Hvordan trekke en annen rot fra en rot. Regel for å legge til kvadratrøtter. Rotformler. Egenskaper til kvadratrøtter

Rotformler. egenskaper til kvadratrøtter.

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

I forrige leksjon fant vi ut hva en kvadratrot er. Det er på tide å finne ut hva det er formler for røtter, hva er rotegenskaper og hva kan gjøres med det hele.

Rotformler, rotegenskaper og regler for handlinger med røtter- Det er i hovedsak det samme. Det er overraskende få formler for kvadratrøtter. Noe som selvfølgelig gleder! Snarere kan du skrive mye av alle slags formler, men bare tre er nok for praktisk og selvsikkert arbeid med røtter. Alt annet kommer fra disse tre. Selv om mange forviller seg i de tre formlene til røttene, ja ...

La oss starte med det enkleste. Her er hun:

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante sider for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.

Jeg så igjen på tallerkenen ... Og la oss gå!

La oss starte med en enkel:

Vent litt. dette, noe som betyr at vi kan skrive det slik:

Har det? Her er den neste for deg:

Røttene til de resulterende tallene er ikke akkurat trukket ut? Ikke bekymre deg, her er noen eksempler:

Men hva om det ikke er to multiplikatorer, men flere? Det samme! Rotmultiplikasjonsformelen fungerer med en rekke faktorer:

Nå helt uavhengig:

Svar: Bra gjort! Enig, alt er veldig enkelt, det viktigste er å kjenne multiplikasjonstabellen!

Rotdeling

Vi fant ut multiplikasjonen av røttene, la oss nå fortsette til divisjonsegenskapen.

La meg minne deg på at formelen generelt ser slik ut:

Og det betyr det roten til kvotienten er lik kvotienten til røttene.

Vel, la oss se på eksempler:

Det er alt vitenskap. Og her er et eksempel:

Alt er ikke så jevnt som i det første eksemplet, men som du kan se, er det ikke noe komplisert.

Hva om uttrykket ser slik ut:

Du trenger bare å bruke formelen omvendt:

Og her er et eksempel:

Du kan også se dette uttrykket:

Alt er det samme, bare her må du huske hvordan du oversetter brøker (hvis du ikke husker det, se på emnet og kom tilbake!). Husket? Nå bestemmer vi oss!

Jeg er sikker på at du taklet alt, alt, la oss nå prøve å bygge røtter i en grad.

Eksponentiering

Hva skjer hvis kvadratroten er kvadratisk? Det er enkelt, husk betydningen av kvadratroten av et tall - dette er et tall hvis kvadratrot er lik.

Så hvis vi kvadrerer et tall hvis kvadratrot er lik, hva får vi da?

Selvfølgelig, !

La oss se på eksempler:

Alt er enkelt, ikke sant? Og hvis roten er i en annen grad? Det er greit!

Hold deg til den samme logikken og husk egenskapene og mulige handlinger med krefter.

Les teorien om emnet "" og alt vil bli ekstremt klart for deg.

For eksempel, her er et uttrykk:

I dette eksemplet er graden partall, men hva om den er oddetall? Igjen, bruk kraftegenskapene og faktor alt:

Med dette ser alt ut til å være klart, men hvordan trekke ut roten fra et tall i en grad? Her er for eksempel dette:

Ganske enkelt, ikke sant? Hva om graden er større enn to? Vi følger den samme logikken ved å bruke egenskapene til grader:

Vel, er alt klart? Løs deretter dine egne eksempler:

Og her er svarene:

Introduksjon under rotens tegn

Det vi bare ikke har lært å gjøre med røttene! Det gjenstår bare å øve på å skrive inn tallet under rottegnet!

Det er ganske enkelt!

La oss si at vi har et tall

Hva kan vi gjøre med det? Vel, selvfølgelig, gjem trippelen under roten, mens du husker at trippelen er kvadratroten av!

Hvorfor trenger vi det? Ja, bare for å utvide våre evner når vi løser eksempler:

Hvordan liker du denne egenskapen til røtter? Gjør livet mye enklere? For meg er det riktig! Bare vi må huske at vi bare kan legge inn positive tall under kvadratrottegnet.

