معنای یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی ندارد. نمایش اطلاعات عددی با استفاده از سیستم های اعداد. یک سیستم عامل ...

مفاهیم اساسی سیستم های اعداد

سیستم اعداد مجموعه ای از قوانین و تکنیک ها برای نوشتن اعداد با استفاده از مجموعه ای از کاراکترهای دیجیتال است. تعداد ارقام مورد نیاز برای نوشتن یک عدد در یک سیستم را پایه سیستم اعداد می گویند. پایه سیستم در سمت راست عدد در زیرنویس نوشته شده است: ; ; و غیره.

دو نوع سیستم اعداد وجود دارد:

موقعیتی، زمانی که مقدار هر رقم از یک عدد با موقعیت آن در رکورد شماره تعیین می شود.

غیر موقعیتی، زمانی که مقدار یک رقم در یک عدد به جایگاه آن در نماد عدد بستگی ندارد.

نمونه ای از سیستم اعداد غیر موقعیتی، رومی است: اعداد IX، IV، XV و غیره. نمونه ای از سیستم اعداد موقعیتی، سیستم اعشاری است که هر روز استفاده می شود.

هر عدد صحیح در سیستم موقعیتی را می توان به صورت چند جمله ای نوشت:

که در آن S پایه سیستم اعداد است.

ارقام یک عدد نوشته شده در یک سیستم عددی معین.

n تعداد ارقام عدد است.

مثال. عدد به صورت چند جمله ای به صورت زیر نوشته می شود:

انواع سیستم اعداد

سیستم اعداد رومی یک سیستم غیر موقعیتی است. برای نوشتن اعداد از حروف الفبای لاتین استفاده می کند. در این حالت حرف I همیشه به معنی یک است، حرف V به معنی پنج، X به معنی ده، L به معنی پنجاه، C به معنای صد، D به معنی پانصد، M به معنای هزار و غیره است. مثلا عدد 264 به صورت CCLXIV نوشته می شود. هنگام نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی، مقدار یک عدد مجموع جبری ارقام موجود در آن است. در این حالت، ارقام در رکورد اعداد، به طور معمول، به ترتیب نزولی از مقادیر خود هستند و نوشتن بیش از سه رقم یکسان در کنار هم مجاز نیست. هنگامی که یک رقم با مقدار بزرگتر با یک رقم با مقدار کوچکتر دنبال می شود، سهم آن در مقدار کل عدد منفی است. نمونه های معمولی که قوانین کلی نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی را نشان می دهد در جدول آورده شده است.

جدول 2. نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی

نقطه ضعف سیستم رومی عدم وجود قوانین رسمی برای نوشتن اعداد و بر این اساس، عملیات حسابی با اعداد چند رقمی است. به دلیل ناراحتی و پیچیدگی زیاد، سیستم شماره رومی در حال حاضر در جایی که واقعا راحت است استفاده می شود: در ادبیات (شماره بندی فصل)، در طراحی اسناد (یک سری پاسپورت، اوراق بهادار، و غیره)، برای اهداف تزئینی در یک ساعت شماره گیری و در تعدادی از موارد دیگر.

سیستم اعداد اعشاری در حال حاضر شناخته شده ترین و مورد استفاده ترین است. اختراع سیستم اعداد اعشاری یکی از دستاوردهای اصلی اندیشه بشر است. بدون آن، فن آوری مدرن به سختی می تواند وجود داشته باشد، بسیار کمتر بوجود می آید. دلیل اینکه سیستم اعداد اعشاری به طور کلی پذیرفته شد، اصلاً ریاضی نیست. مردم به شمارش در سیستم اعداد اعشاری عادت دارند زیرا 10 انگشت روی دستان خود دارند.

تصویر باستانی ارقام اعشاری (شکل 1) تصادفی نیست: هر رقم یک عدد را با تعداد زاویه های موجود در آن نشان می دهد. به عنوان مثال، 0 - بدون گوشه، 1 - یک گوشه، 2 - دو گوشه، و غیره. نوشتن اعداد اعشاری دستخوش تغییرات قابل توجهی شده است. شکلی که ما استفاده می کنیم در قرن شانزدهم ایجاد شد.

