معادلة لابلاس. عزل كفاف القطرة السائلة في مسألة تحديد التوتر السطحي عزل كفاف القطرة

استخلاص محيط قطرة سائلة في مسألة تحديد التوتر السطحي

ميزوتين م.م. 1 كريلوف أ.س. 1، بروتسينكو ب.ف. 2

1 جامعة موسكو الحكومية سميت باسم إم.في. لومونوسوف، كلية الرياضيات الحاسوبية والرياضيات

2 جامعة موسكو الحكومية تحمل اسم M.V. لومونوسوف، كلية الكيمياء

مقدمة

يعد التوتر السطحي من أهم خواص السوائل، وقياسه الدقيق ضروري لدراسة الظواهر المختلفة وتطوير العمليات التكنولوجية. هناك عدد من الطرق لقياس التوتر السطحي، ولكن من بين جميع هذه الطرق يمكن التمييز بين طريقة القطرة اللاطئة أو المعلقة. المزايا الرئيسية لهذه الطريقة هي مجموعة واسعة جدًا من التطبيقات - من السوائل الخفيفة إلى المعادن السائلة، والبساطة النسبية للإعداد التجريبي مقارنة بالطرق الأخرى. علاوة على ذلك، ونظرًا لتطور الحوسبة الرقمية وتكنولوجيا التصوير الفوتوغرافي، فقد أصبح من الممكن إجراء التحليل على الفور تقريبًا.

جوهر الطريقة هو كما يلي: يتم وضع القطرة على ركيزة أفقية (طريقة القطرة الاستلقاءية) أو تعليقها على أنبوب شعري (طريقة القطرة المعلقة) ومن ثم دراسة الصورة الشخصية لها. إن قياس المعلمات الهندسية لهبوط التوازن، والذي يتم تحديد شكله من خلال العلاقة بين الكثافة والتوتر السطحي للسائل، يجعل من الممكن استعادة التوتر السطحي المطلوب. يظهر مخطط التثبيت في الشكل. 1.

أرز. 1. 1 – مصدر الضوء (مصباح أو مرآة مجهرية)، 2 – إسقاط على الركيزة،

3- مجهر مزود بكاميرا رقمية.

على الرغم من التقنية التجريبية المتطورة إلى حد ما، لا تزال هناك حاجة إلى تثبيت خاص باهظ الثمن لإطلاق النار على القطرة. تقترح هذه الورقة خوارزمية لإعداد تجريبي مصنوع من مكونات متاحة على نطاق واسع. يتم تعويض عيوب التثبيت بالمقارنة مع معدات المختبرات من خلال طرق معالجة الصور المقترحة.

طريقة إسقاط لاطئة

تصف المعادلة الأساسية لطريقة الهبوط اللاطئ، معادلة يونج لابلاس، سطح القطرة ذات التماثل الدوراني على ركيزة أفقية. ولحل هذه المشكلة، تم اقتراح تقنية فعالة، وتم تحسينها واستكمالها لاحقًا.

تعتمد هذه التقنية على التمايز العددي لمعادلة يونغ لابلاس. من أجل التمييز بين معادلة يونغ لابلاس، تم تقديم معلمة للمنحنى
، أين ر– طول قوس المنحنى من أعلى الهبوط (الشكل 2).

أرز. 2.معلمة محيط الهبوط.

هذه المعلمة تفي بالشرط
، ويؤدي إلى نظام المعادلات

(1)

مع الشروط الأولية
,
,
,
وشرط إضافي
. في الحزمة البرمجية المطورة، تم حل مسألة كوشي (1) بطريقة رونج-كوتا من الدرجة الرابعة من الدقة.

لاستعادة معلمات الهبوط اللاطئ، من الضروري حل المشكلة العكسية لتحديد ثابت الشعيرات الدموية
إحداثيات قمة الهبوط
ونصف قطر انحناءه كدالة لنصف قطر القسم الأفقي للقطرة من الارتفاع فوق الركيزة. يتم قياس هذه الوظيفة مع وجود خطأ، وفي بعض الحالات، تتوفر قياسات لجزء فقط من كفاف الهبوط. عند حل هذه المشكلة العكسية، يتم تقليل الخطأ (2).

بين النقاط التجريبية
والمنحنى الذي تم الحصول عليه نتيجة الحل العددي للمسألة (2). يتم تعريف الفرق بين النقاط التجريبية والمنحنى على أنه جذر مجموع مربعات المسافات من كل نقطة تجريبية إلى المنحنى.

في هذا الصدد، تنشأ مهمة معالجة الصور التالية: الحصول تلقائيًا على مخطط القطرة، وهو أمر معقد بسبب وجود الغبار والحطام في الصور (المرتبط باستخدام كاميرا تقليدية في الظروف "المحلية")، وكذلك ظروف الإضاءة المتغيرة.

وظيفة الخطأ

أحد الأجزاء الرئيسية للطريقة هو حساب دالة الخطأ (2). حساب المسافة بين النقطة والمنحنى (3)

في هذه الحالة، فهي كثيفة العمالة للغاية، منذ ذلك الحين غير معروفة لنا، ويجب أيضًا العثور عليها رقميًا باستخدام طريقة البحث أحادية البعد.

لحساب دالة الخطأ بكفاءة، يتم اقتراح الخوارزمية التالية. أولاً، من الضروري فرز جميع النقاط التجريبية بحيث يزيد عدد النقاط أنا كما زادت المعلمة المقابلة. وبعد ذلك، عند البحث عن معلمة لكل نقطة لاحقة، يمكنك استخدام قيمة المعلمة كقيمة تقريبية أولية ، وبالنسبة للنقطة الأولى سيكون التقريب الأولي
. لمزيد من المعلومات حول رسم الخطوط العريضة للقطرة، انظر أدناه.

ثانياً، يمكن إجراء حساب دالة الخطأ مباشرة أثناء عملية تكامل النظام (1) باستخدام طريقة Runge-Kutta. في الواقع، عند كل تكرار تتوفر لنا القيم، ويمكن إيجاد أصغر مسافة من النقطة من خلال حل المعادلة (4)

طريقة نيوتن . أي أنه عند التكامل العددي للنظام (1)، تحتاج إلى مراقبة قيمة الدالة (4) لكل نقطة لاحقة، وتذكر قيم أصغر الأخطاء، إذا لزم الأمر، مع تقليل الخطوة بمقدار لزيادة دقة النتائج.

اختيار الخطوط العريضة للقطرة

كما ذكر أعلاه، لحساب الخطأ بشكل فعال باستخدام الصيغة (4)، من الضروري استخراج محيط القطرة من الصورة بطريقة أنه مع زيادة عدد النقاط أنا كما زادت المعلمة المقابلة. يتم تنفيذ هذه العملية على مرحلتين: الاختيار المباشر للحواف باستخدام كاشف Canny واختيار مجموعات النقاط المتسلسلة ذات الصلة من الخريطة الثنائية الناتجة للحواف.

تم تطوير الخوارزمية التالية لتتبع الحافة. أولاً، من الضروري إجراء عملية ترقق الحواف، نظرًا لأن كاشف Canny لا يضمن أن جميع الحواف الناتجة ستكون بسمك 1 بكسل (يحدث هذا الوضع بشكل رئيسي عند التقاطعات)، ومثل هذا الشرط ضروري لمزيد من المعالجة. يمكن إجراء جراحة ترقق الحواف باستخدام إحدى تقنيات ترقق الحواف المعروفة. في هذا العمل، تم استخدام الخوارزمية.

تعتمد المعالجة الإضافية على تحليل محيط 3 × 3 بكسل حول البكسل المعني. في التين. يتم تمثيل قيم 3 بكسل في الحي بالمتغيرات ، بأخذ القيمة 0 أو 1.

أرز. 3.حي 3x3 حول البكسل المعني ,
.

المخطط العام للخوارزمية لتحديد تسلسل النقاط المتصلة:

لو
و
، فإن البكسل المركزي يحتوي على تقاطع الخطوط.

لو
ومن ثم تقع نهاية الكفاف في البكسل المركزي.

في الوقت نفسه، يمكن التحقق من هذه الشروط بسرعة وكفاءة باستخدام جداول البحث، حيث أن إجمالي قيم الإدخال الممكنة هو 512 = 2 9 .

ابدأ من أحد الأطراف الموجودة في الخطوط.

أضف البكسل الحالي إلى قائمة البكسلات الكنتورية تحت الرقم الحالي وقم بتمييز البكسل الحالي على خريطة الحافة برقم الكفاف الحالي.

ابحث عن بكسل ذو قيمة 1 بين جيران البكسل الحالي.

إذا لم يكن الجار الذي تم العثور عليه هو نهاية محيط أو تقاطع ولم يتم تحديده بعد بأي أرقام على خريطة الحافة، فقم بتحريك البكسل الحالي إلى موضع الجار الذي تم العثور عليه وانتقل إلى الخطوة 3. بخلاف ذلك، قم بإنهاء ملء الكفاف الحالي وانتقل إلى الخط التالي (الخطوة 2).

خاتمة

أظهرت الدراسات التجريبية لنظام زيت البارافين/الديكان بتركيزات مختلفة باستخدام الخوارزمية المقترحة فعالية النهج المقترح.

تم تنفيذ العمل بدعم من البرنامج الفيدرالي المستهدف "الكوادر العلمية والعلمية التربوية في روسيا المبتكرة" للفترة 2009-2013.

الأدب

متاهة سي، بيرنت جي. طريقة انحدار غير خطية لحساب التوتر السطحي وزاوية التلامس من شكل قطرة لاطئة // تصفح. الخيال العلمي. 1969. المجلد 13. ص 451.

كريلوف إيه إس، فيفيدينسكي إيه في، كاتسنيلسون إيه إم، توجوفيكوف إيه إي.. حزمة برامج لتحديد التوتر السطحي للمعادن السائلة // J. غير كريستال.المواد الصلبة. 1993. خامسا 156-158. ص 845.

أو آي ديل ريو وأيه دبليو نيومان.تحليل شكل القطرة المتماثلة المحورية: الطرق الحسابية لقياس خصائص السطح البيني من شكل وأبعاد القطرات المعلقة والقطرات اللاطئة // مجلة الغروانية وعلوم الواجهة، المجلد 196، العدد 2، 15 ديسمبر 1997، الصفحات 136-147.

م.هورفر وأ.و. نيومان. التقدم الأخير في تحليل شكل القطرة المتماثلة المحورية // التقدم في العلوم الغروانية والواجهة, المجلد 121، الإصدارات 1-3، 13 سبتمبر 2006، الصفحات 25-49.

كاني، ج.،نهج حسابي لاكتشاف الحواف // IEEE ترانس. تحليل الأنماط والذكاء الآلي, 8(6):679–698, 1986

لام إل.، لي إس.-دبليو.، سوين سي.واي.منهجيات التخفيف - مسح شامل // معاملات IEEE على تحليل الأنماط وأرشيف ذكاء الآلة، المجلد 14، العدد 9، سبتمبر 1992.

Z. Guo و R. W. Hall"، "الترقق المتوازي باستخدام خوارزميات الاستبدال الثنائي،" بالاتصالات. ايه سي ام، المجلد. 32، لا. 3، ص. 359-373، 1989.

اكتشاف حافة القطرات لتحديد التوتر السطحي

ميزوتين م.1، كريلوف أ.1، بروتسينكو ص.2

1 جامعة لومونوسوف موسكو الحكومية، كلية الرياضيات الحاسوبية وعلم التحكم الآلي، مختبر الطرق الرياضية لمعالجة الصور،

2 جامعة لومونوسوف موسكو الحكومية قسم الكيمياء

يعد التوتر السطحي أحد الخصائص الرئيسية للسوائل، وبالتالي فإن قياسه أمر بالغ الأهمية لدراسة الظواهر المختلفة مثل الترطيب وتطوير العمليات التكنولوجية. تعد تقنيات الإسقاط اللاطئة والمعلقة واحدة من أكثر التقنيات استخدامًا نظرًا لعالميتها وبساطة عملية القياس.

تعتمد الطريقة على دراسة ملف السقوط المحوري المتماثل. يشكل توازن قوة الجاذبية والتوتر السطحي شكلًا جانبيًا متميزًا، وبالتالي يمكن حساب التوتر السطحي عن طريق حل المشكلة العكسية لمعادلة يونج لابلاس.

في هذا العمل تم تقديم طريقة استخلاص كفاف القطرات لتحديد التوتر السطحي. يتمثل الاختلاف الرئيسي في الطريقة المقترحة في توجهها نحو الإعداد التجريبي غير المكلف باستخدام المكونات المتاحة على نطاق واسع مثل المجهر القياسي والكاميرا الرقمية وحامل الركيزة. تسمح التقنيات المقترحة لمعالجة الصور بتجنب معظم المشكلات المتعلقة بالجودة الرديئة للصور المسقطة التي يتم الحصول عليها عن طريق الإعداد غير المكلف مع الحفاظ على دقة القياس.

تم دعم العمل من خلال البرنامج الفيدرالي المستهدف "الكوادر العلمية والعلمية التربوية في روسيا المبتكرة في الفترة 2009-2013".



تطبيق طريقة الأميبا المورفولوجية للعزل
معالسفن في صور قاع العين

ناسونوف أ.ف. 1، تشيرنوموريتس أ.أ. 1 كريلوف أ.س. 1، رودين أ.س. 2

جامعة موسكو الحكومية سميت باسم M.V. لومونوسوف،

1 كلية الرياضيات الحاسوبية وعلم التحكم الآلي مختبر الطرق الرياضية لمعالجة الصور /
2 كلية الطب الأساسي قسم طب العيون

وقد طور العمل خوارزمية لتحديد الأوعية في صور قاع العين، بناءً على استخدام طريقة الأميبات المورفولوجية. تم النظر في تطبيق الخوارزمية على مشكلة مد الأوعية من مجموعة من النقاط المعروفة بأنها نقاط أوعية.

1 المقدمة

تُستخدم صور قاع العين لتشخيص أمراض الشبكية. إن تجزئة وتقييم الأحجام المميزة لأوعية الدورة الدموية في شبكية العين لها أهمية كبيرة في تشخيص وعلاج العديد من أمراض العيون.

يعد تحديد الأوعية في الصور الشبكية مهمة صعبة إلى حد ما في معالجة الصور بسبب مستويات الضوضاء العالية والإضاءة غير المتساوية ووجود كائنات مشابهة للأوعية. من بين طرق الكشف عن الأوعية الدموية في صور قاع العين، يمكن تمييز الفئات التالية:

فئة من الأساليب التي تستخدم صورة ملتوية مع مرشح اتجاهي ثنائي الأبعاد والكشف اللاحق عن قمم الاستجابة. من أجل تقسيم شبكة الأوعية الدموية، يُقترح مرشح خطي ثنائي الأبعاد، يكون شكله غاوسي. وتتمثل ميزة هذا النهج في التحديد الثابت للمقاطع المستقيمة من السفن وحساب عرضها. ومع ذلك، فإن هذه الطريقة لا تكتشف الأوعية الرقيقة والمتعرجة بشكل جيد، ومن الممكن وجود إنذارات كاذبة للأجسام التي ليست أوعية، على سبيل المثال، الإفرازات.

طرق استخدام الكشف عن التلال. تم العثور على البدائيات - شرائح قصيرة تقع في منتصف الخطوط، ثم باستخدام أساليب التعلم الآلي، يتم اختيار البدائيات التي تتوافق مع الأوعية التي يتم من خلالها استعادة شجرة الأوعية الدموية.

طرق تستخدم تتبع السفن، والتي تتضمن السفن المتصلة في زوج من النقاط والسفن المستمرة. تشمل مزايا هذا النهج الدقة العالية في العمل على الأوعية الرقيقة وترميم الأوعية الممزقة. العيب هو صعوبة معالجة الأوعية المتفرعة والعبور.

تصنيف بكسل تلو الآخر بناءً على تطبيق أساليب التعلم الآلي. هنا، لكل بكسل، يتم إنشاء ناقل الميزة، والذي يتم على أساسه تحديد ما إذا كان البكسل جزءًا من الوعاء أم لا. لتدريب الطريقة، يتم استخدام صور قاع العين مع الأوعية المميزة عليها بواسطة خبير. تشمل عيوب الطريقة التناقض الكبير في آراء الخبراء.

في هذا العمل، يتم استخدام طريقة الأميبا المورفولوجية لتحديد الأوعية - وهي طريقة مورفولوجية يتم فيها اختيار عنصر هيكلي بشكل تكيفي لكل بكسل.

2. الأميبا المورفولوجية

نحن نستخدم طريقة الأميبا المورفولوجية الموضحة في مع وظيفة المسافة المعدلة.

خذ بعين الاعتبار صورة ذات تدرج رمادي
. لنتخيل ذلك على شكل رسم بياني يرتبط فيه كل بكسل بثمانية بكسلات مجاورة بواسطة حواف مع بعض الأوزان المحددة ("التكلفة"). ثم لكل بكسل
يمكنك العثور على مجموعة من جميع النقاط
، والتي تكلفة المسار من إلى
لا يتجاوز ر. ستكون المجموعة الناتجة هي العنصر الهيكلي للبكسل.

نحن نستخدم وظيفة مسافة البكسل التالية و
:

المضاعف
يحدد تكلفة منخفضة للتنقل في المناطق المظلمة وتكلفة عالية للمناطق الفاتحة، وبالتالي يمنع الأميبا من الانتشار إلى نقاط خارج الوعاء، ويعاقب هذا المصطلح الحركة بين وحدات البكسل ذات الشدة المتفاوتة على نطاق واسع. معامل يحدد أهمية العقوبة لهذا التحول.

مثال على العثور على الأميبا في
يظهر في الشكل. 1.

أرز. 1. أمثلة على أشكال الأميبات المورفولوجية. على اليسار توجد الصورة الأصلية مع نقاط محددة يتم عندها حساب الأميبا، وعلى اليمين - تم تمييز العناصر الهيكلية الموجودة باللون الأبيض.

3. التعرف على الأوعية باستخدام الأميبات المورفولوجية

لتتبع أوعية الجهاز الدوري في صور قاع العين، تم تطوير خوارزمية تتكون من الخطوات التالية:

4. النتائج

يظهر مثال على تشغيل الخوارزمية في الشكل. 2.

أرز. 2. نتيجة التعرف على الأوعية باستخدام الأميبات المورفولوجية. على اليسار صورة للقاع (القناة الخضراء)، في الوسط نقاط من الواضح أنها نقاط الأوعية التي ستبنى منها الأميبا، على اليمين نتيجة تحديد الأوعية باستخدام الطريقة المقترحة.

خاتمة

تم النظر في تطبيق طريقة الأميبات المورفولوجية لتحديد الأوعية في صور قاع العين.

ومن المقرر أن يتم استخدام الخوارزمية المطورة في نظام آلي للكشف عن أمراض الشبكية.

تم دعم هذا العمل من قبل البرنامج الفيدرالي المستهدف "الموظفين العلميين والعلميين التربويين في روسيا المبتكرة" للفترة 2009-2013 ومنحة المؤسسة الروسية للبحوث الأساسية 10-01-00535-أ.

الأدب

إس تشودوري، إس تشاترجي، إن كاتز، إم نيلسون، إم جولدباوم. الكشف عن الأوعية الدموية في صور الشبكية باستخدام المرشحات المتطابقة ثنائية الأبعاد // معاملات IEEE للتصوير الطبي، المجلد. 8، لا. 3، 1989، ص. 263-269.

جيه ستال، إم دي أبراموف، إم نيميجر، إم إيه فيرجفير، بي جينكين. تجزئة الأوعية الدموية القائمة على التلال في الصور الملونة لشبكية العين // معاملات IEEE في التصوير الطبي، المجلد. 23، لا. 4، 2004، ص. 504-509.

إم. باتاسيوس، في. ماروزاس، د. جيجيلفييوس، أ. لوكوسيفييوس. خوارزمية متكررة للكشف عن الأوعية الدموية في صور قاع العين: النتائج الأولية // إجراءات IFMBE، المجلد. 25/11، 2009، ص. 212-215.

J. Soares، J. Leandro، R. Cesar Jr.، H. Jelinek، M. Cree. تجزئة الأوعية الشبكية باستخدام مويجات جابور ثنائية الأبعاد والتصنيف الخاضع للإشراف // معاملات IEEE للتصوير الطبي، المجلد. 25، لا. 9، 2006، ص. 1214-1222.

تطبيق طريقة الأمواس المورفولوجيةللكشف عن الأوعية الدموية في صور قاع العين

ناسونوف أ.1، تشيرنوموريتس أ.1، كريلوف أ.1، رودين أ.2

جامعة لومونوسوف موسكو الحكومية,
1 كلية الرياضيات الحاسوبية وعلم التحكم الآلي مختبر الطرق الرياضية لمعالجة الصور /
2 كلية الطب الأساسي قسم طب العيون

تم تطوير خوارزمية للكشف عن الأوعية الدموية في صور قاع العين. يوفر تجزئة الأوعية الدموية وتحليلها في صور قاع العين أهم المعلومات لتشخيص أمراض الشبكية.

يعد اكتشاف الأوعية الدموية في صور قاع العين مشكلة صعبة. الصور تالفة بسبب الإضاءة والضوضاء غير المنتظمة. كما يمكن أيضًا اكتشاف بعض الكائنات بشكل غير صحيح كأوعية دموية.

تعتمد الخوارزمية المقترحة على طريقة الأميبا المورفولوجية. الأميبا المورفولوجية لبكسل معين هي مجموعة من البكسلات مع الحد الأدنى للمسافة إلى البكسل المحدد أقل من العتبة ر. نستخدم مجموع متوسط ​​قيمة الشدة مضروبًا في المسافة الإقليدية والقيمة المطلقة للفرق بين قيم شدة البكسل للمسافة. في هذه الحالة تكون المسافة صغيرة بالنسبة للأوعية الدموية التي عادة ما تكون داكنة وكبيرة بالنسبة للمناطق والحواف الفاتحة، وتمتد الأميبا على طول الوعاء ولكن ليس من خلال جدران الأوعية.

تتكون الخوارزمية المقترحة للكشف عن الأوعية الدموية من الخطوات التالية:

قم باستخراج القناة الخضراء باعتبارها الأكثر إفادة وتصحيح الإضاءة باستخدام هذه الطريقة. يجعل من الممكن استخدام معلمات الأميبا الموحدة لصور مختلفة.

أوجد مجموعة البكسل ( ص ن) في الصورة التي تم الحصول عليها والتي هي بالتأكيد بيكسلات الأوعية الدموية

احسب الأميبا أ(ص أنا) لكل بكسل، قم بتطبيق تصفية الترتيب على قناع الأميبا باستخدام نافذة 3x3: قم بإزالة وحدات البكسل من القناع التي تحتوي على أقل من 3 وحدات بكسل مجاورة في القناع. يتم تمييز البيكسلات المتبقية على أنها بكسلات للأوعية الدموية.

إذا كنا بحاجة إلى تمديد الأوعية الدموية، يتم تكرار الخطوة الثالثة لجميع البكسلات المضافة حديثًا إلى منطقة الأوعية الدموية.

نحن نخطط لاستخدام الخوارزمية المطورة في النظام التلقائي للكشف عن أمراض الشبكية.

تم دعم العمل من خلال البرنامج الفيدرالي المستهدف "الموظفين العلميين والعلميين التربويين في روسيا المبتكرة في الفترة 2009-2013" ومنحة RFBR 10-01-00535-a.

الأدب

آر جي ويندر، بي جي مورو، آي إن ماكريتشي، جي آر بيلي، بي إم هارت. خوارزميات لمعالجة الصور الرقمية في اعتلال الشبكية السكري // التصوير الطبي المحوسب والرسومات، المجلد. 33، 2009، 608-622.

إم ويلك، إم. بروب، أو. فوجل. المعادلات التفاضلية للأميبا المورفولوجية // ملاحظات محاضرة في علوم الكمبيوتر، المجلد. 5720/2009، 2009، ص. 104-114.

جي دي جوشي، جي سيفاسوامي. تحسين الصور الشبكية الملونة استنادًا إلى معرفة المجال // المؤتمر الهندي السادس حول رؤية الكمبيوتر والرسومات ومعالجة الصور (ICVGIP"08)، 2008، الصفحات من 591 إلى 598.

الصور باستخدام طريقة التصوير المقطعي المكتوبة بخط اليد ... وجود نبضات ضجيج مميزة

تعتبر المعادلة أيضًا في الفضاء ثنائي الأبعاد وأحادي البعد. في الفضاء ثنائي الأبعاد، تكتب معادلة لابلاس:

ايضا في ن-مساحة الأبعاد. في هذه الحالة، المجموع يساوي الصفر نالمشتقات الثانية.

• ملحوظة: كل ما ذكر أعلاه ينطبق على الإحداثيات الديكارتية في الفضاء المسطح (مهما كان بعده). عند استخدام إحداثيات أخرى، يتغير تمثيل عامل لابلاس، وبالتالي يتغير تسجيل معادلة لابلاس (على سبيل المثال، انظر أدناه). تسمى هذه المعادلات أيضًا معادلة لابلاس، ولكن لإزالة الغموض في المصطلحات، عادةً ما يتم إضافة إشارة إلى نظام الإحداثيات (وإذا كان الوضوح الكامل مطلوبًا، البعد) بشكل صريح، على سبيل المثال: "معادلة لابلاس ثنائية الأبعاد في الإحداثيات القطبية".

أشكال أخرى من معادلة لابلاس

1 ص 2 ∂ ∂ ص (ص 2 ∂ و ∂ ص) + 1 ص 2 خطيئة ⁡ θ ∂ ∂ θ (خطيئة ⁡ θ ∂ f ∂ θ) + 1 ص 2 خطيئة 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 ( \displaystyle (1 \over r^(2))(\partial \over \partial r)\left(r^(2)(\partial f \over \partial r)\right)+(1 \over r^( 2)\sin \theta )(\partial \over \partial \theta )\left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta )\right)+(1 \over r^(2)\sin ^(2)\ثيتا )(\جزئي ^(2)f \over \جزئي \varphi ^(2))=0)

نقاط خاصة r = 0 , θ = 0 , θ = π (\displaystyle r=0,\theta =0,\theta =\pi ).

نقطة خاصة.

نقطة مفردة ص = 0 (\displaystyle r=0).

تطبيق معادلة لابلاس

تنشأ معادلة لابلاس في العديد من المسائل الفيزيائية مثل الميكانيكا، والتوصيل الحراري، والكهرباء الساكنة، والهيدروليكا. لمؤثر لابلاس أهمية كبيرة في فيزياء الكم، وخاصة في معادلة شرودنغر.

حلول معادلة لابلاس

على الرغم من أن معادلة لابلاس تعتبر من أبسط المعادلات في الفيزياء الرياضية، إلا أن حلها يواجه صعوبات. الحل العددي صعب بشكل خاص بسبب عدم انتظام الوظائف ووجود المتفردات.

قرار مشترك

الفضاء أحادي البعد

أين ج 1، ج 2 (\displaystyle C_(1),C_(2))- الثوابت التعسفية.

الفضاء ثنائي الأبعاد

يتم استيفاء معادلة لابلاس في الفضاء ثنائي الأبعاد عن طريق الدوال التحليلية. تعتبر الدوال التحليلية في نظرية دوال المتغير المركب، ويمكن اختزال فئة الحلول لمعادلة لابلاس إلى دالة لمتغير معقد.

تتم صياغة معادلة لابلاس لمتغيرين مستقلين على النحو التالي

وظائف تحليلية

لو ض = س + iy، و

فإن شروط كوشي-ريمان ضرورية وكافية للوظيفة F(ض) كان تحليليا:

كل من الأجزاء الحقيقية والخيالية من الوظائف التحليلية تلبي معادلة لابلاس. وبعد أن تفرقت الشروط

التشتت- قيمة متبادلة لحجم الجسيمات الخطية (م -1):

الطاقة السطحية ز س

هي الطاقة السطحية الإجمالية للنظام.

الترسيب –هذه هي حركة الجزيئات تحت تأثير الجاذبية.

قانون ستوكس:

- الصيغة الأساسية لتحليل الترسيب

انتشار -هذه عملية تهدف إلى معادلة التركيزات في بيئة غير متجانسة في البداية.

- قانون فيك الأول؛

- معادلة أينشتاين (معامل الإنتشار)

إسقاط جذر متوسط ​​التحول المربع:

- معادلة جذر متوسط ​​التحول المربع

د ~ 10 -11 – 10 -14 م 2 /ث، [D]=[م 2 /ث]

معامل الإنتشارهو تدفق المادة المنقولة عبر أسطوانة بوحدة مساحة مقطعها في وحدة الزمن.

معادلة جيبس-دوهيم

- قانون قياس الضغط الجوي، الصيغة البارومترية.

التناضح هو حركة المذيب (وسط التشتت) إلى محلول غرواني من خلال غشاء شبه منفذ.

معادلة فانت هوف:

تباين موجات الضوء:

قانون رايلي:
.

- قانون بوغير-لامبرت-بير

- تعكر النظام [م -1 ]

التعكر هو مقلوب المسافة التي يتم عندها توهين شدة الضوء الساقط بعامل e.

التوتر السطحيهو عمل تشكيل سطح الوحدة في ظل ظروف متساوية الحرارة عكسية.

تجربة دوبري:

التوتر السطحيهي القوة المؤثرة على سطح مماسي لكل وحدة طول للمحيط المحيط بهذا السطح.

المعادلة المعممة لقانوني الديناميكا الحرارية الأول والثاني:

- معادلة جيبس-هيلمهولتز

- معادلة لابلاس .

- صيغة جورين.

- مبدأ كوري-غيبس

- معادلة تومسان كلفن (التكثيف الشعري) .

طريقة جيبس:

طريقة الطبقة السطحية:

خلف سمك الطبقة خذ المسافة على جانبي حدود الطور، والتي تتوقف بعدها خصائص السطح عن الاختلاف عن الخصائص السائبة.

ترطيب - وهي ظاهرة تفاعل سائل مع جسم صلب أو سائل في ظل وجود واجهة بين ثلاث مراحل.

- معادلة يونج.

نشر العمل - هذه هي الطاقة التي يتم إطلاقها عند تغطية السطح بطبقة رقيقة من السائل أو هي القوة المؤثرة على السطح على طول سطح التلامس بأكمله.

- عمل كاجيزيا

عمل الالتصاق

كاجيسيا هو التفاعل بين جزيئات من نفس المرحلة. هذا هو العمل الذي يجب إنفاقه على تمزق الطور، لكل وحدة سطح تمزق.

يتم إنفاق عمل الالتصاق على تكوين سطحين جديدين
و
ويستفيد من اختفاء الواجهة الصلبة والسائلة.

حرارة التبلل (ن سم ) هي كمية الطاقة المنطلقة عندما يتم ترطيب وحدة من السطح.

معامل الخشونة – نسبة السطح الحقيقي إلى السطح الهندسي .
,

طرق قياس التوتر السطحي.

ثابتة الطرق المبنية على دراسة التوازن الساكن طريقة صعود الشعيرات الدموية طريقة فيلهلمي

شبه ساكنة ن 0 - عدد قطرات السائل القياسي ن X - للقياس 2. طريقة دو نوي 3. طريقة الضغط الزائد.

الأساليب الديناميكية :طريقة النفاثه المتذبذبه

الامتزاز.

- مبدأ كوري

الامتزاز هي عملية إعادة توزيع المكون بين الطور السائب والطبقة السطحية.

أ- الامتزاز الكامل هي كمية المادة الممتزة في الطبقة السطحية لكل وحدة كتلة أو مساحة المادة المازة. يمكن قياسه بالمول/م2، مول/كجم، جم/كجم، إلخ.

ز - "جاما" - الامتزاز الزائد (الجبس) هو فائض المادة الممتزة في الطبقة السطحية مقارنة بنفس حجم الطور لكل وحدة سطح أو كتلة المادة المازة.

- معادلة لينارد-جونز

- معادلة الامتزاز جيبس .

- التغير المتكامل في طاقة جيبس .

- تغير الانتروبيا التفاضلية

- المحتوى الحراري التفاضلي للامتصاص

- حرارة الامتزاز متساوية

- حرارة التكثيف

- صافي حرارة الامتزاز

Qa - الحرارة المتكاملة للامتزاز،

قرا – صافي الحرارة المتكاملة للامتزاز،

- معادلة هنري

- معادلة لانجميور.

امتزاز خليط من الغازات على سطح متجانس

امتزاز خليط من الغازات على سطح غير منتظم

نظرية الرهان

النقاط الرئيسية:

عندما يضرب جزيء ممتز موقعًا مشغولًا، يتم تشكيل مجموعة متعددة.

كلما اقتربنا صل ص سيتناقص عدد مواقع الامتزاز المجانية. في البداية، يزيد عدد الأماكن التي يشغلها الفردي والزوجي وما إلى ذلك ثم يتناقص. في مجموعات.

في ص =ص س يتحول الامتزاز إلى التكثيف.

لا توجد تفاعلات أفقية.

بالنسبة للطبقة الأولى، يتم استيفاء ايزوثيرم لانجميور.

العيب الرئيسي للنظرية- إهمال التفاعلات الأفقية لصالح التفاعلات الرأسية.

المحاسبة عن التفاعلات الممتزة.

أ الممتزات ليست قطبية.

يتوافق الرسم البياني 1 مع التفاعلات الممتزة الضعيفة والتفاعلات الممتزة القوية.

يتوافق الرسم البياني 2 مع التفاعلات الممتزة القوية والتفاعلات الممتزة القوية.

يتوافق الرسم البياني 3 مع التفاعل القوي الممتز والتفاعل الضعيف الممتز.

- معادلة فرونكين، فاولر، غوغنهايم.

ك- ثابت الجذب .

نظرية بولياني المحتملة

الامتزاز- وهذا نتيجة انجذاب المادة الممتزة إلى سطح المادة المازة بفعل جهد الامتزاز الذي لا يعتمد على وجود جزيئات أخرى ويعتمد على المسافة بين السطح والجزيء الممتز.

, - إمكانية الامتزاز.

وبما أن السطح غير منتظم، يتم استبدال المسافة بحجم الامتزاز . حجم الامتزازهو الحجم المحصور بين السطح والنقطة المقابلة لقيمة معينة .

إمكانية الامتزازهو عمل نقل 1 مول من المادة الممتزة خارج حجم امتزاز معين إلى نقطة معينة من حجم الامتزاز (أو عمل نقل 1 مول من البخار المشبع لمادة ماصة تكون في حالة توازن مع سائل ممتز في غياب المادة المازة إلى مرحلة بخار في حالة توازن مع المادة المازة).

معادلة طومسون-كلفن.

الامتزاز في الواجهة الصلبة والسائلة

معادلة تساوي درجة حرارة الامتزاز مع ثابت التبادل

النشاط السطحي g هو قدرة المواد على تقليل التوتر السطحي في النظام.

- حكم تراوبو دوكلوس

- معادلة شيشكوفسكي.

ميشيل- يسمى مجموع جزيئات الفاعل بالسطح الأمفيفيلية، التي تشكل جذورها الهيدروكربونية قلبًا، وتتحول المجموعات القطبية إلى الطور المائي.

كتلة مذيلة – كتلة مذيلة.

عدد الجزيئات هو رقم التجميع.

بالنسبة للسلسلة المتماثلة هناك معادلة تجريبية:

أ- طاقة انحلال المجموعة الوظيفية.

ب- زيادة إمكانية الامتزاز، وعمل الامتزاز لكل وحدة الميثيلين.

إن وجود نواة هيدروكربونية في المذيلات يخلق الفرصة للمركبات غير القابلة للذوبان في الماء لتذوب في المحاليل المائية للمواد الخافضة للتوتر السطحي؛ وتسمى هذه الظاهرة الذوبان(ما يذوب هو مادة قابلة للذوبان، والفاعل بالسطح هو مادة قابلة للذوبان).

- الضغط ثنائي الأبعاد.

يسمى الفيلم المحاط بأطوار متماثلة من الجانبين ثنائي. في مثل هذه الأفلام، يتم ملاحظة الحركة المستمرة للسائل الأم.

تسمى الأفلام التي يقل سمكها عن 5 نانومتر أفلام سوداء.

- نظير لمعادلة شيشكوفسكي

الظواهر الحركية الكهربائية. طبقة كهربائية مزدوجة (EDL).

التناضح الكهربائي هي حركة وسط التشتت بالنسبة إلى الطور المشتت الثابت تحت تأثير تيار كهربائي.

الكهربائي - هذه هي حركة جسيمات الطور المشتتة بالنسبة إلى وسط تشتت ثابت تحت تأثير تيار كهربائي.

معامل القص

معامل الاحتكاك اللزج

- معادلة جيليمهولتز-سمالوكوسكي

معادلة بولتزمان

كثافة الشحنة الحجمية

\

معادلة بواسون

- سمك DEL هو المسافة التي يتناقص فيها جهد DEL همرة واحدة.

- تتناقص الإمكانات بشكل كبير.

سعة طبقة مزدوجة

نظرية ستيرن. هيكل المذيلة الغروية.

تتكون الطبقة الكهربائية المزدوجة من جزأين: كثيف ومنتشر. تتشكل طبقة كثيفة نتيجة لتفاعل الأيونات المحتملة التكوين مع الأيونات الممتزة على وجه التحديد. هذه الأيونات، كقاعدة عامة، تكون مجففة جزئيًا أو كليًا ويمكن أن يكون لها نفس الشحنة أو معاكسة للأيونات المحددة للجهد. ذلك يعتمد على نسبة طاقة التفاعل الكهروستاتيكية
وإمكانية امتصاص محددة
. يتم إصلاح أيونات الطبقة الكثيفة. أما الجزء الآخر من الأيونات فيقع في الطبقة المنتشرة، وهذه الأيونات حرة ويمكن أن تتحرك بشكل أعمق في المحلول، أي في المحلول. من منطقة ذات تركيز أعلى إلى منطقة ذات تركيز أقل. تتكون كثافة الشحنة الإجمالية من جزأين.

- شحنة طبقة هلمهولتز

- شحنة طبقة منتشرة

، أين - الكسر المولي للأضداد في المحلول

يسمى خط الاستراحة الحدود المنزلقة.

يُطلق على الإمكانات الناشئة عند الحدود المنزلقة نتيجة لفصل جزء من الطبقة المنتشرة الإمكانات الحركية الكهربائية(إمكانات زيتا ).

يسمى جسيم الطور المشتت مع طبقة محيطة من الأضداد وطبقة كهربائية مزدوجة مذيلة.

معادلة جيليمهولتز-سمولوتشوسكي

(للتناضح الكهربائي).

لإمكانات التدفق:

- معادلة ليبمان الأولى.

- معادلة ليبمان الثانية.

- معادلة نرنست

- معادلة المنحنى الشعري الكهربائي (ECC).

تجلط الدمهي عملية التصاق الجسيمات، مما يؤدي إلى فقدان استقرار التجميع.

- قاعدة شولتز هاردي

فيلم- هذا هو جزء النظام الموجود بين سطحين بينيين.

الضغط المنفصليحدث عندما ينخفض ​​سمك الفيلم بشكل حاد نتيجة لتفاعل الطبقات السطحية المقتربة.

نظرية الاستقرار. DLFO (ديرياجين، لانداو، فيرواي، أوفربيك).

وفقًا لنظرية DLFO، يتكون ضغط الانفصال من عنصرين:

كهرباء P E (إيجابي، ويرجع ذلك إلى قوى التنافر الكهروستاتيكية). يتوافق مع انخفاض طاقة جيبس ​​مع زيادة سمك الفيلم.

جزيئي P M (سلبي بسبب عمل قوى الجذب). وينتج عن ضغط الفيلم بسبب القوى السطحية الكيميائية، ونصف قطر عمل القوى هو أعشار نانومتر مع طاقة تبلغ حوالي 400 كيلوجول / مول.

إجمالي طاقة التفاعل:

- معادلة لابلاس

للأسطح ضعيفة الشحن

للأسطح المشحونة للغاية:

المكون الجزيئي هو تفاعل ذرتين:

~

تفاعل الذرة مع السطح:

الأسطح المشحونة قليلاً:
,للأسطح شديدة الشحن

نظرية سمولوشوفسكي للتخثر السريع.

اعتماد معدل التخثر على تركيز المنحل بالكهرباء.

I - معدل تخثر الدم منخفض،

II – يتناسب معدل التخثر تقريبًا مع تركيز الإلكتروليت.

III – منطقة التخثر السريع، وسرعتها مستقلة عمليا عن التركيز.

الأحكام الأساسية:

يكون المحلول الأولي أحادي التشتت، والجزيئات المماثلة لها شكل كروي.

جميع تصادمات الجسيمات فعالة.

عندما يصطدم جسيمان أوليان، يتكون جسيم ثانوي. ثانوي + ابتدائي = ثالثي. الابتدائي والثانوي والثالث – التعدد.

,
,
,

تسمى الأنظمة التي تتشكل تلقائيًا مجفف بالتجميد، تتميز بقيم منخفضة
ومستقرة.

الأنظمة كاره لليوفوبيالا تتشكل بشكل عفوي، t/d غير مستقرة وتتطلب استقرارًا إضافيًا، غالبًا ما يرجع ذلك إلى إدخال مادة خافضة للتوتر السطحي في النظام.

مرحلة تكوين الجنين ( )=تكوين مراكز التبلور (I) + مرحلة إيصال المادة إلى هذه المراكز (U).

مرحلة نمو الجنين
= تكوين مراكز التكثيف ثنائية الأبعاد (I') + إيصال المادة إلى هذه المراكز (U)

الفيزياء الحرارية لدرجات الحرارة المرتفعة، 2010، المجلد 48، العدد 2، ص. 193-197

الخصائص الفيزيائية الحرارية للمادة

يو دي سي 532.6:004.932

طريقة قطرة محسنة لتحديد التوتر السطحي للسوائل

© 2010 L. B. المدير، V. M. Zaichenko، I. L. Maikov

المعهد المشترك لدرجات الحرارة المرتفعة RAS، موسكو تلقى 25/05/2009

تم تطوير تقنية محسنة لمعالجة صور القسم الزوالي من قطرة السائل التي تم الحصول عليها من خلال تطبيق طريقة الهبوط اللاطئة لتحديد التوتر السطحي للسائل. توفر هذه التقنية مسح صورة رقمية للقطرة، والحل العددي لمعادلة يونغ لابلاس، بالإضافة إلى حساب التوتر السطحي، وزاوية التلامس وحجم القطرة.

مقدمة

تعتبر طريقة السقوط اللاطئة (المعلقة) أو الثابتة الطريقة الساكنة الأكثر موثوقية لدراسة التوتر السطحي لمصهورات المعادن والملح والبوليمر والسوائل الأخرى.

تعتمد الطرق الثابتة على حل معادلة يونج لابلاس التفاضلية. تم الحصول على حلول تقريبية لهذه المعادلة من قبل العديد من المؤلفين، وتعتمد الطريقة الأكثر شيوعًا لتحديد معامل التوتر السطحي على استخدام جدولي باشفورث وآدامز. إن التبعيات التجريبية الموجودة هي في الأساس تقريب لهذه الجداول. عيوب هذه الأساليب هي دقة منخفضة، فضلا عن القيود المرتبطة بحجم الحبرية. يتم تحديد المعلمات الهندسية للقطرة عن طريق قياس صورتها الفوتوغرافية باستخدام مجهر القياس. عملية القياس كثيفة العمالة للغاية، وتحتوي نتائجها على أخطاء مرتبطة بالخصائص الفردية للمراقب.

الغرض من هذا العمل هو إنشاء حزمة برامج عالية السرعة تسمح لك بمعالجة الصورة الرقمية للقطرة وتنفيذ إجراء التحسين لتحديد معامل التوتر السطحي للسائل باستخدام كل من الطريقة اللاطئة وطريقة فصل قطرة (قطرة معلقة). تعتمد المنهجية على أيديولوجية التكامل العددي لمعادلة يونغ لابلاس المعروضة في العمل.

إسقاط طريقة معالجة الصور

المعلومات المصدر عبارة عن ملف رسومي بتنسيق نقطي قياسي

BitMaP (BMP) mate، والذي يحتوي على صورة للقسم الطولي للهبوط. تحتوي الصورة على لوحة بالأبيض والأسود مع تدرج رمادي من الأبيض إلى الأسود (بالتدوين السداسي العشري من 000000 إلى FFFFFF) بلون RGB (الشكل 1).

يعد تحديد الحدود الدقيقة للصورة مهمة منفصلة. هناك خوارزميات معقدة للغاية تعتمد على طريقة دالة تحديد المستوى وتتطلب حل المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية. في هذا العمل، تم استخدام خوارزمية بسيطة موضحة أدناه لتبسيط الحسابات العددية وتقييم دقتها.

في المرحلة الأولى من المعالجة، يتم تحويل الصورة الرمادية إلى أحادية اللون بالأبيض والأسود على النحو التالي. يتم تحديد متوسط ​​قيمة اللون من لوحة الألوان (بالنظام الست عشري، وهذا يتوافق مع اللون 888888). تتكون عملية المعالجة الإضافية من

أرز. 1. صورة قطرة على الركيزة (تنسيق BMR).

مسح الصورة عند كل بكسل. جميع وحدات البكسل ذات قيمة لون أقل من الحدود تغير قيمتها إلى الأبيض، وأكثر من الحدود - إلى الأسود، ونتيجة لذلك يتم تحديد حدود الألوان البيضاء والسوداء، وبالتالي، إحداثيات النقاط الكنتورية للصورة (الصورة 2).

يؤدي اختيار لون الحدود عند تحويل صورة من اللون الرمادي إلى أحادية اللون إلى حدوث خطأ معين في النتيجة، وهو ما يتضح من منحنى اعتماد الحجم النسبي للمعيار (الكرة الفولاذية المعايرة) على اختيار لون الحدود (الشكل .3).

عند اختيار خمس اللوحة الكاملة (ألوان اللوحة من 666666 إلى LLLLLLA في التمثيل الست عشري تتوافق مع الألوان من 1 إلى 4 في الشكل 3)، فإن الخطأ النسبي في تحديد مستوى الصوت هو 0.2%. يتوافق لون اللوحة 888888 (منتصف اللوحة الكاملة) مع قيمة 3 على المحور السيني وحجم نسبي قدره 1.

الحجم النسبي 1.0010

حدود فصل الألوان

أرز. 3. اعتماد الحجم النسبي للمعيار على اختيار لون الحدود.

الإجراء العددي لمعالجة الصورة المسقطة

إن شكل القطرة الموجودة على الركيزة (الشكل 4) يفي بمعادلة يونغ لابلاس

(ل + ش "2)3/2 ش (1 + ش

ثابت الشعرية. ش - شارك

معامل التوتر السطحي ح - ارتفاع السقوط؛ [x، y(x)] - إحداثيات حدود القسم الزوالي للهبوط (انظر الشكل 4)؛ R0 هو نصف قطر الانحناء عند النقطة العليا للهبوط؛ Ap هو الفرق بين كثافة السائل والغاز المحيط به.

لحل المعادلة (1) عدديًا، دعونا نحددها x = x(1)،

أنا هنا هو طول قوس المنحنى من أعلى الهبوط إلى النقطة ذات الإحداثيات x(1)، y(1). ثم سيتم كتابة معادلة يونغ لابلاس في الصورة البارامترية

الخامس أ ذ رو ن - س + س + _2_

A y Roy بالشروط الأولية x(0) = H، y(0) = 0، x(0) = 0، y(0) = -1.

أرز. 4. قسم الزوال من قطرة لاطئة.

تحسين طريقة إسقاط لاطئة

يمكن تمثيل نظام المعادلتين التفاضليتين من الدرجة الثانية (2) كنظام من أربع معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى

ش = -v + ä + 2

"ح - س، ü، 2 v = ü |-2--1---1--

مع الشروط الأولية x(0) = H، y(0) = 0،

و (0) = 0، الخامس (0) = -1.

لدمج نظام المعادلات التفاضلية العادية (3)، تم استخدام طريقة عددية لحل المعادلات التفاضلية الصلبة - طريقة خطية متعددة الخطوات مع اختيار تلقائي للخطوات، تم تنفيذها في خوارزمية DIFSUB.

عند معالجة البيانات التي تم الحصول عليها بطريقة الهبوط اللاطئ (فصل الإسقاط)، يتم حل المشكلة العكسية المتمثلة في تحديد ثابت الشعرية a2 وارتفاع الهبوط H ونصف قطر الانحناء R باستخدام اعتماد نصف قطر دائرة المقطع الأفقي لـ الانخفاض على مسافة هذا القسم إلى الركيزة.

لنفكر في دالة تمثل مجموع الانحرافات التربيعية للنقاط التجريبية من المنحنى المحسوب

L = K - X؛)2 + (Ue1 - Y،)2)،

حيث (xe, ye) هي إحداثيات النقاط التجريبية، (x, y) هي إحداثيات النقاط المحسوبة.

النقاط المحسوبة (x;, y()) هي وظائف المعلمات a1 = a2, a2 ​​​​= H, a3 = R0:

الحادي عشر - الحادي عشر (ر، a1 a2، a3)،

yt - y,(h, ai, a2, a3). دعونا نوسع (5) إلى سلسلة تايلور في محيط النقطة

كي (a1، a2، a3)

xt = x (t , a°, a°, a°) + dXi Aa1 + dXt Aa2 + dXi Aa3,

yl = y,(ti, ai1, a°, a°) + ^ Aai + Aa2 + Aay

وللحصول على الحد الأدنى من الوظيفية (4) يجب استيفاء الشروط

بالتعويض (4) في (6) والتفاضل، يمكن كتابة نظام المعادلات (7) في الصورة

Xei - xi - dx- Aai - dx- Aa2 - dx- Aa3)) +

+ | ياي - ذ، -dU Aai -f* Aa2 -f* Aa3))

öa1 öa2 öa3 jda1_

xei - x, - ^Дв1 -О*!.дa2 -§xlAa3- +

يي-y، -yU. نعم - دا1 - وداز -

دا1 دا2 دا3)دا2ج

dx. 5x- 5x- 15x-xei - xi --LD^ --LDa2 --LDaz - +

yei- yt -dR Da1 -M Da2 -^U- Da3 -

dxt dxt + dyt dyt = 1 داك دا، داك دا،

أنا| (xei-xi)f + (yei - y, fi|, V da, da, 1

أنا أنا dxL dx± + dy_ dyj_

داك دا، داك دا،

ك = 1| ط = 1 ك 2 ك 2.

أنا| (xei-x,)f* + (yei - У,)f |,

أنا dxj_ dxi + dy_ dy_

داك دا3 داك دا3 ك = 1V ط = 1 ك 3 ك 3 يو

أنا| (xei- x, + (yei - Y,)f

لحل نظام المعادلات (8) فمن الضروري

dimo حساب المشتقات الجزئية للنموذج

(6) حيث أنا = 1-^، ك = 1-3. منذ التحليلية

الاعتمادات (4) على المعلمات a1 غير معروفة، ويتم تحديد المشتقات الجزئية عدديا.

يتم حساب القيم الجديدة لـ ak (حيث k = 1-3) باستخدام قيم Aak الموجودة باستخدام الصيغة

0 0 . أك = أك + آك

خوارزمية الحل

لحل نظام المعادلات رقم (8) تم تطوير الخوارزمية التالية.

المدير، الخ.

أرز. 5. شكل قطرة الماء بطريقة القطرة اللاطئة: 1- نقاط تجريبية؛ 2 - الحساب باستخدام إجراء التحسين.

1. ضبط التقريب الأولي (a0, a0, a0) على افتراض أن شكل الهبوط يوصف بشكل تقريبي بقطع ناقص وأنصاف محاور تساوي ارتفاع الهبوط وأقصى نصف قطر لدائرة المقطع الأفقي.

2. تحديد الانحرافات الصغيرة (Aab Aa2, Aa3).

3. حل نظام المعادلات (3) باستخدام خوارزمية DIFSUB للقيم المعطاة (a0, a0, a0). الحصول على الحل العددي الأول. تحديد التبعيات الوظيفية xn و yn باستخدام الخوارزمية لحساب معلمات دالة الشريحة المكعبة SPLINE.

4. حل نظام المعادلات (3) باستخدام خوارزمية DIFSUB للقيم المعطاة (a0 + Aa1, a0, a0). الحصول على الحل العددي الثاني. تحديد التبعيات الوظيفية xi2 وyi2 باستخدام خوارزمية SPLINE. حساب المشتقات باستخدام الحلين الأول والثاني

dh1 = Xg - xn dy1 = y2 - yn. دا1 أأ1 دا1 أأ1

5. حل نظام المعادلات (3) باستخدام خوارزمية DIFSUB للمعطى (a0, a0 +

أأ2، أ0). الحصول على الحل العددي الثالث. تحديد التبعيات الوظيفية xi3 وyi3 باستخدام خوارزمية SPLINE. حساب المشتقات باستخدام الحلين الأول والثالث

dX = Xз - س/1؟ د!± = Ua - U/1. دا2 أأ2 دا2 أأ2

6. حل نظام المعادلات (3) باستخدام

أ3 + أأ3). الحصول على الحل العددي الرابع. تحديد التبعيات الوظيفية xi4 وyi4 باستخدام خوارزمية SPLINE. حساب المشتقات باستخدام الحلين الأول والرابع

dX/ = X/4 - Xj 1 ديل = Y/4 - Y/1.

7. حساب معاملات النظام (8) وحله باستخدام خوارزمية حل نظام المعادلات الخطية SOLVE. الاستلام (آب Aa2، Aa3).

8. حساب قيم المعلمات الجديدة باستخدام الصيغة (9)

باستخدام خوارزمية DIFSUB

لمزيد من قراءة المقال، يجب عليك شراء النص الكامل

KASHEZHEV A. Z.، KUTUEV R. A.، PONEZHEV M. Kh.، SOZAEV V. A.، KHASANOV A. I. - 2012

يعتبر ليوناردو دافنشي مكتشف الظواهر الشعرية. ومع ذلك، فإن أول ملاحظات دقيقة للظواهر الشعرية على الأنابيب والألواح الزجاجية تم إجراؤها بواسطة فرانسيس هوكسبي في عام 1709).

هذه المادة ليست قابلة للقسمة إلى ما لا نهاية، ولها بنية ذرية أو جزيئية، وهي الفرضية السائدة لدى معظم العلماء منذ القرن الثامن عشر. قرب نهاية القرن التاسع عشر، عندما أشارت مجموعة من الفيزيائيين الوضعيين إلى مدى عدم مباشرة الدليل على وجود الذرات، لم يكن هناك رد فعل يذكر على ادعائهم، ونتيجة لذلك لم يتم دحض اعتراضاتهم حتى بداية هذا القرن. . إذا بدت لنا الشكوك لا أساس لها من الصحة، فيجب أن نتذكر أن كل من آمن بوجود الذرات تقريبًا كان يؤمن أيضًا بالوجود المادي للأثير الكهرومغناطيسي، وذلك في النصف الأول من القرن التاسع عشر. - في كثير من الأحيان من السعرات الحرارية. ومع ذلك، فإن العلماء الذين قدموا أعظم المساهمات في نظرية الغازات والسوائل استخدموا الافتراض (عادة في شكل واضح) للبنية المنفصلة للمادة. كانت الجسيمات الأولية للمادة تسمى ذرات، أو جزيئات (لابلاس مثلا)، أو ببساطة جسيمات (يونج)، لكننا سنتبع المفاهيم الحديثة ونستخدم كلمة "جزيء" للإشارة إلى الجسيمات الأولية التي يتكون منها غاز أو سائل أو صلب.

في بداية القرن التاسع عشر. فالقوى التي قد توجد بين الجزيئات كانت غير واضحة مثل الجسيمات نفسها. القوة الوحيدة التي لم يكن هناك شك فيها هي الجاذبية النيوتونية. إنه يعمل بين الأجرام السماوية، ومن الواضح، بين أحد هذه الأجسام (الأرض) وآخر (على سبيل المثال، تفاحة) ذات كتلة مختبرية؛ وقد أظهر كافنديش مؤخرًا أنه يعمل أيضًا بين كتلتين معمليتين، ولذلك افترض أنه يعمل أيضًا بين الجزيئات. في العمل المبكر على السوائل، نجد أن الكتل الجزيئية وكثافات الكتلة تدخل في المعادلات التي يتعين علينا الآن أن نكتب فيها أعداد الجزيئات وكثافات أعداد الجزيئات. في السائل النقي، جميع الجزيئات لها نفس الكتلة، لذلك لا يهم هذا الاختلاف. ولكن حتى قبل عام 1800، كان من الواضح أن مفهوم قوى الجاذبية لم يكن كافيًا لتفسير الظواهر الشعرية وغيرها من خصائص السوائل. إن صعود السائل في أنبوب زجاجي لا يعتمد على سمك الزجاج (وفقًا لهوكسبي، 1709)، وبالتالي فإن القوى التي تمارسها الجزيئات الموجودة في الطبقة السطحية للزجاج فقط هي التي تؤثر على الجزيئات الموجودة في السائل. إن قوى الجاذبية تتناسب عكسيا فقط مع مربع المسافة، وكما هو معروف، فإنها تعمل بحرية من خلال المادة الوسيطة.

كانت طبيعة القوى بين الجزيئية بخلاف قوى الجاذبية غير واضحة تمامًا، ولكن لم يكن هناك نقص في التكهنات. يعتقد الكاهن اليسوعي روجيرو جوزيبي بوسكوفيتش أن الجزيئات تتنافر عند مسافات قصيرة جدًا، وتتجاذب عند مسافات أكبر قليلاً، ثم تظهر تنافرًا وتجاذبًا متناوبين يتناقصان مع زيادة المسافة. أثرت أفكاره على كل من فاراداي وكلفن في القرن التالي، لكنها كانت معقدة للغاية بحيث لم تكن ذات فائدة فورية لمنظري النظرية الشعرية. وقد استقر الأخير بحكمة على فرضيات بسيطة.

أجرى Quincke (G.H. Quincke) تجارب لتحديد أكبر مسافة يمكن ملاحظة تأثير القوى بين الجزيئات فيها. ووجد أن هذه المسافات بالنسبة للمواد المختلفة هي ~ 1/20000 من المليمتر، أي. ~ 5 · 10 -6 سم (البيانات المقدمة حسب) .

أظهر جيمس جورين أن الارتفاع الذي يرتفع إليه السائل يتحدد بأعلى الأنبوب، وهو أعلى من السائل، وهو مستقل عن شكل قاع الأنبوب. ورأى أن صعود السائل يحدث بسبب الجذب من السطح الأسطواني الداخلي للأنبوب الذي يجاوره السطح العلوي للسائل. وبناء على ذلك بين أن صعود السائل في الأنابيب التي تحتوي على نفس المادة يتناسب عكسيا مع نصف قطرها الداخلي.

كان كليروت من أوائل الذين أظهروا الحاجة إلى مراعاة التجاذب بين جزيئات السائل نفسه لتفسير الظواهر الشعرية. ومع ذلك، فهو لم يدرك أن المسافات التي تعمل فيها هذه القوى صغيرة بشكل غير محسوس.

في عام 1751، قدم فون سيجنر فكرة التوتر السطحي المهمة عن طريق القياس مع التوتر الميكانيكي للغشاء في نظرية المرونة. اليوم، أصبح مفهوم التوتر السطحي شائعا، وعادة ما يكون نقطة الانطلاق لدراسة القوى الشعرية والظواهر السطحية في المؤسسات التعليمية.

أصبحت هذه الفكرة أساسية في مواصلة تطوير النظرية. في الواقع، كانت هذه هي الخطوة الأولى في دراسة هذه الظاهرة - حيث تم تقديم مفهوم ظاهري يصف السلوك العياني للنظام. والخطوة الثانية هي اشتقاق المفاهيم الظواهرية وحساب قيم الكميات على أساس النظرية الجزيئية. ولهذه الخطوة أهمية كبيرة، لأنها بمثابة اختبار لصحة نظرية جزيئية معينة.

في عام 1802، قدم جون ليزلي أول تفسير صحيح لصعود سائل في أنبوب من خلال النظر في التجاذب بين الجسم الصلب وطبقة رقيقة من السائل على سطحه. وهو، على عكس معظم الباحثين السابقين، لم يفترض أن قوة هذا الجذب موجهة نحو الأعلى (مباشرة للحفاظ على السوائل). على العكس من ذلك، فقد أظهر أن الجذب أمر طبيعي في كل مكان على سطح الجسم الصلب.

التأثير المباشر للتجاذب هو زيادة الضغط في طبقة من السائل الملامس للمادة الصلبة بحيث يصبح الضغط أعلى من الضغط داخل السائل. والنتيجة هي أن الطبقة تميل إلى "الانتشار" على سطح الجسم الصلب، ولا توقفها إلا قوى الجاذبية. وهكذا، فإن الأنبوب الزجاجي المغمور في الماء يتم ترطيبه بالماء حيثما يمكن أن "يزحف". ومع ارتفاع السائل، فإنه يشكل عمودًا، يؤدي وزنه في النهاية إلى موازنة القوة التي تسبب انتشار السائل.

لم تكن هذه النظرية مكتوبة برموز رياضية، وبالتالي لم تتمكن من إظهار علاقة كمية بين جاذبية الجزيئات الفردية والنتيجة النهائية. تمت مراجعة نظرية ليزلي لاحقًا باستخدام الأساليب الرياضية اللابلاسية بواسطة جيمس إيفوري في مقال عن الفعل الشعري، تحت عنوان "السوائل وارتفاعها"، في ملحق للطبعة الرابعة من الموسوعة البريطانية، التي نُشرت عام 1819.

2. نظريات يونج ولابلاس

في عام 1804، أثبت توماس يونغ نظرية الظواهر الشعرية على مبدأ التوتر السطحي. كما لاحظ ثبات زاوية التلامس السائل لسطح صلب (زاوية التلامس) ووجد علاقة كمية تربط زاوية التلامس مع معاملات التوتر السطحي لحدود الطور البيني المقابلة. في حالة التوازن، لا ينبغي لخط الاتصال أن يتحرك على طول سطح المادة الصلبة، مما يعني، كما قال هوكسبي، أنه كان معيدًا في الجمعية الملكية، وقد أثرت تجاربه على محتوى مقالة طويلة جدًا عن الجسيمات الأولية للمادة و القوى بينهما، والتي أكمل بها نيوتن نشر كتابه "البصريات" في عام 1717. سم.

أين إس إس في,SSL,ق LVمعاملات التوتر السطحي لحدود الطور البيني: صلب - غاز (بخار)، صلب - سائل، سائل - غاز، على التوالي، سزاوية الحافة. تُعرف هذه العلاقة الآن باسم صيغة يونغ. لا يزال هذا العمل لم يكن له نفس التأثير على تطور العلم في هذا الاتجاه كما كان لمقالة لابلاس، التي نُشرت بعد بضعة أشهر. ويبدو أن هذا يرجع إلى حقيقة أن يونج تجنب استخدام التدوين الرياضي وحاول وصف كل شيء لفظيًا، مما جعل عمله يبدو مربكًا وغير واضح. ومع ذلك، فهو يعتبر اليوم أحد مؤسسي النظرية الكمية للخاصية الشعرية.

إن ظاهرة التماسك والالتصاق، وتكثيف البخار إلى سائل، وترطيب المواد الصلبة بالسوائل، والعديد من الخصائص البسيطة الأخرى للمادة - كلها تشير إلى وجود قوى تجاذب أقوى عدة مرات من الجاذبية، ولكنها تعمل فقط على مسافات صغيرة جدًا بين جزيئات. وكما قال لابلاس، فإن الشرط الوحيد المفروض على هذه القوى التي تنجم عن الظواهر التي يمكن ملاحظتها هو أنها "غير محسوسة على مسافات يمكن إدراكها".

خلقت القوى البغيضة المزيد من المتاعب. لا يمكن إنكار وجودهم - يجب عليهم موازنة قوى الجذب ومنع التدمير الكامل للمادة، لكن طبيعتهم كانت غير واضحة تمامًا. كان السؤال معقدًا بسبب الرأيين الخاطئين التاليين. أولاً، كان يُعتقد في كثير من الأحيان أن القوة الطاردة النشطة هي الحرارة (عادةً ما يكون هذا رأي مؤيدي نظرية السعرات الحرارية)، حيث (كانت هذه هي الحجة) السائل، عند تسخينه، يتمدد أولاً ثم يغلي، بحيث يتم فصل الجزيئات على مسافات أكبر بكثير مما هي عليه في جسم صلب أما المفهوم الخاطئ الثاني فقد نشأ من فكرة تعود إلى نيوتن مفادها أن الضغط المرصود للغاز يرجع إلى التنافر الساكن بين الجزيئات، وليس بسبب اصطدامها بجدران الوعاء، كما زعم دانييل برنولي دون جدوى.

على هذه الخلفية، كان من الطبيعي أن المحاولات الأولى لتفسير الخاصية الشعرية، أو بشكل عام تماسك السوائل، كانت مبنية على الجوانب الساكنة للمادة. كانت الميكانيكا فرعًا نظريًا من العلوم مفهومًا جيدًا؛ كانت الديناميكا الحرارية والنظرية الحركية لا تزال في المستقبل. في الاعتبار الميكانيكي، كان الافتراض الرئيسي هو افتراض وجود قوى جاذبة كبيرة ولكن قصيرة المدى. من الواضح أن السوائل الساكنة (سواء كانت في الأنبوب الشعري أو خارجه) في حالة توازن، وبالتالي يجب موازنة قوى التجاذب هذه بقوى تنافر. وبما أنه لا يمكن أن يقال عنها سوى القليل عن قوى الجذب، فقد تم تجاهلها في كثير من الأحيان في صمت، وعلى حد تعبير رايلي، "تُركت قوى الجذب لتؤدي الحيلة التي لا يمكن تصورها المتمثلة في موازنة نفسها". كان لابلاس أول من حل هذه المشكلة بشكل مرضي، معتقدًا أنه يمكن استبدال القوى التنافرية (الحرارية، كما اعترف) بالضغط الداخلي، الذي يعمل في كل مكان في سائل غير قابل للضغط. (يؤدي هذا الافتراض في بعض الأحيان إلى عدم اليقين في أعمال القرن التاسع عشر فيما يتعلق بالمقصود بدقة بـ "الضغط في السائل".) دعونا نعطي حسابات لابلاس للضغط الداخلي. (هذا الاستنتاج أقرب إلى استنتاجات ماكسويل ورايلي. وقد تم تقديم الاستنتاج وفقًا لـ.)

بحلول عام 1819، كان منخرطًا في مناقشة تفصيلية للقوى التنافرية بين الجزيئات، والتي، على الرغم من أنها لا تزال تعزى إلى الحرارة أو السعرات الحرارية، إلا أنها كانت لها خاصية أساسية تتمثل في التناقص مع المسافة بشكل أسرع من قوى التجاذب.

يجب أن توازن قوى التماسك في السائل، وقد حدد لابلاس ذلك بالقوة لكل وحدة مساحة والتي تقاوم انقسام جسم مائع لا نهائي إلى جسمين شبه لا نهائيين منفصلين على نطاق واسع ومحدودين بأسطح مسطحة. الاشتقاق أدناه أقرب إلى صيغة ماكسويل ورايلي منه إلى صيغة لابلاس الأصلية، ولكن لا يوجد فرق كبير في المناقشة.

دعونا نفكر في جسمين سائلين شبه لا نهائيين لهما سطحان مسطحان تمامًا، تفصل بينهما طبقة (سمك ل) مع كثافة منخفضة بشكل ضئيل (الشكل 1)، وفي كل واحد منهم نختار عنصر الصوت. الأول في الجزء العلوي من الجسم على ارتفاع صفوق السطح المسطح للجزء السفلي من الجسم. حجمه متساوي com.dxdydz. أما الثاني فيقع في الجزء السفلي من الجسم وله حجم يتطابق فيه أصل الإحداثيات القطبية مع موضع الحجم الأولي الأول. يترك F(س) هي القوة المؤثرة بين جزيئين تفصل بينهما مسافة س، أ د- نصف قطر عملها. وبما أن هذه قوة جذب دائمًا، فقد فعلنا ذلك

لو صهي كثافة عدد الجزيئات في كلا الجسمين، فإن المركبة الرأسية لقوة التفاعل بين عنصري الحجم تساوي

إجمالي قوة الجذب لكل وحدة مساحة (القيمة الإيجابية) هي

يترك ش(س) هي إمكانات القوة الجزيئية:

التكامل بالأجزاء مرة أخرى، نحصل على

ضغط لابلاس الداخلي كهي قوة الجذب لكل وحدة مساحة بين سطحين مستويين عندما يتلامسان، أي. F(0):

أين هو عنصر الصوت، والذي يمكن كتابته كـ . بسبب ال ش(ص) بافتراض أنه سلبي أو يساوي الصفر في كل مكان، إذن كبشكل ايجابي. يعتقد لابلاس ذلك كوهو كبير مقارنة بالضغط الجوي، ولكن أول تقدير عددي واقعي كان من تأليف يونج.

يعتمد الاستنتاج أعلاه على الافتراض الضمني بأن الجزيئات موزعة بشكل موحد مع الكثافة ص، أي. ليس للسائل بنية يمكن تمييزها على مقياس حجم يتناسب مع نصف قطر عمل القوى د. بدون هذا الافتراض سيكون من المستحيل كتابة التعبيرين (2) و (3) بهذا الشكل البسيط، ولكن سيكون من الضروري معرفة كيف يؤثر وجود الجزيء في عنصر الحجم الأول على احتمال وجود جزيء في الثانية.

يجب أن يكون التوتر لكل وحدة طول على طول خط عشوائي على سطح السائل مساويًا (في نظام الوحدات المناسب) للعمل المبذول لإنشاء وحدة من مساحة السطح الحرة. يأتي هذا من تجربة شد فيلم سائل (الشكل 2).

يمكن الحصول على قيمة هذا العمل على الفور من التعبير (6) لـ F(ل). إذا أخذنا جسمين شبه لا نهائيين متصلين وفصلنا بينهما لمسافة تتجاوز نصف قطر عمل القوى بين الجزيئات، فسيتم تحديد الشغل لكل وحدة مساحة على أنه

(8)

أثناء الانفصال، يتكون سطحان حران، وبالتالي يمكن أن يعادل الشغل المبذول ضعف الطاقة السطحية لكل وحدة مساحة، وهو ما يساوي التوتر السطحي:

(9)

هكذا، كهو تكامل الإمكانات بين الجزيئات، أو لحظة الصفر، و ح- لحظته الأولى. بينما كلا يمكن الوصول إليها للتجربة المباشرة، حيمكن العثور عليها إذا تمكنا من قياس التوتر السطحي.

دع كثافة الطاقة المتماسكة عند نقطة ما في السائل أو الغاز، أي. سلوك وحدة دو/dVأين د ش- الطاقة الداخلية ذات الحجم الصغير الخامسالسائل أو الغاز الذي يحتوي على هذه النقطة. بالنسبة للنموذج الجزيئي الذي نقبله

(10)

أين ص- المسافة من النقطة المعنية. حدد رايلي لابلاس كبفارق قدره 2 بين نقطة على سطح مستو للسائل (القيمة 2 س) ونقطة بالداخل (القيمة 2 أنا). ظاهريًا، يقتصر التكامل في (10) على نصف قطر الكرة الأرضية د، وفي المنطقة الداخلية يتم تنفيذه في جميع أنحاء المجال. لذلك، سهناك نصف أنا، أو

(11)

دعونا الآن نفكر في قطرة من نصف القطر ر. عملية حسابية FIلا يتغير، ولكن عند الاستلام و سويتم الآن التكامل على حجم محدود أكثر بسبب انحناء السطح. إذا كانت الزاوية بين المتجه ونصف قطر ثابت، إذن

ثم الضغط الداخلي في الانخفاض هو

أين حيتم تحديده بالمعادلة (9). إذا لم نأخذ قطرة كروية، بل جزءًا من السائل ذو سطح محدد بقطرين رئيسيين من الانحناء ص 1و ص 2، ثم سنحصل على الضغط الداخلي في النموذج

(14)

وفقًا لنظرية أويلر، فإن المجموع يساوي مجموع نصف القطر العكسي لانحناء السطح على طول أي مماسين متعامدين.

لأن كو حإيجابي و ريكون موجبًا بالنسبة للسطح المحدب، فمن (13) يترتب على ذلك أن الضغط الداخلي في القطرة أعلى منه في السائل ذي السطح المسطح. على العكس من ذلك، فإن الضغط الداخلي في المائع الذي يحده سطح كروي مقعر يكون أقل منه في المائع ذي السطح المستوي، حيث رفي هذه الحالة هو سلبي.

تشكل هذه النتائج أساس نظرية لابلاس حول الشعيرات الدموية. معادلة فرق الضغط (ضغط المائع داخل قطرة كروية نصف قطرها ر) و (ضغط الغاز بالخارج) يسمى الآن بمعادلة لابلاس:

تكفي ثلاث أفكار - التوتر السطحي، والضغط الداخلي، وزاوية التلامس، بالإضافة إلى التعبيرات (1) و(15) لحل جميع مشاكل التوازن الشعري العادي باستخدام طرق الإحصائيات الكلاسيكية. وهكذا، بعد عمل لابلاس ويونغ، تم وضع أسس النظرية الكمية للخاصية الشعرية.

تم الحصول على نتائج يونغ لاحقًا بواسطة غاوس باستخدام الطريقة المتغيرة. لكن كل هذه الأعمال (التي كتبها يونج ولابلاس وجاوس) كان بها عيب واحد مشترك، عيب، إذا جاز التعبير. وسيتم مناقشة هذا العيب في وقت لاحق.

عند حساب الضغط داخل سطح سائل منحني، تم تقديم جهد رايلي 2 (10)؛ وقد لوحظ في ذلك أيضاً أناهي كثافة الطاقة المتماسكة. تم تقديم هذا المفهوم المفيد لأول مرة في عام 1869 من قبل دوبري، الذي عرّفه على أنه عمل سحق قطعة من المادة إلى الجزيئات المكونة لها (عمل التفكيك الكامل).

القوة الداخلية المؤثرة على الجزيء في العمق ص< d ، هو عكس الإشارة إلى القوة الخارجية التي قد تنشأ من الجزيئات الموجودة في الحجم المظلل إذا كانت مملوءة بشكل موحد بالكثافة.

ويستشهد بالاستنتاج الذي توصل إليه زميله إف جي دي ماسير على النحو التالي. إن القوة المؤثرة على الجزيء على السطح باتجاه حجم السائل تكون معاكسة للقوة الناشئة عن الحجم المظلل في الشكل. 3، حيث أن قوة الجذب داخل السائل من الحجم الكروي لنصف القطر تساوي صفرًا بسبب التماثل. وبالتالي فإن القوة الموجهة إلى الداخل هي

هذه القوة إيجابية لأن F(0 < س < د) < 0 и F(د) = 0 بسبب الدالة الفردية F(س). لا تؤثر أي قوة على الجزيء إلا إذا كان على مسافة دعلى جانب أو آخر من السطح. ومن ثم، فإن الشغل المبذول لإزالة جزيء واحد من السائل هو

بسبب ال ش(ص) هي دالة زوجية. هذا العمل يساوي ناقص ضعف الطاقة اللازمة لكل جزيء لتفكيك السائل ( تضاعف، حتى لا تحسب الجزيئات مرتين: مرة عند إزالتها، ومرة ​​أخرى كجزء من البيئة):

(18)

هذا تعبير بسيط ومفهوم عن الطاقة الداخلية شيحتوي على سائل نجزيئات. ويترتب على ذلك أن كثافة الطاقة المتماسكة تعطى بالتعبير (10) أو

والذي يتطابق مع (11)، إذا أزلنا الفهرس أنا. حصل دوبري نفسه على نفس النتيجة بطريقة ملتوية. كان يعد وحدة دو/dVمن خلال العمل ضد القوى بين الجزيئات أثناء التمدد المنتظم لمكعب من السائل. أعطته

بسبب ال كله الشكل ((7) و (11)) حيث الثابت أيعطى من خلال التعبير

(21)

ثم التكامل (20) يؤدي مرة أخرى إلى (19).

انتقد رايلي استنتاج دوبري. كان يعتقد أن النظر في عمل التوسع الموحد من حالة توازن القوى الجزيئية المتماسكة والتنافرية عند الأخذ في الاعتبار قوى التماسك فقط لا أساس له من الصحة؛ قبل اتخاذ مثل هذه الخطوة، ينبغي للمرء أن يكون لديه معرفة أفضل بنوع القوى التنافرية.

نرى أنه في هذا الاستنتاج، كما هو الحال في استنتاجات يونغ ولابلاس وجاوس، يتم استخدام افتراض حدوث تغيير مفاجئ في كثافة عدد جزيئات المادة في واجهة الطور بشكل كبير. في الوقت نفسه، لكي تصف الحجج المذكورة أعلاه الظواهر الحقيقية في المادة، من الضروري افتراض أن نصف قطر عمل القوى بين الجزيئات في المادة أكبر بكثير من المسافة المميزة بين الجزيئات. ولكن في ظل هذا الافتراض، لا يمكن أن تكون الواجهة بين المرحلتين حادة، إذ يجب أن تنشأ كثافة انتقالية مستمرة، بمعنى آخر، منطقة انتقالية.

وقد بذلت محاولات لتعميم هذه النتائج على ملف تعريف عابر مستمر. على وجه الخصوص، توصل بواسون، الذي يحاول اتباع هذا المسار، إلى نتيجة خاطئة مفادها أنه في ظل وجود ملف تعريف انتقالي، يجب أن يختفي التوتر السطحي تمامًا. أظهر ماكسويل لاحقًا مغالطة هذا الاستنتاج.

ومع ذلك، فإن الافتراض القائل بأن نصف قطر عمل القوى الجزيئية في مادة ما أكبر بكثير من المسافة المميزة بين الجزيئات لا يتوافق مع البيانات التجريبية. في الواقع، هذه المسافات هي بنفس الترتيب. لذلك، فإن الاعتبار الآلي بروح لابلاس هو، بالمصطلحات الحديثة، نظرية المجال المتوسط. ونفس الشيء هو نظرية فاندر فالس، التي لم يتم وصفها هنا، والتي أعطت المعادلة الشهيرة لحالة الغازات الحقيقية. في كل هذه الحالات، يتطلب الحساب الدقيق مراعاة الارتباطات بين كثافات عدد الجسيمات عند نقاط مختلفة. وهذا يجعل المهمة صعبة للغاية.

3. نظرية جيبس ​​​​للشعيرات الدموية

كما يحدث غالبًا، يتبين أن الوصف الديناميكي الحراري أبسط وأكثر عمومية، ولا يقتصر على عيوب نماذج محددة.

بهذه الطريقة وصف غيبس الشعيرية في عام 1878، وبنى نظرية ديناميكية حرارية بحتة. أصبحت هذه النظرية جزءًا لا يتجزأ من الديناميكا الحرارية لجيبس. إن نظرية جيبس ​​​​للخاصية الشعرية، دون الاعتماد بشكل مباشر على أي نماذج ميكانيكية، خالية من عيوب نظرية لابلاس. يمكن اعتبارها بحق أول نظرية ديناميكية حرارية مفصلة للظواهر السطحية.

فيما يتعلق بنظرية جيبس ​​حول الشعيرات الدموية، يمكننا القول إنها بسيطة جدًا ومعقدة جدًا. الأمر بسيط لأن جيبس ​​تمكن من إيجاد طريقة تسمح لنا بالحصول على العلاقات الديناميكية الحرارية الأكثر إحكاما والأناقة، والتي تنطبق بالتساوي على الأسطح المسطحة والمنحنية. كتب جيبس: "إن إحدى المهام الرئيسية للبحث النظري في أي مجال من مجالات المعرفة هي تحديد وجهة النظر التي يظهر منها موضوع الدراسة بأكبر قدر من البساطة". وجهة النظر هذه في نظرية جيبس ​​حول الشعيرية هي فكرة فصل الأسطح. إن استخدام صورة هندسية مرئية للسطح الفاصل وإدخال كميات زائدة عن الحاجة جعل من الممكن وصف خصائص الأسطح بأبسط ما يمكن وتجاوز مسألة بنية وسمك الطبقة السطحية، والتي لم تكن مدروسة تمامًا عند زمن جيبس ​​وما زال بعيدًا عن الحل الكامل. تعتمد قيم Gibbs الزائدة (الامتزاز وغيرها) على موضع السطح الفاصل، ويمكن العثور على الأخير أيضًا لأسباب تتعلق بأقصى قدر من البساطة والراحة.

ومن المعقول في كل حالة اختيار السطح الفاصل بحيث يكون في كل مكان متعامدا مع تدرج الكثافة. إذا تم تحديد الأسطح الفاصلة، فإن كل مرحلة ( ل} (ل = أ, ب, ز) يتوافق الآن مع الحجم الذي يشغله الخامس{ ل) . حجم النظام الكامل

دع كثافة عدد جزيئات الصنف يفي المرحلة [السائبة] ( ل). ثم العدد الإجمالي للجزيئات من هذا النوع يفي النظام قيد النظر يساوي

أين هو السطح الزائد لعدد الجزيئات من هذا النوع ي(فِهرِس ( س) يعني السطح - السطح). يتم تحديد تجاوزات الكميات الفيزيائية واسعة النطاق الأخرى بطريقة مماثلة. من الواضح، في حالة الفيلم المسطح، على سبيل المثال، أنه يتناسب مع مساحته أ. القيمة المعرفة بأنها الزيادة السطحية في عدد جزيئات النوع يلكل وحدة مساحة من سطح الانتشار يسمى امتزاز جزيئات من النوع يعلى هذا السطح.

استخدم جيبس ​​موضعين رئيسيين للسطح الفاصل: أحدهما يكون فيه امتصاص أحد المكونات صفرًا (يسمى هذا السطح الآن متساوي الجزيئات)، والوضع الذي يختفي فيه الاعتماد الواضح لطاقة السطح على انحناء السطح. (أطلق جيبس ​​على هذا الوضع اسم سطح التوتر). استخدم جيبس ​​السطح متساوي الجزيئات للنظر في الأسطح السائلة المسطحة (وأسطح المواد الصلبة)، وسطح التوتر للنظر في الأسطح المنحنية. بالنسبة لكلا الموضعين، تم تقليل عدد المتغيرات وتحقيق الحد الأقصى من البساطة الرياضية.

الآن عن تعقيد نظرية جيبس. على الرغم من أنه بسيط جدًا من الناحية الرياضية، إلا أنه لا يزال من الصعب فهمه؛ يحدث هذا لعدة أسباب. أولاً، لا يمكن فهم نظرية جيبس ​​حول الشعيرية بمعزل عن مجمل الديناميكا الحرارية لجيبس، والتي تعتمد على طريقة استنتاجية عامة جدًا. إن العمومية الكبيرة للنظرية تمنحها دائمًا بعض التجريد، مما يؤثر بالطبع على سهولة الإدراك. ثانيًا، تعتبر نظرية جيبس ​​حول القدرة الشعرية بحد ذاتها نظامًا شاملاً ولكنه مشروط يتطلب وحدة الإدراك دون التجريد من أحكامه الفردية. إن اتباع نهج غير محترف في دراسة جيبس ​​أمر مستحيل بكل بساطة. أخيرًا، هناك ظرف مهم وهو أن جميع أعمال جيبس ​​المذكورة مكتوبة بطريقة موجزة للغاية وبلغة صعبة للغاية. هذا العمل، وفقًا لرايلي، "مكثف للغاية وصعب ليس فقط بالنسبة لمعظم القراء، ولكن، كما يمكن للمرء أن يقول، لجميع القراء". وفقًا لغوغنهايم، "إن استخدام صيغ جيبس ​​أسهل بكثير من فهمها".

وبطبيعة الحال، أدى استخدام صيغ جيبس ​​دون فهمها الحقيقي إلى العديد من الأخطاء في تفسير وتطبيق الأحكام الفردية لنظرية جيبس ​​حول الشعيرية. ارتبطت العديد من الأخطاء بعدم فهم الحاجة إلى تحديد موضع السطح الفاصل بشكل لا لبس فيه من أجل الحصول على النتيجة المادية الصحيحة. غالبًا ما تمت مواجهة أخطاء من هذا النوع عند تحليل اعتماد التوتر السطحي على انحناء السطح؛ حتى أن أحد «ركائز» نظرية الشعيرية، وهو باكر، لم يفلت منها. مثال على نوع آخر من الأخطاء هو التفسير غير الصحيح للإمكانات الكيميائية عند النظر في الظواهر السطحية والمجالات الخارجية.

بعد وقت قصير من نشر نظرية جيبس ​​حول الشعيرات الدموية، تم التعبير عن الرغبات في الحصول على شرح أكثر اكتمالا وتفصيلا في الأدبيات العلمية. في الرسالة الموجهة إلى جيبس ​​المذكورة أعلاه، اقترح رايلي أن يقوم جيبس ​​بنفسه بهذا العمل. ومع ذلك، تم ذلك بعد ذلك بكثير: أعدت رايس تعليقًا على نظرية جيبس ​​بأكملها، وتم التعليق على بعض أحكامها في أعمال فرومكين، وديفاي، وريبندر، وغوغنهايم، وتولمان، وبوف، وسيمينشينكو وغيرهم من الباحثين. أصبحت العديد من أحكام نظرية جيبس ​​أكثر وضوحًا، وتم العثور على تقنيات منطقية أبسط وأكثر فعالية لتبريرها.

ومن الأمثلة النموذجية على ذلك عمل كوندو المثير للإعجاب، والذي اقترح طريقة مرئية وسهلة الفهم لإدخال سطح التوتر عن طريق تحريك السطح الفاصل عقليًا. إذا كتبنا تعبيرا عن طاقة نظام التوازن ثنائي الطور أ - ب (أ- داخلي و ب- الطور الخارجي) ذو سطح كسر كروي

ش = ت.س. - صأ الخامسأ- صب الخامسب+ سا +(22)

وسوف نغير عقليًا موضع السطح الفاصل، أي. تغيير نصف قطرها صومن الواضح إذن أن الخصائص الفيزيائية مثل الطاقة ش،درجة حرارة تي،إنتروبيا س، ضغط ص،كمون كيميائي أناالمكون مأنا وكتلته م ط، وكذلك الحجم الكامل للنظام الخامسأ+ الخامسب يبقى دون تغيير. أما بالنسبة للحجم الخامسأ = 4 /3pr 3والمناطق أ = 4pr 2 والتوتر السطحي سفإن هذه الكميات ستعتمد على موضع السطح الفاصل وبالتالي على عملية التغيير الذهنية المحددة صنحصل عليه من (22)

- ص أ العنف المنزليأ+ صب العنف المنزليب + SDA + إعلانس = 0 (23)

(24)

تحدد المعادلة (24) الاعتماد غير المادي (يتم تمييز هذا الظرف بعلامة النجمة) للتوتر السطحي على موضع السطح الفاصل. ويتميز هذا الاعتماد بحد أدنى واحد سالذي يتوافق مع سطح التوتر. وبالتالي، وفقًا لكوندو، فإن سطح التوتر هو سطح فاصل يكون للتوتر السطحي له قيمة دنيا.

قدم جيبس ​​سطح التوتر بطريقة مختلفة. لقد انطلق من المعادلة الأساسية لنظرية الشعيرية

(الشريط أعلاه يعني وجود فائض لسطح فاصل اعتباطي ذو انحناءات رئيسية مع 1 و ج 2) ونظر في العملية الجسدية (وليست العقلية البحتة) لانحناء السطح في موضع معين وظروف خارجية ثابتة.

وفقًا لـ Gibbs، فإن سطح التوتر يتوافق مع موضع السطح الفاصل الذي لا يؤثر فيه انحناء الطبقة السطحية، مع معلمات خارجية ثابتة، على طاقة السطح ويتوافق أيضًا مع الحالة:

¶ س/¶ ص =0 (26)

يعلق غوغنهايم على دليل جيبس: "لقد وجدت مناقشة جيبس ​​صعبة، وكلما درستها بعناية أكبر، كلما بدت أكثر غموضًا بالنسبة لي." يشير هذا الإدراك إلى أن فهم سطح توتر جيبس ​​كان صعبًا حتى بالنسبة لعلماء الديناميكا الحرارية.

أما مقاربة كوندو فهي واضحة للوهلة الأولى. ومع ذلك، فمن الضروري التأكد من أن أسطح التوتر جيبس ​​وكوندو كافية. ويمكن إثبات ذلك، على سبيل المثال، باستخدام التحديد الهيدروستاتيكي للتوتر السطحي

ذكر يونج وجود تدرج كثافة في طبقة ذات سماكة محدودة، لكنه تجاهل هذا التأثير، معتبرًا أنه غير مهم.

نقطة—القيمة المحلية للمكون العرضي لموتر الضغط.

ص"- الإحداثيات الشعاعية؛ نصف القطر ر أو روبيةالحد من الطبقة السطحية.

التمايز (27) مع الحركة العقلية للسطح الفاصل وثبات الحالة الفيزيائية (نهج كوندو) يؤدي إلى المعادلة (24). التمايز مع انحناء الطبقة السطحية وثبات الحالة الفيزيائية (نهج جيبس، في هذه الحالة ر أو روبيةالمتغيرات) يعطي

(28)

حيث يؤخذ في الاعتبار ذلك ص(ص أ) = ص أو ص(ص ب) = ص ب.

يتضح من المعادلتين (28) و (24) أن الشرط (26) مكافئ للشرط ( د س/ دكتور) * = 0، وبالتالي فإن نهج كوندو الأبسط والأكثر بديهية يتناسب مع نهج جيبس.

لقد أتاح إدخال مفهوم السطح الفاصل تحديدًا صارمًا رياضيًا للمفهوم البديهي البحت سابقًا لحدود الطور، وبالتالي استخدام كميات محددة بدقة في المعادلات. من حيث المبدأ، تصف الديناميكا الحرارية لسطح جيبس ​​نطاقًا واسعًا جدًا من الظواهر، وبالتالي (بصرف النظر عن الإنجازات وإعادة الصياغة والمشتقات والبراهين الأكثر أناقة) لم يتم إنجاز سوى القليل جدًا من الجديد في هذا المجال منذ بدايته. ولكن مع ذلك، لا بد من الإشارة إلى بعض النتائج، المتعلقة بشكل أساسي بتلك القضايا التي لم يتناولها جيبس.