Хүч чадал ба үндэсийн томъёо. Зэрэг, түүний шинж чанар. Зэрэг тодорхойлох

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын төрийн байгууллагуудын хүсэлтийн үндсэн дээр - өөрийн хувийн мэдээллийг задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Хэзээтоо өөрөө үрждэг өөртөө, ажилдуудсан зэрэг.

Тэгэхээр 2.2 = 4, квадрат буюу 2-ын хоёр дахь зэрэг
2.2.2 = 8, шоо буюу гурав дахь хүч.
2.2.2.2 = 16, дөрөвдүгээр зэрэг.

Мөн 10.10 = 100, 10-ын хоёр дахь зэрэг.
10.10.10 = 1000, гурав дахь хүч.
10.10.10.10 = 10000 дөрөв дэх хүч.

Мөн a.a = aa, a-ийн хоёр дахь зэрэг
a.a.a = aaa, a-ийн гурав дахь зэрэг
a.a.a.a = aaaa, a-ийн дөрөв дэх зэрэг

Жинхэнэ дугаарыг дуудаж байна үндэсЭнэ тооны хүчнүүд, учир нь энэ нь эрх мэдлийг бий болгосон тоо юм.

Гэсэн хэдий ч, ялангуяа өндөр эрх мэдлийн хувьд эрх мэдлийг бүрдүүлдэг бүх хүчин зүйлийг бичих нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Тиймээс богино тэмдэглэгээний аргыг ашигладаг. Зэрэглэлийн язгуурыг зөвхөн нэг удаа бичих ба баруун талд нь, хажууд нь арай өндөр, харин арай жижиг үсгээр хэдэн удаа бичдэг. үндэс нь хүчин зүйл болдог. Энэ тоо эсвэл үсгийг дууддаг илтгэгчэсвэл зэрэгтоо. Тэгэхээр 2 нь a.a эсвэл aa-тай тэнцүү, учир нь a язгуурыг өөрөө хоёр дахин үржүүлж, aa-г авна. Мөн 3 гэдэг нь ааа гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл энд а давтагдана гурван удааүржүүлэгч байдлаар.

Нэгдүгээр зэргийн илтгэгч нь 1 боловч ихэвчлэн бичдэггүй. Тиймээс 1-ийг a гэж бичдэг.

Та зэрэгтэй андуурч болохгүй коэффициентүүд. Коэффициент нь утгыг хэр олон удаа авч байгааг харуулдаг Хэсэгбүхэл. Хүч нь тухайн хэмжигдэхүүнийг хэр олон удаа авч байгааг харуулдаг хүчин зүйлажилд.
Тэгэхээр, 4a = a + a + a + a. Гэхдээ 4 = a.a.a.a

Эрчим хүчний тэмдэглэгээний схем нь бидэнд илэрхийлэх боломжийг олгодог өвөрмөц давуу талтай үл мэдэгдэхзэрэг. Үүний тулд тооны оронд илтгэгчийг бичнэ захидал. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад бид мэддэг хэмжигдэхүүнийг олж авах боломжтой зарим ньөөр хэмжээний зэрэг. Гэхдээ энэ нь дөрвөлжин, шоо эсвэл өөр, илүү өндөр зэрэгтэй эсэхийг бид одоогоор мэдэхгүй байна. Тэгэхээр a x илэрхийлэлд илтгэгч нь энэ илэрхийлэл байгаа гэсэн үг юм зарим ньзэрэг нь тодорхойгүй ч гэсэн ямар зэрэгтэй. Тиймээс b m ба d n нь m ба n-ийн зэрэглэлд нэмэгдэв. Экспонент олдвол, тооүсгийн оронд орлуулсан байна. Тэгэхээр m=3 бол b m = b 3; гэхдээ m = 5 бол b m = b 5 болно.

Хүчийг ашиглан утгыг бичих арга нь ашиглахад том давуу тал юм илэрхийллүүд. Тиймээс (a + b + d) 3 нь (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), өөрөөр хэлбэл гурвалсан шоо (a + b + d) байна. . Гэхдээ бид энэ илэрхийллийг шоо болгон өсгөсний дараа бичвэл иймэрхүү харагдах болно
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Хэрэв илтгэгч нь 1-ээр нэмэгдэж эсвэл буурч байгаа хэд хэдэн хүчийг авбал үржвэр нь 1-ээр нэмэгдэхийг олж мэднэ. нийтлэг үржүүлэгчэсвэл буурдаг нийтлэг хуваагч, мөн энэ хүчин зүйл буюу хуваагч нь хүчин чадал руу өссөн анхны тоо юм.