سیستم اعشاری اولین بار در قرن ششم پس از میلاد در هند ظاهر شد. شماره گذاری هندی از نه کاراکتر عددی و یک صفر برای نشان دادن یک موقعیت خالی استفاده می کند. در نسخه‌های خطی هندی اولیه که به دست ما رسیده است، اعداد به ترتیب معکوس نوشته شده‌اند - مهم‌ترین عدد در سمت راست قرار گرفته است. اما خیلی زود قرار دادن چنین عددی در سمت چپ به یک قانون تبدیل شد. اهمیت ویژه ای به نماد صفر که برای سیستم نشانه گذاری موقعیتی معرفی شد، داده شد. شماره گذاری هندی، از جمله صفر، تا به امروز باقی مانده است. در اروپا، روش‌های هندویی حساب اعشاری در آغاز قرن سیزدهم رایج شد. به لطف کار ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو پیزا (فیبوناچی). اروپایی ها سیستم اعداد هندی را از اعراب قرض گرفتند و آن را عربی نامیدند. این اشتباه تاریخی تا امروز ادامه دارد.

سیستم اعشاری از ده رقم 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 و 9 و همچنین از نمادهای "+" و "-" برای نشان دادن علامت یک عدد استفاده می کند. کاما یا نقطه برای جدا کردن اعداد صحیح و اعشاری.

کامپیوترها از یک سیستم اعداد باینری استفاده می کنند، پایه آن عدد 2 است. برای نوشتن اعداد در این سیستم، فقط از دو رقم استفاده می شود - 0 و 1. برخلاف تصور غلط رایج، سیستم اعداد باینری توسط مهندسان طراحی کامپیوتر اختراع نشده است، بلکه توسط ریاضیدانان و فیلسوفان مدت ها قبل از ظهور رایانه ها، در قرن 17 تا 19. اولین بحث منتشر شده در مورد سیستم اعداد باینری توسط کشیش اسپانیایی خوان کاراموئل لوبکوویتز (1670) است. توجه کلی به این سیستم توسط مقاله ای توسط ریاضیدان آلمانی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس که در سال 1703 منتشر شد به خود جلب کرد. این سیستم عملیات دودویی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را توضیح داد. لایب نیتس استفاده از این سیستم را برای محاسبات عملی توصیه نکرد، اما بر اهمیت آن برای تحقیقات نظری تاکید کرد. با گذشت زمان، سیستم اعداد باینری به خوبی شناخته شده و توسعه می یابد.

انتخاب یک سیستم باینری برای استفاده در فناوری کامپیوتر با این واقعیت توضیح داده می شود که عناصر الکترونیکی - محرک هایی که تراشه های کامپیوتری را تشکیل می دهند - فقط می توانند در دو حالت عملیاتی باشند.

با استفاده از سیستم کدگذاری باینری، می توانید هر داده و دانشی را ضبط کنید. اگر اصل رمزگذاری و انتقال اطلاعات با استفاده از کد مورس را به خاطر بیاوریم، به راحتی قابل درک است. اپراتور تلگراف، با استفاده از تنها دو علامت از این الفبا - نقطه و خط تیره، می تواند تقریبا هر متنی را منتقل کند.

سیستم باینری برای رایانه مناسب است، اما برای یک فرد ناخوشایند است: نوشتن و به خاطر سپردن اعداد طولانی و دشوار است. البته، می توانید عدد را به سیستم اعشاری تبدیل کنید و به این شکل بنویسید، و سپس، زمانی که باید آن را برگردانید، اما همه این ترجمه ها کار فشرده هستند. بنابراین، سیستم های اعداد مربوط به باینری استفاده می شود - اکتال و هگزادسیمال. برای نوشتن اعداد در این سیستم ها به ترتیب 8 و 16 رقم لازم است. در هگزادسیمال، 10 رقم اول رایج است و سپس از حروف بزرگ لاتین استفاده می شود. رقم هگزادسیمال A مربوط به عدد اعشاری 10، هگزادسیمال B به عدد اعشاری 11 و غیره است. در زیر جدول مطابقت بین اعداد نوشته شده در سیستم های مختلف آورده شده است.

