Gör en fullständig undersökning av funktionerna i onlinelösningen. Utforska funktioner och rita en funktion med hjälp av derivator

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Om nödvändigt - i enlighet med lagen, rättsliga förfaranden, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Idag inbjuder vi dig att utforska och bygga en graf över en funktion med oss. Efter att noggrant studerat den här artikeln kommer du inte behöva svettas länge för att slutföra denna typ av uppgift. Det är inte lätt att studera och konstruera en graf över en funktion, det är ett omfattande arbete som kräver maximal uppmärksamhet och noggrannhet i beräkningar. För att göra materialet lättare att förstå kommer vi att studera samma funktion steg för steg och förklara alla våra handlingar och beräkningar. Välkommen till matematikens fantastiska och fascinerande värld! Gå!

Domän

För att utforska och rita en funktion behöver du känna till flera definitioner. Funktion är ett av de huvudsakliga (grundläggande) begreppen inom matematik. Det återspeglar beroendet mellan flera variabler (två, tre eller fler) under förändringar. Funktionen visar också beroendet av uppsättningar.

Föreställ dig att vi har två variabler som har ett visst intervall av förändring. Så y är en funktion av x, förutsatt att varje värde av den andra variabeln motsvarar ett värde av den andra. I det här fallet är variabeln y beroende, och den kallas en funktion. Det är vanligt att säga att variablerna x och y är i För att förtydliga detta beroende byggs en graf över funktionen. Vad är en graf för en funktion? Detta är en uppsättning punkter på koordinatplanet, där varje x-värde motsvarar ett y-värde. Grafer kan vara olika - rak linje, hyperbel, parabel, sinusvåg och så vidare.

Det är omöjligt att rita en funktion utan forskning. Idag ska vi lära oss hur man gör forskning och bygger en graf över en funktion. Det är mycket viktigt att göra anteckningar under studietiden. Detta kommer att göra uppgiften mycket lättare att hantera. Den mest bekväma forskningsplanen:

1. Domän.
2. Kontinuitet.
3. Jämn eller udda.
4. Periodicitet.
5. Asymptoter.
6. Nollor.
7. Teckenkonstans.
8. Ökar och minskar.
9. Extremer.
10. Konvexitet och konkavitet.

Låt oss börja med den första punkten. Låt oss hitta definitionsdomänen, det vill säga på vilka intervall vår funktion finns: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). I vårt fall finns funktionen för alla värden på x, det vill säga definitionsdomänen är lika med R. Detta kan skrivas på följande sätt xÎR.

Kontinuitet

Nu ska vi undersöka diskontinuitetsfunktionen. I matematiken dök termen "kontinuitet" upp som ett resultat av studiet av rörelselagarna. Vad är oändligt? Utrymme, tid, vissa beroenden (ett exempel är beroendet av variablerna S och t i rörelseproblem), temperaturen på ett uppvärmt föremål (vatten, stekpanna, termometer, etc.), en kontinuerlig linje (det vill säga en som kan ritas utan att lyfta den från pennan).

En graf anses vara kontinuerlig om den inte går sönder någon gång. Ett av de mest uppenbara exemplen på en sådan graf är en sinusform, som du kan se på bilden i det här avsnittet. En funktion är kontinuerlig vid någon punkt x0 om ett antal villkor är uppfyllda:

• en funktion definieras vid en given punkt;
• höger och vänster gränser vid en punkt är lika;
• gränsen är lika med värdet på funktionen vid punkt x0.

Om minst ett villkor inte är uppfyllt, sägs funktionen misslyckas. Och de punkter där funktionen går sönder brukar kallas brytpunkter. Ett exempel på en funktion som kommer att "bryta" när den visas grafiskt är: y=(x+4)/(x-3). Dessutom finns inte y i punkten x = 3 (eftersom det är omöjligt att dividera med noll).

I funktionen som vi studerar (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) visade sig allt vara enkelt, eftersom grafen kommer att vara kontinuerlig.