Ингээд цувралд ааааа, аааа, ааа, аа, а;
эсвэл 5, 4, 3, 2, 1;
үзүүлэлтүүдийг баруунаас зүүн тийш тоолж үзвэл 1, 2, 3, 4, 5; ба тэдгээрийн утгын ялгаа нь 1. Хэрэв бид эхлэх юм бол баруун талд үржүүлэх a гэхэд бид олон утгыг амжилттай авах болно.

Тэгэхээр a.a = a 2, хоёр дахь гишүүн. Мөн 3.a = a 4
a 2 .a = a 3 , гурав дахь гишүүн. a 4 .a = a 5 .

Хэрэв бид эхэлбэл зүүн хуваахнь,
бид 5:a = a 4 ба 3:a = a 2-ыг авна.
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Гэхдээ энэ хуваах үйл явцыг цаашид үргэлжлүүлэх боломжтой бөгөөд бид шинэ үнэт зүйлсийг олж авдаг.

Тэгэхээр a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Бүрэн мөр нь: аааа, аааа, ааа, аа, а, 1, 1/а, 1/аа, 1/ааа байх болно.

Эсвэл 5, 4, 3, 2, а, 1, 1/а, 1/а 2, 1/а 3.

Энд үнэт зүйлс байна баруун талднэгээс нь байдаг урвуунэгний зүүн талд байгаа утгууд. Тиймээс эдгээр зэрэглэлийг нэрлэж болно урвуу хүча. Зүүн талын эрх мэдэл нь баруун талын хүчнүүдийн урвуу тал гэж бид бас хэлж болно.

Тэгэхээр 1:(1/а) = 1.(а/1) = a. Мөн 1:(1/a 3) = a 3.

Үүнтэй ижил бичлэг хийх төлөвлөгөөг ашиглаж болно олон гишүүнт. Тиймээс, a + b-ийн хувьд бид багцыг авна.
(а + б) 3 , (а + б) 2 , (а + б), 1, 1/(а + б), 1/(а + б) 2 , 1/(а + б) 3 .

Тохиромжтой болгохын тулд харилцан эрх мэдлийг бичих өөр хэлбэрийг ашигладаг.

Энэ хэлбэрийн дагуу 1/a эсвэл 1/a 1 = a -1. Мөн 1/aaa эсвэл 1/a 3 = a -3 .
1/aa эсвэл 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa эсвэл 1/a 4 = a -4 .

Мөн илтгэгчийн нийт зөрүү 1-тэй бүрэн цуваа гаргахын тулд a/a эсвэл 1-ийг зэрэггүй зүйл гэж үзэж, 0 гэж бичдэг.

Дараа нь шууд ба урвуу хүчийг харгалзан үзнэ
aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa-ын оронд
та 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4 гэж бичиж болно.
Эсвэл +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

Зөвхөн бие даасан зэрэгтэй цувралууд дараах байдлаар харагдах болно.
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Зэрэглэлийн үндсийг нэгээс олон үсгээр илэрхийлж болно.

Ийнхүү аа.аа буюу (аа) 2 нь аагийн хоёр дахь зэрэг болно.
Мөн аа.аа.аа буюу (аа) 3 нь аагийн 3-р зэрэглэл юм.

1-ийн тооны бүх хүч ижил байна: 1.1 эсвэл 1.1.1. 1-тэй тэнцүү байх болно.

Экспоненциал гэдэг нь дурын тооны утгыг өөрөө үржүүлэх замаар олох явдал юм. Үржүүлэх дүрэм:

Хэмжигдэхүүнийг тоон хүчинд заасан хэмжээгээр өөрөө үржүүлнэ.

Энэ дүрэм нь экспоненциацийн явцад гарч болох бүх жишээнүүдэд нийтлэг байдаг. Гэхдээ энэ нь тодорхой тохиолдлуудад хэрхэн хамаарах талаар тайлбар өгөх нь зөв юм.

Хэрэв зөвхөн нэг гишүүнийг хүчин чадал болгон өсгөсөн бол түүнийг илтгэгчийн заасан хэмжээгээр өөрөө үржүүлнэ.

a-ийн дөрөв дэх хүч нь 4 эсвэл аааа. (195-р зүйл.)
y-ийн зургаа дахь зэрэг нь y 6 эсвэл yyyyyy.
x-ийн N-р зэрэглэл нь x n эсвэл xxx..... n удаа давтагдана.

Хэд хэдэн нэр томьёоны илэрхийлэлийг эрх мэдэлд хүргэх шаардлагатай бол зарчим хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэрийн хүч нь эдгээр хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Тэгэхээр (ay) 2 =a 2 y 2; (а) 2 = сар.
Харин ай.ай = аяй = aayy = a 2 y 2.
Тэгэхээр (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 м 3 x 3.