جدول 3. مطابقت اعداد نوشته شده در سیستم های اعداد مختلف

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر بخش مهمی از محاسبات ماشین است. بیایید قوانین اساسی ترجمه را در نظر بگیریم.

1. برای تبدیل یک عدد دودویی به اعشاری باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان مربوط به 2 نوشت و بر اساس قواعد آن محاسبه کرد. محاسبات اعشاری:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول قدرت های دو راحت است:

جدول 4. توان های 2

مثال. عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

2. برای تبدیل یک عدد اکتالی به اعشاری باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 8 یادداشت کرده و بر اساس قوانین اعشاری محاسبه کرد. حسابی:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول توان های هشت راحت است:

جدول 5. قدرت های عدد 8

قوانین: (معمولا) بیش از سه رقم یکسان را در یک ردیف قرار ندهید اگر رقم پایین (فقط یک!) در سمت چپ رقم بالا باشد، از مجموع آن کم می شود (تا حدی غیر موقعیتی!) مثال: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

3999) باید ارقام جدید وارد کرد (V, X, L, C, D, M) چگونه اعداد کسری بنویسیم؟ نحوه انجام عملیات حسابی: CCCLIX + CLXXIV =؟ محل استفاده: شماره فصل ها در کتاب ها: تعیین قرن ها: "دزدان دریایی XX" title=" معایب: برای نوشتن اعداد بزرگ (> 3999) باید اعداد جدیدی وارد کنید (V، X، L، C، D, M) چگونه اعداد کسری را بنویسیم: CCCLIX + CLXXIV = کجا استفاده می شود: اعداد فصل در کتاب ها: تعیین قرن ها: "دزدان دریایی XX"؟" class="link_thumb"> 9 !}معایب: برای نوشتن اعداد بزرگ (> 3999) باید ارقام جدید وارد کنید (V, X, L, C, D, M) چگونه اعداد کسری بنویسیم؟ نحوه انجام عملیات حسابی: CCCLIX + CLXXIV =؟ محل استفاده: شماره فصل در کتاب ها: تعیین قرن ها: صفحه ساعت "دزدان دریایی قرن بیستم" 3999) باید ارقام جدید وارد کرد (V, X, L, C, D, M) چگونه اعداد کسری بنویسیم؟ نحوه انجام عملیات حسابی: CCCLIX + CLXXIV =؟ جایی که از آن استفاده می شود: شماره فصل در کتاب ها: تعیین قرن ها: "دزدان دریایی XX"> 3999) لازم است ارقام جدید وارد کنید (V, X, L, C, D, M) چگونه اعداد کسری بنویسیم؟ چگونه انجام دهیم عملیات حسابی: CCCLIX + CLXXIV = محل استفاده: اعداد فصل در کتاب ها: تعیین قرن ها: شماره گیری ساعت "دزدان دریایی قرن بیستم"> 3999) لازم است اعداد جدید (V, X, L, C, D) وارد شوند؟ ، م) چگونه اعداد کسری بنویسیم؟ نحوه انجام عملیات حسابی: CCCLIX + CLXXIV =؟ محل استفاده: شماره فصل ها در کتاب ها: تعیین قرن ها: "دزدان دریایی XX" title=" معایب: برای نوشتن اعداد بزرگ (> 3999) باید اعداد جدیدی وارد کنید (V، X، L، C، D, M) چگونه اعداد کسری را بنویسیم: CCCLIX + CLXXIV = کجا استفاده می شود: اعداد فصل در کتاب ها: تعیین قرن ها: "دزدان دریایی XX"؟"> title="معایب: برای نوشتن اعداد بزرگ (> 3999) باید ارقام جدید وارد کنید (V, X, L, C, D, M) چگونه اعداد کسری بنویسیم؟ نحوه انجام عملیات حسابی: CCCLIX + CLXXIV =؟ محل استفاده: شماره فصل ها در کتاب ها: تعیین قرن ها: "دزدان دریایی XX"> !}

