صيغ القوى والجذور. الدرجة وخصائصها. تحديد الدرجة

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

متىالعدد يضاعف نفسه لنفسي, عملمُسَمًّى درجة.

إذن 2.2 = 4، أي المربع أو القوة الثانية لـ 2
2.2.2 = 8، مكعب أو القوة الثالثة.
2.2.2.2 = 16 درجة رابعة.

وكذلك 10.10 = 100، أي الأس الثاني للعدد 10.
10.10.10 = 1000، القوة الثالثة.
10.10.10.10 = 10000 القوة الرابعة.

و a.a = aa، القوة الثانية لـ a
a.a.a = aaa، القوة الثالثة لـ a
a.a.a.a = aaaa، القوة الرابعة لـ a

الرقم الأصلي يسمى جذرصلاحيات هذا العدد لأنه هو الرقم الذي خلقت القوى منه.

ومع ذلك، ليس من المناسب تمامًا، خاصة في حالة القوى العليا، تدوين جميع العوامل التي تشكل القوى. لذلك، يتم استخدام طريقة التدوين المختصرة. جذر الدرجة يكتب مرة واحدة فقط وعلى اليمين واعلى قليلا بالقرب منه ولكن بخط اصغر قليلا يكتب كم مرة يعمل الجذر كعامل. يسمى هذا الرقم أو الحرف الأسأو درجةأعداد. إذن، 2 يساوي a.a أو aa، لأن الجذر a يجب أن يُضرب في نفسه مرتين للحصول على القوة aa. أيضًا، الرقم 3 يعني aaa، أي أن a يتكرر هنا ثلاث مراتكمضاعف.

أس الدرجة الأولى هو 1، لكن لا يتم تدوينه عادة. لذلك، يتم كتابة 1 ك.

يجب أن لا تخلط بين الدرجات العلمية و معاملات. يوضح المعامل عدد المرات التي يتم فيها أخذ القيمة جزءالكل. تُظهر القوة عدد المرات التي يتم فيها أخذ الكمية عاملفي العمل.
إذن، 4أ = أ + أ + أ + أ. لكن 4 = a.a.a.a

يتمتع نظام تدوين القوة بميزة خاصة تتمثل في السماح لنا بالتعبير مجهولدرجة. ولهذا الغرض، يتم كتابة الأس بدلاً من الرقم خطاب. في عملية حل مسألة ما، يمكننا الحصول على الكمية التي نعرفها بعضدرجة من حجم آخر. لكن حتى الآن لا نعرف هل هو مربع أم مكعب أم درجة أخرى أعلى. لذا، في التعبير x، الأس يعني أن هذا التعبير له بعضدرجة، على الرغم من عدم تحديدها ما درجة. لذلك، يتم رفع b m وd n إلى قوى m وn. عندما يتم العثور على الأس ، رقميتم استبداله بدلا من الرسالة. لذا، إذا كانت m=3، فإن b m = b 3 ؛ ولكن إذا كانت م = 5، فإن ب م = ب 5.

تعد طريقة كتابة القيم باستخدام القوى أيضًا ميزة كبيرة عند الاستخدام التعبيرات. وبالتالي، (أ + ب + د) 3 هو (أ + ب + د).(أ + ب + د).(أ + ب + د)، أي مكعب ثلاثي الحدود (أ + ب + د) . لكن إذا كتبنا هذا التعبير بعد رفعه إلى المكعب، فسيبدو كذلك
أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ 2 د + 3 أ ب 2 + 6 عبد + 3 أ 2 + ب 3 + د 3 .

إذا أخذنا سلسلة من القوى التي تزيد أسسها أو تنقص بمقدار 1، نجد أن حاصل الضرب يزيد بمقدار المضاعف المشتركأو ينقص بمقدار القاسم المشتركوهذا العامل أو المقسوم عليه هو الرقم الأصلي المرفوع إلى قوة.

لذلك، في السلسلة آآآآآآآآآآآآ؛
أو 5، أ 4، أ 3، أ 2، أ 1؛
المؤشرات، إذا تم حسابها من اليمين إلى اليسار، هي 1، 2، 3، 4، 5؛ والفرق بين قيمهم هو 1. إذا بدأنا على اليمين تتضاعفبواسطة a، سوف نحصل بنجاح على قيم متعددة.