Тиймээс, бүтээгдэхүүний хүчийг олохдоо бид бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүнтэй нэг дор ажиллах эсвэл хүчин зүйл бүрийг тусад нь ажиллуулж, дараа нь тэдгээрийн утгыг хүчээр үржүүлж болно.

Жишээ 1. Dhy-ийн дөрөв дэх хүч нь (dhy) 4 буюу d 4 h 4 y 4.

Жишээ 2. Гурав дахь зэрэг нь 4b, тэнд (4b) 3, эсвэл 4 3 b 3, эсвэл 64b 3 байна.

Жишээ 3. 6ad-ийн N-р зэрэглэл нь (6ad) n эсвэл 6 n a n d n байна.

Жишээ 4. 3м.2y-ийн гуравдахь чадал нь (3м.2у) 3 буюу 27м 3 .8у 3.

+ ба --ээр холбосон нэр томъёоноос бүрдэх хоёр гишүүний зэрэг нь түүний гишүүний үржвэрээр тодорхойлогдоно. Тиймээ

(a + b) 1 = a + b, нэгдүгээр зэрэг.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, хоёр дахь хүч (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, гуравдахь зэрэглэл.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, дөрөвдүгээр зэрэглэл.

a - b-ийн квадрат нь a 2 - 2ab + b 2 байна.

a + b + h-ийн квадрат нь 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2 байна.

Дасгал 1. a + 2d + 3 шоо ол

Дасгал 2. b + 2-ын дөрөв дэх хүчийг ол.

Дасгал 3. x+1-ийн тав дахь хүчийг ол.

Дасгал 4. Зургаа дахь хүчийг олоорой 1 - b.

Нийлбэрийн квадратууд хэмжээТэгээд ялгаабиномууд алгебрт маш олон тохиолддог тул тэдгээрийг маш сайн мэдэх шаардлагатай.

Хэрэв бид a + h өөрөө эсвэл a - h үржүүлбэл,
бид авна: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 мөн, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Эндээс харахад тухайн тохиолдол бүрт эхний болон сүүлчийн гишүүн нь a ба h-ийн квадратууд, дунд гишүүн нь a ба h-ийн үржвэрээс хоёр дахин их байна. Эндээс хоёр гишүүний нийлбэр ба ялгааны квадратыг дараах дүрмийг ашиглан олж болно.

Хоёр гишүүний квадрат нь аль аль нь эерэг бөгөөд эхний гишүүний квадрат + хоёр гишүүний үржвэрийн үржвэр + сүүлийн гишүүний квадраттай тэнцүү байна.

Дөрвөлжин ялгаахоёр гишүүний квадратыг хоёр гишүүний хоёр дахин үржвэрийг нэмсэн хоёр дахь гишүүний квадратыг хассантай тэнцүү байна.

Жишээ 1. Дөрвөлжин 2a + b, 4a 2 + 4ab + b 2 байна.

Жишээ 2. Дөрвөлжин ab + cd, 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 байна.

Жишээ 3. Талбай 3d - h, 9d 2 + 6dh + h 2 байна.

Жишээ 4. a - 1 квадрат нь 2 - 2a + 1 байна.

Хоёр гишүүний өндөр хүчийг олох аргыг дараах хэсгүүдээс үзнэ үү.

Ихэнх тохиолдолд бичих нь үр дүнтэй байдаг градусүржүүлэхгүйгээр.

Тэгэхээр a + b-ийн квадрат нь (a + b) 2 байна.
bc + 8 + x-ийн N-р зэрэг нь (bc + 8 + x) n

Ийм тохиолдолд хашилтыг хамарна Бүгдзэрэгтэй гишүүд.

Харин зэрэглэлийн үндэс нь хэд хэдэн хэсгээс бүрддэг бол үржүүлэгчид, хаалт нь илэрхийллийг бүхэлд нь хамарч болно, эсвэл ая тухтай байдлаас хамааран хүчин зүйлүүдэд тусад нь хэрэглэж болно.

Тиймээс (a + b)(c + d) квадрат нь [(a + b).(c + d)] 2 эсвэл (a + b) 2 .(c + d) 2 байна.

Эдгээр илэрхийллүүдийн эхнийх нь үр дүн нь хоёр хүчин зүйлийн үржвэрийн квадрат, хоёрдугаарт үр дүн нь тэдгээрийн квадратуудын үржвэр юм. Гэхдээ тэд бие биетэйгээ тэнцүү.

Шоо a.(b + d), нь 3, эсвэл a 3.(b + d) 3.

Оролцсон гишүүдийн урд байгаа тэмдгийг бас анхаарч үзэх хэрэгтэй. Эрдмийн язгуур эерэг байвал түүний бүх эерэг хүч ч эерэг байдаг гэдгийг санах нь маш чухал юм. Гэхдээ үндэс нь сөрөг байвал утгууд нь байна хачинэрх мэдэл нь сөрөг, харин үнэ цэнэ бүрзэрэг эерэг байна.

