instruksi

Anda diberi tiga poin. Mari kita nyatakan sebagai (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Diasumsikan bahwa titik-titik ini adalah simpul dari beberapa titik segi tiga. Tugasnya adalah membuat persamaan sisi-sisinya - lebih tepatnya, persamaan garis-garis di mana sisi-sisi tersebut berada. Persamaan ini akan terlihat seperti:
kamu = k1*x + b1;
kamu = k2*x + b2;
y = k3*x + b3. Jadi, Anda harus mencari nilai sudut k1, k2, k3 dan perpindahan b1, b2, b3.

Tentukan garis yang melalui titik (x1, y1), (x2, y2). Jika x1 = x2, maka garis yang diinginkan adalah vertikal dan persamaannya adalah x = x1. Jika y1 = y2, maka garis tersebut mendatar dan persamaannya adalah y = y1. Secara umum, koordinat-koordinat ini tidak akan bersesuaian satu sama lain.

Substitusikan koordinat (x1, y1), (x2, y2) ke dalam persamaan umum garis lurus, diperoleh sistem dua persamaan linier: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2. Kurangi satu persamaan dari persamaan lainnya dan selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, maka k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Substitusikan apa yang Anda temukan ke dalam salah satu persamaan awal, carilah ekspresi untuk b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1. Karena kita sudah mengetahui bahwa x2 ≠ x1, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan mengalikan y1 dengan (x2 - x1)/(x2 - x1). Kemudian untuk b1 Anda akan mendapatkan ekspresi berikut: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Periksa apakah titik ketiga yang diberikan berada pada garis yang ditemukan. Untuk melakukannya, substitusikan (x3, y3) ke dalam persamaan yang dihasilkan dan lihat apakah persamaannya berlaku. Oleh karena itu, jika diamati, ketiga titik terletak pada garis yang sama, dan segitiga tersebut merosot menjadi satu segmen.

Dengan cara yang sama seperti dijelaskan di atas, turunkan persamaan garis yang melalui titik (x2, y2), (x3, y3) dan (x1, y1), (x3, y3).

Bentuk akhir dari persamaan sisi-sisi segitiga yang ditentukan oleh koordinat titik-titik sudutnya adalah: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) kamu = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) kamu = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Mencari persamaan Para Pihak segi tiga, pertama-tama, kita harus mencoba menyelesaikan pertanyaan bagaimana mencari persamaan garis pada suatu bidang jika vektor arahnya s(m, n) dan suatu titik M0(x0, y0) yang termasuk dalam garis tersebut diketahui.

instruksi

Ambil titik sembarang (variabel, mengambang) М(x, y) dan buatlah sebuah vektor М0M =(x-x0, y-y0) (tulis juga М0M(x-x0, y-y0)), yang jelas-jelas akan kolinear (paralel ) oleh k s. Kemudian kita dapat menyimpulkan bahwa koordinat vektor-vektor tersebut proporsional, sehingga kita dapat membuat garis lurus kanonik: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Rasio inilah yang akan digunakan dalam menyelesaikan masalah.

Semua tindakan selanjutnya ditentukan berdasarkan metode .metode pertama. Sebuah segitiga dinyatakan dengan koordinat ketiga titik sudutnya, sedangkan dalam geometri sekolah dinyatakan dengan panjang ketiga titik sudutnya. Para Pihak(lihat Gambar 1). Artinya, kondisi tersebut memuat titik M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Mereka sesuai dengan vektor radiusnya) OM1, 0M2 dan OM3 dengan koordinat yang sama dengan titik-titiknya. Untuk mendapatkan persamaan Para Pihak s M1M2 memerlukan vektor arahnya M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) dan salah satu titik M1 atau M2 (di sini diambil titik dengan indeks lebih rendah).

Jadi untuk Para Pihak y M1M2 persamaan kanonik garis (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Bertindak murni induktif, kita bisa menulis persamaan sisanya Para Pihak.Untuk Para Pihak s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Untuk Para Pihak s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

metode ke-2. Segitiga didefinisikan oleh dua titik (sama seperti sebelumnya M1(x1, y1) dan M2(x2, y2)), serta vektor satuan arah dari dua titik lainnya Para Pihak. Untuk Para Pihak s M2M3: p^0(m1, n1). Untuk M1M3: q^0(m2, n2). Oleh karena itu untuk Para Pihak s M1M2 akan sama seperti pada metode pertama: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Untuk Para Pihak s М2М3 sebagai titik (x0, y0) dari kanonik persamaan(x1, y1), dan vektor arahnya adalah p^0(m1, n1). Untuk Para Pihak s M1M3, (x2, y2) diambil sebagai titik (x0, y0), vektor arahnya adalah q^0(m2, n2). Jadi, untuk M2M3: persamaan (x-x1)/m1=(y-y1)/n1. Untuk M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Video tentang topik tersebut

Tip 3: Cara mencari tinggi segitiga jika koordinat titik-titiknya diberikan

Tinggi adalah ruas garis lurus yang menghubungkan bagian atas bangun dengan sisi yang berhadapan. Ruas ini harus tegak lurus dengan sisinya, sehingga hanya satu yang dapat ditarik dari setiap titik sudut tinggi. Karena ada tiga simpul pada gambar ini, maka jumlah tingginya sama. Jika suatu segitiga ditentukan oleh koordinat titik-titik sudutnya, maka panjang masing-masing tingginya dapat dihitung, misalnya dengan menggunakan rumus mencari luas dan menghitung panjang sisi-sisinya.

instruksi

Mulailah dengan menghitung panjang sisinya segi tiga. Menunjuk koordinat angka seperti ini: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) dan C(X₃,Y₃,Z₃). Kemudian kamu bisa menghitung panjang sisi AB dengan rumus AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Untuk dua sisi lainnya akan terlihat seperti ini: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) dan AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁ -Y₃ )² + (Z₁-Z₃)²). Misalnya untuk segi tiga dengan koordinat A(3,5,7), B(16,14,19) dan C(1,2,13) ​​​​panjang sisi AB adalah √((3-16)² + (5-14 )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Panjang sisi BC dan AC, jika dihitung dengan cara yang sama, adalah √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 dan √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Mengetahui panjang ketiga sisi yang diperoleh pada langkah sebelumnya sudah cukup untuk menghitung luas segi tiga(S) menurut rumus Heron: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Misalnya dengan mengganti ke dalam rumus ini nilai yang diperoleh dari koordinat segi tiga-sampel dari langkah sebelumnya, ini akan memberikan nilai: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Berdasarkan wilayah segi tiga, dihitung pada langkah sebelumnya, dan panjang sisi-sisinya diperoleh pada langkah kedua, hitung tinggi masing-masing sisinya. Karena luasnya sama dengan setengah hasil kali tinggi dan panjang sisi yang digambar, untuk mencari tingginya, bagi luas yang digandakan dengan panjang sisi yang diinginkan: H = 2*S/a. Pada contoh di atas, tinggi yang diturunkan ke sisi AB adalah 2*68.815/16.09 ≈ 8.55, tinggi ke sisi BC akan memiliki panjang 2*68.815/20.12 ≈ 6.84, dan untuk sisi AC nilainya akan sama dengan 2 *68.815/7 ≈ 19.66.

Sumber:

• titik-titik tertentu carilah luas segitiga

Tip 4: Cara menggunakan koordinat titik sudut segitiga untuk mencari persamaan sisi-sisinya

Dalam geometri analitik, segitiga pada bidang dapat didefinisikan dalam sistem koordinat Cartesian. Mengetahui koordinat titik sudut, Anda dapat membuat persamaan sisi-sisi segitiga. Ini akan menjadi persamaan tiga garis lurus, yang berpotongan membentuk suatu gambar.

Bagaimana cara belajar memecahkan masalah dalam geometri analitik?
Masalah khas dengan segitiga di pesawat

Pembelajaran ini dibuat tentang pendekatan garis khatulistiwa antara geometri bidang dan geometri ruang. Saat ini, ada kebutuhan untuk mensistematisasikan akumulasi informasi dan menjawab pertanyaan yang sangat penting: bagaimana cara belajar memecahkan masalah dalam geometri analitik? Kesulitannya adalah Anda dapat menemukan masalah geometri yang jumlahnya tak terbatas, dan tidak ada buku teks yang memuat banyak dan beragam contoh. Tidak turunan dari suatu fungsi dengan lima aturan diferensiasi, tabel dan beberapa teknik….

Ada solusinya! Saya tidak akan berbicara keras tentang fakta bahwa saya telah mengembangkan semacam teknik muluk-muluk, namun, menurut pendapat saya, ada pendekatan efektif untuk masalah yang sedang dipertimbangkan, yang memungkinkan bahkan boneka lengkap untuk mencapai hasil yang baik dan luar biasa. Setidaknya algoritma umum untuk memecahkan masalah geometri terbentuk dengan sangat jelas di kepala saya.

APA YANG PERLU ANDA KETAHUI DAN DAPAT DILAKUKAN
untuk berhasil memecahkan masalah geometri?

Tidak ada jalan keluar dari ini - agar tidak menyodok tombol secara acak dengan hidung Anda, Anda harus menguasai dasar-dasar geometri analitik. Oleh karena itu, jika Anda baru mulai belajar geometri atau sudah benar-benar lupa, silakan mulai pelajarannya Vektor untuk boneka. Selain vektor dan tindakan dengannya, Anda perlu mengetahui konsep dasar geometri bidang, khususnya, persamaan garis pada bidang Dan . Geometri ruang disajikan dalam artikel Persamaan bidang, Persamaan garis dalam ruang, Soal-soal dasar garis lurus dan bidang serta beberapa pelajaran lainnya. Garis lengkung dan permukaan spasial orde kedua agak terpisah, dan tidak banyak masalah khusus dengannya.

Misalkan siswa telah memiliki pengetahuan dan keterampilan dasar dalam memecahkan masalah geometri analitik yang paling sederhana. Tapi yang terjadi seperti ini: Anda membaca pernyataan masalahnya, dan... Anda ingin menutup semuanya, membuangnya ke sudut jauh dan melupakannya, seperti mimpi buruk. Selain itu, hal ini pada dasarnya tidak bergantung pada tingkat kualifikasi Anda; dari waktu ke waktu saya sendiri menghadapi tugas-tugas yang solusinya tidak jelas. Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Tidak perlu takut dengan tugas yang tidak Anda pahami!

Pertama, harus dipasang - Apakah ini masalah “datar” atau spasial? Misalnya, jika kondisinya memuat vektor-vektor dengan dua koordinat, maka tentu saja ini adalah geometri suatu bidang. Dan jika guru mengisi pendengar yang bersyukur dengan sebuah piramida, maka jelas ada geometri ruang. Hasil dari langkah pertama sudah cukup bagus, karena kami berhasil memotong sejumlah besar informasi yang tidak diperlukan untuk tugas ini!

Kedua. Kondisi ini biasanya membuat Anda khawatir dengan beberapa bentuk geometris. Memang, berjalanlah di sepanjang koridor universitas asal Anda, dan Anda akan melihat banyak wajah khawatir.

Dalam soal “datar”, belum lagi titik dan garis yang jelas, bangun datar yang paling populer adalah segitiga. Kami akan menganalisisnya dengan sangat rinci. Berikutnya adalah jajaran genjang, dan yang lebih jarang adalah persegi panjang, persegi, belah ketupat, lingkaran, dan bentuk lainnya.

Dalam masalah spasial, bangun datar yang sama + bidang itu sendiri dan piramida segitiga biasa dengan paralelepiped dapat terbang.

Pertanyaan kedua - Tahukah Anda segalanya tentang sosok ini? Misalkan kondisinya berbicara tentang segitiga sama kaki, dan Anda samar-samar mengingat jenis segitiga apa itu. Kami membuka buku pelajaran sekolah dan membaca tentang segitiga sama kaki. Apa yang harus dilakukan...kata dokter belah ketupat, itu artinya belah ketupat. Geometri analitik adalah geometri analitik, tetapi masalahnya akan diselesaikan dengan sifat-sifat geometris dari bangun-bangun itu sendiri, yang kita ketahui dari kurikulum sekolah. Jika Anda tidak tahu berapa jumlah sudut suatu segitiga, Anda bisa menderita lama sekali.