إذن a.a = a 2 ، الحد الثاني. و 3.أ = أ 4
أ 2 .أ = أ 3 ، الحد الثالث. أ 4 .أ = أ 5 .

إذا بدأنا غادر يقسمإلى،
نحصل على 5:a = a 4 و 3:a = a 2 .
أ 4:أ = أ 3 أ 2:أ = أ 1

لكن عملية التقسيم هذه يمكن أن تستمر أكثر، ونحصل على مجموعة جديدة من القيم.

لذلك، أ:أ = أ/أ = 1. (1/أ):أ = 1/أأ
1:أ = 1/أ (1/أأ):أ = 1/أأ.

الصف الكامل سيكون: aaaa، aaaa، aaa، aa، a، 1، 1/a، 1/aa، 1/aaa.

أو 5، أ 4، أ 3، أ 2، أ، ​​1، 1/أ، 1/أ 2، 1/أ 3.

هنا القيم على اليمينمن واحد هناك يعكسالقيم على يسار واحد. لذلك يمكن تسمية هذه الدرجات القوى العكسيةأ. يمكننا أيضًا القول إن القوى الموجودة على اليسار هي معكوس القوى الموجودة على اليمين.

إذن، 1:(1/أ) = 1.(أ/1) = أ. و1:(1/أ3) = أ3.

يمكن تطبيق نفس خطة التسجيل على كثيرات الحدود. لذلك، بالنسبة لـ a + b، نحصل على المجموعة،
(أ + ب) 3 , (أ + ب) 2 , (أ + ب), 1, 1/(أ + ب), 1/(أ + ب) 2 , 1/(أ + ب) 3 .

وللتيسير، يتم استخدام شكل آخر من أشكال كتابة الصلاحيات المتبادلة.

ووفقا لهذا النموذج، 1/أ أو 1/أ 1 = أ -1. و 1/aaa أو 1/a 3 = a -3 .
1/أأ أو 1/أ 2 = أ -2 . 1/aaaa أو 1/أ 4 = أ -4 .

ومن أجل عمل سلسلة كاملة مع 1 كفرق إجمالي مع الأسس، يعتبر a/a أو 1 شيئًا ليس له درجة ويتم كتابته كـ 0 .

ثم مع الأخذ في الاعتبار القوى المباشرة والعكسية
بدلاً من aaa، aaa، aa، a، a/a، 1/a، 1/aa، 1/aaa، 1/aaaa
يمكنك كتابة 4، أ 3، أ 2، أ 1، أ 0، أ -1، أ -2، أ -3، أ -4.
أو +4، أ +3، أ +2، أ +1، أ 0، أ -1، أ -2، أ -3، أ -4.

وستبدو سلسلة الدرجات الفردية فقط كما يلي:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

يمكن التعبير عن جذر الدرجة بأكثر من حرف واحد.

وبالتالي فإن aa.aa أو (aa) 2 هي القوة الثانية لـ aa.
وaa.aa.aa أو (aa) 3 هي القوة الثالثة لـ aa.

جميع قوى الرقم 1 هي نفسها: 1.1 أو 1.1.1. سيكون مساوياً لـ 1.

الأس هو إيجاد قيمة أي رقم عن طريق ضرب هذا الرقم في نفسه. قاعدة الأس:

اضرب الكمية في نفسها عدة مرات كما هو مبين في قوة الرقم.

هذه القاعدة شائعة في جميع الأمثلة التي قد تنشأ أثناء عملية الأس. لكن من الصواب تقديم تفسير لكيفية تطبيقه على حالات معينة.

إذا تم رفع حد واحد فقط إلى قوة، فإنه يتم ضربه في نفسه عدة مرات كما يشير الأس.

القوة الرابعة لـ a هي 4 أو aaaa. (المادة 195.)
القوة السادسة لـ y هي y 6 أو yyyyyy.
القوة n لـ x هي x n أو xxx ..... n متكررة.

إذا كان من الضروري رفع عبارة من عدة مصطلحات إلى قوة، فإن مبدأ ذلك قوة منتج عدة عوامل تساوي منتج هذه العوامل مرفوعة إلى قوة.