Хоёр дахь зэрэг (- a) нь +a 2 байна
Гурав дахь зэрэг (-a) нь -a 3 байна
Дөрөв дэх хүч (-a) нь +a 4
Тав дахь хүч (-a) нь -a 5

Тиймээс ямар ч хачинзэрэг нь тоотой ижил тэмдэгтэй байна. Гэхдээ бүртоо нь сөрөг эсвэл эерэг тэмдэгтэй эсэхээс үл хамааран зэрэг нь эерэг байна.
Тэгэхээр +a.+a = +a 2
Мөн -a.-a = +a 2

Аль хэдийн нэг зэрэглэлд хүрсэн хэмжигдэхүүнийг илтгэгчийг үржүүлснээр дахин ихэсгэнэ.

2-ын гурав дахь хүч нь 2.3 = a 6.

2 = aa-ийн хувьд; шоо aa нь aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; Энэ нь a-ийн зургаа дахь зэрэг, харин 2-ын гурав дахь зэрэг юм.

a 3 b 2-ийн дөрөв дэх хүч нь 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

4a 2 x-ийн гурав дахь хүч нь 64a 6 x 3 байна.

(a + b) 2-ын тав дахь зэрэг нь (a + b) 10.

3-ын N-р зэрэглэл нь 3n байна

(x - y) m-ийн N-р зэрэг нь (x - y) mn байна

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Дүрэм нь адил хамаарна сөрөгградус.

Жишээ 1. a -2-ын гурав дахь зэрэг нь -3.3 =a -6.

Учир нь -2 = 1/aa ба үүний гурав дахь зэрэг
(1/аа).(1/аа).(1/аа) = 1/аааааа = 1/а 6 = а -6

2 b -3-ийн дөрөв дэх хүч нь 8 b -12 эсвэл 8 / b 12 байна.

Квадрат нь b 3 x -1, b 6 x -2 байна.

ax -m-ийн N-р зэрэглэл нь x -mn буюу 1/x байна.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв тэмдэг байгаа бол бид энд санаж байх ёстой өмнөхзэрэг нь "-" бол зэрэг нь тэгш тоо байх бүрд "+" болгож өөрчлөх ёстой.

Жишээ 1. -a 3 квадрат нь +a 6 байна. -a 3-ын квадрат нь -a 3 .-a 3 бөгөөд үржүүлэх тэмдгийн дүрмийн дагуу +a 6 байна.

2. Харин шоо -a 3 нь -a 9 байна. -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9-ийн хувьд.

3. N-р хүч -a 3 нь 3n байна.

Энд үр дүн нь n нь тэгш эсвэл сондгой байхаас хамаарч эерэг эсвэл сөрөг байж болно.

Хэрэв бутархайзэрэгт дээшлүүлсний дараа хүртэгч ба хуваагч нь зэрэглэлд нэмэгдэнэ.

a/b-ийн квадрат нь a 2 /b 2 байна. Бутархайг үржүүлэх дүрмийн дагуу,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a-ийн хоёр, гурав, n-р зэрэглэл нь 1/a 2, 1/a 3, 1/a n байна.

Жишээ биномууд, аль нэг нэр томъёо нь бутархай байна.

1. x + 1/2 ба x - 1/2-ийн квадратыг ол.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. a + 2/3-ын квадрат нь 2 + 4a/3 + 4/9 байна.

3. Талбай x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 x - b/m-ийн квадрат нь x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 байна.

Үүнийг өмнө нь харуулсан бутархай коэффициенттоологчоос хуваагч руу эсвэл хуваагчаас хүртэгч рүү шилжүүлж болно. Харилцан эрх мэдлийг бичих схемийг ашиглах нь тодорхой байна аливаа үржүүлэгчбас хөдөлгөж болно, зэрэглэлийн тэмдэг өөрчлөгдсөн бол.

Тэгэхээр, ax -2 /y бутархайд бид х-г тоологчоос хуваагч руу шилжүүлж болно.
Дараа нь ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2).

a/3-ын бутархайд бид хуваагчаас y-г тоологч руу шилжүүлж болно.
Дараа нь a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Үүний нэгэн адил бид эерэг илтгэгчтэй хүчин зүйлийг тоологч руу эсвэл сөрөг илтгэгчтэй хүчин зүйлийг хуваагч руу шилжүүлж болно.

Тэгэхээр сүх 3 /b = a/bx -3. x 3-ын хувьд урвуу нь x -3 бөгөөд энэ нь x 3 = 1/x -3 юм.

Иймд илэрхийллийн утгыг өөрчлөхгүйгээр аливаа бутархайн хуваагчийг бүрмөсөн хасч, эсвэл тоологчийг нэг болгож багасгаж болно.