Ketiga. SELALU mencoba mengikuti gambarnya(pada draf/salinan akhir/mental), meskipun hal ini tidak diwajibkan oleh syarat. Dalam soal “datar”, Euclid sendiri memerintahkan untuk mengambil penggaris dan pensil - dan tidak hanya untuk memahami kondisinya, tetapi juga untuk tujuan tes mandiri. Dalam hal ini, skala yang paling nyaman adalah 1 unit = 1 cm (2 sel buku catatan). Jangan bicara tentang siswa yang ceroboh dan ahli matematika yang berputar-putar di kuburan mereka - hampir tidak mungkin membuat kesalahan dalam soal seperti itu. Untuk tugas spasial, kami melakukan gambar skema, yang juga akan membantu menganalisis kondisi.

Gambar atau gambar skema sering kali memungkinkan Anda untuk segera melihat cara memecahkan suatu masalah. Tentunya untuk itu Anda perlu mengetahui dasar-dasar geometri dan memahami sifat-sifat bangun geometri (lihat paragraf sebelumnya).

Keempat. Pengembangan algoritma solusi. Banyak masalah geometri yang bersifat multi-langkah, sehingga solusi dan desainnya sangat mudah untuk dipecah menjadi poin-poin. Seringkali algoritma langsung terlintas dalam pikiran setelah Anda membaca kondisi atau menyelesaikan gambar. Jika ada kesulitan, kita mulai dengan PERTANYAAN tugas. Misalnya, sesuai dengan kondisi “Anda perlu membuat garis lurus…”. Di sini pertanyaan yang paling logis adalah: “Apa yang cukup diketahui untuk membuat garis lurus ini?” Misalkan, “kita mengetahui suatu titik, kita perlu mengetahui vektor arahnya”. Kita menanyakan pertanyaan berikut: “Bagaimana cara mencari vektor arah ini? Di mana?" dll.

Terkadang ada "bug" - masalahnya tidak terpecahkan dan hanya itu. Alasan penghentiannya mungkin sebagai berikut:

– Kesenjangan serius dalam pengetahuan dasar. Dengan kata lain, Anda tidak mengetahui dan/atau tidak melihat sesuatu yang sangat sederhana.

– Ketidaktahuan tentang sifat-sifat bangun geometri.

- Tugasnya sulit. Ya, itu terjadi. Tidak ada gunanya mengukus berjam-jam dan mengumpulkan air mata di saputangan. Mintalah saran dari guru Anda, sesama siswa, atau ajukan pertanyaan di forum. Selain itu, lebih baik membuat pernyataannya spesifik - tentang bagian solusi yang tidak Anda pahami. Seruan berupa “Bagaimana cara mengatasi masalah?” tidak terlihat bagus... dan, yang terpenting, untuk reputasi Anda sendiri.

Tahap lima. Kita putuskan-periksa, putuskan-periksa, putuskan-periksa-berikan jawaban. Akan bermanfaat untuk memeriksa setiap poin tugas segera setelah selesai. Ini akan membantu Anda segera menemukan kesalahannya. Secara alami, tidak ada yang melarang menyelesaikan seluruh masalah dengan cepat, tetapi ada risiko menulis ulang semuanya lagi (seringkali beberapa halaman).

Ini mungkin semua pertimbangan utama yang harus diikuti ketika memecahkan masalah.

Bagian praktis dari pelajaran disajikan dalam geometri bidang. Hanya akan ada dua contoh, tetapi sepertinya tidak cukup =)

Mari kita telusuri alur algoritma yang baru saja saya lihat dalam karya ilmiah kecil saya:

Contoh 1

Tiga simpul jajar genjang diberikan. Temukan yang teratas.

Mari kita mulai memahami:

Langkah pertama: Jelas sekali bahwa kita sedang membicarakan masalah yang “datar”.

Langkah kedua: Soalnya berkaitan dengan jajar genjang. Apakah semua orang ingat sosok jajar genjang ini? Tak perlu tersenyum, banyak orang mengenyam pendidikan pada usia 30-40-50 tahun atau lebih, sehingga fakta sederhana pun bisa terhapus dari ingatan. Pengertian jajar genjang terdapat pada Contoh No. 3 pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor.

Langkah ketiga: Mari kita membuat gambar yang menandai tiga simpul yang diketahui. Lucunya, tidak sulit untuk segera menyusun poin yang diinginkan:

Membangunnya tentu saja bagus, tetapi solusinya harus dirumuskan secara analitis.

Langkah keempat: Pengembangan algoritma solusi. Hal pertama yang terlintas dalam pikiran adalah bahwa suatu titik dapat ditemukan sebagai perpotongan garis. Kami tidak mengetahui persamaannya, jadi kami harus mengatasi masalah ini:

1) Sisi-sisi yang berhadapan sejajar. Berdasarkan poin Mari kita cari vektor arah sisi-sisinya. Ini adalah masalah paling sederhana yang dibahas di kelas. Vektor untuk boneka.

Catatan: lebih tepat dikatakan “persamaan garis yang memuat suatu sisi”, tetapi di sini dan selanjutnya agar singkatnya saya akan menggunakan frasa “persamaan suatu sisi”, “vektor arah suatu sisi”, dll.

3) Sisi-sisi yang berhadapan sejajar. Dengan menggunakan titik-titik, kita mencari vektor arah sisi-sisi ini.

4) Mari kita buat persamaan garis lurus dengan menggunakan titik dan vektor arah

Pada paragraf 1-2 dan 3-4, sebenarnya kita memecahkan masalah yang sama dua kali, hal ini telah dibahas pada contoh nomor 3 pelajaran Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang. Dimungkinkan untuk mengambil rute yang lebih panjang - pertama-tama temukan persamaan garis dan baru kemudian “tarik” vektor arah dari persamaan tersebut.

5) Sekarang persamaan garisnya sudah diketahui. Yang tersisa hanyalah menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan linier yang sesuai (lihat contoh No. 4, 5 dari pelajaran yang sama Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang).

Intinya telah ditemukan.

Masalahnya cukup sederhana dan solusinya jelas, tapi ada cara yang lebih singkat!

Solusi kedua:

Diagonal-diagonal jajar genjang dibagi dua oleh titik potongnya. Saya menandai intinya, tetapi agar tidak mengacaukan gambar, saya tidak menggambar diagonalnya sendiri.

Mari kita buat persamaan sisi titik demi titik :

Untuk memeriksanya, Anda harus secara mental atau dalam rancangan mengganti koordinat setiap titik ke dalam persamaan yang dihasilkan. Sekarang mari kita cari kemiringannya. Untuk melakukannya, kita tulis ulang persamaan umum tersebut sebagai persamaan dengan koefisien kemiringan:

Jadi, kemiringannya adalah:

Demikian pula, kita menemukan persamaan sisi-sisinya. Saya tidak melihat ada gunanya menjelaskan hal yang sama, jadi saya akan segera memberikan hasil akhirnya:

2) Tentukan panjang sisinya. Ini adalah masalah paling sederhana yang dibahas di kelas. Vektor untuk boneka. Untuk poin kami menggunakan rumus:

Dengan menggunakan rumus yang sama, mudah untuk mencari panjang sisi lainnya. Pengecekan dapat dilakukan dengan sangat cepat dengan penggaris biasa.

Kami menggunakan rumusnya .

Mari kita cari vektornya:

Dengan demikian:

Ngomong-ngomong, di sepanjang jalan kami menemukan panjang sisinya.

Sebagai akibat:

Tampaknya benar; agar lebih meyakinkan, Anda bisa memasang busur derajat di sudutnya.

Perhatian! Jangan bingung antara sudut segitiga dengan sudut antara garis lurus. Sudut segitiga bisa tumpul, tapi sudut antar garis lurus tidak bisa (lihat paragraf terakhir artikel Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang). Namun untuk mencari sudut suatu segitiga juga bisa menggunakan rumus-rumus pada pelajaran di atas, namun kasarnya rumus-rumus tersebut selalu memberikan sudut lancip. Dengan bantuan mereka, saya memecahkan masalah ini dalam bentuk draf dan mendapatkan hasilnya. Dan pada salinan terakhir saya harus menuliskan alasan tambahan, yaitu.

4) Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik yang sejajar dengan garis tersebut.

Tugas standar, dibahas secara rinci pada contoh No. 2 pelajaran Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang. Dari persamaan umum garis Mari kita ambil vektor panduannya. Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Bagaimana cara mencari tinggi segitiga?

5) Mari buat persamaan tinggi dan cari panjangnya.

Tidak ada jalan keluar dari definisi yang ketat, jadi Anda harus mencuri dari buku pelajaran sekolah:

Tinggi segitiga disebut garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut segitiga ke garis yang memuat sisi berhadapan.

Artinya, perlu dibuat persamaan garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut ke samping. Tugas ini dibahas dalam contoh No. 6, 7 pelajaran Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang. Dari Persamaan. hapus vektor normal. Mari kita buat persamaan ketinggian menggunakan titik dan vektor arah:

Perlu diketahui bahwa kita tidak mengetahui koordinat titik tersebut.

Terkadang persamaan ketinggian ditemukan dari perbandingan koefisien sudut garis tegak lurus: . Dalam hal ini, maka: . Mari kita buat persamaan tinggi badan menggunakan titik dan koefisien sudut (lihat awal pelajaran Persamaan garis lurus pada bidang datar):

Panjang tinggi badan dapat dicari dengan dua cara.

Ada jalan memutar:

a) temukan – titik potong tinggi dan sisi;
b) mencari panjang ruas dengan menggunakan dua titik yang diketahui.

Tapi di kelas Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang rumus yang mudah untuk jarak dari suatu titik ke garis telah dipertimbangkan. Diketahui titik : , diketahui pula persamaan garisnya : , Dengan demikian:

6) Hitung luas segitiga. Di luar angkasa, luas segitiga dihitung secara tradisional menggunakan produk vektor dari vektor, tapi disini kita diberikan sebuah segitiga pada sebuah bidang. Kami menggunakan rumus sekolah:
– Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali alas dan tingginya.

Pada kasus ini:

Bagaimana cara mencari median suatu segitiga?

7) Mari kita buat persamaan mediannya.

Median suatu segitiga disebut ruas yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan.

a) Temukan titik - tengah sisinya. Kita gunakan rumus koordinat titik tengah suatu ruas. Koordinat ujung-ujung ruas diketahui: , maka koordinat tengahnya:

Dengan demikian:

Mari kita buat persamaan median poin demi poin :

Untuk memeriksa persamaannya, Anda perlu mengganti koordinat titik-titik ke dalamnya.

8) Temukan titik potong tinggi dan median. Saya rasa semua orang telah mempelajari cara melakukan elemen figure skating ini tanpa terjatuh:

Contoh penyelesaian beberapa tugas dari karya standar “Geometri Analitik di Pesawat”

Vertikal diberikan,
,
segitiga ABC. Menemukan:

Persamaan semua sisi segitiga;

Sistem pertidaksamaan linier yang mendefinisikan segitiga ABC;

Persamaan tinggi, median, dan garis bagi suatu segitiga yang diambil dari titik sudutnya A;

Titik potong ketinggian segitiga;

Titik potong median segitiga;

Panjang tingginya diturunkan ke samping AB;

Sudut A;

Buatlah gambar.

Biarkan titik sudut segitiga memiliki koordinat: A (1; 4), DI DALAM (5; 3), DENGAN(3; 6). Mari kita menggambar segera:

1. Untuk menuliskan persamaan semua sisi suatu segitiga, kita menggunakan persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dengan koordinat ( X 0 , kamu 0 ) Dan ( X 1 , kamu 1 ):

=

Jadi, mengganti ( X 0 , kamu 0 ) koordinat titik A, dan sebagai ganti ( X 1 , kamu 1 ) koordinat titik DI DALAM, kita mendapatkan persamaan garisnya AB:

Persamaan yang dihasilkan akan menjadi persamaan garis lurus AB, ditulis dalam bentuk umum. Demikian pula, kita menemukan persamaan garis lurus AC:

Dan juga persamaan garis lurus Matahari:

2. Perhatikan himpunan titik-titik pada segitiga ABC mewakili perpotongan tiga setengah bidang, dan setiap setengah bidang dapat didefinisikan menggunakan pertidaksamaan linier. Jika kita mengambil persamaan kedua sisi ∆ ABC, Misalnya AB, lalu ketidaksetaraan

Dan

tentukan titik-titik yang terletak pada sisi-sisi yang berhadapan pada suatu garis AB. Kita harus memilih setengah bidang di mana titik C berada. Mari kita substitusikan koordinatnya ke dalam kedua pertidaksamaan:

Pertidaksamaan kedua adalah benar, artinya titik-titik yang diperlukan ditentukan oleh pertidaksamaan tersebut

.