إذًا (ay) 2 =a 2 y 2 ; (آي) 2 = آي.آي.
لكن ay.ay = aayy = aayy = a 2 y 2 .
إذن (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

لذلك، في إيجاد قوة منتج ما، يمكننا إما أن نتعامل مع المنتج بأكمله مرة واحدة، أو يمكننا أن نتعامل مع كل عامل على حدة، ثم نضرب قيمهم في القوى.

مثال 1. القوة الرابعة لـ dhy هي (dhy) 4، أو d 4 h 4 y 4.

مثال 2. القوة الثالثة هي 4b، هناك (4b) 3، أو 4 3 b 3، أو 64b 3.

مثال 3. القوة النونية للعدد 6ad هي (6ad) n أو 6 n a n d n.

مثال 4. القوة الثالثة لـ 3m.2y هي (3m.2y) 3، أو 27m 3 .8y 3.

يتم حساب درجة ذات الحدين، التي تتكون من حدود متصلة بواسطة + و-، عن طريق ضرب حدودها. نعم،

(أ + ب) 1 = أ + ب، الدرجة الأولى.
(أ + ب) 1 = أ 2 + 2أ + ب 2، القوة الثانية (أ + ب).
(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3، القوة الثالثة.
(أ + ب) 4 = أ 4 + 4 أ 3 ب + 6 أ 2 ب 2 + 4 أ ب 3 + ب 4، القوة الرابعة.

مربع أ - ب هو أ 2 - 2آب + ب 2.

لنفترض أن أخيل يجري أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويتخلف عنها بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل في قطع هذه المسافة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. فعندما يركض أخيل مائة خطوة، تزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى، وهكذا. ستستمر العملية إلى ما لا نهاية، ولن يتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا المنطق بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو، ديوجين، كانط، هيجل، هيلبرت... كلهم ​​اعتبروا معضلة زينون بطريقة أو بأخرى. وكانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات حتى يومنا هذا؛ ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر المفارقات ... وقد شارك التحليل الرياضي، ونظرية المجموعات، والمناهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة في دراسة هذه القضية ; ولم يصبح أي منها حلاً مقبولاً بشكل عام للمشكلة ..."[ويكيبيديا، "أبوريا زينو". الجميع يفهم أنه يتم خداعهم، ولكن لا أحد يفهم ما يتكون الخداع.

من وجهة نظر رياضية، أظهر زينون في كتابه المحرج بوضوح الانتقال من الكمية إلى . يتضمن هذا الانتقال التطبيق بدلاً من التطبيقات الدائمة. بقدر ما أفهم، فإن الجهاز الرياضي لاستخدام وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد، أو لم يتم تطبيقه على مفارقة زينون. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن، بسبب الجمود في التفكير، نطبق وحدات زمنية ثابتة على القيمة المتبادلة. من الناحية الفيزيائية، يبدو أن الزمن يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الزمن، لن يتمكن أخيل من التفوق على السلحفاة.

إذا قلبنا منطقنا المعتاد، فإن كل شيء يقع في مكانه. يجري أخيل بسرعة ثابتة. كل جزء لاحق من طريقه أقصر بعشر مرات من الجزء السابق. وعليه فإن الوقت المستغرق في التغلب عليها أقل بعشر مرات من الوقت السابق. وإذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة، فمن الصحيح أن نقول "أخيل سوف يلحق بالسلحفاة بسرعة لا متناهية".

كيفية تجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابق في وحدات زمنية ثابتة ولا تتحول إلى وحدات متبادلة. في لغة زينو يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل في الجري ألف خطوة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية المساوية للأولى، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن يتقدم أخيل على السلحفاة بثمانمائة خطوة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. ولكن هذا ليس الحل الكامل للمشكلة. إن عبارة أينشتاين حول عدم مقاومة سرعة الضوء تشبه إلى حد كبير مقولة زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة بلا حدود، بل بوحدات القياس.

