Arti suatu angka tidak bergantung pada posisinya dalam angka tersebut. Representasi informasi numerik menggunakan sistem bilangan. Sistem operasi adalah...

Konsep dasar sistem bilangan

Sistem bilangan adalah seperangkat aturan dan teknik penulisan bilangan dengan menggunakan sekumpulan karakter digital. Banyaknya angka-angka yang diperlukan untuk menuliskan suatu bilangan dalam suatu sistem disebut basis sistem bilangan. Basis sistem ditulis di sebelah kanan angka pada subskrip: ; ; dll.

Ada dua jenis sistem bilangan:

posisional, bila nilai setiap digit suatu bilangan ditentukan oleh posisinya dalam catatan bilangan;

non-posisional, bila nilai suatu angka dalam suatu bilangan tidak bergantung pada tempatnya dalam notasi bilangan tersebut.

Contoh sistem bilangan nonposisi adalah sistem bilangan Romawi: bilangan IX, IV, XV, dst. Contoh sistem bilangan posisi adalah sistem desimal yang digunakan sehari-hari.

Setiap bilangan bulat dalam sistem posisi dapat ditulis dalam bentuk polinomial:

dimana S adalah basis sistem bilangan;

Digit suatu bilangan yang ditulis dalam sistem bilangan tertentu;

n adalah banyaknya digit suatu bilangan.

Contoh. Nomor akan ditulis dalam bentuk polinomial sebagai berikut:

Jenis sistem bilangan

Sistem bilangan Romawi merupakan sistem non-posisi. Ia menggunakan huruf alfabet Latin untuk menulis angka. Dalam hal ini huruf I selalu berarti satu, huruf V berarti lima, X berarti sepuluh, L berarti lima puluh, C berarti seratus, D berarti lima ratus, M berarti seribu, dan seterusnya. Misalnya angka 264 ditulis CCLXIV. Saat menulis bilangan dalam sistem bilangan Romawi, nilai suatu bilangan adalah jumlah aljabar dari angka-angka yang termasuk di dalamnya. Dalam hal ini, digit-digit dalam catatan angka, sebagai suatu peraturan, berada dalam urutan nilainya, dan tidak diperbolehkan untuk menulis lebih dari tiga digit identik secara berdampingan. Jika suatu angka yang nilainya lebih besar diikuti oleh angka yang nilainya lebih kecil, maka kontribusinya terhadap nilai bilangan tersebut secara keseluruhan adalah negatif. Contoh umum yang menggambarkan aturan umum penulisan angka dalam sistem angka Romawi diberikan dalam tabel.

Tabel 2. Penulisan bilangan pada sistem angka romawi

Kerugian dari sistem Romawi adalah kurangnya aturan formal untuk menulis angka dan, karenanya, operasi aritmatika dengan angka multi-digit. Karena ketidaknyamanan dan kerumitannya yang besar, sistem bilangan Romawi saat ini digunakan di tempat yang sangat nyaman: dalam literatur (penomoran bab), dalam desain dokumen (seri paspor, surat berharga, dll.), untuk tujuan dekoratif pada pelat jam. dan dalam sejumlah kasus lainnya.

Sistem bilangan desimal saat ini paling terkenal dan digunakan. Penemuan sistem bilangan desimal merupakan salah satu pencapaian utama pemikiran manusia. Tanpanya, teknologi modern tidak akan ada, apalagi muncul. Alasan mengapa sistem bilangan desimal diterima secara umum sama sekali bukan alasan matematis. Orang terbiasa berhitung dengan sistem bilangan desimal karena tangannya mempunyai 10 jari.

Gambaran kuno angka desimal (Gbr. 1) bukanlah suatu kebetulan: setiap angka mewakili angka berdasarkan jumlah sudut di dalamnya. Misalnya, 0 - tidak ada sudut, 1 - satu sudut, 2 - dua sudut, dll. Penulisan angka desimal telah mengalami perubahan yang cukup signifikan. Bentuk yang kami gunakan didirikan pada abad ke-16.