Jämnt, udda

Undersök nu funktionen för paritet. Först lite teori. En jämn funktion är en som uppfyller villkoret f(-x)=f(x) för vilket värde som helst av variabeln x (från värdeintervallet). Exempel inkluderar:

• modul x (grafen ser ut som en daw, halveringslinjen för den första och andra fjärdedelen av grafen);
• x i kvadrat (parabel);
• cosinus x (cosinus).

Observera att alla dessa grafer är symmetriska när de ses med avseende på y-axeln (det vill säga y-axeln).

Vad kallas då en udda funktion? Det här är de funktioner som uppfyller villkoret: f(-x)=-f(x) för valfritt värde på variabeln x. Exempel:

• hyperbel;
• kubisk parabel;
• sinusoid;
• tangent och så vidare.

Observera att dessa funktioner är symmetriska kring punkten (0:0), det vill säga ursprunget. Baserat på vad som sades i det här avsnittet av artikeln måste en jämn och udda funktion ha egenskapen: x tillhör definitionsmängden och -x också.

Låt oss undersöka funktionen för paritet. Vi kan se att hon inte passar in på någon av beskrivningarna. Därför är vår funktion varken jämn eller udda.

Asymptoter

Låt oss börja med en definition. En asymptot är en kurva som är så nära grafen som möjligt, det vill säga avståndet från en viss punkt tenderar mot noll. Totalt finns det tre typer av asymptoter:

• vertikal, det vill säga parallellt med y-axeln;
• horisontell, det vill säga parallellt med x-axeln;
• lutande.

När det gäller den första typen bör dessa linjer letas efter på vissa punkter:

• glipa;
• änden av definitionsdomänen.

I vårt fall är funktionen kontinuerlig, och definitionsdomänen är lika med R. Därför finns det inga vertikala asymptoter.

Grafen för en funktion har en horisontell asymptot, som uppfyller följande krav: om x tenderar till oändlighet eller minus oändlighet, och gränsen är lika med ett visst tal (till exempel a). I detta fall är y=a den horisontella asymptoten. Det finns inga horisontella asymptoter i funktionen vi studerar.

En sned asymptot existerar endast om två villkor är uppfyllda:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Sedan kan den hittas med formeln: y=kx+b. Återigen, i vårt fall finns det inga sneda asymptoter.

Funktion nollor

Nästa steg är att undersöka grafen för funktionen för nollor. Det är också mycket viktigt att notera att uppgiften förknippad med att hitta nollorna för en funktion inte bara sker när man studerar och konstruerar en graf för en funktion, utan också som en självständig uppgift och som ett sätt att lösa ojämlikheter. Du kan behöva hitta nollorna för en funktion i en graf eller använda matematisk notation.

Att hitta dessa värden hjälper dig att grafera funktionen mer exakt. Enkelt uttryckt är nollpunkten för en funktion värdet på variabeln x där y = 0. Om du letar efter nollorna för en funktion i en graf, bör du vara uppmärksam på de punkter där grafen skär x-axeln.

För att hitta nollorna för funktionen måste du lösa följande ekvation: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Efter att ha utfört de nödvändiga beräkningarna får vi följande svar:

Teckenkonstans

Nästa steg i forskning och konstruktion av en funktion (graf) är att hitta intervall med konstant tecken. Det betyder att vi måste bestämma med vilka intervall funktionen tar ett positivt värde och med vilka intervall den tar ett negativt värde. Nollfunktionerna som finns i det sista avsnittet hjälper oss att göra detta. Så vi måste bygga en rät linje (separat från grafen) och fördela funktionens nollor längs den i rätt ordning från minsta till största. Nu måste du bestämma vilket av de resulterande intervallen som har ett "+"-tecken och vilket som har ett "-".

I vårt fall tar funktionen ett positivt värde på intervaller:

• från 1 till 4;
• från 9 till oändligt.

Negativ betydelse:

• från minus oändlighet till 1;
• från 4 till 9.

Detta är ganska lätt att avgöra. Ersätt valfritt tal från intervallet i funktionen och se vilket tecken svaret visar sig ha (minus eller plus).

Ökar och minskar funktioner

För att utforska och konstruera en funktion behöver vi veta var grafen kommer att öka (gå upp längs Oy-axeln) och var den kommer att falla (krypa ner längs y-axeln).