تحكي aporia أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر لا يتحرك، لأنه في كل لحظة من الزمن يكون ساكنًا، وبما أنه ساكن في كل لحظة من الزمن، فهو ساكن دائمًا.

في هذه المعضلة، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن يكون السهم الطائر في حالة سكون عند نقاط مختلفة في الفضاء، وهو في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب الإشارة إليها هنا. من خلال صورة واحدة لسيارة على الطريق، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد ما إذا كانت السيارة تتحرك، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة، لكن لا يمكنك تحديد المسافة منهما. لتحديد المسافة إلى السيارة، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نقاط مختلفة في الفضاء في وقت واحد، ولكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة (بالطبع، لا تزال بحاجة إلى بيانات إضافية للحسابات، وسوف يساعدك علم المثلثات ). وما أريد أن ألفت انتباهًا خاصًا إليه هو أن النقطتين في الزمن ونقطتين في المكان هما شيئان مختلفان ولا ينبغي الخلط بينهما، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.

الأربعاء 4 يوليو 2018

تم وصف الاختلافات بين المجموعة والمجموعات المتعددة بشكل جيد للغاية على ويكيبيديا. دعنا نرى.

كما ترون، "لا يمكن أن يكون هناك عنصرين متطابقين في مجموعة"، ولكن إذا كان هناك عناصر متطابقة في مجموعة، فإن هذه المجموعة تسمى "مجموعة متعددة". لن تفهم الكائنات العاقلة مثل هذا المنطق السخيف. وهذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة، التي لا ذكاء لها من كلمة "تماماً". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين، ويبشروننا بأفكارهم السخيفة.

في يوم من الأيام، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبار الجسر. وإذا انهار الجسر مات المهندس المتوسط ​​تحت أنقاض خلقه. وإذا كان الجسر قادرا على تحمل الأحمال، فقد قام المهندس الموهوب ببناء جسور أخرى.

بغض النظر عن مدى إخفاء علماء الرياضيات وراء عبارة "اهتم بي، أنا في المنزل"، أو بالأحرى، "الرياضيات تدرس المفاهيم المجردة"، هناك حبل سري واحد يربطهم بشكل لا ينفصم بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. دعونا نطبق نظرية المجموعات الرياضية على علماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس عند ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية ونوزع الرواتب. لذلك يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب له المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة، حيث نضع فيها أوراقًا نقدية من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة الراتب الحسابي". دعونا نوضح لعالم الرياضيات أنه لن يحصل على الأوراق النقدية المتبقية إلا عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي مجموعة ذات عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

بادئ ذي بدء، سيعمل منطق النواب: "يمكن تطبيق هذا على الآخرين، ولكن ليس علي!" ثم سيبدأون في طمأنتنا بأن الأوراق النقدية من نفس الفئة لها أرقام فواتير مختلفة، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها نفس العناصر. حسنًا، لنحسب الرواتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في تذكر الفيزياء بشكل محموم: العملات المعدنية المختلفة تحتوي على كميات مختلفة من الأوساخ، والتركيب البلوري وترتيب الذرات فريد لكل عملة...

والآن لدي السؤال الأكثر إثارة للاهتمام: أين هو الخط الذي تتحول بعده عناصر المجموعة المتعددة إلى عناصر مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان، والعلم ليس قريبًا حتى من الكذب هنا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحات الحقول هي نفسها - مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا نظرنا إلى أسماء هذه الملاعب نفسها، فسنحصل على الكثير منها، لأن الأسماء مختلفة. كما ترون، نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومتعددة. ايهم صحيح؟ وهنا يقوم عالم الرياضيات الشامان الحاد بسحب الآس من الأوراق الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. وفي كل الأحوال سيقنعنا بأنه على حق.

لفهم كيفية عمل الشامان الحديثين مع نظرية المجموعات، وربطها بالواقع، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم، دون أي "لا يمكن تصوره كوحدة واحدة" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام الرقم هو رقصة الشامان مع الدف، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم، في دروس الرياضيات، يتم تعليمنا كيفية العثور على مجموع أرقام الرقم واستخدامها، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج إلى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد صيغة في الرياضيات يمكن استخدامها لإيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء، الأرقام هي رموز رسومية نكتب بها الأرقام، وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم". لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة، لكن الشامان يمكنهم حلها بسهولة.