Prøv dette eksemplet selv:
Klarte du deg? La oss se hva du bør få:

Bra gjort! Du klarte å legge inn et tall under rottegnet! La oss gå videre til noe like viktig – tenk på hvordan du sammenligner tall som inneholder en kvadratrot!

Root sammenligning

Hvorfor bør vi lære å sammenligne tall som inneholder en kvadratrot?

Veldig enkelt. Ofte, i store og lange uttrykk vi møter på eksamen, får vi et irrasjonelt svar (husker du hva det er? Vi har allerede snakket om dette i dag!)

Vi må plassere de mottatte svarene på koordinatlinjen, for eksempel for å finne ut hvilket intervall som er egnet for å løse ligningen. Og det er her ulempen oppstår: det er ingen kalkulator på eksamen, og uten den, hvordan forestille seg hvilket tall som er større og hvilket som er mindre? Det er det!

Finn for eksempel hva som er størst: eller?

Du vil ikke si det rett ut. Vel, la oss bruke den analyserte egenskapen til å legge til et tall under rottegnet?

Så videre:

Vel, åpenbart, jo større tall under tegnet til roten, jo større er selve roten!

De. hvis betyr.

Av dette konkluderer vi bestemt at Og ingen vil overbevise oss om noe annet!

Å trekke ut røtter fra store antall

Før det introduserte vi en faktor under rotens tegn, men hvordan tar vi den ut? Du trenger bare å faktorisere det og trekke ut det som trekkes ut!

Det var mulig å gå den andre veien og dekomponere i andre faktorer:

Ikke verst, ikke sant? Enhver av disse tilnærmingene er riktige, bestem deg for hvordan du føler deg komfortabel.

Factoring er veldig nyttig når du løser slike ikke-standardoppgaver som denne:

Vi blir ikke redde, vi handler! Vi dekomponerer hver faktor under roten i separate faktorer:

Og nå prøv det selv (uten kalkulator! Det blir ikke med på eksamen):

Er dette slutten? Vi stopper ikke halvveis!

Det er alt, det er ikke så skummelt, ikke sant?

Skjedd? Godt gjort, du har rett!

Prøv nå dette eksemplet:

Og et eksempel er en tøff nøtt å knekke, så du kan ikke umiddelbart finne ut hvordan du skal nærme deg den. Men vi er selvfølgelig i tennene.

Vel, la oss begynne å faktorisere, skal vi? Umiddelbart legger vi merke til at du kan dele et tall med (husk tegnene på delbarhet):

Og nå, prøv det selv (igjen, uten kalkulator!):

Vel, fungerte det? Godt gjort, du har rett!

Oppsummering

1. Kvadratroten (aritmetisk kvadratrot) av et ikke-negativt tall er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik.
   .
2. Hvis vi bare tar kvadratroten av noe, får vi alltid ett ikke-negativt resultat.
3. Aritmetiske rotegenskaper:
4. Når du sammenligner kvadratrøtter, må det huskes at jo større tall under tegnet til roten, desto større er selve roten.

Hvordan liker du kvadratroten? Alt klart?

Vi prøvde å forklare deg uten vann alt du trenger å vite på eksamen om kvadratroten.

Det er din tur. Skriv til oss om dette emnet er vanskelig for deg eller ikke.

Lærte du noe nytt eller alt var allerede så klart.

Skriv i kommentarfeltet og lykke til på eksamen!

Hei kattunger! Forrige gang analyserte vi i detalj hva røtter er (hvis du ikke husker det, anbefaler jeg å lese). Hovedkonklusjonen av den leksjonen: det er bare én universell definisjon av røtter, som du trenger å vite. Resten er tull og bortkastet tid.

I dag går vi videre. Vi vil lære å multiplisere røtter, vi vil studere noen problemer knyttet til multiplikasjon (hvis disse problemene ikke løses, kan de bli dødelige på eksamen) og vi vil øve skikkelig. Så fyll opp popcorn, gjør deg komfortabel - så setter vi i gang. :)

Du har ikke røykt ennå, har du?

