فرمول بندی قانون اول کپلر قوانین کپلر حرکت در میدان گرانشی

او توانایی های ریاضی خارق العاده ای داشت. در آغاز قرن هفدهم، کپلر در نتیجه سالها رصد حرکات سیارات و همچنین بر اساس تجزیه و تحلیل مشاهدات نجومی تیکو براهه، سه قانون را کشف کرد که بعدها به نام او نامگذاری شدند.

قانون اول کپلر(قانون بیضی ها). هر سیاره به صورت بیضی حرکت می کند و خورشید در یک کانون قرار دارد.

قانون دوم کپلر(قانون مساحت های مساوی). هر سیاره در صفحه‌ای حرکت می‌کند که از مرکز خورشید می‌گذرد و در بازه‌های زمانی مساوی، بردار شعاع خورشید و سیاره را به هم متصل می‌کند.

قانون سوم کپلر(قانون هارمونیک). مربع های دوره های مداری سیارات به دور خورشید با مکعب های نیمه محورهای اصلی مدارهای بیضی شکل آنها متناسب است.

بیایید نگاهی دقیق تر به هر یک از قوانین بیندازیم.

قانون اول کپلر (قانون بیضی ها)

هر سیاره در منظومه شمسی به صورت بیضی می چرخد ​​و خورشید در یکی از کانون ها قرار دارد.

قانون اول هندسه مسیر مدارهای سیاره ای را توصیف می کند. قسمتی از سطح جانبی یک مخروط را با صفحه ای در زاویه ای نسبت به قاعده آن تصور کنید، نه اینکه از پایه عبور کند. شکل حاصل بیضی خواهد بود. شکل بیضی و درجه شباهت آن به یک دایره با نسبت e = c / a مشخص می شود، جایی که c فاصله از مرکز بیضی تا کانون آن (فاصله کانونی) است، a نیمه اصلی است. کمیت e را خروج از مرکز بیضی می نامند. در c = 0، و بنابراین e = 0، بیضی به یک دایره تبدیل می شود.

نقطه P نزدیکترین مسیر به خورشید حضیض نامیده می شود. نقطه A، دورترین نقطه از خورشید، آفلیون است. فاصله بین آفلیون و حضیض محور اصلی مدار بیضوی است. فاصله بین آفلیون A و حضیض P محور اصلی مدار بیضوی را تشکیل می دهد. نیمی از طول محور اصلی، محور a، میانگین فاصله سیاره تا خورشید است. میانگین فاصله زمین تا خورشید را واحد نجومی (AU) می نامند و برابر با 150 میلیون کیلومتر است.

قانون دوم کپلر (قانون مساحت ها)

هر سیاره در صفحه‌ای حرکت می‌کند که از مرکز خورشید می‌گذرد و در بازه‌های زمانی مساوی، بردار شعاع خورشید و سیاره را به هم متصل می‌کند.

قانون دوم تغییر در سرعت حرکت سیارات به دور خورشید را توصیف می کند. دو مفهوم با این قانون مرتبط است: حضیض - نزدیکترین نقطه مدار به خورشید، و aphelion - دورترین نقطه مدار. این سیاره به طور ناهموار به دور خورشید حرکت می کند و در حضیض سرعت خطی بیشتری نسبت به آفلیون دارد. در شکل، مساحت بخش هایی که با رنگ آبی مشخص شده اند برابر است و بر این اساس، مدت زمان عبور سیاره از هر بخش نیز برابر است. زمین در اوایل ژانویه از حضیض و در اوایل جولای از آفلیون عبور می کند. قانون دوم کپلر، قانون مساحت ها، نشان می دهد که نیروی حاکم بر حرکت مداری سیارات به سمت خورشید هدایت می شود.

قانون سوم کپلر (قانون هارمونیک)

مربع های دوره های مداری سیارات به دور خورشید با مکعب های نیمه محورهای اصلی مدارهای بیضی شکل آنها متناسب است. این نه تنها در مورد سیارات، بلکه برای ماهواره های آنها نیز صادق است.

قانون سوم کپلر به ما اجازه می دهد که مدار سیارات را با یکدیگر مقایسه کنیم. هر چه یک سیاره از خورشید دورتر باشد، محیط مدار آن طولانی تر است و زمانی که در مدار آن حرکت می کند، چرخش کامل آن بیشتر طول می کشد. همچنین با افزایش فاصله از خورشید، سرعت خطی حرکت سیاره کاهش می یابد.

که در آن T 1، T 2 دوره های چرخش سیاره 1 و 2 به دور خورشید هستند. a 1 > a 2 طول محورهای نیمه اصلی مدار سیارات 1 و 2 است. نیم محور میانگین فاصله سیاره تا خورشید است.

نیوتن بعداً متوجه شد که قانون سوم کپلر کاملاً دقیق نیست؛ در واقع، جرم سیاره را شامل می شود:

که در آن M جرم خورشید و m 1 و m 2 جرم سیارات 1 و 2 است.

از آنجایی که حرکت و جرم به هم مرتبط هستند، این ترکیب قانون هارمونیک کپلر و قانون گرانش نیوتن برای تعیین جرم سیارات و ماهواره ها در صورتی که مدارها و دوره های مداری آنها مشخص باشد، استفاده می شود. همچنین با دانستن فاصله سیاره تا خورشید، می توانید طول سال (زمان یک چرخش کامل به دور خورشید) را محاسبه کنید. برعکس، با دانستن طول سال، می توانید فاصله سیاره تا خورشید را محاسبه کنید.

سه قانون حرکت سیاراتکشف شده توسط کپلر توضیح دقیقی برای حرکت ناهموار سیارات ارائه کرد. قانون اول هندسه مسیر مدارهای سیاره ای را توصیف می کند. قانون دوم تغییر در سرعت حرکت سیارات به دور خورشید را توصیف می کند. قانون سوم کپلر به ما اجازه می دهد که مدار سیارات را با یکدیگر مقایسه کنیم. قوانین کشف شده توسط کپلر بعدها به عنوان پایه ای برای نیوتن برای ایجاد نظریه گرانش عمل کرد. نیوتن به طور ریاضی ثابت کرد که همه قوانین کپلر پیامدهای قانون گرانش هستند.

او در عصری زندگی می‌کرد که هنوز هیچ اطمینانی به وجود یک الگوی کلی برای همه پدیده‌های طبیعی وجود نداشت...