Sistem desimal pertama kali muncul di India sekitar abad ke-6 Masehi. Penomoran India menggunakan sembilan karakter numerik dan angka nol untuk menunjukkan posisi kosong. Dalam naskah-naskah India awal yang sampai kepada kita, angka-angka ditulis dalam urutan terbalik - angka yang paling signifikan ditempatkan di sebelah kanan. Namun segera menjadi aturan untuk menempatkan nomor tersebut di sisi kiri. Kepentingan khusus diberikan pada simbol nol, yang diperkenalkan untuk sistem notasi posisi. Penomoran India, termasuk nol, masih bertahan hingga saat ini. Di Eropa, metode aritmatika desimal Hindu menyebar luas pada awal abad ke-13. berkat karya matematikawan Italia Leonardo dari Pisa (Fibonacci). Orang Eropa meminjam sistem bilangan India dari orang Arab dan menyebutnya bahasa Arab. Penyebutan sejarah yang keliru ini berlanjut hingga hari ini.

Sistem desimal menggunakan sepuluh digit—0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9—serta simbol “+” dan “–” untuk menunjukkan tanda suatu bilangan, dan a koma atau titik untuk memisahkan bagian bilangan bulat dan desimal.

Komputer menggunakan sistem bilangan biner, basisnya adalah angka 2. Untuk menulis angka dalam sistem ini, hanya dua digit yang digunakan - 0 dan 1. Berlawanan dengan kesalahpahaman populer, sistem bilangan biner tidak ditemukan oleh insinyur desain komputer, tetapi oleh ahli matematika dan filsuf jauh sebelum munculnya komputer, pada abad 17 - 19. Diskusi pertama yang diterbitkan tentang sistem bilangan biner dilakukan oleh pendeta Spanyol Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Perhatian umum terhadap sistem ini tertuju pada artikel matematikawan Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz, yang diterbitkan pada tahun 1703. Artikel tersebut menjelaskan operasi biner penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Leibniz tidak merekomendasikan penggunaan sistem ini untuk perhitungan praktis, namun menekankan pentingnya untuk penelitian teoritis. Seiring berjalannya waktu, sistem bilangan biner menjadi terkenal dan berkembang.

Pilihan sistem biner untuk digunakan dalam teknologi komputer dijelaskan oleh fakta bahwa elemen elektronik - pemicu yang membentuk chip komputer - hanya dapat berada dalam dua kondisi operasi.

Dengan menggunakan sistem pengkodean biner, Anda dapat menangkap data dan pengetahuan apa pun. Hal ini mudah dipahami jika kita mengingat prinsip penyandian dan penyampaian informasi menggunakan kode Morse. Operator telegraf, hanya menggunakan dua simbol alfabet ini - titik dan garis, dapat mengirimkan hampir semua teks.

Sistem biner nyaman untuk komputer, tetapi tidak nyaman bagi manusia: angkanya panjang dan sulit untuk ditulis dan diingat. Tentu saja, Anda dapat mengonversi angka tersebut ke sistem desimal dan menuliskannya dalam bentuk ini, dan kemudian, ketika Anda perlu mengonversinya kembali, tetapi semua terjemahan ini memakan waktu. Oleh karena itu, sistem bilangan yang terkait dengan biner digunakan - oktal dan heksadesimal. Untuk menulis angka dalam sistem ini, diperlukan masing-masing 8 dan 16 digit. Dalam heksadesimal, 10 digit pertama adalah umum, dan kemudian digunakan huruf kapital Latin. Digit heksadesimal A sesuai dengan angka desimal 10, heksadesimal B dengan angka desimal 11, dan seterusnya. Penggunaan sistem ini dijelaskan oleh fakta bahwa transisi untuk menulis angka dalam salah satu sistem ini dari notasi binernya sangat sederhana. Di bawah ini adalah tabel korespondensi antar bilangan yang ditulis dalam sistem yang berbeda.