دعونا نتعرف على ماذا وكيف نفعل للعثور على مجموع أرقام رقم معين. إذن، دعونا نحصل على الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا الرقم؟ دعونا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز رقم رسومي. هذه ليست عملية رياضية.

2. نقوم بقص الصورة الناتجة إلى عدة صور تحتوي على أرقام فردية. إن قطع الصورة ليس عملية رياضية.

3. تحويل الرموز الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. أضف الأرقام الناتجة. الآن هذه هي الرياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القطع والخياطة" التي يدرسها الشامان والتي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر رياضية، لا يهم في أي نظام أرقام نكتب رقمًا. لذا، في أنظمة الأعداد المختلفة، سيكون مجموع أرقام نفس الرقم مختلفًا. في الرياضيات، يُشار إلى نظام الأرقام كحرف منخفض على يمين الرقم. مع الرقم الكبير 12345، لا أريد أن أخدع رأسي، فلنتأمل الرقم 26 من المقال الذي عنه. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والست عشرية. لن ننظر إلى كل خطوة تحت المجهر؛ لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا ننظر إلى النتيجة.

كما ترون، في أنظمة الأرقام المختلفة، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو حددت مساحة المستطيل بالمتر والسنتيمتر، فستحصل على نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر متماثلًا في جميع أنظمة الأعداد ولا يحتوي على مجموع أرقام. وهذه حجة أخرى لصالح حقيقة ذلك. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يكون الشيء الذي ليس رقما محددا في الرياضيات؟ ماذا، بالنسبة لعلماء الرياضيات لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ أستطيع أن أسمح بهذا للشامان، ولكن ليس للعلماء. الواقع لا يتعلق بالأرقام فقط.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها دليلاً على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس للأرقام. ففي نهاية المطاف، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. فإذا كانت نفس الأفعال مع وحدات قياس مختلفة لنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة العملية الرياضية على حجم الرقم ووحدة القياس المستخدمة وعلى من يقوم بهذا الإجراء.

أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحبة أثناء صعودها إلى السماء! هالة في الأعلى والسهم لأعلى. ما المرحاض الآخر؟

أنثى... الهالة الموجودة في الأعلى والسهم لأسفل هما ذكران.

إذا كان هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم،

إذن ليس من المستغرب أن تجد فجأة رمزًا غريبًا في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً لرؤية سالب أربع درجات في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تركيبة من عدة صور: علامة الطرح، الرقم أربعة، تسمية الدرجات). ولا أعتقد أن هذه الفتاة حمقاء ولا تعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوية لإدراك الصور الرسومية. وعلماء الرياضيات يعلموننا هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليس "ناقص أربع درجات" أو "واحد أ". هذا هو "رجل التغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" بالنظام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.

يمكن العثور عليها باستخدام الضرب. على سبيل المثال: 5+5+5+5+5+5=5x6. يقال أن مثل هذا التعبير هو أن مجموع الحدود المتساوية مطوي في المنتج. والعكس صحيح، إذا قرأنا هذه المساواة من اليمين إلى اليسار، فسنجد أننا قمنا بتوسيع مجموع الحدود المتساوية. وبالمثل، يمكنك طي حاصل ضرب عدة عوامل متساوية 5x5x5x5x5x5=5 6.

أي أنه بدلًا من ضرب ستة عوامل متطابقة 5x5x5x5x5x5، يكتبون 5 6 ويقولون "خمسة أس ستة".

التعبير 5 6 هو قوة الرقم، حيث:

5 - قاعدة الدرجة

6 - الأس.

تسمى الإجراءات التي يتم من خلالها تقليل حاصل ضرب العوامل المتساوية إلى قوة رفع إلى قوة.