چقدر ایمان او به چنین الگویی عمیق بود، اگر به تنهایی کار می‌کرد و کسی از آن حمایت نمی‌کرد یا آن را درک نمی‌کرد، برای چندین دهه از آن برای مطالعه تجربی دشوار و پر دردسر حرکت سیارات و قوانین ریاضی این حرکت نیرو می‌گرفت!

امروز که این عمل علمی قبلاً انجام شده است، هیچ کس نمی تواند کاملاً درک کند که برای کشف این قوانین و بیان دقیق آنها چقدر نبوغ، چقدر کار سخت و صبر لازم است.» (آلبرت انیشتین در مورد کپلر).

یوهانس کپلر اولین کسی بود که قانون حرکت سیارات منظومه شمسی را کشف کرد. اما او این کار را بر اساس تحلیل مشاهدات نجومی تیکو براهه انجام داد. پس بیایید ابتدا در مورد او صحبت کنیم.

تیکو براهه (1546-1601)

تیکو براهه -ستاره شناس دانمارکی، ستاره شناس و کیمیاگر رنسانس. کپلر اولین کسی بود که در اروپا شروع به انجام مشاهدات نجومی منظم و با دقت بالا کرد، که بر اساس آن کپلر قوانین حرکت سیارات را استخراج کرد.

او از کودکی به نجوم علاقه مند شد، رصدهای مستقلی انجام داد و ابزارهای نجومی ساخت. یک روز (11 نوامبر 1572)، در بازگشت از یک آزمایشگاه شیمیایی به خانه، متوجه یک ستاره غیرعادی درخشان در صورت فلکی Cassiopeia شد که قبلاً در آنجا نبوده است. او بلافاصله متوجه شد که این یک سیاره نیست و برای اندازه گیری مختصات آن عجله کرد. این ستاره 17 ماه دیگر در آسمان درخشید. در ابتدا حتی در طول روز نیز قابل مشاهده بود، اما به تدریج درخشش آن کم رنگ شد. این اولین انفجار ابرنواختری در کهکشان ما در 500 سال گذشته بود. این رویداد کل اروپا را هیجان زده کرد؛ تفسیرهای زیادی از این "نشانه آسمانی" وجود داشت - بلایا، جنگ ها، بیماری های همه گیر و حتی پایان جهان پیش بینی شده بود. همچنین رساله های علمی حاوی اظهارات اشتباهی مبنی بر اینکه این یک دنباله دار یا یک پدیده جوی است ظاهر شد. در سال 1573 اولین کتاب او به نام "در ستاره جدید" منتشر شد. در آن، براهه گزارش داد که هیچ اختلاف منظری (تغییر در موقعیت ظاهری یک جسم نسبت به یک پس‌زمینه دور بسته به موقعیت ناظر) برای این جسم تشخیص داده نشده است و این به طور قانع‌کننده‌ای ثابت می‌کند که نور جدید یک ستاره است. نزدیک زمین نیست، اما حداقل در فاصله سیاره ای قرار دارد. با ظهور این کتاب، تیکو براهه به عنوان اولین ستاره شناس دانمارک شناخته شد. در سال 1576، با حکم فردریک دوم، پادشاه دانمارکی-نروژی، به تیکو براهه جزیره ون برای استفاده مادام العمر اعطا شد. هون) در 20 کیلومتری کپنهاگ قرار دارد و مبالغ قابل توجهی برای ساخت رصدخانه و نگهداری آن اختصاص داده شد. این اولین ساختمان در اروپا بود که به طور خاص برای رصدهای نجومی ساخته شد.تیکو براهه رصدخانه خود را "اورانیبورگ" به افتخار موزه نجوم اورانیا نامگذاری کرد (این نام گاهی اوقات به عنوان "قلعه در آسمان" ترجمه می شود). طراحی ساختمان توسط خود تیکو براهه طراحی شده است. در سال 1584، قلعه رصدخانه دیگری در کنار Uraniborg ساخته شد: Stjerneborg (از دانمارکی به عنوان "قلعه ستاره" ترجمه شده است). Uraniborg به زودی با ترکیب مشاهدات، آموزش دانشجویان و انتشار آثار علمی به بهترین مرکز نجومی جهان تبدیل شد. اما بعداً در رابطه با تغییر پادشاه. تیکو براهه حمایت مالی خود را از دست داد و پس از آن ممنوعیت تمرین نجوم و کیمیاگری در جزیره وجود داشت. این ستاره شناس دانمارک را ترک کرد و در پراگ توقف کرد.

به زودی Uraniborg و تمام ساختمان های مرتبط با آن به طور کامل ویران شدند (در زمان ما آنها تا حدی بازسازی شده اند).

در این زمان پرتنش، براهه به این نتیجه رسید که به یک دستیار ریاضیدان جوان و با استعداد برای پردازش داده های انباشته شده در طول 20 سال نیاز دارد. تیکو پس از اطلاع از آزار و شکنجه یوهانس کپلر، که از توانایی های ریاضی خارق العاده او قبلاً از مکاتبات آنها قدردانی کرده بود، او را به محل خود دعوت کرد. دانشمندان با وظیفه ای روبرو بودند: از مشاهدات سیستم جدیدی از جهان استنتاج کنند که باید جایگزین سیستم بطلمیوسی و کوپرنیک شود. او سیاره کلیدی را به کپلر سپرد: مریخ، که حرکت آن نه تنها در طرح بطلمیوس، بلکه در مدل های خود براهه نیز به شدت نمی گنجد (طبق محاسبات او، مدارهای مریخ و خورشید متقاطع شده اند).

در سال 1601، تیکو براهه و کپلر کار بر روی میزهای نجومی جدید و تصفیه شده را آغاز کردند که به افتخار امپراتور "رودولف" نامیده می شد. آنها در سال 1627 تکمیل شدند و تا آغاز قرن نوزدهم به منجمان و ملوانان خدمت کردند. اما تیکو براهه فقط توانست نامی برای جداول بگذارد. در ماه اکتبر او به طور غیرمنتظره ای بیمار شد و بر اثر یک بیماری ناشناخته درگذشت.

پس از مطالعه دقیق داده های تیکو براهه، کپلر قوانین حرکت سیارات را کشف کرد.