Tabel 3. Kesesuaian bilangan yang ditulis dalam sistem bilangan yang berbeda

Aturan untuk mengkonversi bilangan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya

Mengonversi bilangan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya merupakan bagian penting dalam aritmatika mesin. Mari kita pertimbangkan aturan dasar penerjemahan.

1. Untuk mengubah bilangan biner menjadi bilangan desimal, perlu dituliskan dalam bentuk polinomial, yang terdiri dari hasil kali digit-digit bilangan tersebut dan pangkat 2 yang bersesuaian, dan menghitungnya sesuai dengan aturan dari aritmatika desimal:

Saat menerjemahkan, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel pangkat dua:

Tabel 4. Pangkat angka 2

Contoh. Ubahlah bilangan tersebut menjadi sistem bilangan desimal.

2. Untuk mengubah bilangan oktal menjadi bilangan desimal, perlu dituliskan sebagai polinomial yang terdiri dari hasil kali digit-digit bilangan tersebut dan pangkat yang sesuai dari bilangan 8, dan menghitungnya sesuai dengan aturan desimal hitung:

Saat menerjemahkan, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel pangkat delapan:

Tabel 5. Pangkat bilangan 8

Aturan: (biasanya) jangan meletakkan lebih dari tiga angka identik berturut-turut jika angka rendah (hanya satu!) berada di sebelah kiri angka tinggi, dikurangi dari penjumlahannya (sebagian non-posisi!) Contoh: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

3999) perlu memasukkan angka baru (V, X, L, C, D, M) bagaimana cara menulis bilangan pecahan? cara melakukan operasi aritmatika: CCCLIX + CLXXIV =? Dimana digunakan: nomor bab dalam buku: penunjukan abad: “Bajak Laut XX" title=" Kekurangan: untuk menulis angka besar (>3999) Anda harus memasukkan digit baru (V, X, L, C, D, M ) bagaimana cara menulis bilangan pecahan? bagaimana melakukan operasi aritmatika: CCCLIX + CLXXIV =? Dimana digunakan: nomor bab dalam buku: sebutan abad: “Pirates of the XX”" class="link_thumb"> 9 !} Kekurangan: untuk menulis bilangan besar (>3999) harus memasukkan angka baru (V, X, L, C, D, M) bagaimana cara menulis bilangan pecahan? cara melakukan operasi aritmatika: CCCLIX + CLXXIV =? Di mana digunakan: nomor bab dalam buku: penunjukan abad: pelat jam “Bajak Laut abad ke-20”. 3999) perlu memasukkan angka baru (V, X, L, C, D, M) bagaimana cara menulis bilangan pecahan? cara melakukan operasi aritmatika: CCCLIX + CLXXIV =? Di mana digunakan: nomor bab dalam buku: penunjukan abad: “Bajak Laut XX"> 3999) perlu memasukkan digit baru (V, X, L, C, D, M) bagaimana cara menulis bilangan pecahan? bagaimana cara melakukannya operasi aritmatika: CCCLIX + CLXXIV =? Di mana digunakan: nomor bab dalam buku: penunjukan abad: dial jam "Bajak Laut abad ke-20""> 3999) perlu memasukkan digit baru (V, X, L, C, D , M) bagaimana cara menulis bilangan pecahan? cara melakukan operasi aritmatika: CCCLIX + CLXXIV =? Dimana digunakan: nomor bab dalam buku: penunjukan abad: “Bajak Laut XX" title=" Kekurangan: untuk menulis angka besar (>3999) Anda harus memasukkan digit baru (V, X, L, C, D, M ) bagaimana cara menulis bilangan pecahan? bagaimana melakukan operasi aritmatika: CCCLIX + CLXXIV =? Dimana digunakan: nomor bab dalam buku: sebutan abad: “Pirates of the XX”"> title="Kekurangan: untuk menulis bilangan besar (>3999) harus memasukkan angka baru (V, X, L, C, D, M) bagaimana cara menulis bilangan pecahan? cara melakukan operasi aritmatika: CCCLIX + CLXXIV =? Dimana digunakan: nomor bab dalam buku: sebutan abad: “Bajak Laut XX"> !}