Leksjonen viste seg å være ganske stor, så jeg delte den inn i to deler:

1. Først skal vi se på reglene for multiplikasjon. Hetten ser ut til å antyde: dette er når det er to røtter, det er et "multipliseringstegn" mellom dem - og vi vil gjøre noe med det.
2. Så skal vi analysere den omvendte situasjonen: det er én stor rot, og vi var utålmodige etter å presentere den som et produkt av to røtter på en enklere måte. Med hvilken skrekk det er nødvendig er et eget spørsmål. Vi vil bare analysere algoritmen.

For de som ikke kan vente med å hoppe rett inn i del 2, er du velkommen. La oss starte med resten i rekkefølge.

Grunnleggende multiplikasjonsregel

La oss starte med de enkleste - klassiske kvadratrøtter. De som er merket med $\sqrt(a)$ og $\sqrt(b)$. For dem er alt generelt klart:

multiplikasjonsregel. For å multiplisere en kvadratrot med en annen, trenger du bare å multiplisere deres radikale uttrykk, og skrive resultatet under den vanlige radikalen:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Ingen ytterligere begrensninger er pålagt tallene til høyre eller venstre: hvis multiplikatorrøttene eksisterer, eksisterer produktet også.

Eksempler. Tenk på fire eksempler med tall samtidig:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Som du kan se, er hovedbetydningen av denne regelen å forenkle irrasjonelle uttrykk. Og hvis vi i det første eksemplet ville ha trukket ut røttene fra 25 og 4 uten noen nye regler, så begynner tinnet: $\sqrt(32)$ og $\sqrt(2)$ teller ikke av seg selv, men produktet deres viser seg å være et eksakt kvadrat, så roten av det er lik et rasjonelt tall.

Separat vil jeg notere den siste linjen. Der er begge radikale uttrykk brøker. Takket være produktet avbryter mange faktorer, og hele uttrykket blir til et tilstrekkelig antall.

Selvfølgelig vil ikke alt alltid være så vakkert. Noen ganger vil det være fullstendig dritt under røttene - det er ikke klart hva du skal gjøre med det og hvordan du transformerer etter multiplikasjon. Litt senere, når du begynner å studere irrasjonelle ligninger og ulikheter, vil det være alle mulige variabler og funksjoner generelt. Og veldig ofte regner kompilatorene av problemene bare med det faktum at du vil finne noen kontraktsvilkår eller faktorer, hvoretter oppgaven vil bli sterkt forenklet.

I tillegg er det ikke nødvendig å multiplisere nøyaktig to røtter. Du kan gange tre på en gang, fire - ja til og med ti! Dette vil ikke endre regelen. Ta en titt:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Og igjen en liten bemerkning til det andre eksemplet. Som du kan se, i den tredje multiplikatoren er det en desimalbrøk under roten - i prosessen med beregninger erstatter vi den med en vanlig, hvoretter alt lett reduseres. Så: Jeg anbefaler på det sterkeste å kvitte seg med desimalbrøker i alle irrasjonelle uttrykk (det vil si som inneholder minst ett radikalt ikon). Dette vil spare deg for mye tid og nerver i fremtiden.

Men det var en lyrisk digresjon. La oss nå vurdere et mer generelt tilfelle - når roteksponenten inneholder et vilkårlig tall $n$, og ikke bare de "klassiske" to.

Tilfellet av en vilkårlig indikator

Så vi fant ut kvadratrøttene. Og hva skal man gjøre med kuber? Eller generelt med røtter av vilkårlig grad $n$? Ja, alt er likt. Regelen forblir den samme:

For å multiplisere to røtter av grad $n$, er det nok å multiplisere deres radikale uttrykk, hvoretter resultatet skrives under ett radikal.