قوانین حرکت سیارات کپلر

در ابتدا، کپلر قصد داشت یک کشیش پروتستان شود، اما به لطف توانایی های ریاضی خارق العاده اش، در سال 1594 برای سخنرانی در مورد ریاضیات در دانشگاه گراتس (اتریش کنونی) دعوت شد. کپلر 6 سال را در گراتس گذراند. در اینجا در سال 1596 اولین کتاب او به نام "راز جهان" منتشر شد. در آن، کپلر سعی کرد هارمونی مخفی جهان را بیابد، که برای آن "جامدات افلاطونی" مختلف (چند وجهی منظم) را با مدارهای پنج سیاره شناخته شده در آن زمان مقایسه کرد (او به ویژه کره زمین را مشخص کرد). او مدار زحل را به صورت دایره ای (هنوز بیضی) روی سطح توپی که به دور یک مکعب محصور شده است، ارائه کرد. این مکعب به نوبه خود با یک توپ حک شده بود که قرار بود نشان دهنده مدار مشتری باشد. یک چهار ضلعی در این توپ حک شده بود، دور یک توپ که نشان دهنده مدار مریخ است، و غیره. این اثر، پس از اکتشافات بیشتر توسط کپلر، معنای اصلی خود را از دست داد (اگر فقط به این دلیل که مدار سیارات غیر دایره ای است) ; با این وجود، کپلر تا پایان عمر خود به وجود هارمونی ریاضی پنهان کیهان اعتقاد داشت و در سال 1621 "راز جهان" را بازنشر کرد و تغییرات و اضافات متعددی در آن ایجاد کرد.

تیکو براهه که یک رصد عالی بود، طی سالیان متمادی اثری پرحجم در رصد سیارات و صدها ستاره گردآوری کرد و دقت اندازه‌گیری‌های او به طور قابل‌توجهی از تمام پیشینیانش بالاتر بود. برای افزایش دقت، براهه هم از پیشرفت های فنی و هم از یک تکنیک ویژه برای خنثی کردن خطاهای مشاهده استفاده کرد. ماهیت سیستماتیک اندازه گیری ها به ویژه ارزشمند بود.

در طی چندین سال، کپلر به دقت داده های براهه را مطالعه کرد و در نتیجه تجزیه و تحلیل دقیق به این نتیجه رسید که مسیر مریخ یک دایره نیست، بلکه یک بیضی است که خورشید در یکی از کانون‌های آن قرار دارد - موقعیتی که امروزه به آن معروف است. قانون اول کپلر.

قانون اول کپلر (قانون بیضی ها)

هر سیاره در منظومه شمسی به صورت بیضی می چرخد ​​و خورشید در یکی از کانون ها قرار دارد.

شکل بیضی و درجه شباهت آن به یک دایره با نسبت مشخص می شود، جایی که فاصله مرکز بیضی تا کانون آن (نصف فاصله بین کانونی) است و نیم محور اصلی است. کمیت را خروج از مرکز بیضی می نامند. هنگامی که، و، بنابراین، بیضی به یک دایره تبدیل می شود.

تجزیه و تحلیل بیشتر منجر به قانون دوم می شود. بردار شعاع که سیاره و خورشید را به هم متصل می کند، مناطق مساوی را در زمان های مساوی توصیف می کند. این بدان معنی است که هرچه یک سیاره از خورشید دورتر باشد، کندتر حرکت می کند.

قانون دوم کپلر (قانون مساحت ها)

هر سیاره در صفحه ای حرکت می کند که از مرکز خورشید می گذرد و در بازه های زمانی مساوی، بردار شعاع متصل کننده خورشید و سیاره، مناطق مساوی را توصیف می کند.

دو مفهوم مرتبط با این قانون وجود دارد: حضیض- نزدیکترین نقطه مدار به خورشید و آفلیون- دورترین نقطه مدار. بنابراین، از قانون دوم کپلر چنین استنباط می‌شود که سیاره به طور ناهموار به دور خورشید حرکت می‌کند و در حضیض سرعت خطی بیشتری نسبت به آفلیون دارد.

هر سال در آغاز ژانویه، زمین هنگام عبور از حضیض سریعتر حرکت می کند، بنابراین حرکت ظاهری خورشید در امتداد دایره البروج به سمت شرق نیز سریعتر از میانگین سال اتفاق می افتد. در آغاز ماه جولای، زمین با عبور از آفلیون، کندتر حرکت می کند و بنابراین حرکت خورشید در امتداد دایره البروج کندتر می شود. قانون مساحت ها نشان می دهد که نیروی حاکم بر حرکت مداری سیارات به سمت خورشید هدایت می شود.

قانون سوم کپلر (قانون هارمونیک)

مربع های دوره های چرخش سیارات به دور خورشید به صورت مکعب های نیمه محورهای اصلی مدار سیارات به هم مرتبط هستند. این نه تنها در مورد سیارات، بلکه برای ماهواره های آنها نیز صادق است.

دوره های چرخش دو سیاره به دور خورشید کجا و هستند و طول نیم محورهای اصلی مدار آنها هستند.

نیوتن بعداً ثابت کرد که قانون سوم کپلر کاملاً دقیق نیست - این قانون شامل جرم سیاره نیز می شود: ، جرم خورشید کجاست و جرم سیارات.

از آنجایی که حرکت و جرم به هم مرتبط هستند، این ترکیب قانون هارمونیک کپلر و قانون گرانش نیوتن برای تعیین جرم سیارات و ماهواره ها در صورتی که مدارها و دوره های مداری آنها مشخص باشد، استفاده می شود.

اهمیت اکتشافات کپلر در نجوم

توسط کپلر کشف شد سه قانون حرکت سیاراتناهمواری ظاهری این حرکات را به طور کامل و دقیق توضیح داد. مدل کپلر به جای قیاس‌های ساختگی متعدد، تنها شامل یک منحنی است - یک بیضی. قانون دوم تعیین کرد که چگونه سرعت سیاره با دور شدن یا نزدیک شدن به خورشید تغییر می کند و قانون سوم به ما امکان می دهد این سرعت و دوره چرخش به دور خورشید را محاسبه کنیم.

اگرچه از نظر تاریخی سیستم جهانی کپلری بر اساس مدل کوپرنیک است، در واقع آنها اشتراکات بسیار کمی دارند (تنها چرخش روزانه زمین). حرکات دایره ای کره های حامل سیارات ناپدید شد و مفهوم مدار سیاره ظاهر شد. در منظومه کوپرنیک، زمین هنوز موقعیت خاصی را اشغال می کرد، زیرا تنها زمین بدون قیود بود. به عقیده کپلر، زمین یک سیاره معمولی است که حرکت آن تابع سه قانون کلی است. تمام مدارهای اجرام سماوی بیضی هستند و کانون مشترک مدارها خورشید است.