بشكل عام، يتم كتابة الدرجة ذات الأساس "a" والأس "n" على النحو التالي

رفع الرقم a إلى القوة n يعني إيجاد حاصل ضرب عوامل n، كل عامل منها يساوي a

إذا كان أساس الدرجة "a" يساوي 1، فإن قيمة الدرجة لأي عدد طبيعي n ستكون مساوية لـ 1. على سبيل المثال، 1 5 = 1، 1 256 = 1

إذا قمت برفع الرقم "أ" إلى الدرجة الأولى، ثم نحصل على الرقم a نفسه: أ 1 = أ

إذا قمت برفع أي رقم ل درجة الصفر، ثم نتيجة للحسابات نحصل على واحدة. 0 = 1

تعتبر القوى الثانية والثالثة للرقم خاصة. وقد جاءوا لهم بأسماء: الدرجة الثانية تسمى تربيع الرقم، ثالث - مكعبهذا العدد.

يمكن رفع أي رقم إلى قوة موجبة أو سالبة أو صفر. وفي هذه الحالة، لا تنطبق القواعد التالية:

عند إيجاد قوة رقم موجب، تكون النتيجة رقمًا موجبًا.

عند حساب صفر للقوة الطبيعية، نحصل على صفر.

س م · س ن = س م + ن

على سبيل المثال: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

ل تقسيم السلطات على نفس الأسسنحن لا نغير الأساس، بل نطرح الأسس:

س م / س ن = س م - ن ، أين، م > ن،

على سبيل المثال: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

عند الحساب رفع قوة إلى قوةنحن لا نغير الأساس، بل نضرب الأسس في بعضها البعض.

(ماكينة الصراف الآلي ) ن = ذ م ن

على سبيل المثال: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · ذ) ن = س ن · ذ م ,

على سبيل المثال:(2 3) 3 = 2 ن 3 م،

عند إجراء العمليات الحسابية وفقا ل رفع الكسر إلى قوةنرفع بسط ومقام الكسر إلى قوة معينة

(س / ص) ن = س ن / ذ ن

على سبيل المثال: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

تسلسل العمليات الحسابية عند العمل مع التعبيرات التي تحتوي على درجة.

عند إجراء عمليات حسابية للتعبيرات بدون أقواس، ولكنها تحتوي على قوى، أولاً وقبل كل شيء، يتم إجراء عمليات الأس، ثم الضرب والقسمة، وعندها فقط عمليات الجمع والطرح.

إذا كنت بحاجة إلى حساب تعبير يحتوي على أقواس، فقم أولاً بإجراء العمليات الحسابية بين الأقواس بالترتيب المشار إليه أعلاه، ثم الإجراءات المتبقية بنفس الترتيب من اليسار إلى اليمين.

على نطاق واسع جدًا في الحسابات العملية، يتم استخدام جداول القوى الجاهزة لتبسيط العمليات الحسابية.

لقد اكتشفنا ما هي قوة الرقم في الواقع. الآن نحن بحاجة إلى فهم كيفية حسابها بشكل صحيح، أي. رفع الأرقام إلى القوى. سنقوم في هذه المادة بتحليل القواعد الأساسية لحساب الدرجات في حالة الأسس الصحيحة والطبيعية والكسرية والكسرية وغير العقلانية. وسيتم توضيح جميع التعريفات مع الأمثلة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

مفهوم الأس

لنبدأ بصياغة التعريفات الأساسية.

التعريف 1

الأس- هذا هو حساب قيمة قوة رقم معين.

أي أن عبارة "حساب قيمة القدرة" و"الرفع إلى القدرة" تعني نفس الشيء. لذا، إذا كانت المسألة تقول "ارفع الرقم 0، 5 إلى القوة الخامسة"، فيجب أن يفهم ذلك على أنه "احسب قيمة الأس (0، 5) 5".

نقدم الآن القواعد الأساسية التي يجب اتباعها عند إجراء مثل هذه الحسابات.

دعونا نتذكر ما هي قوة الرقم ذو الأس الطبيعي. بالنسبة للقوة ذات الأساس a والأس n، سيكون هذا حاصل ضرب العدد n من العوامل، كل منها يساوي a. يمكن كتابة هذا مثل هذا:

لحساب قيمة الدرجة، يتعين عليك إجراء عملية الضرب، أي ضرب أساس الدرجة بعدد محدد من المرات. يعتمد مفهوم الدرجة ذات الأس الطبيعي على القدرة على الضرب بسرعة. دعونا نعطي أمثلة.