En funktion ökar endast om ett större värde på variabeln x motsvarar ett större värde på y. Det vill säga, x2 är större än x1 och f(x2) är större än f(x1). Och vi observerar ett helt motsatt fenomen med en minskande funktion (ju fler x, desto mindre y). För att bestämma intervallen för ökning och minskning måste du hitta följande:

• definitionsdomän (vi har redan);
• derivata (i vårt fall: 1/3(3x^2-28x+49);
• lös ekvationen 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Efter beräkningar får vi resultatet:

Vi får: funktionen ökar på intervallen från minus oändlighet till 7/3 och från 7 till oändlighet, och minskar i intervallet från 7/3 till 7.

Extremer

Funktionen som studeras y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) är kontinuerlig och existerar för vilket värde som helst av variabeln x. Extremumpunkten visar maximum och minimum för en given funktion. I vårt fall finns det inga, vilket avsevärt förenklar bygguppgiften. Annars kan de också hittas med hjälp av derivatan. När du har hittat dem, glöm inte att markera dem på diagrammet.

Konvexitet och konkavitet

Vi fortsätter att ytterligare utforska funktionen y(x). Nu måste vi kontrollera det för konvexitet och konkavitet. Definitionerna av dessa begrepp är ganska svåra att förstå det är bättre att analysera allt med hjälp av exempel. För testet: en funktion är konvex om den är en icke-minskande funktion. Håller med, detta är obegripligt!

Vi måste hitta derivatan av en andra ordningens funktion. Vi får: y=1/3(6x-28). Låt oss nu likställa den högra sidan till noll och lösa ekvationen. Svar: x=14/3. Vi hittade böjningspunkten, det vill säga platsen där grafen ändras från konvexitet till konkavitet eller vice versa. På intervallet från minus oändlighet till 14/3 är funktionen konvex, och från 14/3 till plus oändlighet är den konkav. Det är också mycket viktigt att notera att böjningspunkten på grafen ska vara jämn och mjuk, det ska inte finnas några skarpa hörn.

Definiera ytterligare punkter

Vår uppgift är att undersöka och konstruera en graf över funktionen. Vi har slutfört studien att konstruera en graf över funktionen är nu inte svårt. För mer exakt och detaljerad återgivning av en kurva eller rät linje på koordinatplanet kan du hitta flera hjälppunkter. De är ganska lätta att beräkna. Till exempel tar vi x=3, löser den resulterande ekvationen och finner y=4. Eller x=5, och y=-5 och så vidare. Du kan ta så många ytterligare poäng som du behöver för konstruktion. Minst 3-5 av dem finns.

Rita en graf

Vi behövde undersöka funktionen (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Alla nödvändiga markeringar under beräkningarna gjordes på koordinatplanet. Allt som återstår att göra är att bygga en graf, det vill säga koppla ihop alla prickar. Att ansluta prickarna ska vara smidigt och korrekt, det här är en fråga om skicklighet - lite övning och ditt schema kommer att vara perfekt.

Låt oss studera funktionen \(y= \frac(x^3)(1-x) \) och bygga dess graf.

1. Definitionens omfattning.
Definitionsdomänen för en rationell funktion (bråk) kommer att vara: nämnaren är inte lika med noll, dvs. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domän $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Funktionsbrytpunkter och deras klassificering.
Funktionen har en brytpunkt x = 1
Låt oss undersöka punkten x= 1. Låt oss hitta gränsen för funktionen till höger och vänster om diskontinuitetspunkten, till höger $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1) -x)) = -\infty $$ och till vänster om punkten $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Detta är en diskontinuitetspunkt av det andra slaget eftersom ensidiga gränser är lika med \(\infty\).

Den räta linjen \(x = 1\) är en vertikal asymptot.

3. Funktionsparitet.
Vi kontrollerar för paritet \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funktionen är varken jämn eller udda.

4. Nollor för funktionen (skärningspunkter med Ox-axeln). Intervaller av konstant tecken för en funktion.
Funktionsnollor ( skärningspunkt med Ox-axeln): vi likställer \(y=0\), vi får \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kurvan har en skärningspunkt med Ox-axeln med koordinaterna \((0;0)\).

Intervaller av konstant tecken för en funktion.
På de betraktade intervallen \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) har kurvan en skärningspunkt med Ox-axeln, så vi kommer att betrakta definitionsdomänen på tre intervall.

Låt oss bestämma tecknet för funktionen på intervaller för definitionsdomänen:
intervall \((-\infty; 0) \) hitta värdet på funktionen vid valfri punkt \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervall \((0; 1) \) vi hittar värdet på funktionen vid vilken punkt som helst \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), på detta intervall är funktionen positiv \(f(x) > 0 \), dvs. ligger ovanför Ox-axeln.
intervall \((1;+\infty) \) hitta värdet på funktionen vid valfri punkt \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Skärningspunkter med Oy-axeln: vi likställer \(x=0\), vi får \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Koordinater för skärningspunkten med Oy-axeln \((0; 0)\)

6. Intervaller av monotoni. Extrema av en funktion.
Låt oss hitta de kritiska (stationära) punkterna, för detta hittar vi den första derivatan och likställer den med noll $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ lika med 0 $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Låt oss hitta värdet på funktionen vid denna punkt \( f(0) = 0\) och \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Vi fick två kritiska punkter med koordinaterna \((0;0)\) och \((1.5;-6.75)\)

Intervaller av monotoni.
Funktionen har två kritiska punkter (möjliga extrema punkter), så vi kommer att överväga monotoni med fyra intervall:
intervall \((-\infty; 0) \) hitta värdet på den första derivatan vid valfri punkt i intervallet \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
intervall \((0;1)\) hittar vi värdet av den första derivatan vid valfri punkt i intervallet \(f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funktionen ökar under detta intervall.
intervall \((1;1,5)\) vi hittar värdet på förstaderivatan vid valfri punkt i intervallet \(f(1,2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funktionen ökar under detta intervall.
intervall \((1,5; +\infty)\) hitta värdet på den första derivatan vid valfri punkt i intervallet \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Extrema av en funktion.

När vi studerade funktionen fick vi två kritiska (stationära) punkter på intervallet för definitionsdomänen. Låt oss avgöra om de är extremer. Låt oss överväga förändringen i derivatans tecken när vi passerar genom kritiska punkter:

punkt \(x = 0\) derivatan ändrar tecken med \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - punkten är inte ett extremum.
punkt \(x = 1,5\) derivatan ändrar tecken med \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - punkten är en maxpunkt.

7. Intervaller för konvexitet och konkavitet. Böjningspunkter.

För att hitta intervallen för konvexitet och konkavitet hittar vi andraderivatan av funktionen och likställer den med noll $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ Motsvarar noll $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1) -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funktionen har en kritisk punkt av det andra slaget med koordinater \((0;0)\) .
Låt oss definiera konvexitet på definitionsområdets intervall, med hänsyn till en kritisk punkt av det andra slaget (en möjlig böjningspunkt).

intervall \((-\infty; 0)\) hitta värdet på andraderivatan vid vilken punkt som helst \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervall \((0; 1)\) vi hittar värdet på andraderivatan vid vilken punkt som helst \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), på detta intervall är andraderivatan av funktionen positiv \(f""(x) > 0 \) funktionen är konvex nedåt (konvex).
intervall \((1; \infty)\) hitta värdet på andraderivatan vid valfri punkt \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Böjningspunkter.

Låt oss överväga förändringen i den andra derivatans tecken när vi passerar genom en kritisk punkt av det andra slaget:
Vid punkten \(x =0\) ändrar andraderivatan tecken med \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), funktionens graf ändrar konvexitet, d.v.s. detta är böjningspunkten med koordinaterna \((0;0)\).

8. Asymptoter.

Vertikal asymptot. Funktionens graf har en vertikal asymptot \(x =1\) (se stycke 2).
Sned asymptot.
För att grafen för funktionen \(y= \frac(x^3)(1-x) \) vid \(x \till \infty\) ska ha en lutande asymptot \(y = kx+b\) , det är nödvändigt och tillräckligt , så att det finns två gränser $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$vi finner det $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ och den andra gränsen $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, eftersom \(k = \infty\) - det finns ingen sned asymptot.

Horisontell asymptot: för att en horisontell asymptot ska existera är det nödvändigt att det finns en gräns $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ låt oss hitta den $$ \lim_(x \to +\infty) )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Det finns ingen horisontell asymptot.

9. Funktionsdiagram.

För att helt studera funktionen och rita dess graf rekommenderas följande schema:
A) hitta definitionsdomänen, brytpunkter; utforska beteendet hos en funktion nära diskontinuitetspunkter (hitta gränserna för funktionen till vänster och höger vid dessa punkter). Ange de vertikala asymptoterna.
B) avgöra om en funktion är jämn eller udda och dra slutsatsen att det finns symmetri. Om , då är funktionen jämn och symmetrisk kring OY-axeln; när funktionen är udda, symmetrisk om ursprunget; och om är en funktion av allmän form.
C) hitta skärningspunkterna för funktionen med koordinataxlarna OY och OX (om möjligt), bestäm intervallen för konstanttecken för funktionen. Gränserna för intervall med konstant tecken för en funktion bestäms av punkterna där funktionen är lika med noll (funktionsnollor) eller inte existerar och gränserna för definitionsdomänen för denna funktion. I intervaller där grafen för funktionen är placerad ovanför OX-axeln, och där - under denna axel.
D) hitta den första derivatan av funktionen, bestäm dess nollor och intervall med konstant tecken. I intervaller där funktionen ökar och där den minskar. Gör en slutsats om förekomsten av extrema (punkter där en funktion och derivata existerar och när den passerar genom vilka den ändrar tecken. Om tecknet ändras från plus till minus har funktionen vid denna punkt ett maximum, och om från minus till plus , sedan ett minimum). Hitta funktionens värden vid extrempunkterna.
D) hitta andraderivatan, dess nollor och intervall med konstanttecken. I intervaller var< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) hitta lutande (horisontella) asymptoter, vars ekvationer har formen ; Var
.
På grafen för funktionen kommer att ha två lutande asymptoter, och varje värde på x at och kan också motsvara två värden på b.
G) hitta ytterligare punkter för att förtydliga grafen (om nödvändigt) och konstruera en graf.

Exempel 1 Utforska funktionen och konstruera dess graf. Lösning: A) definitionsdomän ; funktionen är kontinuerlig i sin definitionsdomän; – brytpunkt, eftersom ;. Sedan – vertikal asymptot.
B)
de där. y(x) är en funktion av allmän form.
C) Hitta skärningspunkterna för grafen med OY-axeln: ställ in x=0; sedan y(0)=–1, dvs. grafen för funktionen skär axeln i punkten (0;-1). Nollor för funktionen (grafens skärningspunkter med OX-axeln): sätt y=0; Sedan
.
Diskriminanten för en andragradsekvation är mindre än noll, vilket betyder att det inte finns några nollor. Då är gränsen för intervallen med konstant tecken punkten x=1, där funktionen inte existerar.
Funktionens tecken i vart och ett av intervallen bestäms av metoden för delvärden:

Det framgår tydligt av diagrammet att i intervallet är grafen för funktionen placerad under OX-axeln och i intervallet - ovanför OX-axeln.
D) Vi tar reda på förekomsten av kritiska punkter.
.
Vi hittar kritiska punkter (var eller inte finns) från jämlikheterna och .