در یک سیستم اعداد موقعیتی، مقدار کمی یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی دارد. موقعیت رقم را رقم می گویند. رقم عدد از راست به چپ افزایش می یابد. در عدد 555، 5 اول در موقعیت صدها، 5 دوم در موقعیت ده ها و 5 سوم در موقعیت واحد قرار دارند (555=).

الف) = 5* * *10 0 ب) = 1*2 2 +0*2 1 +1*2 0

تعداد محدود کاراکتر برای نوشتن اعداد. سهولت در انجام عملیات حسابی. پایه سیستم اعداد موقعیتی (q) تعداد نمادهایی است که برای نوشتن یک عدد استفاده می شود. وظیفه: برای نوشتن هر عددی در سیستم اعداد کوینری، در سیستم اعداد هشتگانه، در سیستم اعداد هگزا دسیمال چند و چه رقمی لازم است.

گزینه 1. 1. آیا می توان عددی را در سیستم اعداد باینری نوشت؟ 2. آیا این درست است که سیستم های اعداد الفبایی غیر موقعیتی هستند؟ 3. آیا این درست است که کامپیوترها از سیستم اعداد رومی استفاده می کنند؟ 4. آیا درست است که برای محاسبات پیچیده حسابی استفاده از سیستم اعداد رومی راحت است؟ 5. آیا وجود رقم 2 در سیستم اعداد باینری درست است؟ گزینه 2. 1. آیا می توان عددی را در سیستم اعداد چهارتایی نوشت؟ 2. آیا درست است که اعداد عربی برای محاسبات پیچیده حسابی مناسب هستند؟ 3. آیا این درست است که حافظه کامپیوتر از سیستم اعداد اعشاری استفاده می کند؟ 4. آیا درست است که همه سیستم های اعداد به دو گروه بزرگ تقسیم می شوند؟ 5. آیا این درست است که سیستم اعداد اعشاری موقعیتی است؟

گزینه پاسخ اعداد بله خیر 2بله خیر جدول بررسی نتایج آزمون "5" - بدون خطا "4" - یک خطا "3" - دو خطا "2" - سه خطا معیارهای ارزیابی:
تمام دنیا می دانند که تقویم مایاها در 21 دسامبر 2012 به پایان می رسد. اما هیچ کس نمی داند چرا. بیایید با این واقعیت شروع کنیم که در واقع این تقویم نیست که به پایان می رسد، بلکه به اصطلاح چرخه بزرگ است. یا "پنجمین خورشید" در اصطلاح مایاها، که 5126 سال طول می کشد. آخرین روز این چرخه 21 دسامبر 2012 است. اما این پایان دنیا نیست. پس از سال 2012، چرخه بعدی آغاز می شود. بر اساس محاسبات دانشمندان، "پنجمین خورشید" در 13 اوت 3113 قبل از میلاد آغاز شد. پس چرا؟ این با چه رویدادی مرتبط بود؟ هیچ کس نمی داند. همچنین ناشناخته است که مایاهای باستان حتی سیستم پیچیده خود را برای شمارش زمان و تقسیم آن به چرخه ها از کجا آورده اند.

نمایش اطلاعات عددی با استفاده از سیستم های اعداد

از اعداد برای ثبت اطلاعات در مورد تعداد اشیاء استفاده می شود. اعداد با استفاده از سیستم های علامت خاصی به نام سیستم های عددی نوشته می شوند. الفبای سیستم های اعداد از نمادهایی به نام رقم تشکیل شده است. به عنوان مثال، در سیستم اعداد اعشاری، اعداد با ده رقم شناخته شده نوشته می شوند: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9.