Generelt, ingenting komplisert. Med mindre volumet av beregninger kan være mer. La oss se på et par eksempler:

Eksempler. Beregn produkter:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\venstre(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Og igjen oppmerksomhet til det andre uttrykket. Vi multipliserer kuberøttene, kvitter oss med desimalbrøken, og som et resultat får vi produktet av tallene 625 og 25. Dette er et ganske stort tall - personlig vil jeg ikke umiddelbart beregne hva det er likt til.

Derfor valgte vi ganske enkelt den eksakte kuben i telleren og nevneren, og brukte deretter en av nøkkelegenskapene (eller, om du vil, definisjonen) til roten til $n$th grad:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\venstre| a\right|. \\ \end(align)\]

Slike "svindel" kan spare deg for mye tid på en eksamen eller prøve, så husk:

Ikke skynd deg å multiplisere tallene i det radikale uttrykket. Først, sjekk: hva om den nøyaktige graden av et uttrykk er "kryptert" der?

Med all det åpenbare i denne bemerkningen, må jeg innrømme at de fleste uforberedte studenter ikke ser de eksakte gradene. I stedet multipliserer de alt fremover, og lurer så på: hvorfor fikk de så brutale tall? :)

Alt dette er imidlertid en lek i forhold til det vi skal studere nå.

Multiplikasjon av røtter med forskjellige eksponenter

Vel, nå kan vi multiplisere røtter med de samme eksponentene. Hva hvis poengsummen er annerledes? Si, hvordan multipliserer du en vanlig $\sqrt(2)$ med noe dritt som $\sqrt(23)$? Er det i det hele tatt mulig å gjøre dette?

Ja, selvfølgelig kan du det. Alt gjøres i henhold til denne formelen:

Rotmultiplikasjonsregel. For å multiplisere $\sqrt[n](a)$ med $\sqrt[p](b)$, gjør du bare følgende transformasjon:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Imidlertid fungerer denne formelen bare hvis radikale uttrykk er ikke-negative. Dette er en svært viktig bemerkning, som vi kommer tilbake til litt senere.

For nå, la oss se på et par eksempler:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Som du kan se, ingenting komplisert. La oss nå finne ut hvor ikke-negativitetskravet kom fra, og hva som vil skje hvis vi bryter det. :)

Hvorfor må radikale uttrykk være ikke-negative?

Selvfølgelig kan du bli som skolelærere og sitere en lærebok med et smart utseende:

Kravet om ikke-negativitet er assosiert med forskjellige definisjoner av røtter av like og odde grader (henholdsvis deres definisjonsdomener er også forskjellige).

Vel, ble det klarere? Personlig, når jeg leste dette tullet i 8. klasse, forsto jeg for meg selv noe sånt som dette: «Kravet om ikke-negativitet er forbundet med *#&^@(*#@^#)~%» - kort sagt, jeg skjønte ikke en dritt på den tiden :)

Så nå skal jeg forklare alt på en normal måte.

La oss først finne ut hvor multiplikasjonsformelen ovenfor kommer fra. For å gjøre dette, la meg minne deg om en viktig egenskap ved roten:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Med andre ord kan vi trygt heve rotuttrykket til en hvilken som helst naturlig potens $k$ - i dette tilfellet vil rotindeksen måtte multipliseres med samme potens. Derfor kan vi enkelt redusere eventuelle røtter til en felles indikator, hvoretter vi multipliserer. Det er her multiplikasjonsformelen kommer fra:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Men det er ett problem som sterkt begrenser anvendelsen av alle disse formlene. Tenk på dette tallet:

I henhold til formelen som nettopp er gitt, kan vi legge til hvilken som helst grad. La oss prøve å legge til $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\venstre(-5 \høyre))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]

Vi fjernet minus nettopp fordi firkanten brenner minus (som enhver annen jevn grad). Og la oss nå utføre den omvendte transformasjonen: "reduser" de to i eksponent og grad. Tross alt kan enhver likhet leses både fra venstre til høyre og høyre til venstre:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Høyrepil \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](en); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Høyrepil \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Men så skjer det noe sprøtt:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Dette kan ikke være fordi $\sqrt(-5) \lt 0$ og $\sqrt(5) \gt 0$. Dette betyr at for like potenser og negative tall, fungerer ikke formelen vår lenger. Deretter har vi to alternativer:

1. Å kjempe mot veggen for å slå fast at matematikk er en dum vitenskap, der «det er noen regler, men dette er unøyaktig»;
2. Introduser ytterligere begrensninger som gjør at formelen fungerer 100 %.