Тэгэхээр, a/b = 1/ba -1 , эсвэл ab -1 .

МЭӨ 5-р зуунд эртний Грекийн философич Зено Элеа өөрийн алдартай апориа томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... хэлэлцүүлэг өнөөдрийг хүртэл үргэлжилж, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... уг асуудлыг судлахад математик анализ, олонлогын онол, физик, философийн шинэ хандлагуудыг оролцуулсан. ; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдвэрлэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн Апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс . Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн аппарат хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэлгээний инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай утгад ашигладаг. Физик талаас нь авч үзвэл, Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид цаг бүрэн зогсох хүртэл удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг шийдэх бүрэн шийдэл биш юм. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч байгаа зүйл бол цаг хугацааны хоёр цэг, орон зайн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.

2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг

Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.

Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.

Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер өөр гүүрүүдийг барьсан.

Математикчид “намайг бод, би гэртээ байна” гэх, эс тэгвээс “математик хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг” гэсэн хэллэгийн ард яаж нуугдаж байсан ч тэдгээрийг бодит байдалтай салшгүй холбодог хүйн ​​зангилаа байдаг. Энэ хүйн ​​бол мөнгө. Математик олонлогын онолыг математикчдад өөрсдөө хэрэгжүүлцгээе.

Бид математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авах болно гэдгийг математикчд тайлбарлая. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.

Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийн тухай дурсан санаж эхэлнэ: янз бүрийн зоосон мөнгө өөр өөр хэмжээтэй, атомын талст бүтэц, зохион байгуулалт нь зоос бүрийн хувьд өвөрмөц байдаг ...

Одоо надад хамгийн сонирхолтой асуулт байна: олон багцын элементүүд олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байна вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ойрхон ч биш юм.

Энд харах. Бид ижил талбай бүхий хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдийг сонгодог. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.

Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.

2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг

Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ тэд бөө учраас үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, эс бөгөөс бөө нар зүгээр л үхэх болно.

Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.

Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.

1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

2. Бид үр дүнд нь нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хуваасан. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.

3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ. Одоо энэ бол математик.

12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нарын заадаг “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.

Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тиймээс өөр өөр тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тоон баруун талд байрлах доод үсэг болгон заадаг. 12345 гэсэн том тоогоор би толгойгоо хуурахыг хүсэхгүй байна, нийтлэл дэх 26 дугаарыг авч үзье. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй, бид үүнийг аль хэдийн хийсэн. Үр дүнг харцгаая.

Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.

Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг тоон систем нь тоонуудын хэмжлийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжих өөр өөр нэгжтэй ижил үйлдэл нь тэдгээрийг харьцуулсны дараа өөр үр дүнд хүргэдэг бол энэ нь математиктай ямар ч холбоогүй юм.

Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ нь математикийн үйл ажиллагааны үр дүн нь тоон хэмжээ, ашигласан хэмжүүрийн нэгж, энэ үйлдлийг хэн гүйцэтгэхээс хамаардаггүй үед юм.

Хаалган дээр гарын үсэг зурна уу Тэр хаалгыг онгойлгоод:

Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийн тэнгэрт өргөмжлөгдөх үеийн ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?

Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.

Хэрэв дизайны урлагийн ийм бүтээл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол

Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.

Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж бодохгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг мэдрэх хүчтэй хэвшмэл ойлголттой. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.

1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ нь "баасан хүн" буюу арван зургаатын тооллын "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.

үржүүлэх аргыг ашиглан олж болно. Жишээ нь: 5+5+5+5+5+5=5х6. Ийм илэрхийлэл нь тэнцүү гишүүдийн нийлбэрийг үржвэр болгон нугалав гэж хэлдэг. Мөн эсрэгээр, хэрэв бид энэ тэгш байдлыг баруунаас зүүн тийш уншвал бид тэнцүү нөхцлүүдийн нийлбэрийг өргөжүүлсэн болохыг олж мэднэ. Үүний нэгэн адил 5x5x5x5x5x5=5 6 гэсэн хэд хэдэн тэнцүү хүчин зүйлийн үржвэрийг нурааж болно.

Өөрөөр хэлбэл 5х5х5х5х5х5 гэсэн зургаан ижил хүчин зүйлийг үржүүлэхийн оронд 5 6 гэж бичээд "таваас зургаа дахь зэрэглэл" гэж хэлдэг.

5 6 илэрхийлэл нь тооны зэрэглэл бөгөөд үүнд:

5 - зэрэглэлийн суурь;

6 - илтгэгч.

Тэнцүү хүчин зүйлийн үржвэрийг хүчин чадал болгон бууруулах үйлдлүүд гэж нэрлэдэг хүч чадалд хүргэх.