نشانه گذارییک سیستم نشانه ای است که در آن اعداد بر اساس قوانین خاصی با استفاده از نمادهای یک الفبای معین به نام اعداد نوشته می شوند.

تمام سیستم های اعداد به دو گروه بزرگ تقسیم می شوند: موضعیو غیر موضعیسیستم های اعداد در سیستم های اعداد موقعیتی، مقدار یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی دارد، اما در سیستم های اعداد غیر موقعیتی به آن بستگی ندارد.

سیستم اعداد غیر موقعیتی رومیرایج ترین سیستم اعداد غیر موقعیتی رومی است. اعداد استفاده شده در آن عبارتند از: I (1)، V (5)، X (10)، L (50)، C (100)، D (500)، M (1000).

معنای یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی ندارد. به عنوان مثال، در عدد XXX (30)، عدد X سه بار ظاهر می شود و در هر مورد همان مقدار را نشان می دهد - عدد 10، سه عدد 10 به 30 می رسد.

اندازه یک عدد در سیستم اعداد رومی به عنوان مجموع یا اختلاف ارقام در عدد تعریف می شود. اگر عدد کوچکتر در سمت چپ عدد بزرگتر باشد، از آن کسر می شود، اگر در سمت راست باشد، اضافه می شود. برای مثال، نوشتن عدد اعشاری 1998 در سیستم اعداد رومی به شکل زیر است:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5 + 1 + 1 + 1.

سیستم های اعداد موقعیتیاولین سیستم اعداد موقعیتی در بابل باستان اختراع شد و شماره‌گذاری بابلی به صورت seksagesimal بود، یعنی از شصت رقم استفاده می‌کرد! جالب اینجاست که ما هنوز از پایه 60 برای اندازه گیری زمان استفاده می کنیم (1 دقیقه شامل 60 ثانیه و 1 ساعت شامل 60 دقیقه است).

در قرن نوزدهم، سیستم اعداد اثنی عشری بسیار گسترده شد. تا به حال، ما اغلب از یک دوجین (عدد 12) استفاده می کنیم: در یک روز دو دوجین ساعت وجود دارد، یک دایره شامل سی دوجین درجه است و غیره.

مقدار کمی یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی دارد.

رایج ترین سیستم های اعداد موقعیتی امروزه اعشاری، باینری، هشت و هگزادسیمال هستند. هر سیستم موقعیتی خاصی دارد الفبای اعدادو پایه.

که در سیستم های اعداد موقعیتیپایه سیستم برابر است با تعداد ارقام (علائم در الفبای آن) و تعیین می کند که چند برابر مقادیر ارقام یکسان در موقعیت های مجاور عدد متفاوت است.

سیستم اعداد اعشاری دارای الفبای اعداد است که شامل ده رقم معروف به اصطلاح عربی و پایه 10، دودویی - دو رقمی و پایه 2، هشتی - هشت رقمی و پایه 8، هگزا دسیمال - شانزده است. ارقام (به عنوان اعداد از هر دو حروف الفبای لاتین و پایه 16 استفاده می شود (جدول 1.2).

سیستم اعداد اعشاریبیایید عدد اعشاری 555 را به عنوان مثال در نظر بگیریم. رقم 5 سه بار ظاهر می شود، که 5 سمت راست نشان دهنده پنج یک، دومی از سمت راست نشان دهنده پنج ده، و در نهایت سومی از سمت راست نشان دهنده 500 است.

موقعیت یک رقم در یک عدد نامیده می شود تخلیه. رقم یک عدد از راست به چپ، از رقم کم به رقم بالا افزایش می یابد. در سیستم اعشاری، رقم واقع در سمت راست ترین موقعیت (رقم) تعداد واحدها را نشان می دهد، رقمی که یک موقعیت به سمت چپ منتقل شده است - تعداد ده ها، حتی بیشتر به سمت چپ - صدها، سپس هزاران، و غیره. بر این اساس، یک رقم واحد، یک رقم دهگان و غیره داریم.