کپلر همچنین "معادله کپلر" را استخراج کرد که در نجوم برای تعیین موقعیت اجرام سماوی استفاده می شود.

قوانین کشف شده توسط کپلر بعداً در خدمت نیوتن قرار گرفت مبنای ایجاد نظریه گرانش نیوتن به طور ریاضی ثابت کرد که همه قوانین کپلر پیامدهای قانون گرانش هستند.

اما کپلر به بی نهایت بودن کیهان اعتقادی نداشت و به عنوان یک استدلال پیشنهاد کرد پارادوکس فتومتریک(این نام بعداً بوجود آمد): اگر تعداد ستارگان بی نهایت باشد، در هر جهتی نگاه با ستاره ای روبرو می شود و هیچ منطقه تاریکی در آسمان وجود نخواهد داشت. کپلر، مانند فیثاغورثی ها، جهان را تحقق یک هارمونی عددی معین، اعم از هندسی و موسیقایی می دانست. آشکار ساختن ساختار این هارمونی به عمیق ترین پرسش ها پاسخ می دهد.

دیگر دستاوردهای کپلر

در ریاضیاتاو راهی برای تعیین حجم بدنه های مختلف انقلاب پیدا کرد، اولین عناصر حساب انتگرال را پیشنهاد کرد، تقارن دانه های برف را به تفصیل تجزیه و تحلیل کرد، کار کپلر در زمینه تقارن بعدها در کریستالوگرافی و نظریه کدگذاری کاربرد پیدا کرد. او یکی از اولین جداول لگاریتم را گردآوری کرد و برای اولین بار مهمترین مفهوم را معرفی کرد. نقطه بی نهایت دورمفهوم را معرفی کرد تمرکز برش مخروطی وبررسی شده تبدیل‌های تصویری برش‌های مخروطی، از جمله آنهایی که نوع خود را تغییر می‌دهند.

در فیزیکاصطلاح اینرسی را ابداع کردبه عنوان خاصیت ذاتی اجسام برای مقاومت در برابر نیروی خارجی اعمال شده، به کشف قانون گرانش نزدیک شد، اگرچه او سعی نکرد آن را به صورت ریاضی بیان کند، اولین، تقریبا صد سال زودتر از نیوتن، این فرضیه را مطرح کرد که علت جزر و مد تأثیر ماه بر لایه های بالایی اقیانوس ها است.

در اپتیک: اپتیک به عنوان یک علم با آثار او آغاز می شود. او شکست نور، شکست و مفهوم تصویر نوری، نظریه کلی عدسی ها و سیستم های آنها را شرح می دهد. کپلر به نقش عدسی پی برد و به درستی علل نزدیک بینی و دوربینی را توصیف کرد.

به طالع بینیکپلر نگرشی دوسوگرا داشت. دو مورد از اظهارات وی در این مورد استناد شده است. اولین: " البته این طالع بینی دختر احمقی است، اما خدای من، اگر دختر احمق نداشت، مادرش، نجوم بسیار خردمند، کجا می رفت! دنیا خیلی احمقانه تر و آنقدر احمقانه است که به نفع این مادر عاقل پیر، دختر احمق باید چت کند و دروغ بگوید. و حقوق ریاضیدانان آنقدر ناچیز است که اگر دخترش چیزی به دست نیاورد، احتمالاً مادر از گرسنگی خواهد مرد." و دوم: " مردم به اشتباه فکر می کنند که امور زمینی به اجسام آسمانی بستگی دارد" اما، با این وجود، کپلر برای خود و عزیزانش طالع بینی تهیه کرد.

در عالم صغیر، در طول تعامل ذرات بنیادی - اتم ها، مولکول ها - برهمکنش های هسته ای و الکترومغناطیسی غالب است. مشاهده برهم کنش گرانشی ذرات بنیادی تقریبا غیرممکن است. دانشمندان برای اندازه گیری برهمکنش گرانشی اجسامی که جرم آنها صدها هزار کیلوگرم است، باید به ترفندهای بسیار بزرگ متوسل شوند. با این حال، در مقیاس کیهانی، همه فعل و انفعالات دیگر، به جز برهم کنش های گرانشی، عملا غیر قابل توجه هستند. حرکت سیارات، ماهواره ها، سیارک ها، دنباله دارها، ستارگان در کهکشان به طور کامل توسط تعامل گرانشی توصیف می شود.

او قرار دادن زمین را در مرکز کیهان پیشنهاد کرد و حرکات سیارات توسط دایره های بزرگ و کوچک توصیف شد که به آنها حماسه بطلمیوسی می گفتند.

تنها در قرن شانزدهم، کوپرنیک پیشنهاد جایگزینی مدل زمین‌مرکزی بطلمیوس از جهان را با مدل خورشیدمرکزی داد. یعنی خورشید را در مرکز کیهان قرار دهید و فرض کنید که تمام سیارات و زمین به همراه آنها به دور خورشید حرکت می کنند (شکل 2).

برنج. 2. مدل هلیوسنتری N. Copernicus ()

در آغاز قرن هفدهم، یوهانس کپلر، ستاره شناس آلمانی، با پردازش حجم عظیمی از اطلاعات نجومی که توسط ستاره شناس دانمارکی تیکو براهه به دست آمده بود، قوانین تجربی خود را پیشنهاد کرد که از آن زمان به بعد قوانین کپلر نامیده می شوند.

تمام سیارات منظومه شمسی در امتداد منحنی هایی به نام بیضی حرکت می کنند.بیضی یکی از ساده ترین منحنی های ریاضی است که به آن منحنی مرتبه دوم می گویند. در قرون وسطی، آنها را تقاطع مخروطی می نامیدند - اگر یک مخروط یا استوانه را با صفحه خاصی قطع کنید، همان منحنی را خواهید داشت که سیارات منظومه شمسی در امتداد آن حرکت می کنند.

برنج. 3. منحنی حرکت سیاره ای ()

این منحنی (شکل 3) دارای دو نقطه برجسته است که به آنها کانون می گویند. برای هر نقطه از بیضی، مجموع فواصل آن تا کانون ها یکسان است. مرکز خورشید (F) در یکی از این کانون ها قرار دارد؛ نزدیک ترین نقطه منحنی به خورشید (P) حضیض و دورترین نقطه (A) را آفلیون می نامند. فاصله حضیض تا مرکز بیضی را محور نیمه اصلی و فاصله عمودی از مرکز بیضی تا بیضی، محور نیمه‌مینور بیضی است.

همانطور که یک سیاره در امتداد یک بیضی حرکت می کند، بردار شعاع که مرکز خورشید را به این سیاره متصل می کند، منطقه خاصی را توصیف می کند. به عنوان مثال، در طول مدت زمانی که ∆t سیاره از یک نقطه به نقطه دیگر حرکت کرد، بردار شعاع ناحیه مشخصی ∆S را توصیف کرد.

برنج. 4. قانون دوم کپلر ()

قانون دوم کپلر می گوید: در بازه های زمانی مساوی، بردارهای شعاع سیارات مساحت مساوی را توصیف می کنند.

شکل 4 زاویه ΔΘ را نشان می دهد، این زاویه چرخش بردار شعاع در طول مدت زمانی Δt و ضربه سیاره () است که به طور مماس به مسیر هدایت می شود، به دو جزء تجزیه می شود - جزء ضربه در امتداد بردار شعاع. () و جزء ضربه در جهت، عمود بر بردار شعاع (⊥).

اجازه دهید محاسبات مربوط به قانون دوم کپلر را انجام دهیم. گفته کپلر مبنی بر اینکه مساحت های مساوی در فواصل مساوی طی می شوند به این معنی است که نسبت این کمیت ها ثابت است. نسبت این کمیت ها را اغلب سرعت بخشی می نامند؛ این نرخ تغییر در موقعیت بردار شعاع است. مساحت ∆S که بردار شعاع در طول زمان ∆t می‌گیرد چقدر است؟ این مساحت مثلثی است که ارتفاع آن تقریباً برابر با بردار شعاع و پایه تقریباً برابر با r ∆ω است، با استفاده از این عبارت مقدار ∆S را به صورت ½ ارتفاع می نویسیم. در هر پایه و تقسیم بر ∆t، عبارت زیر را بدست می آوریم:

، این نرخ تغییر زاویه است، یعنی سرعت زاویه ای.

نتیجه نهایی:

,

مربع فاصله تا مرکز خورشید، ضرب در سرعت زاویه ای حرکت در یک لحظه معین از زمان، یک مقدار ثابت است.

اما اگر عبارت r 2 ω را در جرم بدن m ضرب کنیم، مقداری به دست می‌آید که می‌توان آن را حاصل ضرب طول بردار شعاع و تکانه در جهت عرضی بردار شعاع نشان داد:

این کمیت برابر با حاصلضرب بردار شعاع و مولفه عمود بر ضربه، "تکانه زاویه ای" نامیده می شود.

قانون دوم کپلر بیانیه ای است مبنی بر اینکه تکانه زاویه ای در یک میدان گرانشی یک کمیت حفظ شده است. این منجر به یک جمله ساده اما بسیار مهم می شود: در نقاط کوچکترین و بزرگترین فاصله تا مرکز خورشید، یعنی آفلیون و حضیض، سرعت عمود بر بردار شعاع است، بنابراین حاصل ضرب بردار شعاع است. و سرعت در یک نقطه با این محصول در نقطه دیگر برابر است.

قانون سوم کپلر بیان می کند که نسبت مربع دوره چرخش یک سیاره به دور خورشید به مکعب نیم محور اصلی برای تمام سیارات منظومه شمسی یکسان است.

برنج. 5. مسیرهای خودسرانه سیارات ()

شکل 5 دو مسیر دلخواه سیارات را نشان می دهد. یکی شکل صریح یک بیضی با طول نیم محور (a) دارد، دومی شکل دایره ای با شعاع (R) دارد، زمان چرخش در امتداد هر یک از این مسیرها، یعنی دوره چرخش، با طول نیم محور یا با شعاع مرتبط است. و اگر بیضی به دایره تبدیل شود، آنگاه محور نیمه اصلی شعاع این دایره می شود. قانون سوم کپلر بیان می کند که در صورتی که طول نیم محور اصلی برابر با شعاع دایره باشد، دوره های چرخش سیارات به دور خورشید یکسان خواهد بود.

در مورد دایره، این نسبت را می توان با استفاده از قانون دوم نیوتن و قانون حرکت جسم در یک دایره محاسبه کرد، این ثابت برابر است با 4π 2 تقسیم بر ثابت گرانش جهانی (G) و جرم خورشید ( م).

بنابراین، واضح است که اگر ما فعل و انفعالات گرانشی را تعمیم دهیم، همانطور که نیوتن انجام داد، و فرض کنیم که همه اجسام در برهمکنش های گرانشی شرکت می کنند، قوانین کپلر را می توان به حرکت ماهواره ها در اطراف زمین، به حرکت ماهواره ها به دور هر سیاره دیگری تعمیم داد. و حتی به حرکت ماهواره ها در اطراف مرکز ماه. فقط در سمت راست این فرمول حرف M به معنای جرم بدنی است که ماهواره ها را جذب می کند. همه ماهواره های یک جسم فضایی معین نسبت مربع دوره مداری (T2) به مکعب محور نیمه اصلی (a3) ​​یکسان خواهند داشت. این قانون را می توان به همه اجرام در کیهان و حتی ستارگانی که کهکشان ما را تشکیل می دهند تعمیم داد.

در نیمه دوم قرن بیستم، مشاهده شد که برخی از ستارگان که بسیار دور از مرکز کهکشان ما هستند، از قانون کپلر پیروی نمی کنند. این بدان معناست که ما همه چیز را در مورد نحوه عملکرد گرانش در اندازه کهکشان خود نمی دانیم. یک توضیح احتمالی برای اینکه چرا ستارگان دور سریعتر از آنچه قانون سوم کپلر لازم است حرکت می کنند، این است: ما کل جرم کهکشان را نمی بینیم. بخش قابل توجهی از آن ممکن است از ماده ای تشکیل شود که توسط ابزار ما قابل مشاهده نیست، برهمکنش الکترومغناطیسی ندارد، نور ساطع یا جذب نمی کند، و فقط در برهم کنش گرانشی شرکت می کند. این ماده را جرم پنهان یا ماده تاریک می نامیدند. مسائل ماده تاریک یکی از مشکلات اصلی فیزیک قرن بیست و یکم است.

