i början av 1900-talet kan betraktas som en av varianterna av den berömda lögnarparadoxen.
Föreställ dig - du håller ett vykort i dina händer, som säger: "Utståendet på baksidan av vykortet är sant." Att vända på kortet avslöjar frasen "påståendet på andra sidan är falskt." Som du förstår finns det en motsägelse: om det första påståendet är sant, så är det andra också sant, men i det här fallet måste det första vara falskt. Om den första sidan av vykortet är falsk, så kan inte heller frasen på den andra anses vara sann, vilket betyder att det första påståendet blir sant igen ... En ännu mer intressant version av lögnarens paradox finns i nästa stycke.
Sofism "krokodil"
En mamma med ett barn står på flodstranden, plötsligt simmar en krokodil fram till dem och drar barnet i vattnet. Den otröstliga mamman ber att få lämna tillbaka sitt barn, vilket krokodilen svarar att han går med på att ge tillbaka i god behag om kvinnan svarar rätt på hans fråga: "Kommer han att lämna tillbaka hennes barn?" Det är klart att en kvinna har två svar – ja eller nej. Om hon hävdar att krokodilen kommer att ge henne barnet, beror allt på djuret - med tanke på att svaret är sant, kommer kidnapparen att låta barnet gå, men om han säger att mamman hade fel, kommer hon inte att se barnet, enligt avtalets alla regler.
Kvinnans negativa svar komplicerar saken avsevärt – om det visar sig stämma måste kidnapparen uppfylla villkoren i affären och släppa barnet, men på så sätt kommer mammans svar inte att stämma överens med verkligheten. För att säkerställa falskheten i ett sådant svar måste krokodilen lämna tillbaka barnet till mamman, men detta strider mot kontraktet, eftersom hennes misstag borde lämna barnet med krokodilen.
Det är värt att notera att affären som krokodilen erbjuder innehåller en logisk motsägelse, så hans löfte kan inte uppfyllas. Oratorn, tänkaren och politikern Corax från Syrakusa, som levde på 500-talet f.Kr., anses vara författaren till denna klassiska sofism.
Aporia "Dichotomy"


En annan paradox från Zeno av Elea, som visar felaktigheten i den idealiserade matematiska rörelsemodellen. Problemet kan uttryckas så här - låt oss säga att du bestämmer dig för att gå igenom någon gata i din stad från början till slut. För att göra detta måste du övervinna den första hälften av den, sedan hälften av den återstående hälften, sedan hälften av nästa segment och så vidare. Med andra ord - du går hälften av hela sträckan, sedan en fjärdedel, en åttondel, en sextondel - antalet minskande segment av banan tenderar till oändligheten, eftersom alla återstående delar kan delas i två, vilket innebär att det är omöjligt att gå hela vägen. Genom att formulera en något långsökt paradox vid första anblicken ville Zeno visa att matematiska lagar motsäger verkligheten, för i själva verket kan du enkelt täcka hela sträckan spårlöst.
Aporia "Flying Arrow"
Den berömda paradoxen av Zeno av Elea berör de djupaste motsägelserna i vetenskapsmäns idéer om rörelsens och tidens natur. Aporia formuleras enligt följande: en pil som avfyras från en båge förblir orörlig, eftersom den när som helst vilar utan att röra sig. Om pilen vid varje tidpunkt är i vila, så är den alltid i vila och rör sig inte alls, eftersom det inte finns något ögonblick i tiden då pilen rör sig i rymden.


Mänsklighetens enastående sinnen har i århundraden försökt lösa paradoxen med en flygande pil, men ur en logisk synvinkel är det helt korrekt. För att motbevisa det är det nödvändigt att förklara hur ett ändligt tidsintervall kan bestå av ett oändligt antal ögonblick – till och med Aristoteles, som övertygande kritiserade Zenons aporia, lyckades inte bevisa detta. Aristoteles påpekade med rätta att en tidsperiod inte kan betraktas som summan av några odelbara isolerade ögonblick, men många forskare tror att hans tillvägagångssätt inte skiljer sig på djupet och inte motbevisar existensen av en paradox. Det är värt att notera att genom att ställa problemet med en flygande pil, försökte Zeno inte att motbevisa möjligheten till rörelse, som sådan, utan att avslöja motsägelser i idealistiska matematiska begrepp.
Galileos paradox
I sina konversationer och matematiska bevis angående två nya vetenskapsgrenar föreslog Galileo Galilei en paradox som visar de märkliga egenskaperna hos oändliga mängder. Forskaren formulerade två motstridiga bedömningar. För det första finns det tal som är kvadraterna av andra heltal, som 1, 9, 16, 25, 36 och så vidare. Det finns andra nummer som inte har denna egenskap - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 och liknande. Alltså måste det totala antalet perfekta kvadrater och vanliga tal vara större än enbart antalet perfekta kvadrater. Andra bedömningen: för varje naturligt tal finns dess exakta kvadrat, och för varje kvadrat finns en heltals kvadratrot, det vill säga antalet kvadrater är lika med antalet naturliga tal.
Baserat på denna motsägelse drog Galileo slutsatsen att resonemang om antalet element endast tillämpas på ändliga mängder, även om senare matematiker introducerade begreppet kardinalitet av en mängd - med dess hjälp bevisades riktigheten av Galileos andra bedömning även för oändliga mängder .
Potatissäck paradox


Anta att en viss bonde har en påse potatis som väger exakt 100 kg. Efter att ha undersökt innehållet upptäcker bonden att påsen förvarades i fukt - 99 % av dess massa är vatten och 1 % av de återstående ämnena i potatis. Han bestämmer sig för att torka potatisen lite så att vattenhalten sjunker till 98 % och flyttar påsen till en torr plats. Dagen efter visar det sig att en liter (1 kg) vatten verkligen har avdunstat, men vikten på påsen har minskat från 100 till 50 kg, hur kan detta vara? Låt oss beräkna - 99% av 100 kg är 99 kg, vilket betyder att förhållandet mellan massan av torr rest och massan av vatten ursprungligen var 1/99. Efter torkning innehåller vatten 98 % av påsens totala massa, vilket innebär att förhållandet mellan massan torr rest och vattenmassan nu är 1/49. Eftersom restmassan inte har förändrats väger det kvarvarande vattnet 49 kg.
Naturligtvis kommer en uppmärksam läsare omedelbart att upptäcka ett grovt matematiskt fel i beräkningarna - den imaginära komiska "paradoxen med en påse potatis" kan betraktas som ett utmärkt exempel på hur, vid första anblicken, "logiska" och "vetenskapligt underbyggda" resonemang kan bokstavligen bygga en teori från grunden som strider mot sunt förnuft.
Raven Paradox
Problemet är också känt som Hempels paradox – det fick sitt andra namn för att hedra den tyske matematikern Carl Gustav Hempel, författaren till dess klassiska version. Problemet är ganska enkelt formulerat: varje korp är svart. Av detta följer att allt som inte är svart inte kan vara en korp. Denna lag kallas logisk motposition, det vill säga om en viss premiss "A" har en konsekvens "B", så är negationen av "B" ekvivalent med negationen av "A". Om en person ser en svart korp, förstärker detta hans tro att alla korpar är svarta, vilket är ganska logiskt, men i enlighet med kontraposition och induktionsprincipen är det logiskt att hävda att observation av icke-svarta föremål (säg till exempel). , röda äpplen) bevisar också att alla kråkor är målade svarta. Med andra ord, det faktum att en person bor i St Petersburg bevisar att han inte bor i Moskva.
Ur logikens synvinkel ser paradoxen perfekt ut, men den motsäger det verkliga livet - röda äpplen kan inte på något sätt bekräfta det faktum att alla kråkor är svarta.