عدد 555 به شکل آشنا نوشته شده است پیچیدفرم. ما آنقدر به این شکل از علامت گذاری عادت کرده ایم که دیگر متوجه نمی شویم که چگونه ارقام یک عدد را به صورت ذهنی در توان های مختلف عدد 10 ضرب می کنیم.

که در منبسطشکل عددی، چنین ضربی به صراحت نوشته می شود. بنابراین، به شکل گسترده، نوشتن عدد 555 در سیستم اعشاری به شکل زیر خواهد بود:

555 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0.

همانطور که از مثال مشاهده می شود، یک عدد در سیستم اعداد موقعیتی به صورت مجموع یک سری اعدادی از توان ها نوشته می شود. زمینه(در این مورد 10) که ضرایب آن ارقام این عدد است.

برای نوشتن کسرهای اعشاری از نماهای منفی استفاده می شود. به عنوان مثال، عدد 555.55 به صورت بسط داده شده به صورت زیر نوشته می شود:

555.55 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0 + 5 × 10 -1 + 5 × 10 -2.

به طور کلی، در سیستم اعداد اعشاری، نوشتن عدد A 10 که شامل n رقم صحیح و m رقم کسری است، به این صورت است:

A 10 = a n-1 × 10 n-1 + ... + a 0 × 10 0 + a -1 × 10 -1 + ... + a -m × 10 -m

ضرایب a i در این نماد ارقام یک عدد اعشاری است که به صورت جمع شده به صورت زیر نوشته می شود:

A 10 = a n-1 a n-2 ... a 0, a -1 ... a -m.

از فرمول های بالا مشخص است که ضرب یا تقسیم یک عدد اعشاری بر 10 (مقدار پایه) منجر به حرکت نقطه اعشاری می شود که قسمت صحیح را از قسمت کسری به ترتیب یک مکان به راست یا چپ جدا می کند. . مثلا:

555.55 10 × 10 = 5555.5 10 ;
555,55 10: 10 = 55,555 10 .

سیستم اعداد باینریدر سیستم اعداد باینری، پایه 2 است و الفبا از دو رقم (0 و 1) تشکیل شده است. در نتیجه، اعداد در سیستم باینری به صورت بسط یافته به صورت مجموع توان های پایه 2 با ضرایبی نوشته می شوند که اعداد 0 یا 1 هستند.

به عنوان مثال، یک عدد باینری گسترش یافته ممکن است به شکل زیر باشد:

A 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 -1 + 1 × 2 -2.

شکل جمع‌شده همان عدد:

A 2 = 101.01 2.

به طور کلی، در سیستم باینری، نوشتن عدد A 2 که شامل n بیت عدد صحیح از عدد و m بیت کسری عدد است، به این صورت است:

A 2 = a n-1 × 2 n-1 + a n-2 × 2 n-2 + ... + a 0 × 2 0 + a -1 × 2 -1 + ... + a -m × 2 -m

ضرایب a i در این نماد، ارقام (0 یا 1) یک عدد باینری است که به صورت جمع شده به صورت زیر نوشته می شود:

A 2 = a n-1 a n-2 ... a 0 , a -1 a -2 ... a -m

از فرمول های بالا مشخص است که ضرب یا تقسیم یک عدد باینری بر 2 (مقدار پایه) منجر به حرکت کاما می شود که قسمت صحیح را از قسمت کسری با یک رقم به سمت راست یا چپ جدا می کند. مثلا:

101.01 2 × 2 = 1010.1 2;
101,01 2: 2 = 10,101 2 .

سیستم های اعداد موقعیتی با پایه دلخواه.می توان از انواع سیستم های اعداد موقعیتی استفاده کرد که پایه آنها مساوی یا بزرگتر از 2 است. در سیستم های اعداد با پایه q (سیستم اعداد q-ary)، اعداد به صورت بسط یافته به صورت مجموع توان ها نوشته می شوند. پایه q با ضرایب، که اعداد 0، 1، q - 1 هستند:

A q = a n-1 × q n-1 + a n-2 × q n-2 + ... + a 0 × q 0 + a -1 × q -1 + ... + a -m × q -m

ضرایب a i در این ورودی ارقام عددی است که در سیستم عددی q-ary نوشته شده است.

بنابراین، در سیستم اکتال، پایه برابر با هشت است (q = 8). سپس عدد اکتالی A 8 = 673.2 8 که به صورت جمع شده و به صورت باز شده نوشته شده است به شکل زیر خواهد بود:

A 8 = 6 × 8 2 + 7 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1.

در سیستم هگزادسیمال، پایه شانزده است (q = 16)، سپس عدد هگزادسیمال A 16 = 8A,F 16 که به صورت جمع شده نوشته شده است، به نظر می رسد:

A 16 = 8 × 16 1 + A × 16 0 + F × 16 -1.

اگر ارقام هگزا دسیمال را از طریق مقادیر اعشاری آنها بیان کنیم (A=10، F=15)، عدد به شکل زیر در می آید:

A 16 = 8 × 16 1 + 10 × 16 0 + 15 × 16 -1.

سوالاتی که باید در نظر بگیرید

1. سیستم های اعداد موقعیتی چه تفاوتی با سیستم های غیر موقعیتی دارند؟

2. آیا می توان از نماد حرف به عنوان عدد استفاده کرد؟

3. در سیستم اعداد q-ary از چند رقم استفاده می شود؟

وظایف

1.6. اعداد 19.99 10 را بنویسید. 10.10 2; 64.5 8; 39,F 16 به شکل توسعه یافته.

1.7. اعداد 10.1 10 چند برابر افزایش می یابد؟ 10.1 2; 64.5 8; 39,F 16 هنگام جابجایی رقم اعشار یک مکان به سمت راست؟

1.8. هنگامی که نقطه اعشار دو مکان به سمت راست منتقل می شود، عدد 11.11 x 4 برابر افزایش می یابد. x برابر چیست؟

1.9. اگر یک سیستم اعداد دارای اعداد 23 و 67 باشد، حداقل پایه ای که می تواند داشته باشد چقدر است؟

1.10. عدد 1999 10 را در سیستم اعداد رومی بنویسید.

مقدمه ای بر سیستم های اعداد

1. مفهوم سیستم اعداد (SS)

2. SS غیر موقعیتی

3. SS موقعیتی

4. مثال 10th SS

از زبان های طبیعی (روسی، انگلیسی، آلمانی و غیره) برای تبادل اطلاعات بین افراد استفاده می شود. زبان های طبیعی برای ساختن کلمات از نمادهایی استفاده می کنند که از نظر املای متفاوت هستند. از نمادها، طبق قوانین خاصی، کلمات و جملاتی ساخته می شود که برای انسان قابل درک است.

برای نمایش اطلاعات عددی (در مورد تعداد اشیاء)، از زبان های خاصی نیز استفاده می شود که نمادها (در این مورد، اعداد) و قوانین ساخت اعداد از اعداد (نمادها) را توصیف می کنند، که ترتیب نوشتن ارقام را تعیین می کند. در اعداد و عملیات اعداد، یعنی قواعد جمع، تفریق، ضرب و ... به این زبان های خاص گفته می شود. سیستم های اعداد .

تمام سیستم های اعداد به دو گروه بزرگ تقسیم می شوند: موضعی و غیر موضعیسیستم های اعداد در سیستم های اعداد موقعیتی، مقدار یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی دارد، اما در سیستم های اعداد غیر موقعیتی به آن بستگی ندارد.

در سیستم های اعداد غیر موقعیتیوزن یک رقم (یعنی سهمی که در ارزش عدد ایجاد می کند) به موقعیت او بستگی ندارددر نوشتن شماره

رایج ترین سیستم اعداد غیر موقعیتی است رومی. اعداد استفاده شده در آن عبارتند از: I (1)، V (5)، X (10)، L (50)، C (100)، D (500)، M (1000).