موضوع درس بعدی: سیستم نقاط مادی، مرکز جرم، قانون حرکت مرکز جرم.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. فیزیک (سطح پایه) - M.: Mnemosyne، 2012.
2. Kabardin O.F., Orlov V.A., Evenchik E.E. Physics-10. م.: آموزش و پرورش، 2010.
3. فیزیک باز ()

1. Elementy.ru ().
2. Physics.ru ().
3. Ency.info().

مشق شب

1. قانون اول کپلر را تعریف کنید.
2. قانون دوم کپلر را تعریف کنید.
3. قانون سوم کپلر را تعریف کنید.

سیارات در مدارهای بیضوی کشیده به دور خورشید حرکت می کنند و خورشید در یکی از دو نقطه کانونی بیضی قرار دارد.

یک خط مستقیم که خورشید و یک سیاره را به هم متصل می کند، مناطق مساوی را در بازه های زمانی مساوی قطع می کند.

مربع های دوره های چرخش سیارات به دور خورشید به مکعب های نیمه محورهای اصلی مدار آنها مربوط می شود.

یوهانس کپلر حس زیبایی داشت. او در تمام زندگی بزرگسالی خود سعی کرد ثابت کند که منظومه شمسی نوعی اثر هنری عرفانی است. در ابتدا سعی کرد دستگاه او را به پنج متصل کند چند وجهی منظمهندسه کلاسیک یونان باستان (یک چند وجهی منتظم یک شکل سه بعدی است که همه چهره‌های آن چند ضلعی‌های منتظم برابر هستند.) در زمان کپلر، شش سیاره شناخته شده بود که تصور می‌شد روی «کره‌های بلوری» در حال چرخش قرار گرفته‌اند. کپلر استدلال کرد که این کره ها به گونه ای چیده شده اند که چند وجهی منظم دقیقاً بین کره های مجاور قرار می گیرد. او بین دو کره بیرونی - زحل و مشتری - مکعبی قرار داد که در کره بیرونی حک شده بود، که به نوبه خود، کره درونی در آن حک شده است. بین کره مشتری و مریخ - یک چهار وجهی (چهار ضلعی منظم)، و غیره.

افسوس، کپلر با مقایسه مدل خود با مدارهای مشاهده شده سیارات، مجبور شد اعتراف کند که رفتار واقعی اجرام آسمانی در چارچوب هماهنگی که او ترسیم کرده است، نمی گنجد. همانطور که زیست‌شناس معاصر بریتانیایی J. B. S. Haldane به درستی اشاره کرد، «ایده جهان به‌عنوان یک اثر هنری از لحاظ هندسی کامل، فرضیه‌ای زیبا بود که توسط حقایق زشت نابود شد». تنها نتیجه انگیزه جوانی کپلر که در طول قرن ها زنده ماند، مدلی از منظومه شمسی بود که توسط خود دانشمند ساخته شد و به عنوان هدیه به حامی خود، دوک فردریک فون وورتمبورگ، ارائه شد. در این مصنوع فلزی که به زیبایی اجرا شده است، تمام کره های مداری سیارات و چند وجهی های منظم حک شده در آنها ظروف توخالی هستند که با یکدیگر ارتباطی ندارند و قرار بود در روزهای تعطیل با نوشیدنی های مختلف برای پذیرایی از مهمانان دوک پر شود.

کپلر تنها پس از نقل مکان به پراگ و تبدیل شدن به دستیار ستاره شناس مشهور دانمارکی تیکو براهه (1546-1601) با ایده هایی روبرو شد که واقعاً نام او را در تاریخچه علم جاودانه کرد. تیکو براهه در طول زندگی خود داده های رصدهای نجومی را جمع آوری کرد و اطلاعات زیادی در مورد حرکت سیارات جمع آوری کرد. پس از مرگ او آنها به تصرف کپلر درآمدند. به هر حال، این رکوردها در آن زمان ارزش تجاری زیادی داشتند، زیرا می توان از آنها برای جمع آوری طالع بینی های نجومی تصفیه شده استفاده کرد (امروزه دانشمندان ترجیح می دهند در مورد این بخش از نجوم اولیه سکوت کنند).

در حین پردازش نتایج مشاهدات تیکو براهه، کپلر با مشکلی مواجه شد که حتی با رایانه های مدرن ممکن است برای کسی غیرقابل حل به نظر برسد و کپلر چاره ای جز انجام تمام محاسبات با دست نداشت. البته کپلر نیز مانند بسیاری از ستاره شناسان زمان خود با منظومه هیلوسنتریک کوپرنیک آشنا بود. سانتی متر.اصل کوپرنیک) و می دانستند که زمین به دور خورشید می چرخد، همانطور که مدل منظومه شمسی در بالا توضیح داد. اما زمین و سیارات دیگر دقیقا چگونه می چرخند؟ بیایید مشکل را به صورت زیر تصور کنیم: شما در سیاره ای هستید که اولاً حول محور خود می چرخد ​​و ثانیاً در مداری ناشناخته به دور خورشید می چرخد. با نگاهی به آسمان، سیارات دیگری را می بینیم که در مدارهایی ناشناخته برای ما حرکت می کنند. وظیفه ما تعیین هندسه مدارها و سرعت حرکت سیارات دیگر بر اساس داده‌های رصدی است که روی کره زمین در حال چرخش حول محور خود به دور خورشید است. این دقیقاً همان کاری است که کپلر در نهایت موفق به انجام آن شد و پس از آن، بر اساس نتایج به دست آمده، سه قانون خود را استخراج کرد!

قانون اولهندسه مسیر مدارهای سیاره ای را توصیف می کند. ممکن است از درس هندسه مدرسه خود به یاد داشته باشید که بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مجموع فواصل آن تا دو نقطه ثابت است. ترفندها- برابر با یک ثابت. اگر این برای شما خیلی پیچیده است، تعریف دیگری وجود دارد: قسمتی از سطح جانبی یک مخروط را با یک صفحه در زاویه ای نسبت به پایه آن تصور کنید، نه اینکه از پایه عبور کند - این نیز یک بیضی است. قانون اول کپلر می گوید که مدار سیارات بیضی است و خورشید در یکی از کانون ها قرار دارد. عجیب و غریب(درجه ازدیاد طول) مدارها و فاصله آنها از خورشید در حضیض(نزدیک ترین نقطه به خورشید) و آپهلیا(دورترین نقطه) همه سیارات متفاوت هستند، اما همه مدارهای بیضوی یک چیز مشترک دارند - خورشید در یکی از دو کانون بیضی قرار دارد. پس از تجزیه و تحلیل داده های رصدی تیکو براهه، کپلر به این نتیجه رسید که مدارهای سیاره ای مجموعه ای از بیضی های تو در تو هستند. قبل از او، این به سادگی به ذهن هیچ ستاره‌شناسی نرسیده بود.