مثال 1

الحالة: رفع - 2 للقوة 4.

حل

باستخدام التعريف أعلاه، نكتب: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . بعد ذلك، علينا فقط اتباع هذه الخطوات والحصول على 16.

لنأخذ مثالا أكثر تعقيدا.

مثال 2

احسب القيمة 3 2 7 2

حل

يمكن إعادة كتابة هذا الإدخال بالشكل 3 2 7 · 3 2 7 . لقد نظرنا سابقًا في كيفية ضرب الأعداد الكسرية المذكورة في الشرط بشكل صحيح.

لنقم بهذه الخطوات ونحصل على الإجابة: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

إذا كانت المسألة تشير إلى الحاجة إلى رفع الأعداد غير النسبية إلى قوة طبيعية، فسنحتاج أولاً إلى تقريب قواعدها إلى الرقم الذي سيسمح لنا بالحصول على إجابة بالدقة المطلوبة. لنلقي نظرة على مثال.

مثال 3

قم بإجراء مربع π.

حل

أولًا، دعونا نقربه إلى أجزاء من المئات. ثم π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. إذا π ≈ 3. 14159، فسنحصل على نتيجة أكثر دقة: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

لاحظ أن الحاجة إلى حساب قوى الأعداد غير النسبية تنشأ نادرًا نسبيًا في الممارسة العملية. يمكننا بعد ذلك كتابة الإجابة على صورة الأس (ln 6) 3 نفسه، أو تحويله إن أمكن: 5 7 = 125 5 .

بشكل منفصل، يجب الإشارة إلى القوة الأولى للرقم. هنا يمكنك ببساطة أن تتذكر أن أي رقم مرفوع إلى القوة الأولى سيظل كما هو:

وهذا واضح من التسجيل .

لا يعتمد على أساس الدرجة.

مثال 4

إذن (− 9) 1 = − 9، و7 3 مرفوعًا للأس الأول سيظل يساوي 7 3.

وللتيسير، سنفحص ثلاث حالات بشكل منفصل: إذا كان الأس عددًا صحيحًا موجبًا، وإذا كان صفرًا، وإذا كان عددًا صحيحًا سالبًا.

في الحالة الأولى، هذا هو نفس رفع القوة الطبيعية: بعد كل شيء، الأعداد الصحيحة الموجبة تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. لقد تحدثنا بالفعل أعلاه عن كيفية العمل بهذه الدرجات.

الآن دعونا نرى كيفية رفع القوة إلى الصفر بشكل صحيح. بالنسبة للقاعدة غير الصفر، فإن هذا الحساب ينتج دائمًا 1. لقد أوضحنا سابقًا أنه يمكن تعريف القوة الصفرية لأي عدد حقيقي لا يساوي 0، و0 = 1.

مثال 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - غير محدد.

لم يتبق لدينا سوى حالة الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح. لقد ناقشنا بالفعل أن هذه الدرجات يمكن كتابتها في صورة كسر 1 a z، حيث a هو أي رقم، وz هو عدد صحيح سالب. نرى أن مقام هذا الكسر ليس أكثر من قوة عادية ذات أس عدد صحيح موجب، وقد تعلمنا بالفعل كيفية حسابها. دعونا نعطي أمثلة على المهام.

مثال 6

ارفع 3 إلى القوة - 2.

حل

باستخدام التعريف أعلاه نكتب: 2 - 3 = 1 2 3

لنحسب مقام هذا الكسر ونحصل على 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

فالجواب هو: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

مثال 7

ارفع 1.43 إلى القوة -2.

حل

لنعيد الصياغة: 1، 43 - 2 = 1 (1، 43) 2

نحسب المربع في المقام: 1.43·1.43. يمكن ضرب الأعداد العشرية بهذه الطريقة:

ونتيجة لذلك، حصلنا على (1، 43) - 2 = 1 (1، 43) 2 = 1 2، 0449. كل ما علينا فعله هو كتابة هذه النتيجة على شكل كسر عادي، والذي نحتاج إلى ضربه في 10 آلاف (انظر المادة الخاصة بتحويل الكسور).