معنای یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی ندارد. به عنوان مثال، در عدد XXX (30)، عدد X سه بار ظاهر می شود و در هر مورد همان مقدار را نشان می دهد - عدد 10، سه عدد 10 به 30 می رسد.

اندازه یک عدد در سیستم اعداد رومی به عنوان مجموع یا اختلاف ارقام در عدد تعریف می شود. اگر عدد کوچکتر در سمت چپ عدد بزرگتر باشد، از آن کسر می شود، اگر در سمت راست باشد، اضافه می شود. برای مثال، نوشتن عدد اعشاری 1998 در سیستم اعداد رومی به شکل زیر است:

MSMХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

عدد 15 در سیستم رومی XV = 10 + 5 است

و عدد 8 را می توان به صورت: VIII = 5 + 1 + 1 + 1 نشان داد

در سیستم های اعداد موقعیتی، مقدار کمی یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی دارد.

رایج ترین سیستم های اعداد موقعیتی امروزه اعشاری، باینری، هشت و هگزادسیمال هستند. هر سیستم موقعیتی خاصی دارد الفبای اعداد و پایه

در سیستم های اعداد موقعیتی، پایه سیستم برابر است با تعداد ارقام (علائم در الفبای آن) و تعیین می کند که چند برابر مقادیر ارقام یکسان در موقعیت های مجاور عدد متفاوت است.

هر عدد طبیعی را می توان به عنوان پایه سیستم در نظر گرفت - دو، سه، چهار و غیره. سیستم های موقعیتی بیشماری ممکن است: باینری، سه تایی، چهارتایی و ... نوشتن اعداد در هر سیستم عددی با پایه qبه معنای عبارت کوتاه نویسی است

an-1 qn-1 + an-2 qn-2 + ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m،

جایی که او - اعداد سیستم اعداد؛

n و متر - تعداد ارقام صحیح و کسری به ترتیب.

اعشاریسیستم اعداد دارای الفبای اعداد است که از ده عدد معروف و به اصطلاح عربی و پایه 10 تشکیل شده است.

دودویی- دو رقمی و پایه 2.

هشتی- هشت رقم و پایه 8.

هگزادسیمال- شانزده رقم (حروف الفبای لاتین نیز به عنوان اعداد استفاده می شود) و پایه 16.

نمونه ای از نوشتن اعداد در SS دهم

مردم احتمالاً سیستم اعشاری را ترجیح می دهند زیرا از زمان های قدیم روی انگشتان خود می شمارند و مردم ده انگشت و انگشتان دست دارند. مردم همیشه و نه همه جا از سیستم اعداد اعشاری استفاده نمی کنند. به عنوان مثال در چین برای مدت طولانی از سیستم اعداد پنج رقمی استفاده می کردند.

بیایید عدد اعشاری 555 را به عنوان مثال در نظر بگیریم تخلیهرقم یک عدد از راست به چپ، از رقم کم به رقم بالا افزایش می یابد. در سیستم اعشاری، رقم واقع در سمت راست ترین موقعیت (رقم) تعداد واحدها را نشان می دهد، رقمی که یک موقعیت به سمت چپ منتقل شده است - تعداد ده ها، حتی بیشتر به سمت چپ - صدها، سپس هزاران، و غیره.

یک عدد در سیستم اعداد موقعیتی اعشاری به عنوان مجموع یک سری عددی از توان های پایه (10) نوشته می شود، ارقام عدد داده شده به عنوان ضرایب عمل می کنند.

نوشتن عدد 555 در سیستم اعشاری به این صورت خواهد بود: 55510 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100.

برای نوشتن کسرهای اعشاری از نماهای منفی استفاده می شود.

به عنوان مثال: 555.5510 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100 + 5 * 10-1 + 5 * 10-2

نمایه 10 برای اعداد (555 10 و 555.55 10 ) نشان دهنده پایه سیستم اعدادی است که عدد در آن نوشته شده است، در این مثال، SS اعشاری است.

مطابقت اعداد در سیستم های اعداد مختلف