I det første alternativet må vi hele tiden fange "ikke-fungerende" saker - dette er vanskelig, langt og generelt fu. Derfor foretrakk matematikere det andre alternativet. :)

Men ikke bekymre deg! I praksis påvirker ikke denne begrensningen beregningene på noen måte, fordi alle de beskrevne problemene kun gjelder røttene til en merkelig grad, og minuser kan tas ut av dem.

Derfor formulerer vi en annen regel som gjelder generelt for alle handlinger med røtter:

Før du multipliserer røttene, sørg for at de radikale uttrykkene er ikke-negative.

Eksempel. I tallet $\sqrt(-5)$ kan du ta ut minus fra under rottegnet - da blir alt bra:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Høyrepil \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Føl forskjellen? Hvis du legger igjen et minus under roten, vil det forsvinne når det radikale uttrykket er kvadratisk, og dritt begynner. Og hvis du først tar ut et minus, så kan du til og med heve / fjerne en firkant til du er blå i ansiktet - tallet forblir negativt. :)

Dermed er den mest korrekte og mest pålitelige måten å multiplisere røttene på som følger:

1. Fjern alle minuser fra under radikalene. Minuser er bare i røttene til oddetall - de kan plasseres foran roten og om nødvendig reduseres (for eksempel hvis det er to av disse minusene).
2. Utfør multiplikasjon i henhold til reglene diskutert ovenfor i dagens leksjon. Hvis indeksene til røttene er de samme, multipliser du bare rotuttrykkene. Og hvis de er forskjellige, bruker vi den onde formelen \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Vi nyter resultatet og gode karakterer. :)

Vi vil? Skal vi øve?

Eksempel 1. Forenkle uttrykket:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Dette er det enkleste alternativet: indikatorene på røttene er de samme og merkelige, problemet er bare i minus av den andre multiplikatoren. Vi tåler denne minus nafig, hvoretter alt er lett å vurdere.

Eksempel 2. Forenkle uttrykket:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( tilpasse)\]

Her ville mange bli forvirret av at utgangen viste seg å være et irrasjonelt tall. Ja, det skjer: vi kunne ikke bli kvitt roten helt, men vi forenklet i det minste uttrykket betydelig.

Eksempel 3. Forenkle uttrykket:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\venstre((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Det er dette jeg vil gjøre deg oppmerksom på. Det er to punkter her:

1. Under roten er ikke et spesifikt tall eller grad, men variabelen $a$. Ved første øyekast er dette litt uvanlig, men i realiteten, når man løser matematiske problemer, vil man som oftest måtte forholde seg til variabler.
2. Til slutt klarte vi å «redusere» roteksponenten og graden i det radikale uttrykket. Dette skjer ganske ofte. Og dette betyr at det var mulig å forenkle beregningene betydelig hvis du ikke bruker hovedformelen.

Du kan for eksempel gjøre dette:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\venstre(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

Faktisk ble alle transformasjoner bare utført med den andre radikalen. Og hvis du ikke maler i detalj alle de mellomliggende trinnene, vil til slutt mengden av beregninger reduseres betydelig.

Faktisk har vi allerede møtt en lignende oppgave ovenfor når vi løste eksempelet $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nå kan det skrives mye enklere:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\venstre(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Vel, vi fant ut multiplikasjonen av røttene. Vurder nå den omvendte operasjonen: hva skal jeg gjøre når det er et verk under roten?

I matematikk har enhver handling sin egen motsetning - i hovedsak er dette en av manifestasjonene av den hegelianske loven om dialektikk: "motsetningenes enhet og kamp." En av handlingene i et slikt "par" er rettet mot å øke antallet, og den andre, det motsatte av det, er avtagende. For eksempel er handlingen motsatt av addisjon subtraksjon, og divisjon tilsvarer multiplikasjon. Å heve til en makt har også sitt eget dialektiske par-motsetning. Det handler om rotutvinning.