Ерөнхийдөө “a” суурьтай, “n” илтгэгчтэй зэрэг нь дараах байдлаар бичигдэнэ

a тоог n зэрэгт хүргэнэ гэдэг нь тус бүр нь а-тай тэнцүү n хүчин зүйлийн үржвэрийг олно гэсэн үг юм.

Хэрэв “a” зэрэглэлийн суурь нь 1-тэй тэнцүү бол дурын натурал n тооны градусын утга 1-тэй тэнцүү байх болно. Жишээ нь: 1 5 =1, 1 256 =1.

Хэрэв та "a" тоог өсгөвөл нэгдүгээр зэрэг, дараа нь бид a дугаарыг өөрөө авна: a 1 = a

Хэрэв та ямар нэгэн тоог өсгөх юм бол тэг градус, дараа нь тооцооллын үр дүнд бид нэгийг авна. a 0 = 1

Тооны хоёр ба гурав дахь зэрэглэлийг тусгай гэж үзнэ. Тэд өөрсдийнхөө нэрийг гаргаж ирэв: хоёр дахь зэрэг гэж нэрлэдэг тооны квадрат, гурав дахь - шооэнэ тоо.

Ямар ч тоог эерэг, сөрөг эсвэл тэг болгон өсгөж болно. Энэ тохиолдолд дараах дүрмийг баримтлахгүй.

Эерэг тооны хүчийг олоход үр дүн нь эерэг тоо юм.

Байгалийн хүчинд тэгийг тооцохдоо бид тэгийг авдаг.

х м · x n = x m + n

жишээ нь: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

руу ижил үндэслэлээр эрх мэдлийг хуваахБид суурийг өөрчлөхгүй, харин илтгэгчийг хасна:

х м / x n = x m - n , Хаана, m > n,

жишээ нь: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Тооцоолох үед хүчийг хүчирхэг болгохБид суурийг өөрчилдөггүй, харин илтгэгчийг бие биенээсээ үржүүлдэг.

(м ) n = y м n

жишээ нь: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · у) n = x n · y м ,

жишээ нь:(2 3) 3 = 2 n 3 м,

дагуу тооцоо хийхдээ бутархайг хүчирхэг болгохбид бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг өгөгдсөн зэрэгт өсгөнө

(x/y)n = x n / y n

жишээ нь: (2/5) 3 = (2/5) · (2 / 5) · (2 /5) = 2 3/5 3.

Зэрэг агуулсан илэрхийлэлтэй ажиллахдаа тооцоолох дараалал.

Хаалтгүй боловч эрх мэдэл агуулсан илэрхийллийн тооцоог хийхдээ юуны түрүүнд экспентацийг, дараа нь үржүүлэх, хуваах, зөвхөн дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Хэрэв та хаалт агуулсан илэрхийллийг тооцоолох шаардлагатай бол эхлээд хаалтанд байгаа тооцоог дээр дурдсан дарааллаар хийж, үлдсэн үйлдлүүдийг зүүнээс баруун тийш ижил дарааллаар хийнэ.

Практик тооцоололд маш өргөн хүрээнд тооцооллыг хялбарчлахын тулд чадлын бэлэн хүснэгтүүдийг ашигладаг.

Бид тооны хүч гэж юу болохыг олж мэдсэн. Одоо бид үүнийг хэрхэн зөв тооцоолохыг ойлгох хэрэгтэй, i.e. эрх мэдлийн тоог нэмэгдүүлэх. Энэ материалд бид бүхэл тоо, натурал, бутархай, рациональ, иррациональ экспонентуудын градусыг тооцоолох үндсэн дүрмийг шинжлэх болно. Бүх тодорхойлолтыг жишээгээр тайлбарлах болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Экспоненциалийн тухай ойлголт

Үндсэн тодорхойлолтуудыг томъёолж эхэлцгээе.

Тодорхойлолт 1

Экспоненциал- энэ бол тодорхой тооны чадлын утгын тооцоо юм.

Өөрөөр хэлбэл, “Эрх мэдлийн үнэ цэнийг тооцох”, “Эрх мэдэлд өргөх” гэдэг нь ижил утгатай. Хэрэв асуудал "0, 5-ын тоог тав дахь зэрэглэлд хүргэнэ" гэж байвал үүнийг "(0, 5) 5-ын хүчийг тооцоол" гэж ойлгох хэрэгтэй.

Одоо бид ийм тооцоог хийхдээ дагаж мөрдөх ёстой үндсэн дүрмийг танилцуулж байна.

Натурал илтгэгчтэй тооны зэрэглэл ямар байдгийг санацгаая. Суурь a ба илтгэгч n-ийн хувьд энэ нь тус бүр нь a-тай тэнцүү n-р тооны хүчин зүйлийн үржвэр болно. Үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

Зэрэглэлийн утгыг тооцоолохын тулд та үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл градусын суурийг заасан тооны удаа үржүүлэх хэрэгтэй. Байгалийн илтгэгчтэй зэрэг гэдэг ойлголт нь хурдан үржих чадварт суурилдаг. Жишээ хэлье.

Жишээ 1

Нөхцөл байдал: өсгөх - 2 хүртэл хүч 4.

Шийдэл

Дээрх тодорхойлолтыг ашиглан бид бичнэ: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Дараа нь бид эдгээр алхмуудыг дагаж 16-г авах хэрэгтэй.

Илүү төвөгтэй жишээг авч үзье.

Жишээ 2

3 2 7 2 утгыг тооцоол

Шийдэл

Энэ оруулгыг 3 2 7 · 3 2 7 гэж дахин бичиж болно. Өмнө нь бид нөхцөл байдалд дурдсан холимог тоонуудыг хэрхэн зөв үржүүлэх талаар авч үзсэн.

Эдгээр алхмуудыг хийж, хариултыг авцгаая: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Хэрэв асуудал нь иррационал тоонуудыг байгалийн хүчин чадалд хүргэх шаардлагатайг харуулж байгаа бол бид эхлээд тэдгээрийн суурийг тоонд нь дугуйлах хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр шаардлагатай нарийвчлалын хариултыг авах боломжтой болно. Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ 3

π-ийн квадратыг гүйцэтгэнэ.

Шийдэл

Эхлээд үүнийг зуутын нэг болгон дугуйлъя. Дараа нь π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Хэрэв π ≈ 3 бол. 14159, дараа нь бид илүү нарийвчлалтай үр дүнг авна: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Практикт иррационал тоонуудын хүчийг тооцоолох хэрэгцээ харьцангуй ховор тохиолддог болохыг анхаарна уу. Дараа нь бид хариултыг өөрөө (ln 6) 3-ын хүч гэж бичиж эсвэл боломжтой бол хөрвүүлж болно: 5 7 = 125 5 .

Тооны эхний хүч хэд болохыг тусад нь зааж өгөх ёстой. Эндээс та эхний зэрэглэлд хүрсэн аливаа тоо өөрөө үлдэх болно гэдгийг санаж болно.

Энэ нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна .

Энэ нь зэргээс шалтгаалахгүй.

Жишээ 4

Тиймээс (− 9) 1 = − 9, эхний зэрэглэлд хүрсэн 7 3 нь 7 3-тай тэнцүү хэвээр үлдэнэ.

Тохиромжтой болгох үүднээс бид гурван тохиолдлыг тусад нь авч үзэх болно: экспонент эерэг бүхэл тоо, тэг бол сөрөг бүхэл тоо бол.

Эхний тохиолдолд энэ нь натурал зэрэглэлийг өсгөхтэй адил юм: эцэст нь эерэг бүхэл тоо нь натурал тоонуудын багцад хамаарна. Ийм зэрэгтэй хэрхэн ажиллах талаар дээр дурдсан.

Одоо тэг хүчийг хэрхэн зөв өсгөхийг харцгаая. Тэгээс өөр суурийн хувьд энэ тооцоо үргэлж 1 гарна. a-ийн 0-р хүчийг 0-тэй тэнцүү биш аливаа бодит тоо, 0 = 1 гэж тодорхойлж болно гэж бид өмнө нь тайлбарласан.

Жишээ 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - тодорхойлогдоогүй.

Бидэнд зөвхөн бүхэл сөрөг илтгэгчтэй градусын тохиолдол л үлддэг. Ийм зэрэглэлийг 1 a z бутархай хэлбэрээр бичиж болох бөгөөд a нь дурын тоо, z нь сөрөг бүхэл тоо гэдгийг бид аль хэдийн хэлэлцсэн. Энэ бутархайн хуваагч нь эерэг бүхэл илтгэгчтэй энгийн зэрэглэлээс өөр зүйл биш гэдгийг бид харж байгаа бөгөөд бид үүнийг хэрхэн тооцоолох талаар аль хэдийн сурсан. Даалгавруудын жишээг өгье.

Жишээ 6

3-ыг хүчтэй болгох - 2.

Шийдэл

Дээрх тодорхойлолтыг ашиглан бид бичнэ: 2 - 3 = 1 2 3

Энэ бутархайн хуваагчийг тооцоод 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 болъё.

Дараа нь хариулт нь: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Жишээ 7

1.43-ыг -2 хүртэл өсгө.

Шийдэл

Дахин томъёолъё: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Бид хуваагч дахь квадратыг тооцоолно: 1.43·1.43. Аравтын тоог дараах байдлаар үржүүлж болно.

Үүний үр дүнд бид (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449-ийг авсан. Бидний хийх ёстой зүйл бол энэ үр дүнг энгийн бутархай хэлбэрээр бичих бөгөөд үүний тулд бид үүнийг 10 мянгаар үржүүлэх хэрэгтэй (бутархайг хөрвүүлэх материалыг үзнэ үү).

Хариулт: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Онцгой тохиолдол бол тоог хасах эхний хүчийг нэмэгдүүлэх явдал юм. Энэ зэргийн утга нь суурийн анхны утгын эсрэг утгатай тэнцүү байна: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Жишээ 8

Жишээ нь: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Хэрхэн тоог бутархай болгон өсгөх вэ

Ийм үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн үндсэн тодорхойлолтыг санах хэрэгтэй: аливаа эерэг a, бүхэл тоо m ба натурал n-ийн хувьд a m n = a m n.

Тодорхойлолт 2

Тиймээс бутархай зэрэглэлийн тооцоог бүхэл тоо болгон өсгөх, n-р зэрэглэлийн үндсийг олох гэсэн хоёр үе шаттайгаар хийх ёстой.

Бидэнд a m n = a m n тэгш байдал бий бөгөөд энэ нь язгууруудын шинж чанарыг харгалзан үзэхэд ихэвчлэн a m n = a n m хэлбэрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг. Энэ нь хэрэв бид a тоог m / n бутархай зэрэгт өсгөх юм бол эхлээд a-ийн n-р үндсийг аваад дараа нь үр дүнг m бүхэл илтгэгчтэй зэрэгт өсгөнө гэсэн үг юм.

Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 9

8 - 2 3-ыг тооцоол.

Шийдэл

Арга 1: Үндсэн тодорхойлолтын дагуу бид үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Одоо язгуурын доорх зэрэгийг тооцоолж, үр дүнгээс гурав дахь язгуурыг гаргая: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Арга 2. Үндсэн тэгш байдлыг өөрчлөх: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Үүний дараа бид 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 үндсийг гаргаж аваад үр дүнг квадрат болгоно: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4.

Шийдлүүд нь адилхан гэдгийг бид харж байна. Та үүнийг хүссэнээрээ ашиглаж болно.

Зэрэг нь холимог тоо эсвэл аравтын бутархайгаар илэрхийлэгдсэн үзүүлэлттэй байх тохиолдол байдаг. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд үүнийг энгийн бутархайгаар сольж, дээр дурдсанчлан тооцоолох нь дээр.

Жишээ 10

44, 89-ийг 2, 5-ын хэмжээнд өсгө.

Шийдэл

Заагчийн утгыг энгийн бутархай болгон хувиргацгаая - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Одоо бид дээр дурдсан бүх үйлдлүүдийг дарааллаар нь гүйцэтгэнэ: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 2 = 11010 = 2 = 11010 501, 25107

Хариулт: 13 501, 25107.

Бутархай илтгэгчийн хуваагч ба хуваагч нь олон тоо агуулсан байвал рационал илтгэгчээр ийм илтгэгчийг тооцоолох нь нэлээд хэцүү ажил юм. Энэ нь ихэвчлэн компьютерийн технологийг шаарддаг.

Тэг суурь ба бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн талаар тусад нь авч үзье. 0 m n хэлбэрийн илэрхийлэлд дараах утгыг өгч болно: хэрэв m n > 0 бол 0 m n = 0 m n = 0; хэрэв м н< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Хэрхэн тоог иррациональ хүчинд хүргэх вэ

Экспонент нь иррационал тоо болох чадлын утгыг тооцоолох хэрэгцээ тийм ч олон тохиолддоггүй. Практикт даалгавар нь ихэвчлэн ойролцоо утгыг (тодорхой тооны аравтын орон хүртэл) тооцоолоход хязгаарлагддаг. Ийм тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан үүнийг ихэвчлэн компьютер дээр тооцдог тул бид энэ талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй, зөвхөн үндсэн заалтуудыг зааж өгөх болно.

Хэрэв бид а зэрэглэлийн утгыг иррациональ илтгэгч a-тай тооцоолох шаардлагатай бол илтгэгчийн аравтын бутархайн ойролцооллыг авч, түүнээс тоолно. Үр дүн нь ойролцоогоор хариулт байх болно. Аравтын тоо илүү нарийвчлалтай байх тусам хариулт нь илүү нарийвчлалтай болно. Жишээгээр харуулъя:

Жишээ 11

21, 174367-ийн ойролцоо утгыг тооцоол ....

Шийдэл

А n = 1, 17 аравтын бутархайн ойролцоо тоогоор хязгаарлая. Энэ тоог ашиглан тооцоо хийцгээе: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Хэрэв бид жишээ нь a n = 1, 1743 гэсэн ойролцоо утгыг авбал хариулт нь арай илүү үнэн зөв байх болно: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу