Skaičiaus reikšmė nepriklauso nuo jo padėties skaičiuje. Skaitmeninės informacijos vaizdavimas naudojant skaičių sistemas. Operacinė sistema yra...

Pagrindinės skaičių sistemų sąvokos

Skaičių sistema yra taisyklių ir būdų, kaip rašyti skaičius naudojant skaitmeninių simbolių rinkinį, rinkinys. Skaičių skaičius, reikalingas skaičiui įrašyti sistemoje, vadinamas skaičių sistemos pagrindu. Sistemos pagrindas rašomas dešinėje indekso skaičiaus pusėje: ; ; ir tt

Yra dviejų tipų skaičių sistemos:

pozicinis, kai kiekvieno skaičiaus skaitmens reikšmė nustatoma pagal jo vietą skaičiaus įraše;

nepozicinis, kai skaičiaus skaitmens reikšmė nepriklauso nuo jo vietos skaičiaus žymėjime.

Nepozicinės skaičių sistemos pavyzdys yra romėniškoji: skaičiai IX, IV, XV ir kt. Padėties skaičių sistemos pavyzdys yra dešimtainė sistema, naudojama kiekvieną dieną.

Bet kuris sveikasis skaičius padėties sistemoje gali būti parašytas daugianario forma:

čia S yra skaičių sistemos pagrindas;

Tam tikroje skaičių sistemoje užrašyto skaičiaus skaitmenys;

n yra skaičiaus skaitmenų skaičius.

Pavyzdys. Skaičius bus parašytas daugianario forma taip:

Skaičių sistemų tipai

Romėniška skaičių sistema yra nepozicinė sistema. Skaičiams rašyti naudojamos lotyniškos abėcėlės raidės. Šiuo atveju raidė I visada reiškia vieną, raidė V – penkis, X – dešimt, L – penkiasdešimt, C – šimtas, D – penki šimtai, M – tūkstantis ir t.t. Pavyzdžiui, skaičius 264 parašytas kaip CCLXIV. Rašant skaičius romėniškoje skaičių sistemoje, skaičiaus reikšmė yra į jį įtrauktų skaitmenų algebrinė suma. Šiuo atveju skaitmenys numerių įraše, kaip taisyklė, yra jų reikšmių mažėjimo tvarka ir negalima rašyti daugiau nei trijų vienodų skaitmenų greta. Kai po didesnę reikšmę turinčio skaitmens seka mažesnės reikšmės skaitmuo, jo indėlis į viso skaičiaus reikšmę yra neigiamas. Tipiški pavyzdžiai, iliustruojantys bendrąsias skaičių rašymo romėniškų skaičių sistema taisykles, pateikti lentelėje.

2 lentelė. Skaičių rašymas romėniškų skaičių sistema

Romėniškos sistemos trūkumas yra formalių skaičių rašymo taisyklių ir atitinkamai aritmetinių operacijų su daugiaženkliais skaičiais trūkumas. Dėl savo nepatogumo ir didelio sudėtingumo romėniška skaičių sistema šiuo metu naudojama ten, kur tikrai patogu: literatūroje (skyrių numeracija), kuriant dokumentus (pasų seriją, vertybinius popierius ir kt.), dekoratyviniais tikslais ant ciferblatu ir daugeliu kitų atvejų.

Šiuo metu labiausiai žinoma ir naudojama dešimtainė skaičių sistema. Dešimtainių skaičių sistemos išradimas yra vienas iš pagrindinių žmogaus mąstymo laimėjimų. Be jos šiuolaikinės technologijos vargu ar galėtų egzistuoti, juo labiau atsirasti. Priežastis, kodėl dešimtainė skaičių sistema tapo visuotinai priimta, nėra visiškai matematinė. Žmonės įpratę skaičiuoti dešimtainių skaičių sistema, nes ant rankų turi 10 pirštų.

Senovinis dešimtainių skaitmenų vaizdas (1 pav.) nėra atsitiktinis: kiekvienas skaitmuo reiškia skaičių pagal kampų skaičių jame. Pavyzdžiui, 0 – nėra kampų, 1 – vienas kampas, 2 – du kampai ir t.t. Dešimtainių skaičių rašymas smarkiai pasikeitė. Mūsų naudojama forma buvo nustatyta XVI a.

Dešimtainė sistema pirmą kartą pasirodė Indijoje maždaug VI amžiuje. Indijos numeracija naudojo devynis skaitinius simbolius ir nulį, kad būtų nurodyta tuščia vieta. Ankstyvuosiuose indų rankraščiuose, kurie pasiekė mus, skaičiai buvo rašomi atvirkštine tvarka - reikšmingiausias skaičius buvo dešinėje. Tačiau netrukus tapo įprasta tokį skaičių dėti kairėje pusėje. Ypatingas dėmesys buvo skiriamas nulio simboliui, kuris buvo įvestas padėties žymėjimo sistemai. Indiška numeracija, įskaitant nulį, išliko iki šių dienų. Europoje hinduistiniai dešimtainės aritmetikos metodai paplito XIII amžiaus pradžioje. italų matematiko Leonardo iš Pizos (Fibonačio) darbo dėka. Europiečiai Indijos skaičių sistemą pasiskolino iš arabų, vadindami ją arabiška. Šis istorinis klaidingas pavadinimas tęsiasi iki šiol.

Dešimtainėje sistemoje naudojama dešimt skaitmenų – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ir 9, taip pat simboliai „+“ ir „–“, nurodantys skaičiaus ženklą, ir kableliu arba tašku, kad atskirtumėte sveikuosius skaičius ir dešimtaines dalis.

Kompiuteriai naudoja dvejetainę skaičių sistemą, jos pagrindas yra skaičius 2. Skaičiams rašyti šioje sistemoje naudojami tik du skaitmenys – 0 ir 1. Priešingai paplitusiai klaidingai nuomonei, dvejetainę skaičių sistemą išrado ne kompiuterių projektavimo inžinieriai, o matematikai ir filosofai dar gerokai prieš kompiuterių atsiradimą, dar XVII – XIX a. Pirmą kartą paskelbta diskusija apie dvejetainę skaičių sistemą yra ispanų kunigo Juano Caramuelio Lobkowitzo (1670). Bendrą dėmesį į šią sistemą patraukė 1703 m. paskelbtas vokiečių matematiko Gotfrydo Vilhelmo Leibnico straipsnis, kuriame paaiškinamos dvejetainės sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos. Leibnicas nerekomendavo šios sistemos naudoti praktiniams skaičiavimams, tačiau pabrėžė jos svarbą teoriniams tyrimams. Laikui bėgant dvejetainė skaičių sistema tampa gerai žinoma ir vystosi.

Dvejetainės sistemos pasirinkimas naudoti kompiuterinėse technologijose paaiškinamas tuo, kad elektroniniai elementai – paleidikliai, sudarantys kompiuterių lustus – gali būti tik dviejų veikimo būsenų.

Naudodami dvejetainę kodavimo sistemą galite įrašyti bet kokius duomenis ir žinias. Tai lengva suprasti, jei prisiminsime informacijos kodavimo ir perdavimo naudojant Morzės kodą principą. Telegrafo operatorius, naudodamas tik du šios abėcėlės simbolius – taškus ir brūkšnelius, gali perduoti beveik bet kokį tekstą.

Dvejetainė sistema patogi kompiuteriui, bet nepatogi žmogui: skaičiai ilgi, sunkiai įrašomi ir įsimenami. Žinoma, galite konvertuoti skaičių į dešimtainę sistemą ir parašyti šia forma, o tada, kai reikės konvertuoti atgal, tačiau visi šie vertimai reikalauja daug darbo. Todėl naudojamos skaičių sistemos, susijusios su dvejetaine – aštuntainė ir šešioliktainė. Norint rašyti skaičius šiose sistemose, reikia atitinkamai 8 ir 16 skaitmenų. Šešioliktainėje sistemoje pirmieji 10 skaitmenų yra įprasti, o tada naudojamos didžiosios lotyniškos raidės. Šešioliktainis skaitmuo A atitinka dešimtainį skaičių 10, šešioliktainis B – dešimtainis skaičius 11 ir tt Šių sistemų naudojimas paaiškinamas tuo, kad perėjimas prie skaičiaus rašymo bet kurioje iš šių sistemų iš jo dvejetainio žymėjimo yra labai paprastas. Žemiau pateikiama skirtingose ​​sistemose parašytų skaičių atitikmenų lentelė.

3 lentelė. Skaičių, parašytų skirtingomis skaičių sistemomis, atitikimas

Skaičių konvertavimo iš vienos skaičių sistemos į kitą taisyklės

Skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą yra svarbi mašinos aritmetikos dalis. Panagrinėkime pagrindines vertimo taisykles.

1. Norint paversti dvejetainį skaičių į dešimtainį, reikia jį užrašyti daugianario forma, susidedančia iš skaičiaus skaitmenų sandaugų ir atitinkamos laipsnio 2, ir apskaičiuoti pagal taisykles dešimtainė aritmetika:

Verčiant patogu naudoti dviejų galių lentelę:

4 lentelė. Skaičiaus 2 laipsniai

Pavyzdys. Konvertuokite skaičių į dešimtainę skaičių sistemą.

2. Norint paversti aštuntąjį skaičių į dešimtainį, reikia jį užrašyti kaip daugianarį, susidedantį iš skaičiaus skaitmenų ir atitinkamos skaičiaus 8 laipsnio sandaugų, ir apskaičiuoti pagal dešimtainio skaičiaus taisykles. aritmetika:

Verčiant patogu naudoti aštuonių galių lentelę:

5 lentelė. Skaičiaus 8 laipsniai

Taisyklės: (dažniausiai) nedėkite daugiau nei trijų identiškų skaitmenų iš eilės, jei žemas skaitmuo (tik vienas!) yra kairėje nuo didžiausio skaitmens, jis atimamas iš sumos (iš dalies nepozicinis!) Pavyzdžiai: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

3999) reikia įvesti naujus skaitmenis (V, X, L, C, D, M) kaip rašyti trupmeninius skaičius? kaip atlikti aritmetinius veiksmus: CCCLIX + CLXXIV =? Kur naudojami: skyrių numeriai knygose: šimtmečių žymėjimas: “XX piratai” title=" Trūkumai: norint rašyti didelius skaičius (>3999), reikia įvesti naujus skaitmenis (V, X, L, C, D, M ) kaip rašyti trupmeninius skaičius, kaip atlikti aritmetinius veiksmus: CCCLIX + CLXXIV = Kur naudojami: skyrių numeriai knygose: šimtmečių žymėjimas: "XX piratai"?" class="link_thumb"> 9 !} Trūkumai: norint rašyti didelius skaičius (>3999) reikia įvesti naujus skaitmenis (V, X, L, C, D, M) kaip rašyti trupmeninius skaičius? kaip atlikti aritmetinius veiksmus: CCCLIX + CLXXIV =? Kur naudota: knygų skyrių numeriai: šimtmečių žymėjimas: laikrodžio ciferblatas „XX amžiaus piratai“ 3999) reikia įvesti naujus skaitmenis (V, X, L, C, D, M) kaip rašyti trupmeninius skaičius? kaip atlikti aritmetinius veiksmus: CCCLIX + CLXXIV =? Kur jis naudojamas: skyrių numeriai knygose: šimtmečių žymėjimas: "Piratai XX"> 3999) reikia įvesti naujus skaitmenis (V, X, L, C, D, M) kaip rašyti trupmeninius skaičius? kaip atlikti aritmetinės operacijos: CCCLIX + CLXXIV = Kur naudojama: knygų skyrių numeriai: šimtmečių žymėjimas: „XX amžiaus piratai“> 3999) reikia įvesti naujus skaitmenis (V, X, L, C, D) , M) kaip rašyti trupmeninius skaičius? kaip atlikti aritmetinius veiksmus: CCCLIX + CLXXIV =? Kur naudojami: skyrių numeriai knygose: šimtmečių žymėjimas: “XX piratai” title=" Trūkumai: norint rašyti didelius skaičius (>3999), reikia įvesti naujus skaitmenis (V, X, L, C, D, M ) kaip rašyti trupmeninius skaičius, kaip atlikti aritmetinius veiksmus: CCCLIX + CLXXIV = Kur naudojami: skyrių numeriai knygose: šimtmečių žymėjimas: "XX piratai"?"> title="Trūkumai: norint rašyti didelius skaičius (>3999) reikia įvesti naujus skaitmenis (V, X, L, C, D, M) kaip rašyti trupmeninius skaičius? kaip atlikti aritmetinius veiksmus: CCCLIX + CLXXIV =? Kur naudota: skyrių numeriai knygose: šimtmečių pavadinimas: „Piratai XX"> !}

Padėties skaičių sistemoje skaitmens kiekybinė reikšmė priklauso nuo jo padėties skaičiuje. Skaičiaus vieta vadinama skaitmeniu. Skaičiaus skaitmuo didėja iš dešinės į kairę. Skaičiuje 555 pirmasis 5 yra šimtų pozicijoje, antrasis 5 yra dešimties pozicijoje, o trečiasis 5 yra vienetų padėtyje (555=).

A) = 5* * *10 0 b) = 1*2 2 +0*2 1 +1*2 0

Ribotas simbolių skaičius skaičiams rašyti; Aritmetinių operacijų atlikimo paprastumas. Padėties skaičių sistemos pagrindas (q) yra simbolių, naudojamų skaičiui užrašyti, skaičius. Užduotis: kiek ir kokių skaitmenų reikia norint parašyti bet kokį skaičių kvinarinėje skaičių sistemoje, aštuntinėje skaičių sistemoje, šešioliktainėje skaičių sistemoje.

1-as variantas. 1. Ar tiesa, kad skaičius gali būti parašytas dvejetainėje skaičių sistemoje? 2. Ar tiesa, kad abėcėlinės skaičių sistemos yra nepozicinės? 3. Ar tiesa, kad kompiuteriai naudoja romėniškų skaičių sistemą? 4. Ar tiesa, kad sudėtingiems aritmetiniams skaičiavimams patogu naudoti romėniškų skaičių sistemą? 5. Ar tiesa, kad dvejetainėje skaičių sistemoje yra skaitmuo 2? 2-as variantas. 1. Ar tiesa, kad skaičius gali būti parašytas ketvirtinėje skaičių sistemoje? 2. Ar tiesa, kad arabiški skaitmenys yra patogūs sudėtingiems aritmetiniams skaičiavimams? 3. Ar tiesa, kad kompiuterio atmintyje naudojama dešimtainių skaičių sistema? 4. Ar tiesa, kad visos skaičių sistemos suskirstytos į dvi dideles grupes? 5. Ar tiesa, kad dešimtainė skaičių sistema yra pozicinė?

VariantasAtsakymas skaičiai taip ne 2 taip ne Testo rezultatų tikrinimo lentelė "5" - nėra klaidų "4" - viena klaida "3" - dvi klaidos "2" - trys klaidos Vertinimo kriterijai:
Visas pasaulis žino, kad majų kalendorius baigiasi 2012 m. gruodžio 21 d. Bet niekas nežino kodėl. Pradėkime nuo to, kad iš tikrųjų baigiasi ne kalendorius, o vadinamasis Didysis ciklas. Arba "Penktoji saulė" majų terminologija, trunkanti 5126 metus. Paskutinė šio ciklo diena – 2012 m. gruodžio 21 d. Bet tai dar ne pasaulio pabaiga. Po 2012 m. prasideda kitas ciklas. Mokslininkų skaičiavimais, „Penktoji saulė“ prasidėjo 3113 metų rugpjūčio 13 dieną prieš Kristų. Kodėl tada? Su kokiu įvykiu tai buvo susiję? Niekas nežino. Taip pat nežinoma, kur senovės majai netgi gavo savo sudėtingą laiko skaičiavimo ir padalijimo į ciklus sistemą.

Skaitmeninės informacijos vaizdavimas naudojant skaičių sistemas

Skaičiai naudojami informacijai apie objektų skaičių įrašyti. Skaičiai rašomi naudojant specialias ženklų sistemas, vadinamas skaičių sistemomis. Skaičių sistemų abėcėlė susideda iš simbolių, vadinamų skaitmenimis. Pavyzdžiui, dešimtainėje skaičių sistemoje skaičiai rašomi naudojant dešimt gerai žinomų skaitmenų: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Žymėjimas yra ženklų sistema, kurioje skaičiai rašomi pagal tam tikras taisykles, naudojant tam tikros abėcėlės simbolius, vadinamus skaičiais.

Visos skaičių sistemos yra suskirstytos į dvi dideles grupes: pozicinis Ir nepozicinis skaičių sistemos. Padėtinių skaičių sistemose skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties skaičiuje, o ne pozicinių skaičių sistemose ji nepriklauso.

Romėniška nepozicinė skaičių sistema. Dažniausia iš nepozicinių skaičių sistemų yra romėniška. Jame naudojami skaičiai: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).

Skaičiaus reikšmė nepriklauso nuo jo padėties skaičiuje. Pavyzdžiui, skaičiuje XXX (30) skaičius X pasirodo tris kartus ir kiekvienu atveju reiškia tą pačią reikšmę – skaičius 10, trys skaičiai iš 10 sudaro 30.

Skaičiaus dydis romėniškų skaičių sistemoje apibrėžiamas kaip skaičiaus skaitmenų suma arba skirtumas. Jei mažesnis skaičius yra kairėje nuo didesnio, tada jis atimamas, jei dešinėje – pridedamas. Pavyzdžiui, dešimtainio skaičiaus 1998 rašymas romėniškų skaičių sistemoje atrodytų taip:

MCMXCVIII = 1000 + (1000–100) + (100–10)+ 5 + 1 + 1 + 1.

Pozicinių skaičių sistemos. Pirmoji pozicinių skaičių sistema buvo išrasta Senovės Babilone, o babiloniečių numeracija buvo šešiasdešimtinė, tai yra, naudojo šešiasdešimt skaitmenų! Įdomu tai, kad matuodami laiką vis dar naudojame 60 bazę (1 minutėje yra 60 sekundžių, o 1 valandoje - 60 minučių).

XIX amžiuje gana plačiai paplito dvyliktainė skaičių sistema. Iki šiol dažnai naudojame tuziną (skaičius 12): paroje yra dvi dešimtys valandų, apskritime yra trisdešimt dešimčių laipsnių ir pan.

Kiekybinė skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties skaičiuje.

Šiandien labiausiai paplitusios pozicinių skaičių sistemos yra dešimtainės, dvejetainės, aštuntainės ir šešioliktainės. Kiekviena padėties sistema turi specifinę skaičių abėcėlė Ir bazė.

IN padėties skaičių sistemos sistemos bazė yra lygi skaitmenų (jos abėcėlės ženklų) skaičiui ir nustato, kiek kartų skiriasi identiškų skaitmenų reikšmės gretimose skaičiaus vietose.

Dešimtainė skaičių sistema turi skaičių abėcėlę, kurią sudaro dešimt gerai žinomų, vadinamųjų arabiškų, skaitmenų ir 10 bazės, dvejetainis - du skaitmenys ir bazė 2, aštuntainė - aštuoni skaitmenys ir bazė 8, šešioliktainė - šešiolika. skaitmenys (kaip skaičiai taip pat vartojamos lotyniškos abėcėlės raidės) ir 16 bazė (1.2 lentelė).

Dešimtainė skaičių sistema. Paimkime dešimtainį skaičių 555. Skaičius 5 pasirodo tris kartus, o dešinysis 5 reiškia penkis vienetus, antrasis iš dešinės reiškia penkis dešimtukus ir galiausiai trečias iš dešinės reiškia penkis šimtus.

Vadinama skaitmens padėtis skaičiuje iškrovimas. Skaičiaus skaitmuo didėja iš dešinės į kairę, nuo mažų iki didelių. Dešimtainėje sistemoje skaitmuo, esantis dešiniausioje padėtyje (skaitmuo), rodo vienetų skaičių, skaitmuo pasislinkęs viena padėtimi į kairę - dešimčių skaičių, dar toliau į kairę - šimtus, tada tūkstančius ir pan. Atitinkamai turime vienetų skaitmenį, dešimties skaitmenį ir pan.

Skaičius 555 parašytas pažįstama forma suvyniotos forma. Esame taip pripratę prie šios žymėjimo formos, kad nebepastebime, kaip mintyse dauginame skaičiaus skaitmenis iš įvairių skaičiaus 10 galių.

IN išplėstas skaičių forma, toks dauginimas parašytas aiškiai. Taigi, išplėstoje formoje skaičiaus 555 rašymas dešimtainėje sistemoje atrodys taip:

555 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0.

Kaip matyti iš pavyzdžio, skaičius pozicinėje skaičių sistemoje rašomas kaip skaičių eilės laipsnių suma pagrindu(šiuo atveju 10), kurių koeficientai yra šio skaičiaus skaitmenys.

Neigiami eksponentai naudojami dešimtainėms trupmenoms rašyti. Pavyzdžiui, skaičius 555.55 išplėstoje formoje rašomas taip:

555,55 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0 + 5 × 10 -1 + 5 × 10 -2.

Apskritai, dešimtainių skaičių sistemoje skaičiaus A 10, kuriame yra n sveikųjų skaičių ir m trupmeninių skaitmenų, rašymas atrodo taip:

A 10 = a n-1 × 10 n-1 + ... + a 0 × 10 0 + a -1 × 10 -1 + ... + a -m × 10 -m

Koeficientai a i šiame žymėjime yra dešimtainio skaičiaus skaitmenys, kurie sutrauktoje formoje rašomi taip:

A 10 = a n-1 a n-2 ... a 0, a -1 ... a -m.

Iš aukščiau pateiktų formulių aišku, kad dešimtainį skaičių padauginus arba padalijus iš 10 (pagrindo reikšmės), atsiranda dešimtainio taško judėjimas, atskiriantis sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies atitinkamai viena vieta į dešinę arba į kairę. . Pavyzdžiui:

555,55 10 × 10 = 5555,5 10;
555,55 10: 10 = 55,555 10 .

Dvejetainių skaičių sistema. Dvejetainėje skaičių sistemoje pagrindas yra 2, o abėcėlė susideda iš dviejų skaitmenų (0 ir 1). Vadinasi, skaičiai dvejetainėje sistemoje išplėstoje formoje rašomi kaip 2 bazės laipsnių suma su koeficientais, kurie yra 0 arba 1.

Pavyzdžiui, išplėstas dvejetainis skaičius gali atrodyti taip:

A 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 -1 + 1 × 2 -2.

Sutraukta to paties numerio forma:

A 2 = 101,01 2.

Apskritai dvejetainėje sistemoje skaičiaus A 2, kuriame yra n sveikųjų skaičių ir m trupmeninių skaitmenų, rašymas atrodo taip:

A 2 = a n-1 × 2 n-1 + a n-2 × 2 n-2 + ... + a 0 × 2 0 + a -1 × 2 -1 + ... + a -m × 2 -m

Koeficientai a i šiame žymėjime yra dvejetainio skaičiaus skaitmenys (0 arba 1), kuris sutrauktoje formoje rašomas taip:

A 2 = a n-1 a n-2 ... a 0, a -1 a -2 ... a -m

Iš aukščiau pateiktų formulių aišku, kad dvejetainį skaičių padauginus arba padalijus iš 2 (bazinės reikšmės), kablelis, atskiriantis sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies vienu skaitmeniu, pasislenka atitinkamai į dešinę arba į kairę. Pavyzdžiui:

101,01 2 × 2 = 1010,1 2;
101,01 2: 2 = 10,101 2 .

Padėčių skaičių sistemos su savavališka baze. Galima naudoti įvairias pozicinių skaičių sistemas, kurių bazė yra lygi arba didesnė už 2. Skaičių sistemose su baze q (q-ary skaičių sistema) skaičiai išplėstine forma rašomi kaip galių suma bazė q su koeficientais, kurie yra skaičiai 0, 1, q - 1:

A q = a n-1 × q n-1 + a n-2 × q n-2 + ... + a 0 × q 0 + a -1 × q -1 + ... + a -m × q -m

Koeficientai a i šiame įraše yra skaičiaus, įrašyto q-arinėje skaičių sistemoje, skaitmenys.

Taigi aštuntojoje sistemoje pagrindas lygus aštuoniems (q = 8). Tada aštuntasis skaičius A 8 = 673,2 8, parašytas sutraukta forma išplėstoje formoje, atrodys taip:

A 8 = 6 × 8 2 + 7 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1.

Šešioliktainėje sistemoje bazė yra šešiolika (q = 16), tada šešioliktainis skaičius A 16 = 8A, F 16, parašytas sutraukta forma, atrodys taip:

A 16 = 8 × 16 1 + A × 16 0 + F × 16 -1.

Jei šešioliktainius skaitmenis išreiškiame jų dešimtainėmis reikšmėmis (A = 10, F = 15), tada skaičius bus toks:

A 16 = 8 × 16 1 + 10 × 16 0 + 15 × 16 -1.

Klausimai, kuriuos reikia apsvarstyti

1. Kuo pozicinių skaičių sistemos skiriasi nuo nepozicinių?

2. Ar raidės simbolį galima naudoti kaip skaičių?

3. Kiek skaitmenų naudojama q-arinėje skaičių sistemoje?

Užduotys

1.6. Užsirašykite skaičius 19,99 10 ; 10.10 2; 64,5 8; 39,F 16 išplėstoje formoje.

1.7. Kiek kartų padidės skaičiai 10,1 10? 10,1 2; 64,5 8; 39,F 16 perkeliant dešimtainį skaičių viena vieta į dešinę?

1.8. Kai kablelis perkeliamas dviem vietomis į dešinę, skaičius 11,11 x padidėja 4 kartus. Kam x lygus?

1.9. Kokią mažiausią bazę gali turėti skaičių sistema, jei joje yra skaičiai 23 ir 67?

1.10. Įrašykite skaičių 1999 10 romėniškų skaičių sistema.

Įvadas į skaičių sistemas

1. Skaičių sistemos (SS) samprata

2. Nepozicinis SS

3. Pozicinis SS

4. 10-ojo SS pavyzdys

Natūralios kalbos (rusų, anglų, vokiečių ir kt.) naudojamos informacijos mainams tarp žmonių. Natūralios kalbos žodžiams kurti naudoja simbolius, kurių rašyba skiriasi. Iš simbolių pagal tam tikras taisykles konstruojami žmonėms suprantami žodžiai ir sakiniai.

Skaitmeninei informacijai (apie objektų skaičių) pavaizduoti taip pat naudojamos specialios kalbos, apibūdinančios simbolius (šiuo atveju skaičius) ir skaičių sudarymo iš skaičių (simbolių) taisyklės, kurios nustato skaičių rašymo tvarką. skaičiuje ir operacijose su skaičiais, tai yra sudėties, atimties, daugybos ir tt taisyklės. Šios specialios kalbos vadinamos skaičių sistemos .

Visos skaičių sistemos yra suskirstytos į dvi dideles grupes: pozicinis ir nepozicinis skaičių sistemos. Padėčių skaičių sistemose skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties skaičiuje, o ne pozicinėse skaičių sistemose ji nepriklauso.

Nepozicinėse skaičių sistemose skaitmens svoris (t. y. jo indėlis į skaičiaus reikšmę) nepriklauso nuo jos padėties rašant numerį.

Labiausiai paplitusi iš nepozicinių skaičių sistemų yra Romanas. Jame naudojami skaičiai: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).

Skaičiaus reikšmė nepriklauso nuo jo padėties skaičiuje. Pavyzdžiui, skaičiuje XXX (30) skaičius X pasirodo tris kartus ir kiekvienu atveju reiškia tą pačią reikšmę – skaičius 10, trys skaičiai iš 10 sudaro 30.

Skaičiaus dydis romėniškų skaičių sistemoje apibrėžiamas kaip skaičiaus skaitmenų suma arba skirtumas. Jei mažesnis skaičius yra kairėje nuo didesnio, tada jis atimamas, jei dešinėje – pridedamas. Pavyzdžiui, dešimtainio skaičiaus 1998 rašymas romėniškų skaičių sistemoje atrodytų taip:

MSMХСVIII = 1000 + (1000–100) + (100–10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Skaičius 15 romėnų sistemoje yra XV = 10 + 5

O skaičius 8 gali būti pavaizduotas kaip: VIII = 5 + 1 + 1 + 1

Padėčių skaičių sistemose kiekybinė skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties skaičiuje.

Šiandien labiausiai paplitusios pozicinių skaičių sistemos yra dešimtainės, dvejetainės, aštuntainės ir šešioliktainės. Kiekviena padėties sistema turi specifinę skaičių abėcėlė ir bazė.

Padėčių skaičių sistemose sistemos pagrindas yra lygus skaitmenų (jos abėcėlės ženklų) skaičiui ir nustato, kiek kartų skiriasi identiškų skaitmenų reikšmės gretimose skaičiaus vietose.

Sistemos pagrindu gali būti paimtas bet koks natūralusis skaičius – du, trys, keturi ir pan. galimos nesuskaičiuojamos padėties sistemos: dvejetainis, trejetas, ketvirtinis ir tt Skaičių rašymas kiekvienoje skaičių sistemoje su baze q reiškia trumpinį posakį

an-1 qn-1 + an-2 qn-2 + ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m,

Kur ai - skaičių sistemos numeriai;

n Ir m - atitinkamai sveikųjų ir trupmeninių skaitmenų skaičius.

Dešimtainė Skaičių sistema turi skaičių abėcėlę, kurią sudaro dešimt gerai žinomų, vadinamųjų arabiškų skaitmenų, ir 10.

Dvejetainis– du skaitmenys ir 2 bazė.

aštuntainis– aštuoni skaitmenys ir 8 bazė.

Šešioliktainis– šešiolika skaitmenų (lotyniškos abėcėlės raidės taip pat naudojamos kaip skaičiai) ir 16 bazė.

Skaičių rašymo 10-ajame SS pavyzdys

Žmonės renkasi dešimtainę sistemą tikriausiai todėl, kad nuo seno skaičiuoja ant pirštų, o žmonės turi dešimt rankų ir kojų pirštų. Žmonės ne visada ir ne visur naudoja dešimtainę skaičių sistemą. Pavyzdžiui, Kinijoje jie ilgą laiką naudojo penkių skaitmenų skaičių sistemą.

Paimkime dešimtainį skaičių 555 Skaičiaus vieta skaičiuje iškrovimas. Skaičiaus skaitmuo didėja iš dešinės į kairę, nuo mažų iki didelių. Dešimtainėje sistemoje skaitmuo, esantis dešiniausioje padėtyje (skaitmuo), rodo vienetų skaičių, skaitmuo pasislinkęs viena padėtimi į kairę - dešimčių skaičių, dar toliau į kairę - šimtus, tada tūkstančius ir pan.

Skaičius dešimtainėje pozicinių skaičių sistemoje rašomas kaip skaičiaus eilės bazės (10) laipsnių suma, duoto skaičiaus skaitmenys veikia kaip koeficientai.

Skaičiaus 555 rašymas dešimtainėje sistemoje atrodytų taip: 55510 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100.

Neigiami eksponentai naudojami dešimtainėms trupmenoms rašyti.

Pavyzdžiui: 555.5510 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100 + 5 *10-1 + 5 *10-2

Skaičių indeksas 10 (555 10 ir 555,55 10 ) žymi skaičių sistemos, kurioje skaičius parašytas, bazę, šiame pavyzdyje tai yra dešimtainis SS.

Skaičių atitikimas skirtingose ​​skaičių sistemose