Dalam sistem bilangan posisi, nilai kuantitatif suatu angka bergantung pada posisinya dalam bilangan tersebut. Kedudukan suatu angka disebut angka. Digit bilangan tersebut bertambah dari kanan ke kiri. Pada bilangan 555, 5 pertama pada posisi ratusan, 5 kedua pada posisi puluhan, dan 5 ketiga pada posisi satuan (555=).

A) = 5* * *10 0 b) = 1*2 2 +0*2 1 +1*2 0

Terbatasnya jumlah karakter untuk penulisan angka; Kemudahan dalam melakukan operasi aritmatika. Basis sistem bilangan posisi (q) adalah banyaknya simbol yang digunakan untuk menulis suatu bilangan. Tugas: berapa banyak dan angka berapa yang diperlukan untuk menulis suatu bilangan pada sistem bilangan kuinary, pada sistem bilangan oktal, pada sistem bilangan heksadesimal.

pilihan pertama. 1. Benarkah suatu bilangan dapat ditulis dalam sistem bilangan biner? 2. Benarkah sistem bilangan abjad bersifat nonposisi? 3. Benarkah komputer menggunakan sistem angka romawi? 4. Benarkah untuk perhitungan aritmatika yang rumit lebih mudah menggunakan sistem bilangan Romawi? 5. Benarkah pada sistem bilangan biner terdapat angka 2? pilihan ke-2. 1. Benarkah suatu bilangan dapat ditulis dalam sistem bilangan kuaterner? 2. Benarkah angka Arab cocok untuk perhitungan aritmatika yang rumit? 3. Benarkah memori komputer menggunakan sistem bilangan desimal? 4. Benarkah semua sistem bilangan terbagi menjadi dua kelompok besar? 5. Benarkah sistem bilangan desimal bersifat posisional?

PilihanJawaban nomor ya tidak 2ya tidak ya Tabel pengecekan hasil tes “5” - tidak ada kesalahan “4” - satu kesalahan “3” - dua kesalahan “2” - tiga kesalahan Kriteria evaluasi:
Seluruh dunia mengetahui bahwa kalender Maya berakhir pada tanggal 21 Desember 2012. Tapi tidak ada yang tahu kenapa. Mari kita mulai dengan fakta bahwa sebenarnya bukan kalender yang berakhir, melainkan apa yang disebut Siklus Besar. Atau “Matahari Kelima” dalam terminologi Maya, yang berlangsung selama 5126 tahun. Hari terakhir siklus ini adalah 21 Desember 2012. Namun ini bukanlah akhir dari dunia. Setelah tahun 2012, siklus berikutnya dimulai. Menurut perhitungan para ilmuwan, "Matahari Kelima" dimulai pada 13 Agustus 3113 SM. Lalu mengapa? Peristiwa apa yang ada kaitannya dengan hal ini? Tidak ada yang tahu. Juga tidak diketahui dari mana suku Maya kuno mendapatkan sistem canggih dalam menghitung waktu dan membaginya menjadi beberapa siklus.

Mewakili informasi numerik menggunakan sistem bilangan

Angka digunakan untuk mencatat informasi tentang jumlah benda. Bilangan ditulis dengan menggunakan sistem tanda khusus yang disebut sistem bilangan. Alfabet sistem bilangan terdiri dari simbol-simbol yang disebut angka. Misalnya, dalam sistem bilangan desimal, bilangan ditulis menggunakan sepuluh angka yang diketahui: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Notasi adalah suatu sistem tanda dimana bilangan ditulis menurut aturan tertentu dengan menggunakan lambang-lambang alfabet tertentu yang disebut bilangan.