الجواب: (1، 43) - 2 = 10000 20449

هناك حالة خاصة وهي رفع رقم إلى القوة الأولى ناقص. وقيمة هذه الدرجة تساوي مقلوب القيمة الأصلية للأساس: أ - 1 = 1 أ 1 = 1 أ.

مثال 8

مثال: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

كيفية رفع رقم إلى قوة كسرية

لإجراء مثل هذه العملية، نحتاج إلى تذكر التعريف الأساسي للدرجة ذات الأس الكسري: a m n = a m n لأي موجب a، عدد صحيح m وn طبيعي.

التعريف 2

وبالتالي، حساب القوة الكسرية يجب أن يتم في خطوتين: رفع القوة إلى عدد صحيح وإيجاد جذر القوة n.

لدينا المساواة a m n = a m n ، والتي، مع الأخذ في الاعتبار خصائص الجذور، تستخدم عادةً لحل المشكلات في النموذج a m n = a n m . هذا يعني أنه إذا قمنا برفع رقم a إلى قوة كسرية m / n، فإننا نأخذ أولاً الجذر n لـ a، ثم نرفع النتيجة إلى قوة ذات أس صحيح m.

دعونا نوضح مع مثال.

مثال 9

احسب 8 - 2 3 .

حل

الطريقة الأولى: وفقًا للتعريف الأساسي، يمكننا تمثيل ذلك على النحو التالي: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

الآن لنحسب الدرجة تحت الجذر ونستخرج الجذر الثالث من النتيجة: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

الطريقة الثانية: تحويل المساواة الأساسية: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

بعد ذلك نستخرج جذر 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ونربع النتيجة: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

نرى أن الحلول متطابقة. يمكنك استخدامه بأي طريقة تريدها.

هناك حالات عندما يكون للدرجة مؤشر يتم التعبير عنه كرقم مختلط أو كسر عشري. لتبسيط العمليات الحسابية، من الأفضل استبداله بكسر عادي وحسابه كما هو موضح أعلاه.

مثال 10

ارفع 44، 89 إلى قوة 2، 5.

حل

دعونا نحول قيمة المؤشر إلى كسر عادي - 44، 89 2، 5 = 49، 89 5 2.

الآن نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات المذكورة أعلاه بالترتيب: 44، 89 5 2 = 44، 89 5 = 44، 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13501, 25107

الجواب: 13501، 25107.

إذا كان بسط ومقام الأس الكسري يحتوي على أعداد كبيرة، فإن حساب هذه الأسس باستخدام الأسس العقلانية يعد مهمة صعبة إلى حد ما. وعادة ما يتطلب تكنولوجيا الكمبيوتر.

دعونا نتحدث بشكل منفصل عن القوى ذات الأساس الصفري والأس الكسري. يمكن إعطاء تعبير بالشكل 0 m n المعنى التالي: إذا m n > 0، إذن 0 m n = 0 m n = 0؛ إذا م ن< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

كيفية رفع رقم إلى قوة غير عقلانية

إن الحاجة إلى حساب قيمة القوة التي يكون أسها عددًا غير نسبي لا تنشأ كثيرًا. من الناحية العملية، تقتصر المهمة عادةً على حساب قيمة تقريبية (حتى عدد معين من المنازل العشرية). يتم حساب ذلك عادة على جهاز كمبيوتر بسبب تعقيد هذه الحسابات، لذلك لن نتوقف عند هذا بالتفصيل، سنشير فقط إلى الأحكام الرئيسية.

إذا أردنا حساب قيمة القوة a بأس غير منطقي a، فإننا نأخذ التقريب العشري للأس ونحسب منه. وستكون النتيجة إجابة تقريبية. كلما كان التقريب العشري أكثر دقة، كلما كانت الإجابة أكثر دقة. دعونا نعرض مع مثال:

مثال 11

احسب القيمة التقريبية لـ 21، 174367....

حل

دعونا نقتصر على التقريب العشري a n = 1, 17. لنجري العمليات الحسابية باستخدام هذا الرقم: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. إذا أخذنا، على سبيل المثال، التقريب a n = 1, 1743، فستكون الإجابة أكثر دقة: 2 1، 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter