Як від одного кореня відняти інший корінь. Правило складання квадратного коріння. Формули коріння. Властивості квадратного коріння

Формули коріння. Властивості квадратного коріння.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Попередній урок ми розібралися, що таке квадратний корінь . Настав час розібратися, які існують формули для коріння, які властивості кореніві що з усім цим можна робити.

Формули коренів, властивості коренів та правила дій з корінням- це, по суті, те саме. Формул для квадратного коріння на подив небагато. Що, безумовно, тішить! Вірніше, понаписати будь-яких формул можна багато, але для практичної та впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Решта з цих трьох відбувається. Хоча і в трьох формулах коріння багато хто блукає, так...

Почнемо з найпростішої. Ось вона:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Поглянув ще раз на табличку... І поїхали!

Почнемо з простенького:

Хвилинку. це, а це означає, що ми можемо записати так:

Засвоїв? Ось тобі наступний:

Коріння з чисел, що виходять, рівно не витягуються? Не біда – ось тобі такі приклади:

А якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:

Тепер повністю самостійно:

Відповіді:Молодець! Погодься, все дуже легко, головне знати таблицю множення!

Поділ коріння

З множенням коріння розібралися, тепер приступимо до властивості розподілу.

Нагадаю, що формула у загальному вигляді виглядає так:

А значить це, що корінь із частки дорівнює приватному коріння.

Ну що, давай розбиратися на прикладах:

Ось і вся наука. А ось такий приклад:

Все не так гладко, як у першому прикладі, але як бачиш, нічого складного немає.

А що, якщо трапиться такий вираз:

Потрібно просто застосувати формулу у зворотному напрямку:

А ось такий приклад:

Ще ти можеш зустріти такий вираз:

Все те саме, тільки тут треба згадати, як перекладати дроби (якщо не пам'ятаєш, зазирни в тему і повертайся!). Згадав? Тепер вирішуємо!

Упевнена, що ти з усім, усім упорався, тепер спробуємо зводити коріння у міру.

Зведення в ступінь

А що буде, якщо квадратний корінь звести в квадрат? Все просто, згадаємо сенс квадратного кореня у складі - це число, квадратний корінь якого дорівнює.

Так от, якщо ми зводимо число, квадратний корінь якого дорівнює, квадрат, то що отримуємо?

Ну звичайно, !

Розглянемо на прикладах:

Все просто, правда? А якщо корінь буде інакше? Нічого страшного!

Дотримуйся тієї ж логіки і пам'ятай властивості та можливі дії зі ступенями.

Почитай теорію на тему « » і тобі все стане гранично ясно.

Ось, наприклад, такий вираз:

У цьому прикладі міра парна, а якщо вона буде непарна? Знову ж таки, застосуй властивості ступеня і розклади всі на множники:

З цим начебто все ясно, а як витягти корінь з-поміж ступеня? Ось, наприклад, таке:

Досить просто, правда? А якщо ступінь більший за два? Дотримуємося тієї ж логіки, використовуючи властивості ступенів:

Ну як усе зрозуміло? Тоді виріши самостійно приклади:

А ось і відповіді:

Внесення під знак кореня

Що ми тільки не навчилися робити з корінням! Залишилося тільки потренуватися вносити число під знак кореня!

Це дуже легко!

Допустимо, у нас записано число

Що ми можемо зробити з ним? Ну звичайно, сховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний!

Навіщо нам це потрібне? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:

Як тобі така властивість коріння? Істотно спрощує життя? На мене, так точно! Тільки Слід пам'ятати, що вносити під знак квадратного кореня ми можемо лише позитивні числа.

Виріши самостійно ось цей приклад -
Впорався? Давай дивитися, що в тебе має вийти:

Молодець! У тебе вдалося внести число під знак кореня! Перейдемо до не менш важливого – розглянемо, як порівнювати числа, що містять квадратний корінь!

Порівняння коренів

Навіщо нам вчитися порівнювати числа, які містять квадратний корінь?

Дуже просто. Часто, у великих і тривалих виразах, що зустрічаються на іспиті, ми отримуємо ірраціональну відповідь (пам'ятаєш, що це таке? Ми з тобою сьогодні про це вже говорили!)

Отримані відповіді необхідно розташувати на координатній прямій, наприклад, щоб визначити, який інтервал підходить для вирішення рівняння. І ось тут виникає загвіздка: калькулятора на іспиті немає, а без нього як уявити, яке число більше, а яке менше? Ось і воно!

Наприклад, визнач, що більше: чи?

Відразу і не скажеш. Ну що, скористаємось розібраною властивістю внесення числа під знак кореня?

Тоді вперед:

Ну і, очевидно, чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь!

Тобто. якщо, отже, .

Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас у протилежному!

Вилучення коріння з великих чисел

До цього ми вносили множник під знак кореня, як його винести? Потрібно просто розкласти його на множники і витягти те, що витягується!

Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:

Непогано, правда? Будь-який із цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.

Розкладання на множники стане в нагоді при вирішенні таких нестандартних завдань, як ось це:

Не лякаємось, а діємо! Розкладемо кожен множник під корінням на окремі множники:

А тепер спробуй самостійно (без калькулятора! його на іспиті не буде):

Хіба це кінець? Не зупиняємось на півдорозі!

Ось і все, не так все і страшно, правда?

Вийшло? Молодець, все правильно!

А тепер спробуй такий приклад вирішити:

А приклад - міцний горішок, так відразу і не розберешся, як до нього підступитися. Але нам він, звичайно, по зубах.

Ну що, почнемо розкладати на множники? Відразу зауважимо, що можна поділити число на (згадуємо ознаки подільності):

А тепер, спробуй сам (знову ж таки, без калькулятора!):

Ну що, вийшло? Молодець, все правильно!

Підведемо підсумки

1. Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем) з неотрицательного числа називається таке неотрицательное число, квадрат якого дорівнює.
   .
2. Якщо ми просто витягуємо квадратний корінь з чогось, то завжди отримуємо один негативний результат.
3. Властивості арифметичного кореня:
4. При порівнянні квадратного коріння необхідно пам'ятати, що чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь.

Як тобі квадратне коріння? Все зрозуміло?

Ми постаралися пояснити тобі без води все, що потрібно знати на іспиті про квадратний корінь.

Тепер твоя черга. Напиши нам складна це для тебе тема чи ні.

Дізнався ти щось нове чи все було так ясно.

Пиши в коментарях та удачі на іспитах!

Вітаю, котани! Минулого разу ми докладно розібрали, що таке коріння (якщо не помнете, рекомендую почитати). Головний висновок того уроку: існує лише одне універсальне визначення коріння, яке вам потрібно знати. Решта — брехня та марнування часу.

Сьогодні ми йдемо далі. Вчимося множити коріння, вивчимо деякі проблеми, пов'язані з множенням (якщо ці проблеми не вирішити, то на іспиті вони можуть стати фатальними) і як слід потренуємося. Тому запасайтеся попкорном, влаштовуйтесь зручніше - і ми починаємо.

Адже ви теж ще не вкурили?

Урок вийшов досить великим, тому я розділив його на дві частини:

1. Спочатку ми розберемо правила множення. Кеп як натякає: це коли є два корені, між ними стоїть знак «помножити» — і ми хочемо щось із цим зробити.
2. Потім розберемо зворотну ситуацію: є один великий корінь, а нам закортіло уявити його у вигляді добутку двох коренів простіше. З якого переляку це буває потрібно — окреме питання. Ми розберемо лише алгоритм.

Тим, кому не терпиться одразу перейти до другої частини – милості прошу. З рештою почнемо по порядку.

Основне правило множення

Почнемо з найпростішого — класичного квадратного коріння. Ті самі, які позначаються $\sqrt(a)$ і $\sqrt(b)$. Для них все взагалі очевидно:

Правило множення. Щоб помножити один квадратний корінь на інший, потрібно просто перемножити їх підкорені вирази, а результат записати під загальним радикалом:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Жодних додаткових обмежень на числа, що стоять праворуч або ліворуч, не накладається: якщо коріння-множники існують, то й твір теж існує.

приклади. Розглянемо відразу чотири приклади з числами:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Як бачите, основний сенс цього правила – спрощення ірраціональних виразів. І якщо в першому прикладі ми б і самі витягли коріння з 25 і 4 без будь-яких нових правил, то далі починається жерсть: $ \ sqrt (32) $ і $ \ sqrt (2) $ самі по собі не вважаються, але їх твір виявляється точним квадратом, тому корінь з нього дорівнює раціональному числу.

Окремо хотів би відзначити останній рядок. Там обидва підкорені вирази є дробами. Завдяки твору багато множників скорочуються, а весь вираз перетворюється на адекватне число.

Звичайно, не завжди все буде так гарно. Іноді під корінням стоятиме повна лажа - незрозуміло, що з нею робити і як перетворювати після множення. Трохи пізніше, коли почнете вивчати ірраціональні рівняння та нерівності, там взагалі будуть усілякі змінні та функції. І дуже часто укладачі завдань якраз і розраховують на те, що ви виявите якісь складові, що скорочуються, або множники, після чого завдання багаторазово спроститься.

Крім того, зовсім необов'язково перемножувати саме два корені. Можна помножити одразу три, чотири — та хоч десять! Правило від цього не зміниться. Погляньте:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

І знову невелике зауваження щодо другого прикладу. Як бачите, у третьому множнику під коренем стоїть десятковий дріб - у процесі обчислень ми замінюємо його звичайним, після чого все легко скорочується. Так ось: дуже рекомендую позбавлятися десяткових дробів у будь-яких ірраціональних виразах (тобто містять хоча б один значок радикала). У майбутньому це заощадить вам купу часу та нервів.

Але це був ліричний відступ. Тепер розглянемо загальніший випадок — коли в показнику кореня стоїть довільне число $n$, а не лише «класична» двійка.

Випадок довільного показника

Отже, з квадратним корінням розібралися. А що робити з кубічними? Чи взагалі з корінням довільного ступеня $n$? Та все те саме. Правило залишається тим самим:

Щоб перемножити два корені ступеня $n$, достатньо перемножити їх підкорені вирази, після чого результат записати під одним радикалом.

Загалом нічого складного. Хіба що обсяг обчислень може бути більшим. Розберемо кілька прикладів:

приклади. Обчислити твори:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

І знову увага друга вираз. Ми перемножуємо кубічні коріння, позбавляємося від десяткового дробу і в результаті отримуємо в знаменнику добуток чисел 625 і 25. Це досить велике число - особисто я не вважаю, чому воно одно.

Тому ми просто виділили точний куб у чисельнику та знаменнику, а потім скористалися однією з ключових властивостей (або, якщо завгодно — визначенням) кореня $n$-го ступеня:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a \right|. \\ \end(align)\]

Подібні «махінації» можуть заощадити вам час на іспиті або контрольній роботі, тому запам'ятайте:

Не поспішайте перемножувати числа у підкореному вираженні. Спочатку перевірте: раптом там «зашифровано» точний ступінь якогось виразу?

За всієї очевидності цього зауваження має визнати, більшість непідготовлених учнів впритул не бачать точні степени. Натомість вони перемножують все напролом, а потім дивуються: чому це вийшли такі звірячі числа?:)

Втім, все це дитячий белькіт у порівнянні з тим, що ми вивчимо зараз.

Розмноження коренів з різними показниками

Ну, добре, тепер ми вміємо перемножувати коріння з однаковими показниками. А що якщо показники різні? Скажімо, як помножити звичайний $\sqrt(2)$ на якусь хрень типу $\sqrt(23)$? Чи можна це взагалі робити?

Так звичайно можна. Все робиться ось за цією формулою:

Правило множення коріння. Щоб помножити $\sqrt[n](a)$ на $\sqrt[p](b)$, достатньо виконати таке перетворення:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Однак ця формула працює лише за умови, що підкорені вирази невід'ємні. Це дуже важливе зауваження, якого ми повернемося трохи пізніше.

А поки що розглянемо пару прикладів:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 8) = sqrt (648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \ sqrt (1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \ sqrt (5625). \\ \end(align)\]

Як бачите, нічого складного. Тепер давайте розберемося, звідки взялася вимога невід'ємності, і що буде, якщо ми її порушимо.

Чому підкорені вирази мають бути невід'ємними?

Звичайно, можна уподібнитися до шкільних вчителів і з розумним виглядом процитувати підручник:

Вимога неотрицательности пов'язані з різними визначеннями коренів парного і непарного ступеня (відповідно, області визначення вони теж різні).

Ну що стало зрозуміліше? Особисто я, коли читав це марення у 8-му класі, зрозумів для себе приблизно таке: «Вимога невід'ємності пов'язана з *#&^@(*#@^#)~%» — коротше, я ніхрена того разу не зрозумів. :)

Тому зараз поясню все по-нормальному.

Спочатку з'ясуємо, звідки взагалі береться формула множення, наведена вище. Для цього нагадаю одну важливу властивість кореня:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Іншими словами, ми можемо спокійно зводити підкорене вираз у будь-який натуральний ступінь $k$ - при цьому показник кореня доведеться помножити на цей же ступінь. Отже, ми легко зведемо будь-яке коріння до загального показника, після чого перемножимо. Звідси і береться формула множення:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Але є одна проблема, яка різко обмежує застосування цих формул. Розглянемо таке число:

Відповідно до наведеної формули ми можемо додати будь-яку міру. Спробуємо додати $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Мінус ми прибрали саме тому, що квадрат спалює мінус (як і будь-який інший парний ступінь). А тепер виконаємо зворотне перетворення: скоротимо двійку в показнику і ступеня. Адже будь-яку рівність можна читати як ліворуч-право, так і праворуч-ліворуч:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2))) = sqrt (5). \\ \end(align)\]

Але тоді виходить якась хрень:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Цього не може бути, тому що $\sqrt(-5) \lt 0$, а $\sqrt(5) \gt 0$. Отже, для парних ступенів та негативних чисел наша формула не працює. Після чого у нас є два варіанти:

1. Вбитись об стіну констатувати, що математика — це безглузда наука, де є якісь правила, але це неточно;
2. Ввести додаткові обмеження, за яких формула стане робочою на 100%.

У першому варіанті нам доведеться постійно виловлювати "непрацюючі" випадки - це важко, довго і взагалі фу. Тому математики віддали перевагу другому варіанту.:)

Але не переживайте! На практиці це обмеження ніяк не впливає на обчислення, тому що всі ці проблеми стосуються лише коренів непарного ступеня, а з них можна виносити мінуси.

Тому сформулюємо ще одне правило, яке поширюється взагалі на всі дії з корінням:

Перш ніж перемножувати коріння, зробіть так, щоб підкорені вирази були негативними.

приклад. Серед $\sqrt(-5)$ можна винести мінус з-під знака кореня - тоді все буде норм:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Відчуваєте різницю? Якщо залишити мінус під коренем, то при зведенні підкореного виразу в квадрат він зникне і почнеться хрень. А якщо спочатку винести мінус, то можна хоч до посиніння зводити/прибирати квадрат – число залишиться негативним.

Таким чином, найправильніший і найнадійніший спосіб множення коренів наступний:

1. Забрати всі мінуси з-під радикалів. Мінуси бувають тільки в корінні непарної кратності - їх можна поставити перед коренем і при необхідності скоротити (наприклад, якщо цих мінусів виявиться два).
2. Виконати множення згідно з правилами, розглянутими вище у сьогоднішньому уроці. Якщо показники коріння однакові, просто перемножуємо підкорені вирази. А якщо різні - використовуємо злісну формулу \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n) ))\].
3. 3.Насолоджуємося результатом та хорошими оцінками.:)

Ну що? Потренуємось?

Приклад 1. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Це найпростіший варіант: показники коріння однакові і непарні, проблема лише в мінусі у другого множника. Виносимо цей мінус нафіг, після чого легко вважається.

Приклад 2. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( align)\]

Тут багатьох збентежило б те, що на виході вийшло ірраціональне число. Так, так буває: ми не змогли повністю позбутися кореня, але принаймні суттєво спростили вираз.

Приклад 3. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Ось це завдання хотів би звернути вашу увагу. Тут одразу два моменти:

1. Під корінням стоїть не конкретне число або ступінь, а змінна $a$. На перший погляд, це трохи незвично, але насправді при вирішенні математичних завдань найчастіше доведеться мати справу саме зі змінними.
2. Наприкінці ми примудрилися скоротити показник кореня і ступінь у підкореному вираженні. Таке трапляється досить часто. І це означає, що можна було спростити обчислення, а то й користуватися основний формулою.

Наприклад, можна було вчинити так:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

По суті, усі перетворення виконувалися лише з другим радикалом. І якщо не розписувати детально всі проміжні кроки, то в результаті обсяг обчислень значно знизиться.

Насправді ми вже стикалися з подібним завданням вище, коли вирішували приклад $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Тепер його можна розписати набагато простіше:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) = Sqrt (75). \end(align)\]

Ну що ж, з множенням коріння розібралися. Тепер розглянемо зворотну операцію: що робити, коли під корінням стоїть твір?

У математиці будь-яка дія має свою пару-протилежність – по суті, це є одним із проявів гегелівського закону діалектики: «єдність і боротьба протилежностей». Одне з дій у такій «парі» спрямоване збільшення числа, інше, зворотне йому – зменшення. Наприклад, дія, протилежна додавання – це віднімання, множенню відповідає розподіл. Є і своя діалектична пара-протилежність і зведення в ступінь. Йдеться про вилучення кореня.

Витягти з-поміж корінь такого-то ступеня – це означає обчислити, яке число необхідно звести у відповідний ступінь, щоб у результаті вийшло це число. Два ступені мають свої окремі назви: другий ступінь називається «квадратом», а третій – «кубом». Відповідно, коріння цих ступенів приємно назвати квадратним коренем і кубічним. Дії з кубічним корінням – тема для окремої розмови, а зараз поговоримо про складання квадратного коріння.

Почнемо з того, що у ряді випадків квадратне коріння простіше спочатку витягти, а потім уже складати результати. Припустимо, нам необхідно знайти значення такого виразу:

Адже зовсім не складно вирахувати, що корінь квадратний із 16 дорівнює 4, а зі 121 – 11. Отже,

√16+√121=4+11=15

Втім, це найпростіший випадок – тут йдеться про повні квадрати, тобто. про такі числа, що виходять при зведенні в квадрат цілих чисел. Але так не завжди. Наприклад, число 24 - це не повний квадрат (не знайти такого цілого числа, яке при зведенні його на другий ступінь дало б в результаті 24). Те саме відноситься до такого числа, як 54… Що робити, якщо нам необхідно скласти коріння квадратне з цих чисел?

У разі ми отримаємо у відповіді не число, а інший вираз. Максимум, що ми можемо зробити – це максимально спростити вихідне вираження. Для цього доведеться винести множники з-під кореня квадратного. Подивимося, як це робиться, на прикладі згаданих чисел:

Для початку розкладемо на множники 24 - таким чином, щоб з одного з них можна було легко витягнути корінь квадратний (тобто, щоб він був повним квадратом). Таке число є – це 4:

Тепер проробимо те саме з 54. У його складі таким числом буде 9:

Т.ч., у нас виходить таке:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Тепер витягнемо коріння з того, з чого можемо їх видобути: 2*√6+3*√6

Тут є спільний множник, який ми можемо винести за дужки:

(2+3)* √6=5*√6

Це і буде результатом додавання - більше нічого тут витягти не можна.

Правда, можна вдатися до допомоги калькулятора - правда, результат буде приблизним і з величезною кількістю знаків після коми:

√6=2,449489742783178

Поступово округляючи його, ми отримаємо приблизно 2,5. Якщо нам таки хотілося б довести до логічного завершення рішення попереднього прикладу, ми можемо помножити цей результат на 5 – і вийде у нас 12,5. Більш точного результату за таких вихідних даних отримати не можна.

Додавання та віднімання коренів- один з найбільш поширених «каменів спотикання» для тих, хто проходить курс математики (алгебри) у середній школі. Проте навчитися правильно складати і віднімати їх дуже важливо, тому що приклади на суму чи різницю коріння входять до програми базового Єдиного Державного Іспиту з дисципліни «математика».

Щоб освоїти рішення таких прикладів, необхідно дві речі - розібратися в правилах, а також напрацювати практику. Вирішивши один-два десятки типових прикладів, школяр доведе цю навичку до автоматизму, і тоді вже нічого боятися на ЄДІ. Починати освоєння арифметичних дій рекомендується з додавання, бо складати їх трохи простіше, ніж вичитувати.

Що таке корінь

Найпростіше пояснити це на прикладі квадратного кореня. У математиці є термін «звести в квадрат». «Звести в квадрат» означає одноразово помножити конкретне число саме на себе. Наприклад, якщо звести в квадрат 2, вийде 4. Якщо звести в квадрат 7, вийде 49. Квадрат числа 9 дорівнює 81. Таким чином, квадратний корінь із 4 – це 2, із 49 – це 7, а з 81 – це 9.

Як правило, навчання цієї теми в математиці починається саме з квадратного коріння. Для того, щоб відразу визначати його, учень середньої школи повинен знати напам'ять таблицю множення. Тим, хто нетвердо знає цю таблицю, доводиться скористатися підказками. Зазвичай процес вилучення кореневого квадрата у складі наводиться як таблиці на обкладинках багатьох шкільних зошитів з математики.

Коріння буває наступних типів:

• квадратні;
• кубічні (або так звані третього ступеня);
• четвертого ступеня;
• п'ятого ступеня.

Правила додавання

Для того, щоб успішно вирішити типовий приклад, необхідно мати на увазі, що не всі кореневі числа можна складати один з одним. Щоб їх можна було скласти, необхідно привести до єдиного зразка. Якщо це неможливо, то завдання не має вирішення. Такі завдання теж часто зустрічаються в підручниках математики як своєрідна пастка для учнів.

Не дозволяється додавання у завданнях, коли підкорені вирази відрізняються один від одного. Це можна проілюструвати на наочному прикладі:

• перед учнем стоїть завдання: скласти квадратний корінь із 4 та з 9;
• недосвідчений учень, який знає правила, зазвичай пише: «корінь із 4 + корінь із 9=корінь із 13».
• довести, що цей спосіб вирішення є неправильним, дуже просто. Для цього потрібно знайти квадратний корінь із 13 і перевірити, чи правильно вирішено приклад;
• за допомогою мікрокалькулятора можна визначити, що становить приблизно 3,6. Тепер лишилося перевірити рішення;
• корінь із 4=2, та якщо з 9=3;
• Сума чисел «два» та «три» дорівнює п'яти. Таким чином, цей алгоритм рішення можна вважати неправильним.

Якщо коріння має однаковий ступінь, але різні числові вирази, він виноситься за дужки, а в дужки вноситься сума двох підкорених виразів. Таким чином він витягується вже з цієї суми.

Алгоритм додавання

Для того, щоб правильно вирішити найпростіше завдання, необхідно:

1. Визначити, що вимагають складання.
2. Розібратися, чи можна складати значення один з одним, керуючись правилами, що існують в математиці.
3. Якщо вони не підлягають додаванню, потрібно трансформувати їх таким чином, щоб їх можна було складати.
4. Здійснивши всі необхідні перетворення, необхідно виконати додавання та записати готову відповідь. Складати можна в розумі або за допомогою мікрокалькулятора, залежно від складності прикладу.

Що таке подібне коріння

Щоб правильно вирішити приклад додавання, необхідно, насамперед, подумати у тому, як його спростити. Для цього потрібно мати базові знання про те, що таке подібність.

Уміння визначати подібні допомагає швидко вирішувати однотипні приклади додавання, наводячи їх у спрощений вигляд. Щоб спростити типовий приклад додавання, необхідно:

1. Знайти подібні та виділити їх в одну групу (або кілька груп).
2. Наново написати наявний приклад таким чином, щоб коріння, яке має той самий показник, йшло чітко один за одним (це і називається «згрупувати»).
3. Далі слід ще раз написати вираз заново, цього разу таким чином, щоб подібні (у яких один і той самий показник і та сама підкорена цифра) теж йшли один за одним.

Після цього спрощений приклад зазвичай легко піддається рішенню.

Для того, щоб правильно вирішити будь-який приклад на додавання, необхідно чітко уявляти основні правила додавання, а також знати про те, що таке корінь і яким він буває.

Іноді такі завдання з першого погляду виглядають дуже складно, але вони легко вирішуються шляхом угруповання подібних. Найголовніше – практика, і тоді учень почне «клацати завдання, як горішки». Додавання коріння - один з найважливіших розділів математики, тому вчителі повинні відводити достатньо часу на його вивчення.

Відео

Розібратися в рівняннях з квадратним корінням вам допоможе це відео.