اهمیت تاریخی قانون اول کپلر را نمی توان دست بالا گرفت. قبل از او، ستاره شناسان معتقد بودند که سیارات منحصراً در مدارهای دایره ای حرکت می کنند و اگر این در چارچوب مشاهدات قرار نمی گرفت، حرکت دایره ای اصلی با دایره های کوچکی که سیارات در اطراف نقاط مدار دایره ای اصلی توصیف می کردند تکمیل می شد. من می گویم این اولاً یک موضع فلسفی بود، نوعی واقعیت تغییر ناپذیر که مورد تردید و تأیید قرار نمی گرفت. فیلسوفان استدلال کردند که ساختار آسمانی، بر خلاف ساختار زمینی، از نظر هماهنگی کامل است، و از آنجایی که کامل ترین شکل های هندسی دایره و کره هستند، به این معنی است که سیارات در یک دایره حرکت می کنند (و حتی امروز باید آن را از بین ببرم. این تصور اشتباه بارها و بارها در بین دانش آموزان من وجود دارد). نکته اصلی این است که یوهانس کپلر با دسترسی به داده های مشاهداتی گسترده تیکو براهه، توانست از این پیش داوری فلسفی گام بردارد، زیرا با واقعیت مطابقت ندارد - همانطور که کوپرنیک جرات کرد زمین را از مرکز خارج کند. جهان، با استدلال‌هایی مواجه شد که با ایده‌های زمین‌مرکزی پایدار، که همچنین شامل «رفتار نامناسب» سیارات در مدار بود، در تضاد بود.

قانون دومتغییر در سرعت سیارات به دور خورشید را توصیف می کند. من قبلاً فرمول آن را به شکل رسمی آن آورده ام، اما برای درک بهتر معنای فیزیکی آن، دوران کودکی خود را به خاطر بسپارید. احتمالاً این فرصت را داشته اید که در زمین بازی به دور یک تیرک بچرخید و آن را با دستان خود بگیرید. در واقع سیارات نیز به روشی مشابه به دور خورشید می چرخند. هر چه مدار بیضی شکل یک سیاره را از خورشید دورتر کند، حرکت آن کندتر است و هر چه به خورشید نزدیکتر باشد، سیاره سریعتر حرکت می کند. حالا یک جفت پاره خط را تصور کنید که دو موقعیت سیاره را در مدارش با کانون بیضی که خورشید در آن قرار دارد به هم متصل می کند. آنها همراه با بخش بیضی که بین آنها قرار دارد، یک بخش را تشکیل می دهند که ناحیه آن دقیقاً "ناحیه ای است که توسط یک قطعه خط مستقیم قطع شده است." این دقیقاً همان چیزی است که قانون دوم در مورد آن صحبت می کند. هر چه سیاره به خورشید نزدیکتر باشد، قطعات آن کوتاهتر می شود. اما در این حالت، برای اینکه این بخش در زمان مساوی مساحت مساوی را بپوشاند، سیاره باید مسافت بیشتری را در مدار خود طی کند، که به این معنی است که سرعت حرکت آن افزایش می‌یابد.

دو قانون اول با مشخصات مسیرهای مداری یک سیاره منفرد سروکار دارند. قانون سومکپلر به شما امکان می دهد مدار سیارات را با یکدیگر مقایسه کنید. این می گوید که هر چه یک سیاره از خورشید دورتر باشد، زمان بیشتری طول می کشد تا یک چرخش کامل در هنگام حرکت در مدار کامل شود و بر این اساس، "سال" در این سیاره بیشتر طول می کشد. امروزه می دانیم که این به دو عامل مربوط می شود. اولاً، هر چه یک سیاره از خورشید دورتر باشد، محیط مدار آن طولانی تر است. ثانیا، با افزایش فاصله از خورشید، سرعت خطی حرکت سیاره نیز کاهش می یابد.

کپلر در قوانین خود با مطالعه و تعمیم نتایج مشاهدات به سادگی حقایق را بیان کرد. اگر از او می پرسیدید که علت بیضی بودن مدارها یا برابری مساحت بخش ها چیست، پاسخ شما را نمی داد. این به سادگی از تحلیل او ناشی شد. اگر از او در مورد حرکت مداری سیارات در منظومه های ستاره ای دیگر بپرسید، او نیز چیزی برای پاسخ به شما نخواهد داشت. او باید همه چیز را از نو شروع کند - داده های مشاهده ای را جمع آوری کند، سپس آنها را تجزیه و تحلیل کند و سعی کند الگوها را شناسایی کند. یعنی او به سادگی هیچ دلیلی برای این باور ندارد که منظومه سیاره ای دیگر از قوانین مشابه منظومه شمسی پیروی می کند.

یکی از بزرگ‌ترین پیروزی‌های مکانیک کلاسیک نیوتن دقیقاً در این واقعیت نهفته است که توجیهی اساسی برای قوانین کپلر ارائه می‌کند و جهانی بودن آنها را تأیید می‌کند. به نظر می رسد که قوانین کپلر را می توان از قوانین مکانیک نیوتن، قانون گرانش جهانی نیوتن و قانون بقای تکانه زاویه ای از طریق محاسبات دقیق ریاضی استخراج کرد. و اگر چنین است، می‌توانیم مطمئن باشیم که قوانین کپلر برای هر منظومه سیاره‌ای در هر نقطه از کیهان به طور یکسان اعمال می‌شود. اخترشناسانی که در جستجوی منظومه‌های سیاره‌ای جدید در فضا هستند (و تعداد کمی از آنها قبلاً کشف شده‌اند) به طور طبیعی، از معادلات کپلر برای محاسبه پارامترهای مدار سیارات دور استفاده می‌کنند، اگرچه نمی‌توانند مستقیماً آنها را رصد کنند. .

قانون سوم کپلر نقش مهمی در کیهان شناسی مدرن ایفا کرده و دارد. اخترفیزیکدانان با مشاهده کهکشان‌های دوردست، سیگنال‌های ضعیفی را که از اتم‌های هیدروژن در مدارهای بسیار دور از مرکز کهکشانی ساطع می‌شوند، تشخیص می‌دهند - بسیار دورتر از ستاره‌ها. دانشمندان با استفاده از اثر داپلر در طیف این تابش، نرخ چرخش محیط هیدروژن دیسک کهکشانی و از روی آنها - سرعت زاویه ای کهکشان ها به عنوان یک کل را تعیین می کنند. سانتی متر.همچنین ماده تاریک). خوشحالم که آثار دانشمندی که ما را محکم در مسیر درک درست از ساختار منظومه شمسی قرار داد و امروز، قرن ها پس از مرگ او، نقش مهمی در مطالعه ساختار منظومه شمسی دارد. کائنات.

بین کره مریخ و زمین یک دوازده وجهی (دوده وجهی) وجود دارد. بین کره زمین و زهره - ایکوساهدر (بیست وجهی)؛ بین کره های زهره و عطارد یک هشت وجهی (هشت وجهی) وجود دارد. طرح به دست آمده توسط کپلر به صورت مقطعی در یک نقشه سه بعدی دقیق (نگاه کنید به شکل) در اولین تک نگاری خود، "رمز کیهان نگاری" (Mysteria Cosmographica، 1596) ارائه شد.- یادداشت مترجم

حتی در دوران باستان، متوجه شده بود که بر خلاف ستارگان، که همواره موقعیت نسبی خود را در فضا برای قرن ها حفظ می کنند، سیارات مسیرهای بسیار پیچیده ای را در بین ستارگان توصیف می کنند. برای توضیح حرکت حلقه مانند سیارات، دانشمند یونان باستان K. Ptalomey (قرن دوم پس از میلاد)، با در نظر گرفتن زمین در مرکز کیهان، پیشنهاد کرد که هر یک از سیارات در یک دایره کوچک حرکت می کنند. ) که مرکز آن به صورت یکنواخت در یک دایره بزرگ حرکت می کند که در مرکز آن زمین قرار دارد. این مفهوم را سیستم جهانی Ptalomean یا زمین مرکزی می نامیدند.

در آغاز قرن شانزدهم، ستاره شناس لهستانی N. Copernicus (1473-1543) سیستم هلیوسنتریک را اثبات کرد که بر اساس آن، حرکات اجرام سماوی با حرکت زمین (و همچنین سیارات دیگر) به دور خورشید توضیح داده می شود. و چرخش روزانه زمین نظریه مشاهده کوپرنیک به عنوان یک فانتزی سرگرم کننده تلقی شد. در قرن شانزدهم این گفته توسط کلیسا بدعت تلقی شد. مشخص است که G. Bruno، که آشکارا از سیستم هلیوسنتریک کوپرنیک حمایت می کرد، توسط تفتیش عقاید محکوم شد و در آتش سوزانده شد.

قانون گرانش جهانی توسط نیوتن بر اساس سه قانون کپلر کشف شد.

قانون اول کپلر. همه سیارات به صورت بیضی حرکت می کنند و خورشید در یکی از کانون ها قرار دارد (شکل 7.6).

برنج. 7.6

قانون دوم کپلر. بردار شعاع سیاره مناطق مساوی را در زمان های مساوی توصیف می کند (شکل 7.7).
تقریباً تمام سیارات (به جز پلوتون) در مدارهایی نزدیک به دایره حرکت می کنند. برای مدارهای دایره ای، قانون اول و دوم کپلر به طور خودکار برآورده می شود و قانون سوم بیان می کند که تی 2 ~ آر 3 (تی- دوره گردش؛ آر- شعاع مدار).

نیوتن مسئله معکوس مکانیک را حل کرد و از قوانین حرکت سیاره ها بیانی برای نیروی گرانش به دست آورد:

(7.5.2)

همانطور که می دانیم، نیروهای گرانشی نیروهای محافظه کار هستند. هنگامی که جسمی در یک میدان گرانشی از نیروهای محافظه کار در امتداد یک مسیر بسته حرکت می کند، کار صفر است.
خاصیت محافظه کاری نیروهای گرانشی به ما اجازه داد تا مفهوم انرژی پتانسیل را معرفی کنیم.

انرژی پتانسیلجرم بدن متر، در فاصله ای قرار دارد rاز یک توده بزرگ م، وجود دارد

بنابراین، مطابق با قانون بقای انرژی انرژی کل یک جسم در یک میدان گرانشی بدون تغییر باقی می ماند.

کل انرژی می تواند مثبت یا منفی یا برابر با صفر باشد. علامت کل انرژی ماهیت حرکت جسم آسمانی را تعیین می کند.

در E < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r 0 < rحداکثر در این حالت، جرم آسمانی در امتداد حرکت می کند مدار بیضی شکل(سیارات منظومه شمسی، دنباله دارها) (شکل 7.8)

برنج. 7.8

دوره چرخش یک جرم آسمانی در یک مدار بیضی شکل برابر است با دوره چرخش در یک مدار دایره ای به شعاع. آر، جایی که آر- محور نیمه اصلی مدار.

در E= 0 بدن در امتداد یک مسیر سهموی حرکت می کند. سرعت جسم در بی نهایت صفر است.

در E< 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

اولین سرعت کیهانیسرعت حرکت جسم در مداری دایره ای نزدیک به سطح زمین است. برای انجام این کار، مطابق قانون دوم نیوتن، نیروی گریز از مرکز باید با نیروی گرانش متعادل شود:

از اینجا

سرعت فرار دومسرعت حرکت جسم در طول مسیر سهموی نامیده می شود. برابر است با حداقل سرعتی که باید به جسمی در سطح زمین داد تا با غلبه بر جاذبه، به ماهواره مصنوعی خورشید (سیاره مصنوعی) تبدیل شود. برای انجام این کار، لازم است که انرژی جنبشی کمتر از کار انجام شده برای غلبه بر گرانش زمین نباشد:

از اینجا
سومین سرعت فرار- سرعت حرکتی که با غلبه بر گرانش خورشید جسم می تواند از منظومه شمسی خارج شود:

υ 3 = 16.7·10 3 متر بر ثانیه.

شکل 7.8 مسیر اجسام با سرعت های کیهانی متفاوت را نشان می دهد.