Vi får: x1=1, x2=0, x3=2. Låt oss skapa en extra tabell

bord 1

(Den första raden innehåller kritiska punkter och intervallen i vilka dessa punkter delas av OX-axeln; den andra raden anger värdena för derivatan vid kritiska punkter och tecknen på intervallen. Tecknen bestäms av delvärdet metod Den tredje raden indikerar värdena för funktionen y(x) vid kritiska punkter och visar funktionens beteende - ökar eller minskar med motsvarande intervall för den numeriska axeln anges.
D) Hitta intervallen för konvexitet och konkavitet för funktionen.
; bygga en tabell som i punkt D); Endast på den andra raden skriver vi ner tecknen, och i den tredje anger vi typen av konvexitet. Därför att ; då är den kritiska punkten ett x=1.
Tabell 2

Punkten x=1 är böjningspunkten.
E) Hitta sneda och horisontella asymptoter

Då är y=x en sned asymptot.
G) Med hjälp av erhållen data konstruerar vi en graf över funktionen

1). Funktionens omfattning.
Det är uppenbart att denna funktion är definierad på hela tallinjen, förutom punkterna "" och "", eftersom vid dessa punkter är nämnaren lika med noll och därför finns inte funktionen, och räta linjer och är vertikala asymptoter.

2). En funktions beteende som argument tenderar till oändlighet, förekomsten av diskontinuitetspunkter och kontroll av förekomsten av sneda asymptoter.
Låt oss först kolla hur funktionen beter sig när den närmar sig oändligheten till vänster och till höger.

Alltså när funktionen tenderar till 1, dvs. – horisontell asymptot.
I närheten av diskontinuitetspunkter bestäms funktionens beteende enligt följande:


De där. När man närmar sig diskontinuitetspunkter till vänster minskar funktionen oändligt och till höger ökar den oändligt.
Vi bestämmer närvaron av en sned asymptot genom att beakta likheten:

Det finns inga sneda asymptoter.

3). Skärningspunkter med koordinataxlar.
Här är det nödvändigt att överväga två situationer: hitta skärningspunkten med Ox-axeln och Oy-axeln. Tecknet för skärningspunkten med Ox-axeln är funktionens nollvärde, d.v.s. det är nödvändigt att lösa ekvationen:

Denna ekvation har inga rötter, därför har grafen för denna funktion inga skärningspunkter med Ox-axeln.
Tecknet för skärningen med Oy-axeln är värdet x = 0. I detta fall
,
de där. – funktionsgrafens skärningspunkt med Oy-axeln.

4).Bestämning av extrema punkter och intervall för ökning och minskning.
För att studera denna fråga definierar vi den första derivatan:
.
Låt oss likställa värdet av den första derivatan med noll.
.
Ett bråk är lika med noll när dess täljare är lika med noll, dvs. .
Låt oss bestämma intervallen för ökning och minskning av funktionen.

Funktionen har alltså en extrempunkt och existerar inte på två punkter.
Således ökar funktionen på intervallen och och minskar på intervallen och .

5). Böjningspunkter och områden med konvexitet och konkavitet.
Denna egenskap hos en funktions beteende bestäms med hjälp av andraderivatan. Låt oss först bestämma närvaron av böjningspunkter. Den andra derivatan av funktionen är lika med

När och funktionen är konkav;

när och funktionen är konvex.

6). Plotta en funktion.
Med hjälp av de hittade värdena i poäng kommer vi schematiskt att konstruera en graf av funktionen:

Lösning
Den givna funktionen är en icke-periodisk funktion av allmän form. Dess graf passerar genom ursprunget för koordinater, eftersom .
Definitionsdomänen för en given funktion är alla värden för variabeln utom och för vilka bråkets nämnare blir noll.
Följaktligen är punkterna diskontinuitetspunkterna för funktionen.
Därför att ,

Därför att ,
, då är punkten en diskontinuitetspunkt av det andra slaget.
De raka linjerna är de vertikala asymptoterna i grafen för funktionen.
Ekvationer för sneda asymptoter, där, .
På ,
.
Således har för och grafen för funktionen en asymptot.
Låt oss hitta intervallen för ökning och minskning av funktionen och extrema punkter.
.
Den första derivatan av funktionen vid och, därför, vid och funktionen ökar.
När , alltså när , minskar funktionen.
finns inte för , .
alltså när Grafen för funktionen är konkav.
På alltså när Grafen för funktionen är konvex.

När du passerar genom punkterna , , byter tecken. När , funktionen inte är definierad, har grafen för funktionen därför en böjningspunkt.
Låt oss bygga en graf över funktionen.