Å trekke ut roten til en slik og en grad fra et tall betyr å beregne hvilket tall som må heves til tilsvarende potens for å ende opp med dette tallet. De to gradene har sine egne separate navn: den andre graden kalles "firkanten", og den tredje - "kuben". Følgelig er det hyggelig å kalle røttene til disse maktene kvadratroten og kubikkroten. Handlinger med kuberøtter er et tema for en egen diskusjon, men la oss nå snakke om å legge til kvadratrøtter.

La oss starte med at det i noen tilfeller er lettere å trekke ut kvadratrøtter først, og deretter legge til resultatene. Anta at vi må finne verdien av et slikt uttrykk:

Tross alt er det slett ikke vanskelig å beregne at kvadratroten av 16 er 4, og av 121 - 11. Derfor

√16+√121=4+11=15

Dette er imidlertid det enkleste tilfellet - her snakker vi om hele ruter, dvs. om tall som fås ved å kvadrere hele tall. Men dette er ikke alltid tilfelle. For eksempel er ikke tallet 24 et perfekt kvadrat (det er ikke noe heltall som, når det heves til andre potens, vil resultere i 24). Det samme gjelder et tall som 54 ... Hva om vi må legge til kvadratrøttene til disse tallene?

I dette tilfellet får vi i svaret ikke et tall, men et annet uttrykk. Det maksimale vi kan gjøre her er å forenkle det opprinnelige uttrykket så mye som mulig. For å gjøre dette, må du ta ut faktorene under kvadratroten. La oss se hvordan dette gjøres ved å bruke de nevnte tallene som et eksempel:

Til å begynne med faktoriserer vi 24 - på en slik måte at en av dem lett kan tas som kvadratrot (dvs. slik at det er et perfekt kvadrat). Det er et slikt tall - dette er 4:

La oss nå gjøre det samme med 54. I sammensetningen vil dette tallet være 9:

Dermed får vi følgende:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

La oss nå trekke ut røttene fra det vi kan trekke dem ut fra: 2*√6+3*√6

Det er en felles faktor her, som vi kan ta ut av parentes:

(2+3)* √6=5*√6

Dette vil være resultatet av tillegget - ingenting annet kan trekkes ut her.

Riktignok kan du ty til å bruke en kalkulator - men resultatet vil være omtrentlig og med et stort antall desimaler:

√6=2,449489742783178

Gradvis runder det opp, får vi omtrent 2,5. Hvis vi fortsatt ønsker å bringe løsningen til forrige eksempel til sin logiske konklusjon, kan vi multiplisere dette resultatet med 5 - og vi får 12,5. Et mer nøyaktig resultat med slike innledende data kan ikke oppnås.

Addisjon og subtraksjon av røtter– en av de vanligste «snublesteinene» for de som tar kurs i matematikk (algebra) på videregående. Imidlertid er det veldig viktig å lære å legge til og trekke dem riktig, fordi eksempler på summen eller differansen av røtter er inkludert i programmet for den grunnleggende Unified State-eksamenen i disiplinen "matematikk".

For å mestre løsningen av slike eksempler trenger du to ting - å forstå reglene, samt å få praksis. Etter å ha løst ett eller to dusin typiske eksempler, vil studenten bringe denne ferdigheten til automatisme, og da vil han ikke ha noe å frykte på eksamen. Det anbefales å begynne å mestre aritmetiske operasjoner med addisjon, fordi det er litt lettere å legge dem til enn å trekke dem fra.

Hva er en rot

Den enkleste måten å forklare dette på er med eksempelet med en kvadratrot. I matematikk er det et veletablert begrep "kvadrat". "Kvadrat" betyr å multiplisere et spesifikt tall med seg selv én gang.. For eksempel, hvis du kvadrater 2, får du 4. Hvis du kvadrater 7, får du 49. Kvadraten av 9 er 81. Så kvadratroten av 4 er 2, av 49 er 7, og av 81 er 9.

Som regel begynner undervisningen i dette emnet i matematikk med kvadratrøtter. For umiddelbart å fastslå det, må en videregående elev kunne multiplikasjonstabellen utenat. For de som ikke kjenner denne tabellen godt, må du bruke hint. Vanligvis er prosessen med å trekke ut kvadratroten fra et tall gitt i form av en tabell på omslagene til mange skolenotatbøker i matematikk.

Røtter er av følgende typer:

• torget;
• kubikk (eller den såkalte tredje graden);
• fjerde grad;
• femte grad.

Tilleggsregler

For å lykkes med å løse et typisk eksempel, må det tas i betraktning at ikke alle rottall kan stables med hverandre. For å kunne sette dem sammen, må de bringes til ett enkelt mønster. Hvis dette ikke er mulig, har problemet ingen løsning. Slike problemer finnes også ofte i lærebøker i matematikk som en slags felle for elevene.

Tillegg er ikke tillatt i oppgaver når de radikale uttrykkene skiller seg fra hverandre. Dette kan illustreres med et illustrerende eksempel:

• eleven står overfor oppgaven: å legge til kvadratroten av 4 og av 9;
• en uerfaren student som ikke kjenner regelen, skriver vanligvis: "rot av 4 + rot av 9 \u003d rot av 13."
• det er veldig enkelt å bevise at denne måten å løse er feil på. For å gjøre dette må du finne kvadratroten av 13 og sjekke om eksemplet er løst riktig;
• ved hjelp av en mikrokalkulator kan du fastslå at det er omtrent 3,6. Nå gjenstår det å sjekke løsningen;
• rot av 4=2, og av 9=3;
• Summen av to og tre er fem. Dermed kan denne løsningsalgoritmen betraktes som feil.

Hvis røttene har samme grad, men forskjellige numeriske uttrykk, tas det ut av parentes, og summen av to radikale uttrykk. Dermed er det allerede hentet fra denne mengden.

Addisjonsalgoritme

For å løse det enkleste problemet riktig, er det nødvendig:

1. Bestem hva som krever tillegg.
2. Finn ut om det er mulig å legge til verdier til hverandre, veiledet av reglene som finnes i matematikk.
3. Hvis de ikke kan legges til, må du transformere dem på en slik måte at de kan legges til.
4. Etter å ha utført alle nødvendige transformasjoner, er det nødvendig å utføre tillegg og skrive ned det ferdige svaret. Addisjon kan gjøres mentalt eller med en kalkulator, avhengig av kompleksiteten til eksemplet.

Hva er lignende røtter

For å løse et tilleggseksempel riktig, er det først og fremst nødvendig å tenke på hvordan det kan forenkles. For å gjøre dette må du ha grunnleggende kunnskap om hva likhet er.

Evnen til å identifisere lignende bidrar til å raskt løse samme type tilleggseksempler, og bringe dem inn i en forenklet form. For å forenkle et typisk tilleggseksempel, må du:

1. Finn lignende og tildel dem til én gruppe (eller flere grupper).
2. Omskriv det eksisterende eksemplet på en slik måte at røttene som har samme indikator følger hverandre tydelig (dette kalles "gruppering").
3. Deretter bør du skrive uttrykket på nytt, denne gangen på en slik måte at lignende (som har samme indikator og samme rotfigur) også følger hverandre.

Etter det er et forenklet eksempel vanligvis lett å løse.

For å løse et tilleggseksempel på riktig måte, må du tydelig forstå de grunnleggende reglene for tillegg, og også vite hva en rot er og hvordan det skjer.

Noen ganger ser slike oppgaver veldig kompliserte ut ved første øyekast, men vanligvis løses de enkelt ved å gruppere lignende. Det viktigste er øving, og deretter vil eleven begynne å «klikke på oppgaver som nøtter». Rottilsetning er en av de viktigste grenene av matematikk, så lærere bør sette av nok tid til å studere det.

Video

Denne videoen vil hjelpe deg å forstå likningene med kvadratrøtter.