Semua sistem bilangan dibagi menjadi dua kelompok besar: posisional Dan non-posisional sistem bilangan. Dalam sistem bilangan posisional, nilai suatu digit bergantung pada posisinya dalam bilangan tersebut, tetapi dalam sistem bilangan non-posisional, nilai tersebut tidak bergantung.

Sistem bilangan non-posisi Romawi. Sistem bilangan non-posisional yang paling umum adalah sistem bilangan Romawi. Angka-angka yang digunakan didalamnya adalah: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).

Arti suatu angka tidak bergantung pada posisinya dalam angka tersebut. Misalnya, pada angka XXX (30), angka X muncul tiga kali dan dalam setiap kasus menunjukkan nilai yang sama - angka 10, tiga angka dari 10 dijumlahkan menjadi 30.

Besar kecilnya suatu bilangan dalam sistem bilangan romawi diartikan sebagai jumlah atau selisih angka-angka pada bilangan tersebut. Jika bilangan yang lebih kecil berada di sebelah kiri bilangan yang lebih besar, maka dikurangi, jika di sebelah kanan, maka dijumlahkan. Misalnya penulisan angka desimal 1998 dalam sistem angka Romawi akan terlihat seperti ini:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5 + 1 + 1 + 1.

Sistem bilangan posisi. Sistem bilangan posisi pertama ditemukan di Babilonia Kuno, dan penomoran Babilonia bersifat seksagesimal, yaitu menggunakan enam puluh digit! Menariknya, kita masih menggunakan basis 60 saat mengukur waktu (1 menit berisi 60 detik, dan 1 jam berisi 60 menit).

Pada abad ke-19, sistem bilangan duodesimal menjadi cukup luas. Selama ini kita sering menggunakan angka selusin (angka 12): ada dua lusin jam dalam sehari, satu lingkaran berisi tiga puluh lusin derajat, dan seterusnya.

Nilai kuantitatif suatu angka bergantung pada posisinya dalam angka tersebut.

Sistem bilangan posisi yang paling umum saat ini adalah desimal, biner, oktal, dan heksadesimal. Setiap sistem posisi memiliki kekhasannya sendiri alfabet angka Dan basis.

DI DALAM sistem bilangan posisi basis sistem sama dengan jumlah digit (tanda dalam alfabetnya) dan menentukan berapa kali nilai digit identik pada posisi berdekatan dari angka tersebut berbeda.

Sistem bilangan desimal memiliki alfabet angka, yang terdiri dari sepuluh digit terkenal, yang disebut Arab, dan basis 10, biner - dua digit dan basis 2, oktal - delapan digit dan basis 8, heksadesimal - enam belas digit (sebagai angka, huruf alfabet Latin dan basis 16 digunakan (Tabel 1.2).

Sistem bilangan desimal. Mari kita ambil contoh bilangan desimal 555. Angka 5 muncul sebanyak tiga kali, dengan angka 5 paling kanan melambangkan lima satuan, angka kedua dari kanan melambangkan lima puluhan, dan terakhir angka ketiga dari kanan melambangkan lima ratus.

Kedudukan suatu angka dalam suatu bilangan disebut memulangkan. Angka suatu bilangan bertambah dari kanan ke kiri, dari angka rendah ke angka tinggi. Dalam sistem desimal, angka yang terletak di posisi paling kanan (digit) menunjukkan jumlah satuan, angka yang bergeser satu posisi ke kiri menunjukkan angka puluhan, lebih jauh lagi ke kiri menunjukkan ratusan, lalu ribuan, dan seterusnya. Oleh karena itu, kita mempunyai angka satuan, angka puluhan, dan seterusnya.

Angka 555 ditulis dalam bentuk yang familiar digulung membentuk. Kita sudah terbiasa dengan bentuk notasi ini sehingga kita tidak lagi memperhatikan bagaimana kita secara mental mengalikan angka-angka suatu bilangan dengan berbagai pangkat dari angka 10.

DI DALAM diperluas bentuk bilangan, perkalian tersebut ditulis secara eksplisit. Jadi, dalam bentuk diperluas, penulisan angka 555 dalam sistem desimal akan terlihat seperti ini:

555 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0.

Terlihat dari contoh, suatu bilangan dalam sistem bilangan posisi ditulis sebagai penjumlahan dari suatu deret bilangan pangkat alasan(dalam hal ini 10), yang koefisiennya merupakan angka-angka dari bilangan tersebut.

Eksponen negatif digunakan untuk menulis pecahan desimal. Misalnya bilangan 555,55 dalam bentuk diperluas ditulis sebagai berikut:

555,55 10 = 5×10 2 + 5×10 1 + 5×10 0 + 5×10 -1 + 5×10 -2.

Secara umum pada sistem bilangan desimal, penulisan bilangan A 10 yang berisi n angka bilangan bulat dan m angka pecahan terlihat seperti ini:

A 10 = n-1 × 10 n-1 + ... + a 0 × 10 0 + a -1 × 10 -1 + ... + a -m × 10 -m

Koefisien a i dalam notasi ini merupakan angka-angka suatu bilangan desimal, yang jika diciutkan ditulis sebagai berikut:

A 10 = a n-1 a n-2 ... a 0, a -1 ... a -m.

Dari rumus di atas jelas bahwa mengalikan atau membagi suatu bilangan desimal dengan 10 (nilai basis) menyebabkan perpindahan titik desimal yang memisahkan bagian bilangan bulat dari bagian pecahan masing-masing satu tempat ke kanan atau ke kiri. . Misalnya:

555,55 10 × 10 = 5555,5 10;
555,55 10: 10 = 55,555 10 .

Sistem bilangan biner. Dalam sistem bilangan biner, basisnya adalah 2, dan alfabetnya terdiri dari dua digit (0 dan 1). Oleh karena itu, bilangan-bilangan dalam sistem biner dalam bentuk diperluas ditulis sebagai penjumlahan pangkat dari basis 2 dengan koefisien yaitu bilangan 0 atau 1.

Misalnya, bilangan biner yang diperluas mungkin terlihat seperti ini:

A 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 -1 + 1 × 2 -2.

Bentuk runtuh dari nomor yang sama:

SEBUAH 2 = 101,01 2.

Secara umum pada sistem biner, penulisan bilangan A 2 yang berisi n angka bilangan bulat dan m angka pecahan terlihat seperti ini:

A 2 = a n-1 × 2 n-1 + a n-2 × 2 n-2 + ... + a 0 × 2 0 + a -1 × 2 -1 + ... + a -m × 2 -M

Koefisien a i dalam notasi ini adalah angka-angka (0 atau 1) suatu bilangan biner, yang jika diciutkan dituliskan sebagai berikut:

A 2 = a n-1 a n-2 ... a 0 , a -1 a -2 ... a -m

Dari rumus di atas jelas bahwa mengalikan atau membagi suatu bilangan biner dengan 2 (nilai dasar) menyebabkan perpindahan koma yang memisahkan bagian bilangan bulat dari bagian pecahan masing-masing satu digit ke kanan atau ke kiri. Misalnya:

101,01 2 × 2 = 1010,1 2;
101,01 2: 2 = 10,101 2 .

Sistem bilangan posisi dengan basis arbitrer. Dimungkinkan untuk menggunakan berbagai sistem bilangan posisi, yang basisnya sama dengan atau lebih besar dari 2. Dalam sistem bilangan dengan basis q (sistem bilangan q-ary), bilangan dalam bentuk diperluas ditulis sebagai jumlah pangkat dari basis q dengan koefisien yaitu angka 0, 1, q - 1:

A q = a n-1 × q n-1 + a n-2 × q n-2 + ... + a 0 × q 0 + a -1 × q -1 + ... + a -m × q -M

Koefisien a i pada entri ini adalah angka-angka dari bilangan yang ditulis dalam sistem bilangan q-ary.

Jadi, dalam sistem oktal, basisnya sama dengan delapan (q = 8). Maka bilangan oktal A 8 = 673,2 8 yang ditulis dalam bentuk diciutkan dalam bentuk diperluas akan terlihat seperti:

SEBUAH 8 = 6×8 2 + 7×8 1 + 3×8 0 + 2×8 -1.

Pada sistem heksadesimal, basisnya adalah enam belas (q = 16), maka bilangan heksadesimal A 16 = 8A,F 16 yang ditulis dalam bentuk diciutkan akan terlihat seperti:

SEBUAH 16 = 8 × 16 1 + SEBUAH × 16 0 + F × 16 -1.

Jika kita menyatakan angka heksadesimal melalui nilai desimalnya (A=10, F=15), maka bilangan tersebut akan berbentuk:

SEBUAH 16 = 8 × 16 1 + 10 × 16 0 + 15 × 16 -1.

Pertanyaan untuk Dipertimbangkan

1. Apa perbedaan sistem bilangan posisional dengan sistem bilangan non-posisional?

2. Apakah lambang huruf dapat dijadikan angka?

3. Berapa banyak digit yang digunakan dalam sistem bilangan q-ary?

Tugas

1.6. Tuliskan angkanya 19.99 10 ; 10.10 2; 64,5 8; 39,F 16 dalam bentuk diperluas.

1.7. Berapa kali angka 10.1 10 bertambah? 10.1 2 ; 64,5 8; 39,F 16 saat memindahkan tempat desimal satu tempat ke kanan?

1.8. Jika koma desimal dipindahkan dua tempat ke kanan, angka 11,11 x bertambah 4 kali lipat. X sama dengan apa?

1.9. Berapa basis minimum suatu sistem bilangan jika memuat bilangan 23 dan 67?

1.10. Tuliskan angka 1999 10 dalam sistem angka romawi.

Pengantar Sistem Bilangan

1. Konsep sistem bilangan (SS)

2. SS non-posisi

3. Posisi SS

4. Contoh SS ke-10

Bahasa alami (Rusia, Inggris, Jerman, dll.) digunakan untuk bertukar informasi antar manusia. Bahasa alami menggunakan simbol-simbol yang berbeda ejaannya untuk menyusun kata. Dari simbol-simbol itu, menurut aturan-aturan tertentu, dikonstruksikan kata-kata dan kalimat-kalimat yang dapat dimengerti manusia.

Untuk merepresentasikan informasi numerik (tentang jumlah benda), juga digunakan bahasa khusus yang mendeskripsikan simbol (dalam hal ini bilangan) dan aturan menyusun bilangan dari bilangan (simbol), yang menentukan urutan penulisan angka. dalam bilangan dan operasi bilangan, yaitu aturan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan lain-lain. Bahasa khusus ini disebut sistem bilangan .

Semua sistem bilangan dibagi menjadi dua kelompok besar: posisional dan non-posisional sistem bilangan. Dalam sistem bilangan posisional, nilai suatu digit bergantung pada posisinya dalam bilangan tersebut, tetapi dalam sistem bilangan non-posisional, nilai tersebut tidak bergantung.

Dalam sistem bilangan non-posisi bobot suatu digit (yaitu, kontribusi yang diberikannya terhadap nilai angka tersebut) tidak tergantung pada posisinya dalam menulis nomornya.

Sistem bilangan non-posisi yang paling umum adalah Roma. Angka-angka yang digunakan didalamnya adalah: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).

Arti suatu angka tidak bergantung pada posisinya dalam angka tersebut. Misalnya, pada angka XXX (30), angka X muncul tiga kali dan dalam setiap kasus menunjukkan nilai yang sama - angka 10, tiga angka dari 10 dijumlahkan menjadi 30.