Kita melakukan hal yang sama dengan garis lurus BC, persamaannya
. Kami menggunakan titik A (1, 1) sebagai titik uji:

Artinya pertidaksamaan yang disyaratkan berbentuk:

.

Jika kita periksa garis lurus AC (titik uji B), kita peroleh:

Artinya pertidaksamaan yang disyaratkan akan berbentuk

Kami akhirnya mendapatkan sistem ketidaksetaraan:

Tanda “≤”, “≥” berarti titik-titik yang terletak pada sisi-sisi segitiga juga termasuk dalam himpunan titik-titik penyusun segitiga tersebut. ABC.

3. a) Mencari persamaan tinggi yang dijatuhkan dari titik puncak A ke samping Matahari, perhatikan persamaan sisinya Matahari:
. Vektor dengan koordinat
tegak lurus ke samping Matahari dan karena itu sejajar dengan ketinggian. Mari kita tuliskan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik A sejajar dengan vektor
:

Ini adalah persamaan ketinggian yang dihilangkan dari t. A ke samping Matahari.

b) Tentukan koordinat titik tengah sisinya Matahari sesuai dengan rumus:

Di Sini
- ini adalah koordinat t. DI DALAM, A
– koordinat t. DENGAN. Mari kita substitusikan dan dapatkan:

Garis lurus yang melalui titik ini dan titik tersebut A adalah median yang diperlukan:

c) Kita akan mencari persamaan garis bagi berdasarkan fakta bahwa pada segitiga sama kaki tinggi, median, dan garis bagi yang turun dari satu titik sudut ke alas segitiga adalah sama. Mari kita cari dua vektor
Dan
dan panjangnya:

Kemudian vektornya
mempunyai arah yang sama dengan vektor
, dan panjangnya
Begitu pula dengan vektor satuan
bertepatan dengan arah vektor
Jumlah vektor

adalah vektor yang arahnya berimpit dengan garis bagi sudut A. Dengan demikian, persamaan garis bagi yang diinginkan dapat dituliskan sebagai:

4) Kita telah membuat persamaan untuk salah satu ketinggian. Mari kita buat persamaan untuk ketinggian lain, misalnya, dari titik sudut DI DALAM. Samping AC diberikan oleh persamaan
Jadi vektornya
tegak lurus AC, dan dengan demikian sejajar dengan ketinggian yang diinginkan. Maka persamaan garis yang melalui titik sudut tersebut DI DALAM dalam arah vektor
(yaitu tegak lurus AC), memiliki bentuk:

Diketahui ketinggian suatu segitiga berpotongan di satu titik. Secara khusus, titik ini adalah perpotongan dari ketinggian yang ditemukan, mis. menyelesaikan sistem persamaan:

- koordinat titik ini.

5. Tengah AB memiliki koordinat
. Mari kita tuliskan persamaan median ke samping AB. Garis ini melalui titik-titik dengan koordinat (3, 2) dan (3, 6) yang berarti persamaannya berbentuk:

Perhatikan bahwa angka nol pada penyebut pecahan pada persamaan garis lurus berarti garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu ordinat.

Untuk mencari titik potong median, cukup menyelesaikan sistem persamaan:

Titik potong median suatu segitiga mempunyai koordinat
.

6. Panjang tinggi diturunkan ke samping AB, sama dengan jarak dari titik tersebut DENGAN ke garis lurus AB dengan persamaan
dan ditemukan dengan rumus:

7. Kosinus sudut A dapat dicari dengan menggunakan rumus kosinus sudut antar vektor Dan , yang sama dengan rasio produk skalar vektor-vektor ini dengan produk panjangnya:

.