Besar kecilnya suatu bilangan dalam sistem bilangan romawi diartikan sebagai jumlah atau selisih angka-angka pada bilangan tersebut. Jika bilangan yang lebih kecil berada di sebelah kiri bilangan yang lebih besar, maka dikurangi, jika di sebelah kanan, maka dijumlahkan. Misalnya penulisan angka desimal 1998 dalam sistem angka Romawi akan terlihat seperti ini:

MSMХСVIII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Angka 15 dalam sistem Romawi adalah XV = 10 + 5

Dan bilangan 8 dapat direpresentasikan sebagai: VIII = 5 + 1 + 1 + 1

Dalam sistem bilangan posisional, nilai kuantitatif suatu digit bergantung pada posisinya dalam bilangan tersebut.

Sistem bilangan posisi yang paling umum saat ini adalah desimal, biner, oktal, dan heksadesimal. Setiap sistem posisi memiliki kekhasannya sendiri alfabet angka dan basis.

Dalam sistem bilangan posisional, basis sistem sama dengan jumlah digit (tanda dalam alfabetnya) dan menentukan berapa kali nilai digit identik pada posisi bilangan yang berdekatan berbeda.

Bilangan asli apa pun dapat diambil sebagai basis sistem - dua, tiga, empat, dst. Oleh karena itu, kemungkinan sistem posisi yang tak terhitung banyaknya: biner, terner, kuaterner, dll. Penulisan bilangan pada setiap sistem bilangan dengan basis Q berarti ekspresi singkat

an-1 qn-1 + an-2 qn-2 + ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + saya q-m,

Di mana ai - nomor dari sistem bilangan;

N Dan M - masing-masing jumlah digit bilangan bulat dan pecahan.

Desimal Sistem bilangan memiliki alfabet angka, yang terdiri dari sepuluh angka terkenal yang disebut angka Arab, dan basis 10.

Biner– dua digit dan basis 2.

Oktal– delapan digit dan basis 8.

Heksadesimal– enam belas digit (huruf alfabet Latin juga digunakan sebagai angka) dan basis 16.

Contoh penulisan angka pada SS ke 10

Orang-orang lebih menyukai sistem desimal mungkin karena mereka telah menghitung dengan jari sejak zaman kuno, dan orang-orang memiliki sepuluh jari tangan dan kaki. Orang tidak selalu dan tidak di semua tempat menggunakan sistem bilangan desimal. Di Cina, misalnya, mereka sudah lama menggunakan sistem bilangan lima digit.

Mari kita ambil contoh bilangan desimal 555. Kedudukan suatu angka dalam suatu bilangan disebut memulangkan. Angka suatu bilangan bertambah dari kanan ke kiri, dari angka rendah ke angka tinggi. Dalam sistem desimal, angka yang terletak di posisi paling kanan (digit) menunjukkan jumlah satuan, angka yang bergeser satu posisi ke kiri menunjukkan angka puluhan, lebih jauh lagi ke kiri menunjukkan ratusan, lalu ribuan, dan seterusnya.

Suatu bilangan dalam sistem bilangan posisi desimal ditulis sebagai penjumlahan deret bilangan pangkat dasar (10), angka-angka dari bilangan tersebut bertindak sebagai koefisien.

Penulisan angka 555 dalam sistem desimal akan terlihat seperti ini: 55510 = 5*102 + 5*101 + 5*100.

Eksponen negatif digunakan untuk menulis pecahan desimal.

Misalnya: 555.5510 = 5*102 + 5*101 + 5*100 + 5 *10-1 + 5 *10-2

Indeks 10 untuk angka (555 10 dan 555,55 10 ) menunjukkan basis sistem bilangan di mana bilangan tersebut ditulis, dalam contoh ini adalah SS desimal.

Korespondensi bilangan dalam sistem bilangan yang berbeda